精品解析：上海市长宁区2024—2025学年上学期九年级数学教学质量调研试卷

2024学年第一学期初三数学教学质量调研试卷 （考试时间：100分钟 满分：150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】 1. 如果将一个的三边长都扩大为原来的3倍，那么新三角形的面积（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 扩大为原来的9倍 C. 没有变化 D. 无法确定 2. 在直角坐标平面内有一点，那么射线与轴正半轴的夹角的正弦值等于（） A. B. C. D. 3. 如果两个非零向量、方向相反，且，那么下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数的图象上有两点、，如果，那么、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 二次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 在四边形中，对角线与交于点，下列说法正确的是（） A. 如果，那么 B 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 如果，那么 _________ 8. 已知线段，，线段是线段、比例中项，那么线段的长是________． 9. 计算：________． 10. 已知抛物线的开口向下，那么的取值范围是________． 11. 如果两个相似三角形的对应中线之比为，那么它们的对应高之比为________． 12. 已知点、分别在的边、上，如果，那么的值为________时，． 13. 如图，，如果，，，那么的长是________． 14. 如图，点A位于点的北偏西方向，点位于点的东北方向，线段为一条东西向的公路的一部分，如果点到公路的距离是米，那么公路的长为________． 15. 已知在中，，，那么的正弦值等于________． 16. 如图，已知在中，高、相交于点，，，那么长为________． 17. 如图，在矩形中，，．点在边上，连接，将沿着翻折，点的对应点是点，连接．如果，那么点到的距离为________． 18. 如图，在一副三角尺中，，，，，分别过点、点画、交边、边于点、点，如果分割得到的两个三角形与分割得到的两个三角形分别相似，那么的值为________． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】 19. 计算：． 20. 如图，已知中，中线、交于点，交于点． （1）如果，求和的长； （2）如果，，那么________．（用含向量、的式子表示） 21. 如果一个锐角的正弦值等于黄金分割数，那么我们称这个角叫做黄金角．如图，在中，，是黄金角，点在边上，且，连接． （1）找出图中相等的线段并说明理由； （2）如果，求的长． 22. 如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点A处，让无人机飞到点处，与底板平行，测得米，此时在点处又测得坡道上的点的俯角为．接着让无人机飞到点处，，与底板平行，测得米． （1）求坡道的坡度； （2）已知地面、地下车库的顶板都与底板平行且它们到底板的距离相等，无人机从点飞到点处，，测得米，此时在点处测得点的俯角为，在不考虑其他因素的前提下，有一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库？请说明理由． （参考数据：，，） 23. 如图，中，点、分别在边、上，连接、交于点，，． （1）求证：； （2）如果点是边的中点，求证：． 24. 如图，在直角坐标平面内，以点为顶点的抛物线经过点，且与轴交于点，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）平移上述抛物线，所得的新抛物线的对称轴为直线，顶点为点． ①联结，如果点在轴上且新抛物线与线段有公共点，求的取值范围； ②设新抛物线与直线交于点，如果点在原抛物线上，且在直线的右侧，，求点的坐标． 25. 已知在中，，点、、分别在边、、上，且，连接． （1）如图1，如果，，求的余切值： （2）如图2，连接交于点，如果，求的值； （3）如果，，，与相似，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期初三数学教学质量调研试卷 （考试时间：100分钟 满分：150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】 1. 如果将一个的三边长都扩大为原来的3倍，那么新三角形的面积（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 扩大为原来的9倍 C. 没有变化 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，理解题意，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可得，可证，得到，由此即可求解． 【详解】解：的边长为，将的三边长都扩大为原来的3倍，假设为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴扩大为原来9倍， 故选：B ． 2. 在直角坐标平面内有一点，那么射线与轴正半轴的夹角的正弦值等于（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查直角三角形的边角关系、勾股定理，通过作辅助线构造直角三角形是解决问题的关键．构造直角三角形，由坐标得出线段的长，再根据勾股定理求出斜边的长，根据余弦的意义求出结果即可． 【详解】解：过点作轴，垂足为， 在中，由题意得：， ， ，， ， ， 故选：A． 3. 如果两个非零向量、方向相反，且，那么下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查向量的相关概念、向量的性质等知识点，掌握向量的概念是解题的关键． 根据向量的概念及性质判断即可． 【详解】解：∵两个非零向量、方向相反，且， ∴，即．则D选项正确． 故选D． 4. 已知二次函数的图象上有两点、，如果，那么、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了把化成顶点式，的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先将二次函数化成顶点式，得出其对称轴和函数图象开口方向，然后利用二次函数的增减性即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴对称轴为直线，且二次函数的图象开口向下， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴， 故选：A． 