17.1 变量与函数-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

17.1 变量与函数 一、常量与变量 变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。 常量：取值始终不变的量，称为常量。 二、函数 1.定义：一般地，在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应，我们说x叫做自变量，y叫做因变量，y叫做x的函数。 2.表示方法：通常有解析式法、列表法和图像法三种。 （1）解析式法：用关于自变量的数学式子来表示函数与自变量之间的关系，如y=kx+b（k和b为常数，k≠0）为一次函数的解析式。 （2）列表法：列出自变量与对应函数值的一系列数值对来表示函数关系。 （3）图像法：在平面直角坐标系中，以自变量为横坐标，函数值为纵坐标描点，由这些点组成的图形即为函数的图像。 三、自变量的取值范围 能够使函数有意义的自变量的取值全体，称为自变量的取值范围。确定自变量取值范围时，通常需要考虑使自变量所在的代数式有意义以及使函数在实际问题中有实际意义。 四、函数值 当自变量取某一数值时，对应的函数值称为该自变量的函数值。 巩固课内例1:气温变化问题 1．实验测得气温与音速的一些数据如下表，则下列结论错误的是（    ） 气温x（） 0 5 10 15 20 音速y（米/秒） 331 334 337 340 343 A．在变化中，气温是自变量，音速是因变量 B．y随x的增大而增大 C．当气温为时，音速约为346米/秒 D．气温每升高，音速增加3米/秒 2．在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度（千米）与此高度处气温（）的关系： 海拔高度（千米） 0 1 2 3 4 5 … 气温（） 20 14 8 2 … 根据表格中两个变量之间的关系，当时，气温 ． 3．实验测得声速与气温的一些数据如下表： 气温 0 1 2 3 4 声速 331 331.6 332.2 332.8 333.4 (1)此表反映的是________随________变化的情况； (2)请直接写出与之间的关系式：________； (3)某人看到烟花燃放后才听到声响，且此人与烟花燃放所在地的距离为，求此时的气温． 巩固课内例2:年龄问题 1．赵老师手中有一张记录他从出生到24周岁期间的身高情况表（如下）： 年龄x/岁 0 3 6 9 12 15 18 21 24 身高h/cm 48 100 130 140 150 158 165 170 170.4 下列说法中错误的是（    ） A．赵老师的身高增长速度总体上先快后慢 B．x与h都是变量，且x是自变量，h是因变量 C．赵老师的身高在21岁以后基本不长了 D．赵老师的身高从0岁到12岁平均每年增高12.5cm 2．日常生活中，“老人”是一个模糊概念．可用“老人系数”表示一个人的老年化程度．“老人系数”的计算方法如下表： 人的年龄x（岁） x≤60 60＜x＜80 x≥80 “老人系数” 0 1 按照这样的规定，“老人系数”为0.6的人的年龄是 岁． 3．婴儿在6个月、1周岁、2周岁时体重分别大约是出生时的2倍、3倍、4倍，6周岁、10周岁时体重分别约是1周岁的2倍、3倍． （1）上述的哪些量在发生变化？自变量和因变量各是什么？ （2）某婴儿在出生时的体重是3.5kg，请把他在发育过程的体重情况填入下表： 年龄 出生时 6个月 1周岁 2周岁 6周岁 10周岁 体重/kg 　　 　　 　　 　　 　　 　　 （3）根据表格中的数据，说一说儿童从出生到10周岁之间体重是怎样随年龄增长而变化的． 巩固课内例3:圆的面积与半径问题 1．一个圆柱的半径为，高为，则这个圆柱的体积与之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 2．在半径为的圆中，挖去一个半径为的圆面，剩下一个圆环的面积为，则与的函数关系式为 ，其中自变量的取值范围是 ． 3．如图所示，在一个半径为的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖去一个小圆的半径由小变大时，剩下的一个圆环面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，因变量是 ． (2)写出剩下的圆环面积与小圆的半径的关系式： ． (3)当挖去圆的半径为时，剩下的圆环面积为多少？结果保留 巩固课内例4:等腰三角形角与边问题 1．若等腰三角形顶角x度，底角是y度，则y与x函数关系是（    ） A． B． C． D． 2．等腰三角形的周长为14，底边长为y，腰长为x，则y关于x的函数表达为 ，自变量x的取值范围是 ． 3．等腰三角形周长为，底边长为，腰长为， (1)写出y关于x的函数关系式； (2)求x的取值范围． 巩固课内例5:重叠面积问题 1．如图，用每张长为的纸片，重叠粘贴成一条纸带，则纸带的长度与纸片的张数x之间的函数关系式是（   ）    A． B． C． D． 2．如图，用若干张长6cm的纸条粘贴成一条纸带（每2张纸条重叠1cm），纸带的长度与纸条的张数之间的函数关系式是 ． 3．如图，等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一直线上，开始时点与点重合，让向右运动，最后点与点重合．设重叠部分面积为，长度为．请根据题意填空：与的函数关系式是________________，其中的取值范围是________________，自变量是________________，因变量是________________，常量是________________． 类型一、函数的概念 1．下列选项中，不能表示某函数图像的是（    ） A． B． C． D． 2．圆柱的体积的计算公式是，其中是圆柱底面的半径，是圆柱的高，当是常量时，是的 函数． 3．一汽车油箱里有油，在行驶过程中，每小时耗油，回答下列问题： (1)在这一变化过程中，邮箱里剩下的油量和行驶的时间是_______，每小时的耗油量是_______； (2)①设汽车行驶的时间为，油箱里剩下的油为，请用含x的式子表示Q； ②这辆汽车最多能行驶多少小时？ 类型二、求自变量的取值范围 1．函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．函数中自变量的取值范围是 ． 3．一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1千米，耗油0.6升，如果设剩油量为（升），行驶路程为（千米） (1)上述变化过程中，哪个量是自变量，哪个量是因变量； (2)用含的代数式表示；（写出自变量的取值范围） (3)当时，是多少？当时，是多少？ 类型一、用表格表示变量间的关系 1．