5.3.2 函数的极值与最大（小）值（八个重难点突破）-2024-2025学年高二数学下学期重难点突破及易错点分析（人教A版2019）

5.3.2函数的极值与最大（小）值 一、（导）函数图象与极值 五、利用导数解决实际问题 二、求函数的极值（点） 六、根据函数的最值求参数 三、已知函数的极值（点）求参数 七、求含参函数的极值、最值 四、求不含参函数的最值 八、恒成立问题 知识点1极值点与极值 1.极值点与极值 （1）极小值点与极小值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，且,而且在点附近的左侧,右侧,就把叫做函数的极小值点,叫做函数的极小值. 2.极大值点与极大值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，且,而且在点附近的左侧,右侧就把叫做函数的极大值点,叫做函数的极大值. 3.极大值点、极小值点统称为极值点;极大值、极小值统称为极值. 注意：函数可以有多个极大值和极小值，例如：函数在上有无数多个极大值和极小值. 2.函数极值的求法 解方程,当时: （1）如果在附近的左侧;右侧,那么是极大值; （2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值 极值点与极值的区别：①函数的极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标,而不是点:极值是函数在极值点处取得的函数值,即函数取得极值时对应点的纵坐标. ②极值点一定在区间的内部端点不可能为极值点. 3.导数与极值的关系 一般来说,""是“函数在点处取得极值”的必要不充分条件.若可导函数在点处可导,且在点处取得极值,那么;后之若,则不一定是函数的极值点.函数在点处取得极值的充要条件是.且在左、右两侧的符号不同. 重难点一、（导）函数图象与极值 【例1】（多选）函数的导函数的图象如图所示，则（   ） A．为的极大值点 B．为的极小值点 C．为的极大值点 D．为的极小值点 【答案】AB 【详解】由图象可知，当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 且，，， 所以和是函数的极小值点，是函数的极大值点. 故选：AB． 【例2】（多选）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ） A．的单调递增区间是 B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 【答案】ABC 【详解】解：根据图象知当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减.故A、C正确； 当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确； 当时，取得是极大值，不是的极小值点，故D错误. 故选：ABC. 【变式1-1】已知定义在的函数，导函数在区间上的图象如图所示，则函数在区间上的极大值点的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】极大值点在导函数的零点处，且满足零点的左侧导函数符号为正，右侧为负，由导函数的图象可知极大值点共有2个， 故选：C 【变式1-2】定义在 上的函数的导数的大致图象如题图所示，则函数的单调增区间为 ，的极大值点为 ．    【答案】 2 【详解】根据导函数的图象可知，函数在 上时，导数， 函数在上时，导数， 所以的严格递增区间为，的严格递减区间为， 所以时，取得极大值， 所以的极大值点为． 故答案为：；2 【变式1-3】（多选）已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论不正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．当时，函数有极小值 D．当时，函数有极小值 【答案】ABD 【详解】由有， 由图可知的分布如图所示： 当时，，，，所以， 所以在单调递增，故A错误； 当时，，所以，即，在单调递减，故B错误； 当时，，所以，由图可知当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增，所以时的极小值点，故当时，函数有极小值，故C正确； 当时，，所以，由图可知当时，，所以，所以， 所以在单调递增，所以当时，函数有极大值，故D错误. 故选：ABD. 重难点二、求函数的极值（点） 【例3】函数的极大值为（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】D 【详解】解：， 令，则，令，则或， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极大值. 故选：D 【例4】写出函数的一个极值点 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】由题意，函数， 导函数， 令，则或， 所以或. 令，则可取，且在其左右两侧导函数变号. 故答案为：.（答案不唯一） 【变式2-1】求函数的极值． 【答案】的极大值为，无极小值 【详解】， 令，解得，所以的单调区间为： 1 + 0 - ↗ 极大值 ↘ 所以的极大值为，无极小值． 【变式2-2】（多选）下列函数中，存在极值点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于A，函数在上单调递增，在和上单调递增， 所以函数在和上单调递增，没有极值点； 对于B，函数为偶函数， 且当时单调递增， 所以当时，单调递减， 所以函数在处取得极小值； 对于C，易知函数在上单调递减，没有极值点； 对于D，函数，则， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得极小值. 故选：BD. 【变式2-3】函数的极值点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】当时，， 此时函数在上单调递减，在上单调递增，故此时函数有一个极小值点为2； 当时，，因恒成立，故函数在上单调递减， 结合函数在上单调递减，可知0不是函数的极值点. 综上，函数的极值点只有1个. 故选：B. 重难点三、已知函数的极值（点）求参数 【例5】已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在上无极值, 所以在上无变号零点，解得， 即实数的取值范围为. 