精品解析：河南省许昌市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量检测数学试题

XCS2024-2025学年第一学期期末教学质量检测 高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知a，b是实数，则“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 已知角满足，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 设，，则（ ） A. B. C. D. 5. 角的终边与单位圆交于点，则的值为（ ） A B. C. D. 6. 假设在不考虑空气阻力的条件下，某型号火箭的最大速度v（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：）的函数关系是（k为大于0的常数）．已知当燃料质量是火箭质量的15倍时，火箭的最大速度，则当燃料质量是火箭质量的63倍时，火箭的最大速度（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的减函数，且对任意，恒成立，若，则的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数与有相同的对称轴，则的所有可能取值的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 与表示同一函数 C. 已知，则的最小值为5 D. 函数（，且）的图象过定点 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ） A. 的一个周期是 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数图象关于直线对称 D. 函数在区间上单调递增 11. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为 B. 若函数有3个不同零点，则实数a的取值范围为 C. 若函数有3个零点名，则的取值范围为 D. 对任意，函数在内无最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个扇形的圆心角是，弧长是，则扇形的面积为___________． 13. 若不等式对任意都成立，则实数m的取值范围为___________． 14. 已知且满足，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 化简求值． （1）； （2）已知，若，求值． 16. 已知函数为幂函数，且在上单调递增． （1）求的解析式； （2）若，求实数a取值范围． 17. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． （1）写出函数的解析式并求出的单调递增区间； （2）当时，求的最大值以及取得最大值时x的值． 18. 已知函数． （1）若，求的值域； （2）若为偶函数，求实数t的值； （3）在（2）条件下，若对使得恒成立，求实数m的取值范围． 19. 若的最大值为1． （1）求常数a的值； （2）若，且，求角； （3）在（2）的条件下，若关于x的方程在区间上有且仅有两个不同的实数根，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ XCS2024-2025学年第一学期期末教学质量检测 高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式得集合，再利用交集定义求交即得. 【详解】由可得，即， 因，故. 故选：B. 2. 已知a，b是实数，则“”成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分不必要条件的定义，结合不等式的性质逐项判断. 【详解】对于A，由，得，而不能推出，A是； 对于BC，取，满足，，而，BC不是； 对于D，，D不是. 故选：A. 3. 已知角满足，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角的三角函数关系式化弦为切，解正切方程即得. 【详解】由，解得：. 故选：C. 4. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数单调性求对数值的范围，利用分数指数幂的运算法则计算即可比较. 【详解】因，而，， 故. 故选：C. 5. 角的终边与单位圆交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式来化简所求式子，再根据已知点在单位圆上求出角的相关三角函数值，进而求出式子的值. 【详解】点的坐标为,根据三角函数定义可得，. 化简, 把，代入，可得. 故选：B. 6. 假设在不考虑空气阻力的条件下，某型号火箭的最大速度v（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：）的函数关系是（k为大于0的常数）．已知当燃料质量是火箭质量的15倍时，火箭的最大速度，则当燃料质量是火箭质量的63倍时，火箭的最大速度（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求出，再代入当燃料质量是火箭质量的63倍时的表达式可得答案.， 【详解】当燃料质量是火箭质量的15倍，火箭的最大速度时， 则，得， 则当燃料质量是火箭质量的63倍时， 火箭的最大速度. 故选：D. 7. 已知函数是定义在上的减函数，且对任意，恒成立，若，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抽象函数方程，通过赋值将化成，再利用函数的单调性求解即得. 【详解】由，，令，可得， 而， 则由可得， 因函数是定义在上的减函数，则有，解得. 故选：A. 8. 若函数与有相同的对称轴，则的所有可能取值的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的对称轴为，函数的对称轴为，根据两函数有相同的对称轴可得，判断的可能取值为，再逐一验证是否成立即可. 【详解】函数的对称轴为， 函数的对称轴为， 因为函数与有相同的对称轴， 则， 化为， 因为等式右边是奇数，所以不可能为偶数， 因为，所以的可能取值为， 当时，；当时，； 当时，； 综上，的所有可能取值的个数为3， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 与表示同一函数 C. 已知，则的最小值为5 D. 函数（，且）的图象过定点 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用含存在量词命题否定要求判断即可；对于B，判断两函数定义域不同即得；对于C，拼凑项后利用基本不等式求解即得；对于D，利用指数幂的运算性质易得. 【详解】对于A，因命题“”的否定是“，故A正确； 对于B，因函数的定义域为，而函数的定义域为，故B错误； 对于C，由可得，， 当且仅当时等号成立，此时的最小值为5，故C正确； 对于D，对于函数（，且），当时，，则， 即函数的图象经过定点，故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ） A. 