某学习小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些数据（如下表）： 温度 0 10 20 30 声速 318 324 330 336 342 348 下列说法中错误的是（    ） A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速 B．在一定范围内，温度越高，声速越快 C．当空气温度为时，内声音可以传播 D．在一定范围内，温度每升高，声速增加 2．王师傅非常喜欢自驾游，为了了解他新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到下表中的数据： 行驶的路程 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 王师傅将油箱加满后驾驶该轿车从地前往地，到达地时油箱中的剩余油量为，请直接写出，两地之间的距离是 ． 3．心理学研究发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如下关系： x 2 5 7 10 12 13 14 17 20 … y 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 … 根据以上信息，回答下列问题： (1)上表反映的两个变量中，自变量是__________，因变量是__________． (2)当提出概念所用的时间为7分钟时，学生的接受能力是多少？ (3)在上表中，当提出概念所用的时间为多少分钟时，学生的接受能力最强？ (4)根据表中数据，说说当提出概念所用的时间在2~20分钟时，学生对概念的接受能力是怎样变化的？ 类型二、用关系式表示变量间的关系 1．一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧掉，这根蜡烛点燃后剩下的长度与点燃时间之间的关系式是（   ） A． B． C． D． 2．以固定的速度（米秒）向上抛一个小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系是，在这个关系式中，常量是 ，变量是 ． 3．如图，圆柱的底面半径是，当圆柱的高h（）大到小变化时，圆柱的体积随之发生变化． (1)在这个变化过程中，自变量是__________，因变量是__________； (2)在这个变化过程中，圆柱的体积V与高h之间的关系式是__________； (3)当圆柱的高由变化到时，圆柱的体积由__________变化到__________． 类型三、用图象表示变量间的关系 1．如图是反映两个变量的关系图，下面的四个实际情况中，哪个比较适合这幅图？（　　） A．在罚球点上被踢出的球的速度与时间之间的关系 B．一杯开水放在桌上，它的水温与时间的关系 C．匀速行驶的汽车所走的路程与时间的关系 D．一架战斗机正以的速度匀速飞行，它飞行的速度与时间的关系 2．如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入自变量x的值为3，则最后输出因变量y的值为 ． 3．如图所示，分别表示了香蕉、苹果的总价与数量之间的关系，看图回答问题． (1)香蕉的总价和数量成______比例关系；（填“正”或“反”） (2)从图象上看，单价更贵一些的水果是______； (3)买x千克苹果要用______元，y元可以买_____千克香蕉． 类型一、自变量的值或函数值 1．根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是（   ） A．9 B．7 C． D． 2．已知：，那么 ． 3．如果用表示摄氏温度，表示华氏温度，那么与之间的关系式为． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值． 类型二、函数解析式 1．4名教师和若干名学生到某景区秋游．该景区成人票每张15元，学生票每张10元．师生总票款y（元）与学生人数x（人）之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 2．1~6个月的婴儿生长发育得非常快，他们的体重随着月龄x（月）的变化而变化．一个刚出生的婴儿为，假设他每个月增长，则y与x之间的关系式为 ． 3．在长方形中，，，分别是，边上的动点．在长方形的内部（包含边界），以为直角边作等腰直角三角形，且．过点作，垂足为． (1)如图①，当时，设，求与之间的函数表达式； (2)当点的位置如图②所示时，点在边上运动，用直尺和圆规在图②中作出所有满足条件的点；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (3)当点，分别在，边上运动时，满足条件的点所形成的区域的面积随着的长度变化而变化，设点所形成的区域的面积为，的长度为．请直接写出与的函数表达式及对应的取值范围． 1．徐老师到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机加油过程中某一时刻的数据显示，则其中的常量是（   ） A．金额 B．数量 C．金额和单价 D．单价 2．已知半径是R的圆，周长，下列说法正确的是（    ） A．C，，R是变量，2是常量 B．C是变量，2，，R是常量 C．R是变量，，C是常量 D．C，R是变量，2，是常量 3．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的重量间有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（   ） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 4．一个长方形的一条边长为，另一条边长为，它的面积为，则S与x之间的关系式为 ． 5．某冬季运动赛场为了准备即将到来的比赛，正着手进行既定规模的人工造雪作业．根据下表表示出每天造雪量（单位：）和造雪天数（单位：天）的关系 ． 每天造雪量 5000 5200 6500 … 造雪天数 52 50 40 … 6．已知等腰三角形的周长为，设腰长为，底边为，试写出与的函数表达式 ． 7．已知三角形的三边长分别为，，，该三角形的周长为． (1)写出关于的函数解析式，并写出这个函数的定义域． (2)如果要求三角形的周长满足，求的取值范围． 8．心理学家发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用时间（单位：）之间有如下关系：（其中） 提出概念所用时间 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力 47.8 53.5 56.3 59.0 59.8 59.9 59.8 58.3 55.0 (1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？ (2)根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为几分钟时，学生的接受能力最强？ (3)从表中可知，当时间在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ 9．在烧开水时，水温达到就会沸腾（标准大气压下），下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据： 时间 0 2 4 6 8 10 12 14 … 水的温度 30 44 58 72 86 100 100 100 … (1)如表反映了哪两个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)水的温度是如何随着时间的变化而变化的？ (3)时间每增加，水的温度如何变化？ (4)为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水？ 10．如图， 在长方形中， ，点 是对角线 的中点．动点 从点出发，沿方向以的速度向点 匀速运动；同时动点从点出发，沿 方向以 的速度向点匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接 并延长交于点 ， 连接 并延长交 于点， 设运动时间为 ． 解答下列问题： (1) 的长为 ， 的长为 ； (2)当 为等腰直角三角形时，求的值； (3)设四边形 的面积为 求与之间的关系式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 17.1 变量与函数 一、常量与变量 变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。 常量：取值始终不变的量，称为常量。 二、函数 1.定义：一般地，在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应，我们说x叫做自变量，y叫做因变量，y叫做x的函数。 2.表示方法：通常有解析式法、列表法和图像法三种。 （1）解析式法：用关于自变量的数学式子来表示函数与自变量之间的关系，如y=kx+b（k和b为常数，k≠0）为一次函数的解析式。 （2）列表法：列出自变量与对应函数值的一系列数值对来表示函数关系。 （3）图像法：在平面直角坐标系中，以自变量为横坐标，函数值为纵坐标描点，由这些点组成的图形即为函数的图像。 三、自变量的取值范围 能够使函数有意义的自变量的取值全体，称为自变量的取值范围。确定自变量取值范围时，通常需要考虑使自变量所在的代数式有意义以及使函数在实际问题中有实际意义。 四、函数值 当自变量取某一数值时，对应的函数值称为该自变量的函数值。 巩固课内例1:气温变化问题 1．实验测得气温与音速的一些数据如下表，则下列结论错误的是（    ） 气温x（） 0 5 10 15 20 音速y（米/秒） 331 334 337 340 343 A．在变化中，气温是自变量，音速是因变量 B．y随x的增大而增大 C．当气温为时，音速约为346米/秒 D．气温每升高，音速增加3米/秒 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，掌握函数的定义，得出温度每升高，音速增加 3米/秒，是解题关键．根据表格中的数据以及函数的定义，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、∵对于气温的每一个值，都存在一个唯一确定的音速，符合函数定义， ∴气温是自变量，音速是因变量，正确， ∴A不符合题意； B、由表格数据可知：y随x的增大而增大， ∴B不符合题意； C、由表格数据可知：当气温为时，音速为米/秒，错误， ∴C符合题意； D、由表格数据可知：温度每升高，音速增加 3米/秒，正确， ∴D不符合题意． 故选：C． 2．在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度（千米）与此高度处气温（）的关系： 海拔高度（千米） 0 1 2 3 4 5 … 气温（） 20 14 8 2 … 根据表格中两个变量之间的关系，当时，气温 ． 【答案】 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，观察得到表格变量间的关系是解题的关键．先观察表格可得，海拔高度每增加千米，气温就下降，即可得到答案． 【详解】解： 观察表格可得：每增加千米，气温就下降， 海拔高度时，气温 当海拔高度时，气温 故答案为：． 3．实验测得声速与气温的一些数据如下表： 气温 0 1 2 3 4 声速 331 331.6 332.2 332.8 333.4 (1)此表反映的是________随________变化的情况； (2)请直接写出与之间的关系式：________； (3)某人看到烟花燃放后才听到声响，且此人与烟花燃放所在地的距离为，求此时的气温． 【答案】(1)声速；气温 (2) (3)此时的气温为 【分析】本题考查用关系式表示变量间的关系，找到变量之间的变化规律是本题的关键． （1）根据表格数据可得出结论； （2）根据“气温每增加，声速增加”作答即可； （3）先根据求得声速，再代入，求解即可． 【详解】（1）解：此表反映的是声速随气温变化的情况； 故答案为：声速；气温； （2）解：因为当气温是时，声速是， 气温每增加，声速增加， 所以与之间的关系式为； （3）解：设此时气温为， 因为， 所以， 解得． 答：此时的气温为． 巩固课内例2:年龄问题 1．赵老师手中有一张记录他从出生到24周岁期间的身高情况表（如下）： 年龄x/岁 0 3 6 9 12 15 18 21 24 身高h/cm 48 100 130 140 150 158 165 170 170.4 下列说法中错误的是（    ） A．赵老师的身高增长速度总体上先快后慢 B．x与h都是变量，且x是自变量，h是因变量 C．赵老师的身高在21岁以后基本不长了 D．赵老师的身高从0岁到12岁平均每年增高12.5cm 【答案】D 【分析】本题考查了表格法表示函数． A．计算每相邻3年身高的增量并通过比较即可得出结论； B．根据表格中的信息和自变量、因变量的定义判断即可； C．通过对比21岁和24岁这两年的身高变化即可得出结论； D．根据“从0岁到12岁身高的增加量”计算判断即可． 【详解】解：，，，，，，，， ， 赵老师的身高增长速度总体上先快后慢，故A正确，不符合题意； 与都是变量，随的变化而变化，即是自变量，是因变量，故B正确，不符合题意； 赵老师的身高21岁时，24岁时， 赵老师的身高在21岁以后基本不长了，故C正确，不符合题意； 赵老师的身高从0岁到12岁平均每年增高，故D错误，符合题意． 故选：D． 2．日常生活中，“老人”是一个模糊概念．可用“老人系数”表示一个人的老年化程度．