精品解析：广东省东莞市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

2024－2025学年第一学期教学质量自查 八年级数学 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生务必保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一．选择题（每小题3分共30分） 1. 下列“数字”图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 三角形的三边长可以是（　　） A. 2，11，13 B. 5，12，7 C. 5，5，11 D. 5，12，13 3. 将分式中的的值同时扩大2倍，则分式的值（ ） A. 扩大2倍 B. 缩小到原来的 C. 保持不变 D. 无法确定 4. 已知一种植物种子的质量约为0.0000026千克，将数0.0000026用科学记数法表示为（　　） A. 2.6×10﹣6 B. 2.6×10﹣5 C. 26×10﹣8 D. 0.26×10﹣7 5. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（　　） A. 65° B. 65°或80° C. 50°或65° D. 40° 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知OA＝OB，OC＝OD，AD和BC相交于点E，则图中共有全等三角形的对数（　　） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 10. 如图，在平面直角坐标中，，，平分，点关于x轴的对称点是（ ）． A. B. C. D. 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 一个多边形的每个内角等于，则这个多边形的边数为_________条． 12. 因式分解：_______________________． 13. 等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长是 _______． 14. 若（x+2）（x﹣6）＝x2+px+q，则p+q＝_____． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB的角平分线CF交AB于点F，∠BAC的角平分线AE分别交CF和BC于点D、E，连接EF，过点D作AE的垂线分别交AB和CB的延长线于点P、H，连接EP，则下列结论①∠ADF＝45°；②AE＝DH+DP；③EP平分∠BEF；④S四边形ACEF＝2S△ACD，其中正确的序号是 ___． 三、解答题（一）（共3小题，每小题8分，共24分） 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，已知，，．求证：． 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的； （2）写出点，，的坐标； （3）求的面积． 20. 港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥，连接香港大屿山、澳门半岛和广东省珠海市，其中珠海站到香港站全长约55千米，2018年10月24日上午9时正式通车．一辆观光巴士自珠海站出发，25分钟后，一辆小汽车从同一地点出发，结果同时到达香港站．已知小汽车的速度是观光巴士的1.6倍，求观光巴士的速度． 21. 如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E． （1）若，求的度数； （2）过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． （3）若平分的周长，的周长为15，求的周长． 五、解答题（三）（共2小题，每小题12分，共24分） 22. 【知识技能】 已知：；； 填空：（1）①______；②______． 【数学理解】 若x满足，求的值． 解：设，， 则， ∴． 【解决问题】 （2）①若x满足，则______； ②若x满足，求的值； ③如图，已知正方形被分割成4个部分，其中四边形与为正方形，若，，四边形的面积为6，求正方形，的面积． 23. 【情境建模】 （1）我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”．小明尝试着逆向思考： 已知：如图1，点D在的边上，平分，且，求证：．请你帮助小明完成证明． 【理解内化】 （2）请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在中，平分，，，求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米，米，该绿化带中修建了健身步道、、、、，其中入口M、N分别在、上，步道、分别平分和，，．现要在区域修建公共设施，试求需要多少米的围挡才能将围成一圈？（步道宽度忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第一学期教学质量自查 八年级数学 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生务必保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一．选择题（每小题3分共30分） 1. 下列“数字”图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 是轴对称图形，故该选项不符合题意; B. 不是轴对称图形，故该选项符合题意; C. 是轴对称图形，故该选项不符合题意; D.是轴对称图形，故该选项不符合题意; 故选：B ． 2. 三角形的三边长可以是（　　） A. 2，11，13 B. 5，12，7 C. 5，5，11 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得出答案．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 【详解】A.2，11，13中，2+11＝13，不合题意； B.5，12，7中，5+7＝12，不合题意； C.5，5，11中，5+5＜11，不合题意； D.5，12，13中，5+12＞13，能组成三角形； 故选D． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 3. 将分式中的的值同时扩大2倍，则分式的值（ ） A. 扩大2倍 B. 缩小到原来的 C. 保持不变 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知得出，求出后判断即可． 【详解】解：将分式中的、的值同时扩大2倍为， 即分式的值扩大2倍， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的基本性质的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力． 4. 