故选：C. 【例6】函数在R上存在极大值的充分条件是：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】要使在R上存在极大值，只需有两个异号零点， 所以，即，记集合， 则在R上存在极大值的充分条件是的子集. 故选：A 【变式3-1】已知函数在处有极大值，则c的值为（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．-2 【答案】B 【详解】， 且函数在处有极大值， 故，即，解得或2． 当时，，令得，或， 令得，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极小值，不符合题意，应舍去； 当时，，令得或， 令得，， 故在上单调递增，在上单调递减， 满足在处取得极大值，满足要求. 故． 故选：B 【变式3-2】已知是函数的极值点，则（    ） A．8 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】由题设，则，可得， 此时且， 所以时，时， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 故是的极小值点，符合题意. 故. 故选：D 【变式3-3】写出“使得函数在区间上有唯一极值点”的整数的一个值 ． 【答案】（或） 【详解】由题意可转化为在区间有且只有一个变号零点， 在区间上单调递减，在内单调递增， 又知，故只需，解得， 所以的取值可以为或． 故答案为：（或） 知识点2函数的最大(小)值 1.最值的存在性：一般地,如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值. 最值与极值的区别：①函数的极值是函数在局部区间上函数值的比较；函数的最值是函数在整个区间上函数值的比较,即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者. ②函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个，极值只能在区间内取得，最值可以在区间端点处取得. 最值与极值的联系：如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线且只有一个极值点,那么该极值点就是最值点,这里区间可以是无穷区间 2.求函数在区间上的最值的步骤： ①在区间上的极值;②将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 重难点四、求不含参函数的最值 【例7】函数在上的最小值为 . 【答案】 【详解】由，得， ∵，∴， ∴在上单调递增， 所以. 故答案为：. 【例8】函数的值域是 ． 【答案】 【详解】由题意可得， 令，即，解得， 令，即，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 所以函数的值域是. 故答案为：. 【变式4-1】函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知函数，则， 令，则 ， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， ∴当时y取最大值， 故选：A. 【变式4-2】求下列函数的最值：. 【答案】，. 【详解】由题， 令或， 所以当时，；时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 又，，，. 所以，. 【变式4-3】函数在区间上的最大值． 【答案】 【详解】由， 所以， 当时，， 所以， 则在单调递减， 所以. 故答案为：. 重难点五、利用导数解决实际问题 【例9】已知一个母线长为2，底面半径为r的圆锥形密闭容器（容器壁厚度忽略不计），当能够被整体放入该容器的球的体积最大时，r的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，设圆锥的轴截面的内切圆的半径为R，即该圆锥的内切球的半径为R.根据等面积法可得 ，解得， 则， 设， 则，， 所以在上，单调递增，在上，单调递减， 所以当时，取得最大值， 即能够被整体放进该容器的球的体积最大时，. 故选：D. 【例10】在半径为的球中作一个圆柱，当圆柱的体积最大时，圆柱的底面圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示为轴截面，球的半径为， 设球心为，圆柱的高为，底面圆的半径为， 则，即，， 则圆柱的体积为， 则，令，得； 令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，此时. 故选：C. 【变式5-1】某制造商制造并出售球形瓶装的某饮料.已知瓶子的制造成本是 分，其中（单位：cm）是球形瓶子的半径.每出售1mL的饮料，制造商可获利0.25分，且制造商制作的球形瓶子的最大半径为6cm. (1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大，并求出最大利润为多少分？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小，并求出最小利润为多少分？ 【答案】(1)6，（分） (2)2，最小利润为（分） 【详解】（1）设每瓶饮料的利润为（分）， 由题可知 ， 则，由，可得，或（舍） 当时，；当时，， 故在上单调递减；在上单调递增 由上分析，当时，利润最大，， 故当时，利润最大，此时最大利润为（分） （2）由上分析，当时，利润最小，， 故当时，利润最小，此时利润为负值，最小利润为. 【变式5-2】某企业投资生产产品，经过市场调研，生产产品的固定成本为200万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，．每件产品的售价为100元． (1)写出利润关于产量的函数； (2)若生产的产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为多少万元？ 【答案】(1) (2)最大利润为1000万元 【详解】（1）由题意得，销售收入为100万元， 当产量不足50万件时，利润； 当产量不小于50万件时，利润． 所以利润； （2）①当时，， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，则； ②当时，， 当且仅当，即时取等号．