“老人系数”的计算方法如下表： 人的年龄x（岁） x≤60 60＜x＜80 x≥80 “老人系数” 0 1 按照这样的规定，“老人系数”为0.6的人的年龄是 岁． 【答案】72 【分析】根据所给的函数关系式所对应的自变量的取值范围，发现：当y=0.6时，在60＜x＜80之间，所以将y的值代入对应的函数解析式即可求得函数的值． 【详解】解：设人的年龄为x岁， ∵“老人系数”为0.6， ∴由表得60＜x＜80， 即=0.6，解得，x=72， 故“老人系数”为0.6的人的年龄是72岁． 故答案为：72 3．婴儿在6个月、1周岁、2周岁时体重分别大约是出生时的2倍、3倍、4倍，6周岁、10周岁时体重分别约是1周岁的2倍、3倍． （1）上述的哪些量在发生变化？自变量和因变量各是什么？ （2）某婴儿在出生时的体重是3.5kg，请把他在发育过程的体重情况填入下表： 年龄 出生时 6个月 1周岁 2周岁 6周岁 10周岁 体重/kg 　　 　　 　　 　　 　　 　　 （3）根据表格中的数据，说一说儿童从出生到10周岁之间体重是怎样随年龄增长而变化的． 【答案】（1）年龄在逐渐变大，体重在逐渐变重，年龄是自变量，体重是因变量；（2）3.5， 7.0，10.5，14.0，21.0，31.5；（3）10周岁前的体重随年龄的增长而增大，从刚出生到六个月生长的最快． 【分析】（1）观察表格，年龄在逐渐变大，体重在逐渐变重． （2）根据题意填表即可； （3）根据表格中的数据，发现小刚10周岁前的体重随年龄的增长而增大． 【详解】（1）年龄在逐渐变大，体重在逐渐变重， 体重随着年龄的变化而变化 年龄是自变量，体重是因变量； （2）根据题意，填表如下： 年龄 出生时 6个月 1周岁 2周岁 6周岁 10周岁 体重/kg 3.5 7 10.5 14.0 21.0 31.5 （3）10周岁前的体重随年龄的增长而增大，从刚出生到六个月生长的最快． 【点睛】本题考查了函数的定义，列表法表示函数，从已知数据分析函数的性质，理解函数的定义是解题的关键． 巩固课内例3:圆的面积与半径问题 1．一个圆柱的半径为，高为，则这个圆柱的体积与之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，熟练掌握圆柱的体积等于底面积高是解答本题的关键． 根据圆柱的体积等于底面积高列式即可． 【详解】解：∵圆柱的半径为，高为， ∴圆柱的体积． 故选：A． 2．在半径为的圆中，挖去一个半径为的圆面，剩下一个圆环的面积为，则与的函数关系式为 ，其中自变量的取值范围是 ． 【答案】 / 【分析】根据圆环的面积半径为的圆的面积半径为的圆的面积，进行计算即可，由是线段，应大于0，且不能超过外圆的半径，可得自变量的取值范围． 【详解】解：根据题意得： 半径为的圆的面积为：， 半径为的圆的面积为：， 与的函数关系式为：， 是线段，且不能超过外圆的半径， ， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了求函数解析式，求自变量的取值范围，熟练掌握圆环的面积半径为的圆的面积半径为的圆的面积是解题的关键． 3．如图所示，在一个半径为的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖去一个小圆的半径由小变大时，剩下的一个圆环面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，因变量是 ． (2)写出剩下的圆环面积与小圆的半径的关系式： ． (3)当挖去圆的半径为时，剩下的圆环面积为多少？结果保留 【答案】(1)剩下的圆环面积 (2) (3) 【分析】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，因变量的定义： （1）根据圆环的面积随着挖去小圆的半径增大而减小，可得因变量是剩下的圆环面积； （2）用大圆面积减去挖去的小圆面积即可得到答案； （3）把代入（2）中所求关系式中求出y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵圆环的面积随着挖去小圆的半径增大而减小， ∴因变量是剩下的圆环面积； 故答案为：剩下的圆环面积； （2）解：由题意得，， 故答案为：； （3）把代入中得：， ∴剩下的圆环面积为． 巩固课内例4:等腰三角形角与边问题 1．若等腰三角形顶角x度，底角是y度，则y与x函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，函数关系式等知识，利用三角形内角和定理和外角的定义即可解决问题．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：∵等腰三角形顶角x度，底角是y度， ∴， ∴． 故选A． 2．等腰三角形的周长为14，底边长为y，腰长为x，则y关于x的函数表达为 ，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，函数自变量的取值范围，三角形三边关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据三角形周长的定义，构建关系式即可． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为14，底边长为y，腰长为x， ， ， 由，解得． 故答案为：，． 3．等腰三角形周长为，底边长为，腰长为， (1)写出y关于x的函数关系式； (2)求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】主要考查建立函数的模型解决实际问题的能力．要读懂题意并根据题意列出函数关系式．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解，并会根据实际意义求函数值和自变量的取值范围． （1）根据等腰三角形周长公式即可求得y关于x的函数关系式； （2）利用三角形边长为正数和三边关系求自变量的范围； 【详解】（1）解：根据三角形周长公式可知：， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， 解得：． 巩固课内例5:重叠面积问题 1．如图，用每张长为的纸片，重叠粘贴成一条纸带，则纸带的长度与纸片的张数x之间的函数关系式是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，解决本题的关键是得到白纸粘合后的总长度的等量关系． 根据粘合后的总长度张纸条的长个粘合部分的长，列出函数解析式即可． 【详解】解：根据纸带的长度y随着纸片的张数x的变化规律得， ， 故选：D． 2．如图，用若干张长6cm的纸条粘贴成一条纸带（每2张纸条重叠1cm），纸带的长度与纸条的张数之间的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】根据粘合后的总长度=x张纸条的长-（）个粘合部分的长，列出函数解析式即可． 