专题3 培优点6 带电粒子在立体空间的运动-【步步高】2024年高考物理大二轮专题复习与增分策略（新高考，苏京）

培优点6　带电粒子在立体空间的运动 带电粒子在立体空间中的组合场、叠加场的运动问题，通过受力分析、运动分析，转换视图角度等方法，充分利用分解的思想，分解为直线运动、圆周运动、类平抛运动，再利用每种运动对应的规律进行求解。 粒子在立体空间常见运动及解题策略 运动类型 解题策略 在三维坐标系中运动，每个轴方向上都是常见运动模型 将粒子的运动分解为三个方向的运动 一维加一面，如旋进运动 旋进运动将粒子的运动分解为一个轴方向上的匀速直线运动或匀变速直线运动和垂直该轴的所在面内的圆周运动 运动所在平面切换，粒子进入下一区域偏转后曲线不在原来的平面内 把粒子运动所在的面隔离出来，转换视图角度，把立体图转化为平面图，分析粒子在每个面的运动 例1　如图，在空间直角坐标系O－xyz中，界面Ⅰ与Oyz平面重叠，界面Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ相互平行，且相邻界面的间距均为L，与x轴的交点分别为O、O1、O2；在界面Ⅰ、Ⅱ间有沿y轴负方向的匀强电场，在界面Ⅱ、Ⅲ间有沿z轴正方向的匀强磁场。一质量为m、电荷量为＋q的粒子，从y轴上距O点处的P点，以速度v0沿x轴正方向射入电场区域，该粒子刚好从点O1进入磁场区域。粒子重力不计。求： (1)电场强度E的大小； (2)要让粒子刚好不从界面Ⅲ飞出，磁感应强度B应多大。 答案　(1)　(2) 解析　(1)粒子在电场区域做类平抛运动，设电场中粒子加速度为a，沿z轴正方向看，如图所示 粒子从O1点进入右边磁场，则 L＝v0t ＝at2 qE＝ma 联立方程解得E＝ (2)设粒子到O1点时的速度为v，与x轴正方向夹角为θ，如图所示，则 vy＝at，v＝ tan θ＝ 故tan θ＝1 即有θ＝45°，v＝v0 在磁场区域，粒子做匀速圆周运动，粒子刚好不从界面Ⅲ飞出，如图所示，则qvB＝m 又根据几何关系R＋Rcos 45°＝L 解得B＝。 例2　(2023·江苏盐城市高级实验中学三模)真空中的立方体区域棱长为L，按如图方式建立空间直角坐标系，底面中心处有一点状放射源S，仅在abcO所在平面内向各个方向均匀发射带正电粒子，粒子的速度大小均为v，电荷量为q，质量为m。abfe面放有一个接收屏，用以接收粒子。现给立方体内施加竖直向上的匀强磁场，使接收屏上恰好没有收到任何粒子。 (1)求匀强磁场的磁感应强度B的大小； (2)现在正方体内再加竖直向上的匀强电场，要使所有从S发出的粒子刚好都能从上表面中心P离开，求出所有满足条件的电场强度E的大小； (3)若电场强度E的大小取第(2)问中的最大值，现让abfe屏向左沿z轴负方向平移(图中未画出)，求打在abfe屏上的粒子中x坐标最大值和最小值对应点的坐标(x，y，z)。 答案　(1)　(2)(n＝1,2,3，…) (3)(L，L，L)　(L，L，L) 解析　(1)所有粒子恰好被束缚在正方形abcO区域内，由几何关系得r＝，粒子在磁场中做匀速圆周运动qvB＝m，解得B＝ (2)粒子做圆周运动的周期T＝＝，要使所有粒子刚好都能从上表面中心P离开，所用时间一定为周期的整数倍，在竖直方向上由运动学规律得L＝·(nT)2，解得E＝(n＝1,2,3，…) (3)粒子运动的俯视图如图所示， 由图可知，当打在屏上的位置P1与S的连线SP1为粒子轨迹的直径时，射出粒子的横坐标为最大值，此时横坐标为x1＝L，粒子运动的时间为t1＝T， 此时对应的纵坐标为y1＝t12， 解得y1＝， 故坐标为(L，L，L)。 由图所示，当粒子运动轨迹恰与abfe面相切时，射出粒子的横坐标为最小值，此时横坐标为x2＝，此时粒子运动的时间为t2＝T， 此时对应的纵坐标为y2＝·t22， 解得y2＝L， 故坐标为(L，L，L)。 专题强化练 1．(2023·江苏省前黄高级中学二模)用图甲所示的洛伦兹力演示仪演示带电粒子在匀强磁场中的运动时发现，有时玻璃泡中的电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状。