又， 故当时，所获利润最大，最大值为1000万元． 所以，生产该产品能获得的最大利润为1000万元． 【变式5-3】某工厂生产某产品的固定成本为万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足万箱时，；当产量不小于万箱时，，若每箱产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部销售完. (1)求销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式； (2)当产量为多少万箱时，该厂在生产中所获得利润最大？ 【答案】(1) (2)当产量为80万箱时，所获利润最大 【详解】（1）由题意可知，销售收入为万元， 当产量不足万箱，即时， . 当产量不小于万箱，即时， . 综上可得. （2）设， 当时，， 则当时，当时， 可知在上单调递增，在上单调递减. 则， 当时，由基本不等式可知， 当且仅当，即时取等号. 又，所以当产量为万箱时，所获利润最大值为万元. 重难点六、根据函数的最值求参数 【例11】已知函数在处取得最小值，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】函数，求导得， 依题意，，解得， 当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此函数在处取得最小值， 所以，则. 故选：A 【例12】已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最大值为0，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，则，， 所以，所以切线方程为，即； （2）函数的定义域为，且， 当时，恒成立，所以函数在上单调递增，则无最大值，故舍去； 当时，令，解得，， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以在处取得极大值，即最大值，即， 所以， 即，即，所以. 【变式6-1】若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】函数的定义域为， 或（舍去）， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函数在内有最小值， 故，解得， 故答案为：. 【变式6-2】已知当时，函数取得最大值2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，因为当时，函数取得最大值2， 所以，即，解得， 所以，， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，符合题意， 所以. 故选：C. 【变式6-3】已知函数，其中为常数，为自然对数的底数． (1)当时，求的单调区间； (2)若在区间上的最大值为2，求的值． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【详解】（1）由题设的定义域为，且，则， 当时，当时， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由题设， 当，结合，易知， 所以在上单调递增，故无最大值，不符合； 当，且，则时，时， 所以在上递增，在上递减，则， 故，可得. 综上，. 重难点七、求含参函数的极值、最值 【例13】已知函数． (1)当时，求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，该函数的定义域为， 则，由得， 所以，函数的单调递减区间为. （2），其中， 当时，对任意的，，在上单调递增， 此时，； 当时，对任意的，，在上单调递减， 此时，； 当时，令，可得，列表如下： 减 极小值 增 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，. 综上所述，. 【例14】已知函数. (1)已知在点处的切线方程为，求实数，的值； (2)求函数在上的最大值. 【答案】(1)，. (2)答案见解析 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以， 又，所以， 综上所述，. （2）因为， （ⅰ）当时，恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以； （ⅱ）当时，由，解得或， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减； ①当时，即，所以函数在上单调递减， 所以； ②当时，即，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，则， 所以当时，，当时，， 当时，， 所以， 综上所述，当时，；当时，. 【变式7-1】已知函数，讨论的单调性，并求其极值． 【答案】答案见解析 【详解】的定义域为，， 令，解得， 所以当或时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，有极大值， 当时，有极小值. 【变式7-2】已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论在区间上的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，则，所以， 则在处的切线方程为，即， 所以当时，函数在处的切线方程为． （2）函数，则， 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 当时，函数在上单调递减，故函数的最小值； 当时，函数在上单调递增，故函数的最小值； 当时，函数的最小值． 综上可得. 【变式7-3】已知函数． (1)若是函数的极值点，求在处的切线方程． (2)若，求在区间上最大值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）， 又是函数的极值点， ∴，即 ∴， ∴， 在处的切线方程为，即， 所以在处的切线方程是 （2），令，得， ∴在单调递减，在单调递增 而， ①当，即时， ②当，即时， 综上，当时，； 当时， 重难点八、恒成立问题 【例15】已知函数． (1)时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的值. 