【详解】解：根据纸带的长度y随着纸片的张数x的变化规律得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据实际问题列函数关系式，解决本题的关键是得到白纸粘合后的总长度的等量关系． 3．如图，等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一直线上，开始时点与点重合，让向右运动，最后点与点重合．设重叠部分面积为，长度为．请根据题意填空：与的函数关系式是________________，其中的取值范围是________________，自变量是________________，因变量是________________，常量是________________． 【答案】；；；； 【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系、等腰直角三角形的性质．熟练掌握用关系式表示变量之间的关系、等腰直角三角形的性质是解题的关键． 由题意得出重叠部分是等腰直角三角形，再根据三角形面积公式即可得出关系式，然后求解作答即可． 【详解】解：等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为， ，， 重叠部分是等腰直角三角形， 长度为， ，，其中自变量是，因变量是，常量是， 故答案为：，，，，． 类型一、函数的概念 1．下列选项中，不能表示某函数图像的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的概念，根据函数的概念可以判断哪个选项中的图象是与的函数图象，解题的关键是正确理解函数的概念，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：、与不是一一对应的，不符合函数的定义，符合题意； 、与是一一对应的，符合函数的定义，不符合题意； 、与是一一对应的，符合函数的定义，不符合题意； 、与是一一对应的，符合函数的定义，不符合题意； 故选：． 2．圆柱的体积的计算公式是，其中是圆柱底面的半径，是圆柱的高，当是常量时，是的 函数． 【答案】正比例 【分析】本题考查函数的概念，常量与变量．由正比例函数的定义，即可得到答案． 【详解】解：，其中r是圆柱底面的半径，h是圆柱的高，当r是常量时，V是h的正比例函数． 故答案为：正比例． 3．一汽车油箱里有油，在行驶过程中，每小时耗油，回答下列问题： (1)在这一变化过程中，邮箱里剩下的油量和行驶的时间是_______，每小时的耗油量是_______； (2)①设汽车行驶的时间为，油箱里剩下的油为，请用含x的式子表示Q； ②这辆汽车最多能行驶多少小时？ 【答案】(1)变量；常量 (2)①．②这辆汽车最多能行驶16小时 【分析】本题考查函数的概念，列函数表达式，求自变量的值，属于基础题，关键是掌握函数的基础知识． （1）可以取不同的数值的量是变量，数值不变的量是常量，据此判定即可； （2）①根据（1）中的基本关系求解即可；②当油箱里剩下的油为0时，汽车就不能行驶了，因此令，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：这一变化过程中，邮箱里剩下的油量和行驶的时间是变量，每小时的耗油量是常量； （2）解：①由题意，得： ②当时，有， 解得： 即这辆汽车最多能行驶16小时． 类型二、求自变量的取值范围 1．函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数自变量取值范围， 根据函数有意义的条件得，再解答即可． 【详解】解：∵函数， ∴， 解得． 故选：D． 2．函数中自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值方法，分式有意义的条件，解不等式，理解分式有意义的条件，函数自变量的取值方法是解题的关键． 根据分式的性质确定函数自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴函数中自变量的取值范围是， 故答案为： ． 3．一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1千米，耗油0.6升，如果设剩油量为（升），行驶路程为（千米） (1)上述变化过程中，哪个量是自变量，哪个量是因变量； (2)用含的代数式表示；（写出自变量的取值范围） (3)当时，是多少？当时，是多少？ 【答案】(1)行驶路程，剩油量 (2) (3)42，40 【分析】本题考查了自变量及因变量的定义以及一次函数的简单应用，穿插了函数值及函数关系式的知识． （1）根据自变量及因变量的定义结合题意可得出答案； （2）根据题意所述结合（1）所判断的自变量与因变量即可列出函数关系式； （3）分别令，及代入即可得出答案． 【详解】（1）由题意得：自变量是行驶路程，因变量是剩油量， 故答案为：行驶路程，剩油量； （2）根据每行1千米，耗油0.6升及总油量为48升可得：， 由题意可得， ∴，解得 故答案为：； （3）当时，； 当时，，解得； 故答案为：42，40． 类型一、用表格表示变量间的关系 1．某学习小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度之间的关系的一些数据（如下表）： 温度 0 10 20 30 声速 318 324 330 336 342 348 下列说法中错误的是（    ） A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速 B．在一定范围内，温度越高，声速越快 C．当空气温度为时，内声音可以传播 D．在一定范围内，温度每升高，声速增加 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的表示方法和有理数的混合运算．根据图表里的信息，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可． 【详解】解：A. 在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是声速，正确，此选项不符合题意； B.根据数据表可知，在一定范围内，温度越高，声速越快，正确，此选项不符合题意； C、，当空气温度为时，声音可以传播，故选项不符合题意； D、∵，，，，， ∴当温度每升高，声速增加，正确，此选项不符合题意； 故选：C． 2．王师傅非常喜欢自驾游，为了了解他新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到下表中的数据： 行驶的路程 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 王师傅将油箱加满后驾驶该轿车从地前往地，到达地时油箱中的剩余油量为，请直接写出，两地之间的距离是 ． 