现将这一现象简化成如图乙所示的情景来讨论：在空间存在平行于x轴的匀强磁场，由坐标原点在xOy平面内以初速度v0沿与x轴正方向成α角的方向射入磁场的电子运动轨迹为螺旋线，其轴线平行于x轴，直径为D，螺距为Δx，则下列说法中正确的是(　　) A．匀强磁场的方向为沿x轴负方向 B．若仅增大匀强磁场的磁感应强度，则直径D减小，而螺距Δx不变 C．若仅增大电子入射的初速度v0，则直径D增大，而螺距Δx将减小 D．若仅增大α角(α<90°)，则直径D增大，而螺距Δx将减小，且当α＝90°时“轨迹”为闭合的整圆 答案　D 解析　将电子的初速度沿x轴及y轴方向分解，沿x方向速度与磁场方向平行，做匀速直线运动且x＝v0cos α·t，沿y轴方向，速度与磁场方向垂直，洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，由左手定则可知，磁场方向沿x轴正方向，故A错误；根据evB＝m，T＝，且v＝v0sin α，解得D＝2R＝，T＝，所以Δx＝vxT＝，所以，若仅增大磁感应强度B，则D、Δx均减小，故B错误；若仅增大v0，则D、Δx皆按比例增大，故C错误；若仅增大α，则D增大，而Δx减小，且α＝90°时Δx＝0，故D正确。 2.如图所示，在三维坐标系O－xyz中存在一长方体ABCD－abOd，yOz平面左侧存在沿z轴负方向、磁感应强度大小为B1(未知)的匀强磁场，右侧存在沿BO方向、磁感应强度大小为B2(未知)的匀强磁场(未画出)。现有一带正电粒子以初速度v从A点沿平面ABCD进入磁场，经C点垂直yOz平面进入右侧磁场，此时撤去yOz平面左侧的磁场B1，换上电场强度为E(未知)的匀强电场，电场强度的方向竖直向上，最终粒子恰好打在Aa棱上。已知AB＝2L、Aa＝AD＝L，B2＝5B1，粒子的电荷量为q，质量为m(重力不计)。求： (1)磁感应强度B1的大小； (2)粒子第二次经过yOz平面的坐标； (3)电场强度E的大小。 答案　(1)　(2)(0，，)　(3) 解析　(1)带电粒子在yOz平面左侧磁场中做圆周运动，由几何关系得 R2＝(2L)2＋(R－L)2 解得R＝L 由牛顿第二定律可得qvB1＝m 解得B1＝ (2)在右侧磁场中由牛顿第二定律得 qvB2＝m，又B2＝5B1， 解得r＝L y＝2rsin 45°＝ z＝L－2rcos 45°＝ 即粒子第二次经过yOz平面的坐标为(0，，)。 (3)粒子在电场中做类平抛运动，x轴方向上 2L＝vt y轴方向上L－y＝t2， 解得E＝。 3．如图甲是医用肿瘤化疗装置，其原理如图乙所示，利用在O点沿y轴正方向射出的高能质子束对肿瘤病灶精准打击从而杀死癌细胞。实际中，质子束的运动方向并不是严格沿y轴而是与y轴有一个很小的偏角，呈发散状。为此加一个方向沿y轴正向，磁感应强度大小为B的匀强磁场，使得质子参与两种运动，沿y轴方向的直线运动和在垂直y轴的平面内的圆周运动。为研究方便，用垂直y轴足够大的显示屏表示病人，癌细胞位于屏上，从O点射出的质子速度为v，质量为m，电荷量为q，所有质子与y轴正方向偏差角均为θ，不考虑质子重力和空气阻力。 (1)质子在y轴方向的分运动速度大小是否变化，请简述理由； (2)当显示屏离O点距离为多大时，所有的质子会重新会聚于一点？ (3)移动显示屏，屏上出现一亮环，当屏到O点的距离为L＝时，亮环半径多大？在移动显示屏过程中，最大亮环的面积是多少？ 答案　(1)见解析　(2)(n＝1,2,3…)　(3)　 解析　(1)速度大小不变，y轴方向与磁场平行，y轴方向受力为0。 (2)y轴方向L＝vcos θ·t 质子做圆周运动，有Bqvsin θ＝ 又T＝ 解得T＝ 当t＝nT(n＝1,2,3…)时，所有质子会聚一点，可得L＝(n＝1,2,3…) (3)当L＝时， 可得t1＝ 又r＝ 如图α＝，r′＝＝r 解得r′＝ 当α＝π，r′＝2r，圆环面积最大，易知最大面积为S＝πr′2＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$