【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，. 令，得；令，得， ∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由（1）知，函数的定义域为. 当时，在上单调递增， 又，∴当时，，不符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， . 由恒成立，得恒成立. 令，， 当时，；当时，， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，故恒成立， 因此，所以. 【例16】已知不等式恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由不等式恒成立，可得对恒成立， 所以， 令，求导得， 当时，，所以在上为减函数， 当时，，所以在上为增函数， 所以，所以. 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式8-1】已知函数． (1)求函数的极值； (2)若对都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)极大值；极小值 (2) 【详解】（1）由，得.         令得或. 当变化时，在各区间上的正负，以及的单调性如下表所示： ＋ 0 － 0 ＋ ↗ 极大 ↘ 极小 ↗ 所以当时取极大值；当时取极小值. （2）由（1）可得函数在上单调递减，在上单调递增， 则在上的最小值为. 对都有恒成立，所以. 【变式8-2】设不等式；在时恒成立．则实数的最大值为 ． 【答案】 【详解】因为，由，得：恒成立，即. 记，则， 由得：；由得：. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取到最小值，且. 所以. 故答案为： 【变式8-3】设函数，若恒成立，求a的取值范围 . 【答案】 【详解】， 由题意恒成立，则， ①当时，令，得； 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得 ②当时，存在，不满足题意， 综上，实数a的取值范围是. 故答案为：. 一、单选题 1．已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是的极大值点 C．当时， D．在区间上单调递减 【答案】C 【详解】解：由导函数的图象可知：导函数在，导函数的符号为正，函数单调递增，A正确； 时，，函数单调递增，，，函数单调递减， 所以是的极大值点，B正确； 在区间上单调递减，D正确； 当时，函数单调递增，可能，所以C不正确； 故选：C． 2．已知函数的两个极值点分别为和2，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【详解】由， 可知， 函数的两个极值点分别为和， 和2是的零点， 故和2是的两个实数根， ，， ． . 故选：B． 3．将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒．若要使方盒的容积最大，则边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，折成无盖盒子的底面是边长为的正方形，高为，则， 由得，， 令，解得，令，解得，故在单调递增，在单调递减，且在处取得最大值，B正确； 故选：B． 4．已知函数，当时，有极大值．则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【详解】由题意得， 因为时，有极大值， 所以，解得，， 经检验，当，时，, 故当在上单调递减， 当在上单调递减， 故在时有极大值，符合题意，所以成立． 故选：B． 5．若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在区间上单调递增， 所以，即在上恒成立， 令且，则，即在上单调递增， 所以，故. 故选：C 6．已知函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，与有三个交点， 由，在上，在上单调递增， 在上，在上单调递减， 当趋向时趋向于0，趋向时趋向于，且，， 所以，，即. 故选：C 二、多选题 7．（多选）设，函数，则下列说法正确的有（   ） A．当时，函数为增函数 B．点为函数图象的对称中心 C．存在a，使得函数有且仅有一个极值点 D．函数至少有一个零点 【答案】BD 【详解】由题意，，， 因为对，有， 所以点为函数图象的对称中心，故B正确； 函数的导函数，， ①当时，恒成立，此时函数是上的减函数， 则函数没有极值点，又，， 所以由零点存在性定理可知，此时函数有一个零点； ②当时，，则方程有唯一解， 当时，，当时，，所以函数是上的减函数， 则函数没有极值点，又，， 所以由零点存在性定理可知，此时函数有一个零点； ③当时，由，得，即， 因为，所以方程有两个不相等的根，不妨设，， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 此时，函数有两个极值点， 又时，，时，， 所以由零点存在性定理可知，此时函数至少有一个零点； 综上所述，当时，函数为减函数，故A错误， 当时，函数没有极值点，且有一个零点，当时，函数有两个极值点，且至少有一个零点，故C错误，D正确； 故选：BD. 8．（多选）设函数，则（    ） A．有三个零点 B．是的极小值点 C．的图象关于点中心对称 D．当时， 【答案】BC 【详解】对于A，令，解得或，所以有两个零点，故A 选项错误； 对于B，由， 令，解得或， 当或时，，即在和上单调递增， 当时，，即在单调递减， 所以是的极小值点，故B选项正确； 对于C，因为，则的图象关于点中心对称，故C选项正确； 对于D，当时，单调递减，则当时，单调递减， 又当时，，所以，故D选项错误； 故选：BC. 三、填空题 9．已知函数在处取得极大值，则实数的值是 . 【答案】3 【详解】由得， 因为函数在处取得极大值， 所以是方程的根，因此或，即或； ①若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极小值，不符合题意； ②若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极大值，符合题意； 故答案为：3 10．