的一个周期是 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在区间上单调递增 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合图形和题设条件，可依次求得，再根据选项内容逐一进行判断即得. 【详解】如图可知，，且函数经过两点，则得：， 由①得：，因，则得， 因为在增区间中，由② 可得，即， 因，则. 故. 对于A，因，故A正确； 对于B，因 ， 故函数的图象关于点对称，即B正确； 对于C，因， 故函数的图象关于直线对称，即C正确； 对于D，当时，， 因函数的图象在上递减，在递增，故D错误. 故选：ABC. 11. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为 B. 若函数有3个不同零点，则实数a的取值范围为 C. 若函数有3个零点名，则的取值范围为 D. 对任意，函数在内无最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，可判定A；令，结合指数函数与二次函数的性质，可判定B正确；得到，令，求得函数的单调性和最值，可判定C；当时，函数，根据二次函数的性质，和指数函数的单调性，列出不等式组，可判定D正确. 【详解】对于A中，由函数，要使得在上单调递增， 则，即，所以，所以A正确； 对于B中，令，当时，可得， 若函数有3个零点，则需有一个零点，则； 当时，可得，若函数有3个零点， 则需有两个不等的小于1的实根，则满足，解得， 所以若函数有3个零点，则的取值范围是，所以B正确. 对于C中，设函数的3个零点分别是， 则，可得， 令，则在上单调递减，所以， 即的取值范围是，所以C错误； 对于D中，当时，函数是开口向下的二次函数，对称轴是， 当时，函数在单调递减，在没有最小值，， 当时，函数单调递增，所以，因为，所以，所以在内无最小值； 当时，函数在单调递增，在单调递减，在没有最小值，， 当时，函数单调递增，所以，因为，所以，所以在内无最小值； 当时，函数在单调递增，在没有最小值，， 当时，函数单调递增，所以，因为，所以，所以在内无最小值，所以D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围 2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个扇形的圆心角是，弧长是，则扇形的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设扇形的半径为，利用扇形弧长公式求得，再求扇形面积即可. 【详解】设扇形的半径为，则由，可得， 则扇形的面积为. 故答案为：. 13. 若不等式对任意都成立，则实数m的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用参变分离法将不等式化成，只需求函数在上的最小值即得参数m的取值范围. 【详解】由不等式对任意都成立，可得不等式对任意都成立， 因，，则得， 故得，即实数m的取值范围为. 故答案：. 14. 已知且满足，则的最大值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先利用三角函数的两角差公式对展开，再结合同角三角函数的基本关系以及弦化切结合基本不等式即可求解. 【详解】因为， 则. 所以. 即. 则. 等式两边同时除以得.. 则，即. 所以. 设，因为，所以， 则. 因为，当且仅当，即时等号成立. 所以.则的最大值. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 化简求值． （1）； （2）已知，若，求的值． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】（1）根据指数幂运算及对数运算法则进行计算即可； （2）把条件平方后可得，再次平方即可求解. 【小问1详解】 【小问2详解】 由， 得， 即， 则， 因此，. 16. 已知函数为幂函数，且在上单调递增． （1）求的解析式； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性，可得不等式组，解之可得，即得函数解析式； （2）利用函数的奇偶性和单调性将抽象不等式化成一元二次不等式，解之即得. 小问1详解】 因函数为幂函数，且在上单调递增， 则解得，故； 【小问2详解】 因为函数为奇函数且在R上单调递增， 所以不等式可化为 所以，即 解得或， 故实数a的取值范围为. 17. 将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． （1）写出函数的解析式并求出的单调递增区间； （2）当时，求的最大值以及取得最大值时x的值． 【答案】（1）， （2），相应的x的值为 【解析】 【分析】（1）利用平移伸缩变换即得，将看成整体角，利用余弦函数的递增区间即可求得其递增区间； （2）由，可得，结合余弦函数的图象可得. 【小问1详解】 由图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得； 再将其图象向右平移个单位长度得到：. 令，解得 函数的单调递增区间为 【小问2详解】 令，由，可得， 由余弦函数的图象性质可知时，即时，， 此时相应的x的值为. 18. 已知函数． （1）若，求的值域； （2）若为偶函数，求实数t的值； （3）在（2）的条件下，若对使得恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得，结合二次函数及指数函数的性质求值域； （2）根据偶函数的性质得到，即可求出实数t的值； （3）结合基本不等式求出，依题意可得对使得恒成立，令，参数分离可得在恒成立，即可求出实数取值范围. 【小问1详解】 时，， 因为，因此，，即的值域是． 【小问2详解】 因为为偶函数，且的定义域为， 所以由得：， 整理得， 由可知，得． 小问3详解】 由题意可知：只需， 由（2）得：， 当且仅当时等号成立，因此，即， 因此在恒成立， 即在恒成立， 令，则， 因此在恒成立， 即在恒成立， 所以在恒成立， 只需， 显然函数在内单调递减， 因此，， 所以，即实数m的取值范围是． 19. 若的最大值为1． （1）求常数a的值； （2）若，且，求角； （3）在（2）的条件下，若关于x的方程在区间上有且仅有两个不同的实数根，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式以及辅助角公式化简函数解析式，根据函数的最大值为1列方程可求常数a的值； （2）根据求出，再结合角的范围即可求角的值； （3）由（2）知，原方程通过换元可得，则即或，再根据的范围即可求实数m的取值范围． 【小问1详解】 ， ， ， 【小问2详解】 因为， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 由（2）知，则方程在上两根． 令，则， ， ， 则原方程可化为，整理得 即或， 因关于x的方程有且仅有两根，且， ①当时，， 此时有两个根，无解，满足题意； ②当时，有1个根， 要使原方程有两个根，则有1个根， 则需，所以， 综上：m的取值范围为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$