已知一种植物种子的质量约为0.0000026千克，将数0.0000026用科学记数法表示为（　　） A. 2.6×10﹣6 B. 2.6×10﹣5 C. 26×10﹣8 D. 0.26×10﹣7 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】0.000 0026＝2.6×10﹣6． 故选A． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 5. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，即可得到∠1=∠B，然后在三角形ABC中利用三角形内角和定理求出∠B即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由题意得：△ABC≌△FDE， ∴∠1=∠B， ∵∠A=52°，∠C=70°， ∴∠1=∠B=180°-∠A-∠C=58°， 故选C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质． 6. 等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（　　） A. 65° B. 65°或80° C. 50°或65° D. 40° 【答案】C 【解析】 【分析】已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还要用内角和定理去验证每种情况是不是都成立． 【详解】解：当50°是等腰三角形的顶角时，则底角为（180°﹣50°）×=65°； 当50°是底角时也可以． 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算（包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法），解题的关键是熟练掌握幂的各种运算法则，准确区分不同运算中指数的处理方式（相加、相乘、相减等）． 【详解】，而非故A错误． 而非，故B 错误． 故C正确． 而非故 D 错误． 故选：C． 8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则． 9. 如图，已知OA＝OB，OC＝OD，AD和BC相交于点E，则图中共有全等三角形的对数（　　） A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可证△AOD≌△BOC，可得∠A=∠B，则可证明△ACE≌△BDE，可得AE=BE，则可证明△AOE≌△BOE，可得∠COE=∠DOE，可证△COE≌△DOE，可求得答案． 【详解】解： 在△AOD和△BOC中 ∴△AOD≌△BOC（SAS）， ∴∠A=∠B， ∵OC=OD，OA=OB， ∴AC=BD， 在△ACE和△BDE中 ∴△ACE≌△BDE（AAS）， ∴AE=BE， 在△AOE和△BOE中 ∴△AOE≌△BOE（SAS）， ∴∠COE=∠DOE， 在△COE和△DOE中 ∴△COE≌△DOE（SAS）， 故全等的三角形有4对， 故选C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL． 10. 如图，在平面直角坐标中，，，平分，点关于x轴的对称点是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过B点作轴于点C，则，即，写出B点坐标，最后求出关于x轴的对称点的坐标． 【详解】解：如图，过B点作轴于点C ∵ ∴ ∵平分， ∴ 又∵ ∴ ∴ 即: 解得： ∴ ∴关于x轴的对称点是 故选C 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平面直角坐标系点的对称，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二．填空题（每题3分，共15分） 11. 一个多边形的每个内角等于，则这个多边形的边数为_________条． 【答案】12 【解析】 【详解】多边形内角和为180º（n-2）,则每个内角为180º（n-2）／n＝,n=12,所以应填12. 12. 因式分解：_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再用平方差公式分解． 【详解】解： 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键． 13. 等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长是 _______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分类讨论是解题的关键． 根据等腰三角形的性质分类讨论，分4cm为腰和底两种情况，再根据构成三角形的条件以及三角形周长公式计算即可．． 【详解】解：∵等腰三角形的两边分别是和， ∴应分为两种情况： ①当的边为腰时，这个三角形的三边分别为 ，和， ，不能构成三角形，故此情形不存在， ②当的边为底时，这个三角形的三边分别为，和， ，可以构成三角形, 周长为 故答案为：20． 14. 若（x+2）（x﹣6）＝x2+px+q，则p+q＝_____． 【答案】-16 【解析】 【分析】已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出p与q的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：（x+2）（x﹣6）＝x2﹣4x﹣12＝x2+px+q， 可得p＝﹣4，q＝﹣12， p+q＝﹣4﹣12＝﹣16． 故答案为：﹣16． 【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB的角平分线CF交AB于点F，∠BAC的角平分线AE分别交CF和BC于点D、E，连接EF，过点D作AE的垂线分别交AB和CB的延长线于点P、H，连接EP，则下列结论①∠ADF＝45°；②AE＝DH+DP；③EP平分∠BEF；④S四边形ACEF＝2S△ACD，其中正确的序号是 ___． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质及角平分线定义可判断①；根据ASA可得△ACD≌△HCD，得出AD=DH，然后根据△ADP≌△HDE，得出DE=DP，最后根据AE=DE+AD=DP+HD可判断②；根据△DEP为等腰三角形直角三角形，得出EP∥CF，再根据EF不一定平行AC，得出EP不一定平分∠BEF，只有当AB=BC时才平分可判断③；根据同底等高三角形的面积相等得出，最后利用全可判断④； 【详解】解：在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90°， ∴∠BAC+∠ABC=90°， ∵CF是∠ACB的角平分线，AE是∠BAC的角平分线， ∴∠CAE+∠ACF=(∠BAC+∠ABC)=45°， ∴∠ADF＝∠CAE+∠ACF=45°，故①正确； ∵∠ADF=∠CDE=45°， ∴∠ADC=180º-45º=135º， ∵DH⊥AE， ∴∠EDH=90º， ∴∠CDH=∠EDH+∠CDE=90°+45°=135°， ∴∠CDH=∠ADC， ∵CD=CD，∠ACD=∠BCD， ∴△ACD≌△HCD（ASA）， ∴AD=DH， ∵∠APD=∠HPB，∠ADP=∠PBH， ∴∠DAP=∠DHE， ∵∠ADP=∠HDE，AD=DH， ∴△ADP≌△HDE， ∴DE=DP， ∴AE=DE+AD=DP+HD，故②正确； 