【答案】350 【分析】本题主要考查用表格表示变量之间的关系，由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少，再求出减少的油量，即可得出结果． 【详解】解： ， 故答案为：350． 3．心理学研究发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如下关系： x 2 5 7 10 12 13 14 17 20 … y 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55 … 根据以上信息，回答下列问题： (1)上表反映的两个变量中，自变量是__________，因变量是__________． (2)当提出概念所用的时间为7分钟时，学生的接受能力是多少？ (3)在上表中，当提出概念所用的时间为多少分钟时，学生的接受能力最强？ (4)根据表中数据，说说当提出概念所用的时间在2~20分钟时，学生对概念的接受能力是怎样变化的？ 【答案】(1)提出概念所用的时间x；学生对概念的接受能力y (2)56.3 (3)13分钟 (4)见解析 【分析】此题主要考查了用表格表示变量间的关系，正确利用表格中数据得出结论是解题关键． （1）利用表格中数据得出答案； （2）利用表格中数据得出答案； （3）利用表格中数据得出答案； （4）先根据表格可知：当时，y的值最大是59.9，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，从而得出答案． 【详解】（1）解：上表反映的两个变量中，自变量是提出概念所用的时间x，因变量是学生对概念的接受能力y． 故答案为：提出概念所用的时间x；学生对概念的接受能力y （2）解：观察表格可知，当时，， ∴当提出概念所用的时间为7分钟时，学生的接受能力是56.3． （3）解：∵当时，y的值最大是59.9， ∴当提出概念所用的时间为13分钟时，学生的接受能力最强． （4）解：当时，学生的接受能力y随提出概念所用的时间x的增加而增大； 当时，学生的接受能力y随提出概念所用的时间x的增加而减小． 类型二、用关系式表示变量间的关系 1．一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧掉，这根蜡烛点燃后剩下的长度与点燃时间之间的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查函数的解析式，解题的关键是理解题意．根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意可得：这根蜡烛点燃后剩下的长度与点燃时间之间的函数关系式的是； 故选：C． 2．以固定的速度（米秒）向上抛一个小球，小球的高度（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系是，在这个关系式中，常量是 ，变量是 ． 【答案】 ， ， 【分析】本题考查了常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义是解题的关键：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量；在某一变化过程中，数值发生变化的量称为变量． 根据常量与变量的定义即可直接得出答案． 【详解】解：由常量与变量的定义可知： 在关系式中，常量是，，变量是，， 故答案为：，；，． 3．如图，圆柱的底面半径是，当圆柱的高h（）大到小变化时，圆柱的体积随之发生变化． (1)在这个变化过程中，自变量是__________，因变量是__________； (2)在这个变化过程中，圆柱的体积V与高h之间的关系式是__________； (3)当圆柱的高由变化到时，圆柱的体积由__________变化到__________． 【答案】(1)圆柱的高h；圆柱的体积V (2) (3)； 【分析】本题考查函数的概念，函数关系式，函数值，掌握相关概念是解题的关键． （1）利用函数的概念进行回答； （2）利用圆柱的体积公式求解； （3）分别计算出和应的函数值可得到V的变化情况． 【详解】（1）解：∵当圆柱的高h从大到小变化时，圆柱的体积V随之发生变化， ∴自变量是圆柱的高h，因变量是圆柱的体积V． 故答案为：圆柱的高h；圆柱的体积V （2）解：∵， ∴圆柱的体积V与高h之间的关系式是． 故答案为： （3）解：当时，， 当时，， ∴当圆柱的高由变化到时，圆柱的体积由变化到． 故答案为：； 类型三、用图象表示变量间的关系 1．如图是反映两个变量的关系图，下面的四个实际情况中，哪个比较适合这幅图？（　　） A．在罚球点上被踢出的球的速度与时间之间的关系 B．一杯开水放在桌上，它的水温与时间的关系 C．匀速行驶的汽车所走的路程与时间的关系 D．一架战斗机正以的速度匀速飞行，它飞行的速度与时间的关系 【答案】D 【分析】本题主要考查了两个变量的关系图，熟练掌握变量之间的关系是解题关键． 图像中有一个物理量始终保持不变，不会因为另一个量的变化而变化． 【详解】解：A.踢出的球的速度是随着时间的增加而减少的，故A不符合题意； B.开水的水温先是随时间的增加而减少的，最后保持不变，故B不符合题意； C.汽车在匀速行驶中，速度保持不变，即路程与时间成正比，故C不符合题意； D.飞速飞行的战斗机的速度始终保持不变，不会随时间的变化而变化，故D符合题意； 故选D． 2．如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入自变量x的值为3，则最后输出因变量y的值为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了求代数式的值，正确理解程序计算的流程是解题的关键．先将代入，求得的值为6，小于20，根据程序流程，将再次代入，求得的值为30，大于20，即可输出结果． 【详解】当时，， 当时，， 所以． 故答案为：30． 3．如图所示，分别表示了香蕉、苹果的总价与数量之间的关系，看图回答问题． (1)香蕉的总价和数量成______比例关系；（填“正”或“反”） (2)从图象上看，单价更贵一些的水果是______； (3)买x千克苹果要用______元，y元可以买_____千克香蕉． 【答案】(1)正 (2)香蕉 (3)4x， 【分析】此题考查了正比例和反比例的判断，并从图中获取数据，进行计算． （1）正比例：如果两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量．它们的关系叫做正比例关系；反比例：如果两个变量的乘积为常数时的比例关系，一方发生变化，其另一方随之起相反的变化，就是反比例． （2）从图中获得数据，香蕉的单价高于苹果的单价． （3）单价数量总价，总价单价数量，代入即可． 