已知函数在上存在极值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，，无极值点；当时，由，得， 当时，，当时，，则是函数的极值点， 依题意，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 11．已知为函数图象上的任意一点，则的最大值为 . 【答案】 【详解】由题意可得，所以， 记，则， 令，则，解得或， 令，则，解得， 故在单调递增，在单调递减， 故， 由于，所以最大值为， 故答案为： 四、解答题 12．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程; (2)求函数在上的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为． 【详解】（1）函数的导数为， 可得曲线在点处的切线的斜率为， 则曲线在点处的切线方程为． （2）令，得， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 因此为的极小值点，也是最小值点， 又，，， 所以在上的最小值为，最大值为． 13．已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数有两个零点，求实数的值． 【答案】(1)和 (2) 【详解】（1）因为， 所以， 令，则或， 所以的单调递增区间为和. （2）由（1）得的单调递增区间为和. 令可得，的单调递减区间为， 当时，取得极大值； 当时，取得极小值. 所以若有两个零点，则或， 解得. 所以. 14．已知函数. (1)若的图象在点处的切线方程为，求与的值； (2)若，证明：当时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为，所以， 所以. 因为切线方程为，所以 解得，所以. （2）证明：若，则，令， 则， 令，得，易知在上单调递增，在和上单调递减. 因为，所以在上的最大值为6. 因为，所以在上的最小值为0， 所以当时，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3.2函数的极值与最大（小）值 一、（导）函数图象与极值 五、利用导数解决实际问题 二、求函数的极值（点） 六、根据函数的最值求参数 三、已知函数的极值（点）求参数 七、求含参函数的极值、最值 四、求不含参函数的最值 八、恒成立问题 知识点1极值点与极值 1.极值点与极值 （1）极小值点与极小值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，且,而且在点附近的左侧,右侧,就把叫做函数的极小值点,叫做函数的极小值. 2.极大值点与极大值 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，且,而且在点附近的左侧,右侧就把叫做函数的极大值点,叫做函数的极大值. 3.极大值点、极小值点统称为极值点;极大值、极小值统称为极值. 注意：函数可以有多个极大值和极小值，例如：函数在上有无数多个极大值和极小值. 2.函数极值的求法 解方程,当时: （1）如果在附近的左侧;右侧,那么是极大值; （2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值 极值点与极值的区别：①函数的极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标,而不是点:极值是函数在极值点处取得的函数值,即函数取得极值时对应点的纵坐标. ②极值点一定在区间的内部端点不可能为极值点. 3.导数与极值的关系 一般来说,""是“函数在点处取得极值”的必要不充分条件.若可导函数在点处可导,且在点处取得极值,那么;后之若,则不一定是函数的极值点.函数在点处取得极值的充要条件是.且在左、右两侧的符号不同. 重难点一、（导）函数图象与极值 【例1】（多选）函数的导函数的图象如图所示，则（   ） A．为的极大值点 B．为的极小值点 C．为的极大值点 D．为的极小值点 【例2】（多选）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ） A．的单调递增区间是 B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 【变式1-1】已知定义在的函数，导函数在区间上的图象如图所示，则函数在区间上的极大值点的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-2】定义在 上的函数的导数的大致图象如题图所示，则函数的单调增区间为 ，的极大值点为 ．    【变式1-3】（多选）已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论不正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．当时，函数有极小值 D．当时，函数有极小值 重难点二、求函数的极值（点） 【例3】函数的极大值为（    ） A． B．0 C．1 D．4 【例4】写出函数的一个极值点 . 【变式2-1】求函数的极值． 【变式2-2】（多选）下列函数中，存在极值点的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】函数的极值点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 重难点三、已知函数的极值（点）求参数 【例5】已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例6】函数在R上存在极大值的充分条件是：（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知函数在处有极大值，则c的值为（    ） A．2 B．6 C．2或6 D．-2 【变式3-2】已知是函数的极值点，则（    ） A．8 B．4 C． D． 【变式3-3】写出“使得函数在区间上有唯一极值点”的整数的一个值 ． 知识点2函数的最大(小)值 1.最值的存在性：一般地,如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值. 