第05讲 平面向量在几何与物理中的应用（六大考点）-2024-2025学年高一数学考点剖析及精准练习（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 第05讲 平面向量在几何与物理中的应用 学习目标： 1.通过向量方法解决平面几何问题，例：几何的垂直、平行、夹角等问题； 2.通过用向量的方法解决力学问题及其他物理问题. 重点难点： 重点：向量在平面几何及物理学中的实际应用 难点：如何将几何问题、物理中的实际问题化归为向量问题 一、向量在几何中的应用 1.用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”. ①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 2.用向量证明平面几何问题的两种基本思路 （1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题. （2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题. 二、向量在物理中的应用 （1）物理问题中常见的向量有力、速度、位移等. （2）向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上. （3）动量是向量的数乘运算. （4）功是力与位移的数量积. 用向量解决物理问题的一般步骤 （1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题. （2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型. （3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值. （4）问题的答案:回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. 考点01 证线段垂直 1．如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF. 【答案】证明见解析 【详解】∵·＝·＝2－2，而， ∴·＝0， ∴⊥，即DE⊥AF. 2．用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 【答案】证明过程见解析 【详解】由题意得，，      故， 因为，所以， 故. 3．如图所示，AC为的一条直径，为圆周角.求证：.    【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，    设，， 则，，，， ∴， ∴，∴. 4．如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.    (1)设，，用，表示，； (2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想. 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【详解】（1）， ； （2），证明如下： 由（1）知，， 所以， 设，则， 所以，所以，得证. 5．在等腰三角形ABC中，已知D为底边BC的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：在等腰三角形ABC中，，， 因为D为底边BC的中点，所以， 所以， 所以，即. 考点02 夹角问题 6．已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为，所以，易知， 结合图形，，，则，故. 所以在直角三角形中可得，故. 故选：. 7．正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 【答案】 【详解】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图，    因为正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点， 设，则，，，， 则， 而等于与所成的角． 所以． 故答案为：. 8．如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点    (1)若，求AE的长； (2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）由题，可得.则. 设，则.因，则.则，故AE的长为1； （2）若E为AB的中点，则，，又. 由图可知. 9．如图：已知树顶A离地面米，树上另一点离地面米，某人在离地面米的处看此树，则该人离此树（　　）米时，看A、的视角最大. A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】如图建立平面直角坐标系，则，设， 则， 则 又，且余弦函数在单调递减， 则当，即时最大. 即该人离此树6米时，看A、的视角最大. 故选：C 10．在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：建立如图直角坐标系，则, 得, 所以， 故选：D. 考点03 求线段长度 11．在△ABC中，，，，， . 【答案】/ 【详解】由题意可得：， 故. 故答案为： 12．在中，点D是边的中点，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，由题意可得： ， 即，解之得. 故选：A 13．已知，，，，点D在边上且，则长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】中，点D在边上且， 则 又，，， 则 ，即长度为 故选：D 14．在平行四边形中，，垂足为P，若，则 ． 【答案】 【详解】平行四边形中，， 因为，所以， 根据向量的几何意义可知， 解得：. 故答案为： 15．如图，四边形ABCD为筝形（有一条对角线所在直线为对称轴的四边形），满足，AD的中点为E，，则筝形ABCD的面积取到最大值时，AB边长为 .    【答案】 【详解】以点为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系. 设， 则. 因为，所以， 即，当且仅当时，取等号. 筝形ABCD的面积为 即当时，筝形ABCD的面积最大. 此时AB边长为. 故答案为：    考点04 判断多边形的形状 16．已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且，则四边形一定为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形 【答案】C 【详解】    由题意结合中位线定理可得，， 所以，即四边形为平行四边形. ， ， ， ， ，即，即， 所以，又，所以， 同理由中位线定理可得，所以， 故四边形为矩形. 故选：C. 17．在四边形中，，则四边形的形状是 . 【答案】矩形 【详解】由可知,进而， 由可得且，所以四边形为矩形， 故答案为：矩形 18．已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】如下图所示：    设M为AC中点，则， 所以，即为等腰三角形， 又，所以， 即， 所以，可得， 综上可知三角形为等边三角形. 故选：B. 19．在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【详解】∵ . ∴， ∴是直角三角形. 故选：C. 20．，是所在平面上的两点，满足和，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形 【答案】A 【详解】由题知，所以，即． 因为，所以，即， 所以． 又因为，所以， 所以，即， 两边同时平方并展开化简可得，即，所以． 综上可知，的形状是等腰直角三角形． 故选：A． 考点05 在物理上的应用 21．一艘船以4的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知水流速度为2，则经过，船的实际航程为 . 【答案】 【详解】解析设船的速度为，水流速度为，则船的实际航行速度为， 于是有， 所以，则经过2h，船的实际航程为. 故答案为：. 22．若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态，已知，与的夹角为45°，求: (1)的大小; (2)与的夹角的大小. 【答案】(1)(1+)N (2) 【详解】（1）解：因为三个力平衡，所以， 则， ， 故的大小为(1+)N. （2）设与的夹角为θ， 则， 即， 解得，因为， 所以. 23．两个力，作用于同一个质点，使该质点从点移到点，则这两个力的合力对质点所做的功为 ． 【答案】－5 【详解】两个力，作用于同一个质点， 其合力大小为， 从点移到点，其位移， 则这两个力的合力对质点所做的功为． 故答案为：. 24．（多选）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小，水流方向为正东方向，其速度的大小为，这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min，采用四舍五入法.则（    ） 参考数据：    A．这艘船到达河对岸的渡河时间最短时， B．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min C．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min D．这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短 【答案】AB 【详解】对于A：设与的夹角为，船行驶的时间为， ，    当为钝角时， 当为锐角时， 当为直角时， 则当为钝角时，， 当为锐角时，， 所以当船垂直于对岸行驶，即，所用时间最短，故A正确； 对于B：由A可知，这艘船到达河对岸的渡河时间最短为，故B正确，C错误； 对于D：设点是河对岸一点，与河岸垂直， 那么当这艘船实际沿着方向行驶时，船的航程最短， 由下图可知，设，则， 此时，船的航行时间，故D错误；    故选：AB 25．如图，质量的木块，在平行于斜面大小为10N向上的拉力F的作用下，沿倾角的光滑斜面向上滑行2.0m的距离．    (1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功； (2)求在这一过程中物体所受各力对物体做的功的代数和； (3)求物体所受合外力对物体所做的功，它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系？ 【答案】(1)拉力，支持力不做功，重力； (2)； (3)物体所受合外力对物体做的功与物体所受各力对物体做功的代数和相等. 【详解】（1）木块受三个力的作用，重力，拉力和支持力，如图所示.    拉力与位移方向相同， 所以拉力对木块所做的功为. 支持力与位移方向垂直，不做功，所以. 重力对物体所做的功为. （2）物体所受各力对物体做功的代数和为. （3）设物体所受合外力的大小为， 则, 故合外力做功为. 故物体所受合外力对物体做的功与物体所受各力对物体做功的代数和相等. 考点06 求几何的最值 26．已知四边形是边长为4的正方形，点满足，为平面内一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】建立如图所示的直角坐标系，设，是中点， 则, 由可得,故， 所以， 故当时，取到最小值， 故答案为： 27．在等腰梯形ABCD中，，，，P是腰AD上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】等腰梯形ABCD中，，，， 故梯形的高为， 根据题意，以为坐标原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，如图所示， 则，，设，其中， ， 则， 则， 则当时，取得最小值27， 则的最小值． 故答案为：． 28．已知正方形的边长为1，点满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系， 则， 因为， 所以， 所以当时，取得最大值. 故答案为：. 29．已知点M是边长为2的正方形内部（包括边界）的一动点，点P是边的中点，则的最大值是 ；的最小值是 . 【答案】 【详解】解：，当点与点重合时等号成立； 如图所示，取中点，连接，取的中点为，连接， 则． 又因为点为正方形内部（包括边界）一动点， 所以， 当点与点重合时，取得最小值． 故答案为，． 30．已知边长为2的菱形中，，点为线段（含端点）上一动点，点满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】设，其中， 已知边长为2的菱形中，， 则为等边三角形，又， 则 又，故 故． 故答案为：    基础试炼 1．平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（    ） A． B．5N C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，， 所以， 故选：C． 2．已知是平行四边形所在平面内一点，且，，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当为中点时，，所以，故A错误； 因为，又，所以，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 3．已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【详解】因为，即，即， 所以，所以是等腰三角形. 故选：A. 4．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝，则△ABM与△ABC的面积之比为（　　） A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶5 【答案】B 【详解】如图，D为BC边的中点， 则 因为－－＝ 所以， 所以 所以. 故选：B 5．（多选）关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是（    ） A．船垂直到达对岸所用时间最少 B．当船速的方向与河岸垂直时用时最少 C．沿任意直线航行到达对岸的时间都一样 D．船垂直到达对岸时航行的距离最短 【答案】BD 【详解】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际速度为，两岸间的垂直距离为； 对于ABC，船垂直到达对岸时，，则所用时间； 当船速的方向与河岸垂直时，所用时间； ，当船速的方向与河岸垂直时，用时最少，且沿不同直线航行到达对岸的事件不相同，A错误，B正确，C错误； 对于D，船垂直到达对岸时，航行的距离为两岸间的垂直距离，此时距离最短，D正确. 故选：BD. 6．（多选）在中，点满足．则下面描述正确的是为（    ） A． B． C．若，则 D．若、则的最大值为 【答案】ACD 【详解】由中，点满足，如图所示， 对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，可得，所以， 所以B错误； 对于C中，由，可得，所以， 所以，又因为点为的中点，所以，所以C正确； 对于D中，若，设， 则，即 设， 则，可得， 当且仅当时取得等号，所以的最大值为，所以D正确． 故选：ACD. 7．在Rt△ABC中，，，D为中点，则等于 . 【答案】/0.28 【详解】由题意可知，D为中点， 如图，以B为坐标原点，以为轴， 建立平面直角坐标系，由于，则， 即，， ∵∠BDC为的夹角， ∴， 故答案为： 8．一条河宽为8 000 m，一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为 h． 【答案】/ 【详解】如图， 则，，， ∴． ∴所需时间 (h)． ∴该船到达B处所需的时间为h． 故答案为：. 9．在中，，非零向量与满足，可判断的形状为 . 【答案】等边三角形 【详解】解：由题意可得， 又， 可得， 因为， 所以的形状为等边三角形. 故答案为：等边三角形. 10．如图，一物体在表面粗糙的斜面上不动，斜面沿水平方向做匀速直线运动，若物体的质量为，斜面的倾角为，位移大小为s，求物体与斜面之间的摩擦力所做的功． 【答案】 【详解】设物体与斜面之间的摩擦力为， 则， 又因为在方向上的位移为， 所以物体与斜面之间的摩擦力所做的功 为. 故答案为：. 11．在中，，，M是边上靠近A的一个三等分点，问：在线段上是否存在点，使得？ 【答案】不存在，理由见解析 【详解】如图所示，以为原点，建立平面直角坐标系，过点作于点， 由题可知，， 所以，假设在线段上存在点使得，则， 由与共线及得，，解得， 因为，所以线段上不存在点使得． 12．已知Rt△ABC中，∠C=90°，设AC=m，BC=n. (1)若D为斜边AB的中点，求证：CD=AB； (2)在（1）的条件下，若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于点，求AF的长（用m，n表示）. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）以为坐标原点，以边所在的直线分别为轴､轴建立平面直角坐标系，如图，则. 因为为斜边的中点，所以 所以，又因为 所以，即. （2）（2）因为为的中点，所以. 设，则 因为点共线，所以存在实数，使， 即，所以 解得，所以.所以，即 高阶突破 1．已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则 ，的最小值为 ． 【答案】 / 【详解】因为平行四边形的面积为，， 所以，得， 如图，连接，则， 因为，又为平行四边形，则 ， 所以， 因为三点共线， 所以，得， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：；. 2．在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】令，，由，， 则，， 则， 由、、三点共线，故，即， 即，则 ， 解得，即的长为. 故选：C. 3．在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）．假设行李包所受的重力为，所受的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则以下结论不正确的是（　　） A．的最小值为 B．的范围为 C．当时， D．当时， 【答案】B 【详解】解：如图，对于选项A：当、方向同向时，有，此时取得最小值，且最小值为，A正确； 对于选项B：当时，有，行李包不会处于平衡状态，即，B错误； 对于选项C：当行李包处于平衡时，，若， 则有，变形得， ，即，正确； 对于D选项：若，则有则有，变形可得则有，D正确， 故选：B． 4．（多选）如图所示，正六边形的中心与圆的圆心重合，正六边形的边长为4，圆的半径为1，是圆的一条动直径，为正六边形边上的动点，则的可能取值为（    ）    A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】BCD 【详解】如图，设圆心为，取的中点，连接，，，，    根据题意可知，是边长为的正三角形，易得， ， 根据图形可知，当点位于正六边形各点的中点时，有最小值， 此时，当点位于正六边形的顶点时，有最大值，此时 综上，. 故选：BCD 5．