5. 二次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质．求出抛物线的图象和轴的交点坐标和顶点坐标，再根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：， ∵， ∴开口向上， ∵对称轴为直线， ∴对称轴直线为原点的右边， 当时，， ∴抛物线与轴的交点在原点的上方， ∴抛物线的图象过第一、二、四象限，不过第三象限． 故选：C． 6. 在四边形中，对角线与交于点，下列说法正确的是（） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据相似三角形的判定和性质判断即可． 【详解】解：A．， ， 则不能得到，故不符合题意； B．， ， ， ， 不能得到，故不符合题意； C．， ， ， ， ， ，故不符合题意； D．， ， ， ， ， ，故符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 如果，那么 _________ 【答案】 【解析】 【分析】由题可得：将此代入要求的代数式约分化简即可 【详解】， 所以答案为. 【点睛】本题主要考查了比例化简求值，掌握相关概念方法是解题关键 8. 已知线段，，线段是线段、的比例中项，那么线段的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例中项的定义，解题的关键是掌握比例中项的定义：如果、，三个量成连比例，即，叫做和的比例中项．（内项要相等时才称为比例中项），比例中项又称“等比中项”或“几何中项”，即可． 【详解】解：∵线段，，线段是线段、的比例中项， ∴， ∴，（舍）， ∴线段的值为． 故答案为：． 9. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查向量加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 先去括号，然后根据向量加减法进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 10. 已知抛物线的开口向下，那么的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象，根据题意，抛物线的开口向下，可得，求出，即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， 解得：． 故答案为：． 11. 如果两个相似三角形的对应中线之比为，那么它们的对应高之比为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角平分线的比、对应中线比、对应高线比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应中线之比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴它们的对应高之比为， 故答案为：． 12. 已知点、分别在的边、上，如果，那么的值为________时，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定和性质、平行线的判定解答即可． 【详解】解：当，， ， ， 若，可推导出， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，，如果，，，那么的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：， ， ，，， ， 解得：， ． 故答案为：． 14. 如图，点A位于点的北偏西方向，点位于点的东北方向，线段为一条东西向的公路的一部分，如果点到公路的距离是米，那么公路的长为________． 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，从实际问题中抽象出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解是解题的关键． 如图：过点C作于点D，由题意得，，在和中解直角三角形即可解答． 【详解】解：如图：过点C作于点D， 由题意得：米，， 在中，米， 在中，米， ∴，即公路的长为米． 故答案为：米． 15. 已知在中，，，那么的正弦值等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正弦的定义，等腰三角形的性质等知识，过点A作于点H，过点C作于点K．根据等腰三角形的性质和勾股定理得出，再根据等面积法求出，再根据三角形正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图，过点A作于点H，过点C作于点K． ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为∶． 16. 如图，已知在中，高、相交于点，，，那么的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题重点考查同角的余角相等、勾股定理、解直角三角形等知识，正确运用勾股定理、解直角三角形是解题的关键． 根据同角的余角相等得到，由解直角三角形的知识得出和的长，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：在中，高、相交于点， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 17. 如图，在矩形中，，．点在边上，连接，将沿着翻折，点的对应点是点，连接．如果，那么点到的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题），掌握折叠的性质是解题的关键．根据题意画出图形，根据，，得出，再通过相等的角的三角函数值相等，即可求出结果． 【详解】解：过点作于点， 四边形矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18. 如图，在一副三角尺中，，，，，分别过点、点画、交边、边于点、点，如果分割得到的两个三角形与分割得到的两个三角形分别相似，那么的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的是三角函数的应用，相似三角形的判定，先证明，，结合，设，可得，，，由可得分的两个三角形与分的两个三角形相似，可得，，过作于，过作于，则为等腰直角三角形；再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， 设， ∴，，， ∵， 如图，分的两个三角形与分的两个三角形相似， ∴，，，， ∴，， 过作于，过作于， 则为等腰直角三角形； 设，， ∴，． 