最值与极值的区别：①函数的极值是函数在局部区间上函数值的比较；函数的最值是函数在整个区间上函数值的比较,即最大(小)值必须是整个区间上所有函数值的最大(小)者. ②函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个，极值只能在区间内取得，最值可以在区间端点处取得. 最值与极值的联系：如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线且只有一个极值点,那么该极值点就是最值点,这里区间可以是无穷区间 2.求函数在区间上的最值的步骤： ①在区间上的极值;②将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 重难点四、求不含参函数的最值 【例7】函数在上的最小值为 . 【例8】函数的值域是 ． 【变式4-1】函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】求下列函数的最值：. 【变式4-3】函数在区间上的最大值． 重难点五、利用导数解决实际问题 【例9】已知一个母线长为2，底面半径为r的圆锥形密闭容器（容器壁厚度忽略不计），当能够被整体放入该容器的球的体积最大时，r的值为（    ） A． B． C． D． 【例10】在半径为的球中作一个圆柱，当圆柱的体积最大时，圆柱的底面圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】某制造商制造并出售球形瓶装的某饮料.已知瓶子的制造成本是 分，其中（单位：cm）是球形瓶子的半径.每出售1mL的饮料，制造商可获利0.25分，且制造商制作的球形瓶子的最大半径为6cm. (1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大，并求出最大利润为多少分？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小，并求出最小利润为多少分？ 【变式5-2】某企业投资生产产品，经过市场调研，生产产品的固定成本为200万元，每生产万件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于50万件时，．每件产品的售价为100元． (1)写出利润关于产量的函数； (2)若生产的产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为多少万元？ 【变式5-3】某工厂生产某产品的固定成本为万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足万箱时，；当产量不小于万箱时，，若每箱产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部销售完. (1)求销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式； (2)当产量为多少万箱时，该厂在生产中所获得利润最大？ 重难点六、根据函数的最值求参数 【例11】已知函数在处取得最小值，则（    ） A． B．1 C． D． 【例12】已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最大值为0，求实数的值. 【变式6-1】若函数在内有最小值，则实数的取值范围是 . 【变式6-2】已知当时，函数取得最大值2，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知函数，其中为常数，为自然对数的底数． (1)当时，求的单调区间； (2)若在区间上的最大值为2，求的值． 重难点七、求含参函数的极值、最值 【例13】已知函数． (1)当时，求函数的单调递减区间； (2)求函数在上的最小值． 【例14】已知函数. (1)已知在点处的切线方程为，求实数，的值； (2)求函数在上的最大值. 【变式7-1】已知函数，讨论的单调性，并求其极值． 【变式7-2】已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论在区间上的最小值. 【变式7-3】已知函数． (1)若是函数的极值点，求在处的切线方程． (2)若，求在区间上最大值． 重难点八、恒成立问题 【例15】已知函数． (1)时，求函数的单调区间； (2)若恒成立，求的值. 【例16】已知不等式恒成立，则的取值范围是 . 【变式8-1】已知函数． (1)求函数的极值； (2)若对都有恒成立，求实数的取值范围． 【变式8-2】设不等式；在时恒成立．则实数的最大值为 ． 【变式8-3】设函数，若恒成立，求a的取值范围 . 一、单选题 1．已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是的极大值点 C．当时， D．在区间上单调递减 2．已知函数的两个极值点分别为和2，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 3．将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒．若要使方盒的容积最大，则边长为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，当时，有极大值．则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 5．若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（多选）设，函数，则下列说法正确的有（   ） A．当时，函数为增函数 B．点为函数图象的对称中心 C．存在a，使得函数有且仅有一个极值点 D．函数至少有一个零点 8．（多选）设函数，则（    ） A．有三个零点 B．是的极小值点 C．的图象关于点中心对称 D．当时， 三、填空题 9．已知函数在处取得极大值，则实数的值是 . 10．已知函数在上存在极值，则实数的取值范围是 ． 11．已知为函数图象上的任意一点，则的最大值为 . 四、解答题 12．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程; (2)求函数在上的最大值与最小值． 13．已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数有两个零点，求实数的值． 14．已知函数. (1)若的图象在点处的切线方程为，求与的值； (2)若，证明：当时，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$