已知在中，是边上一定点，满足，且对于边上任意一点，都有，则是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 【答案】A 【详解】取的中点，的中点，连接，（如图所示），    则 ， 同理， 因为，所以， 即，所以对于边上任意一点都有， 因此， 又，为中点，为中点， 所以，所以， 即，所以，即为钝角三角形. 故选：A． 6．设D为内一点，且，则与的面积比为 . 【答案】 【详解】由题得， 所以， 所以即，    如图所示，以为邻边作平行四边形，连接交于点， 则， 所以即，又和高相等， 所以. 故答案为：. 7．已知，，一动点P从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为.另一动点Q从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为，设P，Q在时分别在，处，问当时，所需的时间t为多少？ 【答案】 【详解】根据题意，易知， ， 两式相减得，， 由，，，得， 因为，所以，解得. 故当时，所需的时间t为. 8．长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向． (1)当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由． (2)当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算） (3)当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？ 【答案】(1)的左侧. (2)，航行小时. (3) 【详解】（1）由题设，在反方向上的分速度为， ∴游船航行到达北岸的位置是在的左侧. （2）要使能到达处，则在反方向上的分速度为， ∴，故，又，此时， ∴垂直方向上的速度， ∴. （3）由（1）知：垂直方向航行时间为， ∴水平方向航行距离为， ∴游船航行到达北岸的实际航程. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 第05讲 平面向量在几何与物理中的应用 学习目标： 1.通过向量方法解决平面几何问题，例：几何的垂直、平行、夹角等问题； 2.通过用向量的方法解决力学问题及其他物理问题. 重点难点： 重点：向量在平面几何及物理学中的实际应用 难点：如何将几何问题、物理中的实际问题化归为向量问题 一、向量在几何中的应用 1.用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”. ①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题. ②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题. ③把运算结果“翻译”成几何关系. 2.用向量证明平面几何问题的两种基本思路 （1）向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底；②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系；④把计算所得结果转化为几何问题. （2）向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找到相应关系；④利用向量关系回答几何问题. 二、向量在物理中的应用 （1）物理问题中常见的向量有力、速度、位移等. （2）向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上. （3）动量是向量的数乘运算. （4）功是力与位移的数量积. 用向量解决物理问题的一般步骤 （1）问题的转化:把物理问题转化为数学问题. （2）模型的建立:建立以向量为主体的数学模型. （3）参数的获得:求出数学模型的有关解——理论参数值. （4）问题的答案:回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. 考点01 证线段垂直 1．如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF. 2．用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 3．如图所示，AC为的一条直径，为圆周角.求证：.    4．如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.    (1)设，，用，表示，； (2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想. 5．在等腰三角形ABC中，已知D为底边BC的中点，求证：． 考点02 夹角问题 6．已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（    ） A． B． C． D． 7．正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 8．如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点    (1)若，求AE的长； (2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求． 9．如图：已知树顶A离地面米，树上另一点离地面米，某人在离地面米的处看此树，则该人离此树（　　）米时，看A、的视角最大. A．4 B．5 C．6 D．7 10．在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点03 求线段长度 11．在△ABC中，，，，， . 12．在中，点D是边的中点，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．已知，，，，点D在边上且，则长度为（    ） A． B． C． D． 14．在平行四边形中，，垂足为P，若，则 ． 15．如图，四边形ABCD为筝形（有一条对角线所在直线为对称轴的四边形），满足，AD的中点为E，，则筝形ABCD的面积取到最大值时，AB边长为 .    考点04 判断多边形的形状 16．已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且，则四边形一定为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形 17．在四边形中，，则四边形的形状是 . 18．已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 19．在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 20．，是所在平面上的两点，满足和，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰（非等边）三角形 D．等边三角形 考点05 在物理上的应用 21．一艘船以4的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知水流速度为2，则经过，船的实际航程为 . 22．若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态，已知，与的夹角为45°，求: (1)的大小; (2)与的夹角的大小. 23．两个力，作用于同一个质点，使该质点从点移到点，则这两个力的合力对质点所做的功为 ． 24．（多选）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小，水流方向为正东方向，其速度的大小为，这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min，采用四舍五入法.则（    ） 参考数据：    A．这艘船到达河对岸的渡河时间最短时， B．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min C．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min D．这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短 25．如图，质量的木块，在平行于斜面大小为10N向上的拉力F的作用下，沿倾角的光滑斜面向上滑行2.0m的距离．    (1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功； (2)求在这一过程中物体所受各力对物体做的功的代数和； (3)求物体所受合外力对物体所做的功，它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系？ 考点06 求几何的最值 26．已知四边形是边长为4的正方形，点满足，为平面内一点，则的最小值为 ． 27．在等腰梯形ABCD中，，，，P是腰AD上的动点，则的最小值为 . 28．已知正方形的边长为1，点满足，则的最大值为 ． 29．已知点M是边长为2的正方形内部（包括边界）的一动点，点P是边的中点，则的最大值是 ；的最小值是 . 30．已知边长为2的菱形中，，点为线段（含端点）上一动点，点满足，则的取值范围为 ． 基础试炼 1．平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（    ） A． B．5N C． D． 2．已知是平行四边形所在平面内一点，且，，则有（   ） A． B． C． D． 3．已知平面上，，三点不共线，是不同于，，的任意一点，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 4．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝，则△ABM与△ABC的面积之比为（　　） A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶5 5．（多选）关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是（    ） A．船垂直到达对岸所用时间最少 B．当船速的方向与河岸垂直时用时最少 C．沿任意直线航行到达对岸的时间都一样 D．船垂直到达对岸时航行的距离最短 6．（多选）在中，点满足．则下面描述正确的是为（    ） A． B． C．若，则 D．若、则的最大值为 7．在Rt△ABC中，，，D为中点，则等于 . 8．一条河宽为8 000 m，一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为 h． 9．在中，，非零向量与满足，可判断的形状为 . 10．如图，一物体在表面粗糙的斜面上不动，斜面沿水平方向做匀速直线运动，若物体的质量为，斜面的倾角为，位移大小为s，求物体与斜面之间的摩擦力所做的功． 11．在中，，，M是边上靠近A的一个三等分点，问：在线段上是否存在点，使得？ 12．已知Rt△ABC中，∠C=90°，设AC=m，BC=n. (1)若D为斜边AB的中点，求证：CD=AB； (2)在（1）的条件下，若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于点，求AF的长（用m，n表示）. 高阶突破 1．已知平行四边形的面积为，，为线段的中点．若为线段上的一点，且，则 ，的最小值为 ． 2．在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 3．在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）．假设行李包所受的重力为，所受的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，则以下结论不正确的是（　　） A．的最小值为 B．的范围为 C．当时， D．当时， 4．（多选）如图所示，正六边形的中心与圆的圆心重合，正六边形的边长为4，圆的半径为1，是圆的一条动直径，为正六边形边上的动点，则的可能取值为（    ）    A．9 B．11 C．13 D．15 5．已知在中，是边上一定点，满足，且对于边上任意一点，都有，则是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 6．设D为内一点，且，则与的面积比为 . 7．已知，，一动点P从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为.另一动点Q从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为，设P，Q在时分别在，处，问当时，所需的时间t为多少？ 8．长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向． (1)当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由． (2)当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算） (3)当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$