由②得△DEP为等腰三角形直角三角形， ∴∠DEP=45º=∠ADP， ∴EP∥CF， ∴∠PEB=∠FCB=∠DCE，∠DFE=∠FEP， ∵EF不一定平行AC， ∴∠ACD≠∠DFE+∠FCE， ∴∠FEP≠∠PEB， ∴EP不一定平分∠BEF，只有当AB=BC时才平分，故③错误； ∵EP∥CF， ∴(同底等高)， ∴ ∴， ∴， ∴，故④正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 三、解答题（一）（共3小题，每小题8分，共24分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，先计算平方差公式和除法，再合并同类项即可． 【详解】解： 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据分式的除法法则计算除法，再计算减法，把代入计算即可得到答案． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 18. 如图，已知，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．利用证明，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】证明：， ， 在与中， ， ， ． 四、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． （1）画出关于y轴对称的； （2）写出点，，的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2），， （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点关于轴的对称点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可； （3）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 解：，，； 【小问3详解】 解：． 20. 港珠澳大桥是世界最长的跨海大桥，连接香港大屿山、澳门半岛和广东省珠海市，其中珠海站到香港站全长约55千米，2018年10月24日上午9时正式通车．一辆观光巴士自珠海站出发，25分钟后，一辆小汽车从同一地点出发，结果同时到达香港站．已知小汽车的速度是观光巴士的1.6倍，求观光巴士的速度． 【答案】观光巴士的速度为49.5千米/小时． 【解析】 【分析】设观光巴士的速度为x千米/小时，则小汽车的速度为1.6x千米/小时，根据时间＝路程÷速度结合观光巴士比小汽车多用25分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论． 【详解】设观光巴士的速度为x千米/小时，则小汽车的速度为1.6x千米/小时， 根据题意得：﹣＝， 解得：x＝49.5， 经检验，x＝49.5是所列分式方程的解，且符合题意． 答：观光巴士的速度为49.5千米/小时． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 21. 如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E． （1）若，求的度数； （2）过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． （3）若平分的周长，的周长为15，求的周长． 【答案】（1） （2）见解析 （3）30 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识， （1）利用等腰三角形三线合一的性质即可得到，再利用等腰三角形的性质即可求出的度数，即可求解； （2）只要利用角平分线的定义和平行线的性质证明，即可解决问题； （3）根据的周长可得，利用平分的周长，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ∵， ∴， ，为的中点， ， ， ∴； 【小问2详解】 证明：平分， ， 又∵， ∴， ∴， ， 是等腰三角形； 【小问3详解】 解：的周长为15， ， ， ， 即， 平分的周长， ， 的周长． 五、解答题（三）（共2小题，每小题12分，共24分） 22. 【知识技能】 已知：；； 填空：（1）①______；②______． 【数学理解】 若x满足，求的值． 解：设，， 则， ∴． 【解决问题】 （2）①若x满足，则______； ②若x满足，求的值； ③如图，已知正方形被分割成4个部分，其中四边形与为正方形，若，，四边形的面积为6，求正方形，的面积． 【答案】（1）①，②；（2）①，②，③ 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景掌握完全平方公式的结构特征是正确解题的关键． （1）根据完全平方公式进行解答即可； （2）①设，，由题意得，，根据进行计算即可； ②设，，由题意得，，根据代入计算即可； ③设，，根据题意得，，，由，代入计算即可． 【详解】解：（1）①， ， 故答案为：； ②；； ， 故答案为：； （2）①设，， ，， ； ②设，， ，， ； ③由题意得，， 设，， ，，， ． 23. 【情境建模】 （1）我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”．小明尝试着逆向思考： 已知：如图1，点D在的边上，平分，且，求证：．请你帮助小明完成证明． 【理解内化】 （2）请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题：如图2，已知在中，平分，，，求证：． 【拓展应用】 （3）如图3，是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中，米，米，米，该绿化带中修建了健身步道、、、、，其中入口M、N分别在、上，步道、分别平分和，，．现要在区域修建公共设施，试求需要多少米的围挡才能将围成一圈？（步道宽度忽略不计） 【答案】（1）证明过程见详解； （2）证明过程见详解； （3）需要的围挡才能将围成一圈． 【解析】 【分析】（1）证出，则可得出结论； （2）延长交于点，证明，，，再由得到，故可求解； （3）延长交于点，延长交于点，由（1）可知，，，，，证明，得出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ，， ， ； （2）证明：如图2，延长交于点， 平分，， 由（1）可得，， ， ，，， ， ， ， ， ， 即； （3）解：延长交于点，延长交于点，如图3， 由（1）可知，，，，， ， ， ， 米， , 的周长 （米）． 答：需要40米的围挡才能将围成一圈． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $