精品解析：河南省南阳市2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量评估数学试题

2024年秋期高中一年级期终质量评估 数学试题 注意事项： 1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知全集，则（ ） A B. C. D. 2. 口袋内装有大小相同红球、白球和黑球,从中摸出一个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,则摸出黑球的概率是(   ) A. 0.42 B. 0.28 C. 0.7 D. 0.3 （教材P168） 3. 某赛季篮球运动员甲参加了13场比赛，每场比赛个人得分分别为：12，15，24，25，31，31，35，36，36，39，41，44，50．则该组数据的四分位数分别为（ ） A 25，35，39 B. 24，35，41 C. 28，31，39 D. ，35， 4. 福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号01，02，…，33的33个数字组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下表）第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为（ ） 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 A. 23 B. 09 C. 20 D. 17 5. 某工厂生产三种不同型号的产品，产品数量之比依次为．现用分层抽样的方法抽出一个容量为的样本，样本中种型号的产品共有件，那么此样本的容量为 A. B. C. D. 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 （教材P121） 7. 我们已经学习和研究了对数函数（，且）的图象和性质．如果将解析式中的a，x互换位置，底数变为自变量，即可得到形如（，且）的函数．设（，且），则关于函数的图象或性质表述正确的是（ ） A. 的图象只能出现在第一象限 B. 的图象可以出现在第一、第二象限 C. 的值域为 D. 在区间和上单调递减 8. 已知（，且）在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） （教材P182） 9. 下图是2003年4月21日至5月15日上午10时，北京市非典型肺炎疫情新增数据走势图． 则下列说法正确的有（ ） A. 新增疑似的人数最多的是4月29日，新增确诊的人数最多的是4月27日 B. 新增疑似的人数最多的是4月27日，新增确诊的人数最多的是4月29日 C. 新增治愈的人数最多的是5月13日，新增死亡的人数最少的是5月15日 D. 从图中可以看出，本次疫情得到了有效控制 （教材P217） 10. 甲，乙两人独立地解决同一问题，甲解出此问题的概率是，乙解出此问题的概率是．则下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙都解出此问题的概率 B. 甲、乙都未解出此问题的概率 C. 甲，乙恰有一人解出此问题的概率 D. 至少有一人解出此问题的概率 11. 已知函数有三个零点，且函数，则下列判断正确的是（ ） A. B. 函数可能不存在零点 C. 函数可能有一个零点 D. 函数可能有两个零点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知方程的两根为，则______． 13. 将某班50人随机分成两个小组，这两组同学在期中考试中的数学成绩如下表：则该班同学在期中考试中的标准差为______分． 组别 人数 平均分 方差 第1组 20 90 9 第2组 30 80 14 14. 已知函数是奇函数，且，若使得，则实数t的取值范围是_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 某校100名学生期中考试语文成绩（满分100分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：． （1）求图中a的值；并根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分； （2）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数与数学成绩分数段的人数之比如下表所示，求数学成绩在之外的人数． 分数段 （教材P144） 16. 渔场中鱼群的最大养殖量为，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量小于，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量和实际养殖量与空闲率（空闲率是空闲量与最大养殖量的比值）的乘积成正比，比例系数为． （1）写出y关于x的函数关系式，并求鱼群年增长量y的最大值； （2）当鱼群年增长量y达到最大值时，求实数k取值范围． （教材P204） 17. 某班级在庆元旦联欢会时，主持人安排了跳双人舞、独唱、和独奏节目，指定3个男生和2个女生来参与，把五个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生．将每个人编号分别写在5张相同的卡片上，放入一个不透明的箱子中，并搅拌均匀，每次从中随机取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目． （1）为了选出2人来表演双人舞，不放回地抽取2张卡片，求选出的2人不全是男生的概率； （2）为了确定表演独唱和独奏的人选，抽取并记录第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片．求： ①独唱和独奏由同一个人表演的概率； ②选出的不全是男生的概率． 18. 设，且． （1）求的最小值； （2）求的取值范围． 19. 设A，B分别为函数的定义域和值域，如果由可解得唯一，则也是一个函数（即对任意一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作．在中，y是自变量，x是y的函数．习惯上改写成的形式．互为反函数的两个函数的定义域和值域互换，它们的图象关于直线对称．已知．（，且）为R上的奇函数． （1）求实数m的值； （2）求的反函数； （3）若两个函数与在上恒满足，则称函数与在是“分离”的．试判断的反函数与在上是否有可能是“分离”的？若有可能，求出实数a的取值范围；若没有，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋期高中一年级期终质量评估 数学试题 注意事项： 1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合交并补的定义运算. 【详解】， ，，B选项正确； ，，或，ACD选项都不符合. 故选：B 2. 口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出一个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,则摸出黑球的概率是(   ) A. 0.42 B. 0.28 C. 0.7 D. 0.3 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：从中摸出一个球，摸出红球、摸出白球、摸出黑球是互斥的，所以由互斥事件概率的加法公式知摸出黑球的概率是1－0.42-0.28=0.3，故选D． 考点：本题主要考查互斥事件概率的加法公式． 点评：简单题，因为只摸出一个球，所以摸出红球、摸出白球、摸出黑球是互斥的． （教材P168） 3. 某赛季篮球运动员甲参加了13场比赛，每场比赛个人得分分别为：12，15，24，25，31，31，35，36，36，39，41，44，50．则该组数据的四分位数分别为（ ） A. 25，35，39 B. 24，35，41 C. 28，31，39 D. ，35， 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用四分位数的定义埏判断即可. 详解】由， 得该组数据的四分位数分别为第4，7，10位置数字，即25，35，39． 故选：A 4. 福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号01，02，…，33的33个数字组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表（如下表）第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为（ ） 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 A. 23 B. 09 C. 20 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】利用随机数表进行抽样的具体步骤超出的不选，但没有重复和不足的,依次抽样得出编号. 【详解】左到右依次选取两个数字，依次选取为：21，32，09， 故选：B． 5. 某工厂生产三种不同型号的产品，产品数量之比依次为．现用分层抽样的方法抽出一个容量为的样本，样本中种型号的产品共有件，那么此样本的容量为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样的方法，按照比例计算即可. 【详解】由题意知，总体中种型号产品所占的比例是， 因样本中种型号产品有件，则，解得 故选：C. 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由得，进而根据充分不必要条件求解即可. 【详解】若则， 若，只有当时才可推出，则， 故是的充要条件. 故选：C. （教材P121） 7. 我们已经学习和研究了对数函数（，且）的图象和性质．如果将解析式中的a，x互换位置，底数变为自变量，即可得到形如（，且）的函数．设（，且），则关于函数的图象或性质表述正确的是（ ） A. 的图象只能出现在第一象限 B. 的图象可以出现在第一、第二象限 C. 的值域为 D. 在区间和上单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】利用换底公式得到，再根据对数函数的图象与性质判断即可. 【详解】，由得或， 所以函数的定义域为， 当时，，所以，图象位于第四象限； 当时，，所以，图象位于第一象限， 所以的图象出现在第一和第四象限，值域为，故ABC错误； 当时，单调递增，所以单调递减； 当时，单调递增，所以单调递减， 所以函数在区间和上单调递减，故D正确. 故选：D. 8. 已知（，且）在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数单调性列式计算即可. 【详解】因为，所以在单调递减， 而（，且）在上单调递增， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：B． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） （教材P182） 9. 下图是2003年4月21日至5月15日上午10时，北京市非典型肺炎疫情新增数据走势图． 则下列说法正确的有（ ） A. 新增疑似的人数最多的是4月29日，新增确诊的人数最多的是4月27日 B. 新增疑似的人数最多的是4月27日，新增确诊的人数最多的是4月29日 C. 新增治愈的人数最多的是5月13日，新增死亡的人数最少的是5月15日 D. 从图中可以看出，本次疫情得到了有效控制 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用折线图提供的数据和变化趋势直接求解. 【详解】新增疑似的人数最多的是4月27日162例，新增确诊的人数最多的是4月29日157例，故A错误，B正确； 新增治愈的人数最多的是5月13日35例，新增死亡的人数最少的是5月15日1例，故C正确； 由图，预测这次北京市非典型性肺炎疫情的发展趋势为：疫情初期确诊病例和疑似病例数量快速上升，然后确诊病例和疑似病例数量逐渐下降，本次疫情得到了有效控制，故D正确. 故选：BCD. （教材P217） 10. 甲，乙两人独立地解决同一问题，甲解出此问题的概率是，乙解出此问题的概率是．则下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙都解出此问题的概率 B. 甲、乙都未解出此问题的概率 C. 甲，乙恰有一人解出此问题的概率 D. 至少有一人解出此问题的概率 【答案】AC 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的加法公式求解即可． 【详解】记甲解出此题为事件A，乙解出此题为事件B，A与B为相互独立事件， 则，由，故A正确； 由，故B错误； 记事件C为甲、乙恰有一人解出此问题，则， 所以 ，故C正确； 记事件D为至少有一人解出此问题，，故D错误． 故选：AC． 11. 已知函数有三个零点，且函数，则下列判断正确的是（ ） A. B. 函数可能不存在零点 C. 函数可能有一个零点 D. 函数可能有两个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数零点的情况确定，，进而得到可判断A；讨论和两种情况可判断BCD. 【详解】因为和是的零点，所以，解得，， 所以， 因为为函数的零点，所以，故A正确； 当时，有一个零点，故C正确； 当时，对于，， 所以有两个零点，故D正确， 综上，可能有一个零点或两个零点，故B错误. 故选：ACD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知方程的两根为，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】利用韦达定理求解即可. 【详解】方程的两根为， 由韦达定理得，， 所以. 故答案为：7. 13. 将某班50人随机分成两个小组，这两组同学在期中考试中数学成绩如下表：则该班同学在期中考试中的标准差为______分． 组别 人数 平均分 方差 第1组 20 90 9 第2组 30 80 14 【答案】6 【解析】 【分析】直接用分层样本方差公式即可得方差36，则标准差为6 【详解】设50人的平均分为,则, 所以50人的总方差为 , 所以标准差为6. 故答案为6 14. 已知函数是奇函数，且，若使得，则实数t的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据为奇函数求出的值，再将零点问题转化为函数值域问题求解即可. 【详解】若，则函数的定义域为，不关于原点对称，不具有奇偶性， ，由函数解析式有意义可得，且， 且，定义域必须关于原点对称，，解得， 由得，，，经验证，符合为奇函数. 若使得， 则由，得，即， 易知在上单调递增且恒大于0， 且当时，，所以． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于根据奇函数的定义域关于原点对称，求出的值，将存在零点问题转化为函数的值域问题. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 某校100名学生期中考试语文成绩（满分100分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：． （1）求图中a的值；并根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分； （2）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数与数学成绩分数段的人数之比如下表所示，求数学成绩在之外的人数． 分数段 【答案】（1），分 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布表可求a的值， 利用组中值可求语文的平均成绩； （2）由已知，先求出数学在，，，各分数段上的人数，最后利用总人数为100可求之外的人数. 【小问1详解】 由题可得：，解得． 估计这100名学生语文成绩的平均分为： 分． 【小问2详解】 数学成绩在的人数为： 数学成绩在的人数为： 数学成绩在的人数为： 数学成绩在的人数为： 所以数学成绩在之外的人数为：． （教材P144） 16. 