【详解】（1）从图中可以看出，香蕉的总价和购买的数量成正比例； （2）从图象上看，单价更贵一些的水果是香蕉； （3）从图象上看，买1千克苹果要用4元，买1千克香蕉要用8元， 买x千克苹果要用元，y元可以买千克香蕉； 故答案为：，． 类型一、自变量的值或函数值 1．根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是（   ） A．9 B．7 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求函数值，当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程． 依据题意，输入的值是时，输出的值即可． 【详解】解：∵， 当时，， 故选：D． 2．已知：，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数值的问题，解题的关键是将数值代入求解．令，代入式子即可求出结果． 【详解】解：， 故答案为：． 3．如果用表示摄氏温度，表示华氏温度，那么与之间的关系式为． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求自变量的值或函数值，解一元一次方程等知识点，熟练掌握求自变量的值或函数值是解题的关键． （1）将代入求值即可； （2）当时，则，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：当时，则， 解得：． 类型二、函数解析式 1．4名教师和若干名学生到某景区秋游．该景区成人票每张15元，学生票每张10元．师生总票款y（元）与学生人数x（人）之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“4名教师”及“成人票每张15元，学生票每张10元”列式，即可求解． 本题考查了实际问题中列函数关系式，解题的关键是：理解题意列出正确的函数关系式． 【详解】解：根据题意列式：， 故选：D． 2．1~6个月的婴儿生长发育得非常快，他们的体重随着月龄x（月）的变化而变化．一个刚出生的婴儿为，假设他每个月增长，则y与x之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式．根据“一个刚出生的婴儿为3200g，假设他每个月增长700g，”写出关系式即可． 【详解】解：根据题意，得y与x之间的关系式为：． 故答案为：． 3．在长方形中，，，分别是，边上的动点．在长方形的内部（包含边界），以为直角边作等腰直角三角形，且．过点作，垂足为． (1)如图①，当时，设，求与之间的函数表达式； (2)当点的位置如图②所示时，点在边上运动，用直尺和圆规在图②中作出所有满足条件的点；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (3)当点，分别在，边上运动时，满足条件的点所形成的区域的面积随着的长度变化而变化，设点所形成的区域的面积为，的长度为．请直接写出与的函数表达式及对应的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明得出，根据题意，即可列出函数关系式； （2）在上截取点，使得，在上任取一点，过点作，连接交于点，连接，则为所有满足条件的点的轨迹 （3）根据（2）的结论，分类讨论，得出点所形成的区域，进而得出与的函数表达式及对应的取值范围． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴， 又∵ ∴ ∴， 在中， ∴ ∴，则 ∵， ∴ （2）解：如图所示，在上截取点，使得，在上任取一点，过点作，连接交于点，连接，则为所有满足条件的点的轨迹 （3）解：长方形中，， 分四种情况讨论， ①当时，如图所示， 当点与点重合，点在上运动时，点的轨迹为线段， 当点与点重合，点在上运动时，点的轨迹为线段， 当、点运动时，点所形成的区域等腰直角， ∴ ②当时，如图所示，同理可得，点所形成的区域为多边形， 由（1）可得， 同理可得，是等腰直角三角形， ∴ ③当时， ∴ ④当时，如图所示 综上所述， 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，垂直平分线，等腰三角形的性质与判定，函数表达式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1．徐老师到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机加油过程中某一时刻的数据显示，则其中的常量是（   ） A．金额 B．数量 C．金额和单价 D．单价 【答案】D 【分析】本题主要考查常量和变量．根据常量的定义即可作答． 【详解】解：由题意得，单价是常量． 故选：D． 2．已知半径是R的圆，周长，下列说法正确的是（    ） A．C，，R是变量，2是常量 B．C是变量，2，，R是常量 C．R是变量，，C是常量 D．C，R是变量，2，是常量 【答案】D 【分析】本题考查的是变量和常量，在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量． 根据变量和常量的概念解答即可． 【详解】解：在半径是的圆的周长中，、是变量，2、是常量， 故选：D． 3．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的重量间有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（   ） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 【答案】B 【分析】由表中的数据进行分析发现：物体质量每增加，弹簧长度y增加；当不挂重物时，弹簧的长度为，然后逐个分析四个选项，得出正确答案． 本题考查了函数，能够根据所给的表格进行分析变量的值的变化情况，得出答案． 【详解】解：A、y随x的增加而增加，x是自变量，y是因变量，故选项正确； B、弹簧不挂重物时的长度为，故选项错误； C、物体质量每增加，弹簧长度y增加，故选项正确； D、由C知，，则当时，，即所挂物体质量为时，弹簧长度为，故选项正确； 故选：B 4．一个长方形的一条边长为，另一条边长为，它的面积为，则S与x之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数，由长方形的面积列出函数，即可求解；理解长方形的面积与边长之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故答案为：． 5．某冬季运动赛场为了准备即将到来的比赛，正着手进行既定规模的人工造雪作业．根据下表表示出每天造雪量（单位：）和造雪天数（单位：天）的关系 ． 每天造雪量 5000 5200 6500 … 造雪天数 52 50 40 … 【答案】或 【分析】本题主要考查函数的表达方式，从表格中的数据可以得出每天造雪量和造雪天数的乘积等于定值260000，故可得解． 【详解】解：从表格中的数据可以得出， 所以，每天造雪量（单位：）和造雪天数（单位：天）的关系是或， 故答案为：或． 6．已知等腰三角形的周长为，设腰长为，底边为，试写出与的函数表达式 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，解题的关键：运用方程的思想列出关系式，再根据三角形三边关系求得的取值范围即可． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为，设腰长为，底边为， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，即， ∴， ∴， ∴与的函数表达式为． 故答案为：． 7．已知三角形的三边长分别为，，，该三角形的周长为． (1)写出关于的函数解析式，并写出这个函数的定义域． (2)如果要求三角形的周长满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了三角形三边关系以及函数值求法等知识，根据三角形的三边关系得出是解题关键． （1）根据三角形周长公式得出与的函数关系式即可，再利用三角形三边关系得出的取值范围； （2）利用（1）中所求，代入不等式即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可得出：．   ∵， ∴． （2）解：∵三角形的周长满足， ∴ ∴． 8．心理学家发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用时间（单位：）之间有如下关系：（其中） 提出概念所用时间 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力 47.8 53.5 56.3 59.0 59.8 59.9 59.8 58.3 55.0 (1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？ (2)根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为几分钟时，学生的接受能力最强？ (3)从表中可知，当时间在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ 【答案】(1)反映了对概念的接受能力和提出概念所用时间两个变量之间的关系 (2)当提出概念所用时间为时，学生的接受能力最强 (3)当时，值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当时，值逐渐减小，学生的接受能力逐步降低． 【分析】本题主要考查了变量及变量之间的关系，理解题意，分析出表格中的数据变化规律，是解题的关键． （1）根据自变量与因变量的定义即可求解； （2）根据表格中时，y的值最大是59.9，即可求解； （3）根据表格中的数据即可求解． 【详解】（1）解：反映了对概念的接受能力和提出概念所用时间两个变量之间的关系． （2）解：当时，y的值最大是59.9， 答：提出概念所用时间为13分钟时，学生的接受能力最强． （3）解：由表中数据可知：当时，y值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强；当时，y值逐渐减小，学生的接受能力逐步减弱． 9．在烧开水时，水温达到就会沸腾（标准大气压下），下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的数据： 时间 0 2 4 6 8 10 12 14 … 水的温度 30 44 58 72 86 100 100 100 … (1)如表反映了哪两个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)水的温度是如何随着时间的变化而变化的？ (3)时间每增加，水的温度如何变化？ (4)为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水？ 【答案】(1)反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量 (2)水的温度随着时间的增加而增加，到时恒定 (3)时间每增加，水的温度增加，到时恒定 (4)为了节约能源，应在后停止烧水 【分析】本题主要考查了常量与变量，根据表格中数据分别分析得出是解题关键． （1）在函数中，给一个变量x一个值，另一个变量y就有对应的值，则x是自变量，y是因变量，据此即可判断； （2）根据表格中数据得出水的温度变化即可； （3）根据表格中数据得出水的温度变化即可； （4）根据表格中数据得出答案即可． 【详解】（1）解：反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量， 答：反映了水的温度与时间的关系，时间是自变量，水的温度是因变量； （2）解：水的温度随着时间的增加而增加，到时恒定， 答：水的温度随着时间的增加而增加，到时恒定； （3）解：时间每增加，水的温度增加，到时恒定， 答：时间每增加，水的温度增加，到时恒定 （4）解：为了节约能源，应在10分钟后停止烧水， 答：为了节约能源，应在10分钟后停止烧水． 10．如图， 在长方形中， ，点 是对角线 的中点．动点 从点出发，沿方向以的速度向点 匀速运动；同时动点从点出发，沿 方向以 的速度向点匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接 并延长交于点 ， 连接 并延长交 于点， 设运动时间为 ． 解答下列问题： (1) 的长为 ， 的长为 ； (2)当 为等腰直角三角形时，求的值； (3)设四边形 的面积为 求与之间的关系式． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式，全等三角形的判定和性质，求函数的解析式； （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据长方形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形到现在列方程即可得到结论； （3）根据长方形的性质得到，根据平行线的性质得到，证明，根据长方形的面积的面积的面积，即可得到结论． 【详解】（1）解： ，， 故答案为：，； （2）四边形是长方形， ， ， 点是对角线的中点， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ， ； （3）四边形是长方形， ， ， ，， ， 由（2）知，， 又∵ ， 同理， 长方形的面积的面积的面积 ， 即与之间的关系式为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$