解得：，， ∴，， ∴， 故答案为： 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角形函数值的混合运算，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案． 【详解】解：原式 ． 20. 如图，已知在中，中线、交于点，交于点． （1）如果，求和的长； （2）如果，，那么________．（用含向量、的式子表示） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的重心，平面向量，相似三角形的性质与判定，掌握三角形的重心是解题的关键． （1）根据三角形的重心，再证明，得出比例式，即可求解； （2）先求出，即可得到． 【小问1详解】 解：中线、交于点， 点为重心， ， ， ， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ，， ， 故答案为：． 21. 如果一个锐角的正弦值等于黄金分割数，那么我们称这个角叫做黄金角．如图，在中，，是黄金角，点在边上，且，连接． （1）找出图中相等的线段并说明理由； （2）如果，求的长． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割点、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，掌握黄金分割的定义是解题的关键． （1）由黄金分割结合已知条件可得，再结合黄金分割角的定义可得，则即可解答； （2）先证明可得，然后将代入即可解答． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴点是线段的黄金分割点， ∴， 在中，，是黄金角， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 如图是某地下车库的剖面图，某综合实践小组将无人机放在坡道起点A处，让无人机飞到点处，与底板平行，测得米，此时在点处又测得坡道上的点的俯角为．接着让无人机飞到点处，，与底板平行，测得米． （1）求坡道的坡度； （2）已知地面、地下车库的顶板都与底板平行且它们到底板的距离相等，无人机从点飞到点处，，测得米，此时在点处测得点的俯角为，在不考虑其他因素的前提下，有一辆高度为3米的货车能否进入该地下车库？请说明理由． （参考数据：，，） 【答案】（1） （2）该货车能进入该地下车库，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． （1）由题意得：，，如图：过点作于点，易证四边形是矩形，则、；然后在和中解直角三角形即可解答； （2）由题意得：，再在中解直角三角形可得，如图：过点作于点，根据勾股定理和解直角三角形可得，设，则，则，解得，进而求得，最后与3米比较即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：， 如图：过点作于点， ∴ ∴四边形是矩形． ∴， 在中，， ∴ 解得：． ∴ 在中，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由题意得： 在中，，，， ∴， 如图：过点作于点， 在中，，，， 设，则， ∴，解得 ∴， ∵ 即该货车能进入该地下车库． 23. 如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，，． （1）求证：； （2）如果点是边的中点，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明可得即可证明结论； （2）先证明可得，结合可得，即，则，最后结合点是中点即可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点是中点， ∴， ∴． 24. 如图，在直角坐标平面内，以点为顶点抛物线经过点，且与轴交于点，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）平移上述抛物线，所得的新抛物线的对称轴为直线，顶点为点． ①联结，如果点在轴上且新抛物线与线段有公共点，求的取值范围； ②设新抛物线与直线交于点，如果点在原抛物线上，且在直线的右侧，，求点的坐标． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先由对称轴求出的值，再把点坐标代入解析式即可得到抛物线解析式； （2）①新抛物线的解析式可设为，当的图象的对称轴右边图象过点时，有，解得：；当的图象的对称轴左边图象过点时，有，解得：，从而可知； ②如图1所示，作，设，新抛物线可设为，故，证明，再利用三线合一性质说明，当时，即时，满足题意，至此完成二倍角的转换，最后根据，解出的值即可得解． 【小问1详解】 解：对称轴为直线， ，， 把代入，可得， 抛物线表达式为． 【小问2详解】 解：抛物线表达式为， 故，． ①当点在轴上时，新抛物线的解析式可设为， 当的图象的对称轴右边图象过点时，有， 解得：，（舍去）； 当的图象的对称轴左边图象过点时，有， 解得：，（舍去）． 故的取值范围为； ②如图1所示，作， 设，且点为新抛物线顶点，新抛物线的对称轴为直线， 则新抛物线可设为，又点横坐标为2， 则，故， ， ， ，从而知为中垂线， ，由三线合一性质可得：， 当时，即时，满足题意． 故， ， 即，故， 故． 【点睛】本题以二次函数为背景考查了待定系数法，二次函数的图象性质，函数图象的平移，二次函数与线段的公共点问题，二倍角构造问题，熟练掌握以上内容是解题关键． 25. 已知在中，，点、、分别在边、、上，且，连接． （1）如图1，如果，，求的余切值： （2）如图2，连接交于点，如果，求的值； （3）如果，，，与相似，求的长． 【答案】（1） （2） （3）的值为或． 【解析】 【分析】（1）先证明，由相似三角形性质得出，设，，由勾股定理得出，再根据余切的定义求解即可． （2）过点分别作于点，于点，过点作于点，过点作于点，由相似三角形的性质可得出，再证明，再利用相似三角形的性质得出，再结合三角形的面积得出，进一步即可得出答案． （3）分两种情况讨论，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 在中， ∴ ∴， 在中，， ∴ 【小问2详解】 解：过点分别作于点，于点， 过点作于点，过点作于点， 由， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解∶∵，与相似， 当，此时， ∴ 且为等边三角形， 设，则，，， 又∵， ∴， 即，， （舍）， ∴， 当，此时， 则，， ∴， 设，， 则， 解得． ∴， 综上：的值为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，余切的定义，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$