渔场中鱼群的最大养殖量为，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量小于，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量和实际养殖量与空闲率（空闲率是空闲量与最大养殖量的比值）的乘积成正比，比例系数为． （1）写出y关于x的函数关系式，并求鱼群年增长量y的最大值； （2）当鱼群年增长量y达到最大值时，求实数k的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出空闲率，即可得到y关于x的函数关系式，利用配方法可求得鱼群年增量的最大值； （2）由题意得，即，结合，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意，空闲率为， 关于x的函数关系式是：， ， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，． 【小问2详解】 由（1）知,当鱼群年增长量y达到最大值时，， 由题意有，即， ， 又，的取值范围为． （教材P204） 17. 某班级在庆元旦联欢会时，主持人安排了跳双人舞、独唱、和独奏节目，指定3个男生和2个女生来参与，把五个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生．将每个人的编号分别写在5张相同的卡片上，放入一个不透明的箱子中，并搅拌均匀，每次从中随机取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目． （1）为了选出2人来表演双人舞，不放回地抽取2张卡片，求选出的2人不全是男生的概率； （2）为了确定表演独唱和独奏的人选，抽取并记录第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片．求： ①独唱和独奏由同一个人表演的概率； ②选出的不全是男生的概率． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由题意，列出不放回地抽取2张卡片，抽取的所有可能结果，满足条件的事件是连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生，包括两种情况，一是一男一女，二是两女，这两种情况是互斥的，方法1：根据古典概型概率公式得到结果；方法2 ：得出取出的2人全是男生包含的样本点个数，再利用对立事件求出概率； （2）①试验发生包含的事件是有放回地连续抽取2张卡片，列举出所有的事件共有25种结果，找出满足条件的事件，根据古典概型概率公式得到结果；②“选出的不全是男生”其对立事件为“选出的全是男生”，求出包含的样本点个数，再求出概率. 【小问1详解】 把抽取2张卡片的结果记为，其中i表示第一次抽取的卡片号，j表示第二次抽取的卡片号． 依题意，不放回地抽取2张卡片，抽取的所有可能结果为： ， ， ， ， ， 共有20种可能的结果． 用事件A表示“选出的2人不全是男生”． 方法1： 依题意知事件A包含的样本点有 ， ，共有14种可能结果， 因此，，即选出的2人不全是男生的概率为． 方法2 ： 依题意知事件A的对立事件 “取出的2人全是男生”包含的样本点有 ，共有6种可能的结果， 因此，，即选出的2人不全是男生的概率为． 【小问2详解】 抽取的所有可能结果为： ， ， ， ， ， 共有25种可能的结果． 设事件B表示“独唱和独奏由同一个人表演”， 则事件B所包含的样本点有，共有5种可能的结果， 因此，，即独唱和独奏由同一个人表演的概率为． 设事件C表示“选出的不全是男生”，其对立事件C表示“选出的全是男生”， 包含的样本点有，共有9种可能的结果， 因此，，即选出的不全是男生的概率为． 18. 设，且． （1）求的最小值； （2）求的取值范围． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数值的正负去掉绝对值得出进而根据基本不等式得出最小值； （2）方法1：换元法结合二次函数的单调性得出值域；方法2：左右平方得出结合二次函数得出范围. 【小问1详解】 由题可得，又 方法1： （当且仅当即时等号成立） 故的最小值为9． 方法2： （当且仅当即时等号成立） 故的最小值为9． 【小问2详解】 方法1：设， 则， ， 令，则， 易知在上单调递增 所以．即的取值范围为． 方法2：由（1）知，可得，从而， 又有得，易知函数在上单调递增， 故，即的取值范围为． （或若由（1）知，平方得：方法同上） 19. 设A，B分别为函数的定义域和值域，如果由可解得唯一，则也是一个函数（即对任意一个，都有唯一的与之对应），那么就称函数是函数的反函数，记作．在中，y是自变量，x是y的函数．习惯上改写成的形式．互为反函数的两个函数的定义域和值域互换，它们的图象关于直线对称．已知．（，且）为R上的奇函数． （1）求实数m值； （2）求的反函数； （3）若两个函数与在上恒满足，则称函数与在是“分离”的．试判断的反函数与在上是否有可能是“分离”的？若有可能，求出实数a的取值范围；若没有，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）有可能， 【解析】 【分析】（1）根据奇函数性质可得； （2）利用反函数定义以及指数和对数互化计算即可求得结果； （3）根据函数“分离”的定义，对参数分类讨论并利用指数函数单调性解不等式即可求出. 【小问1详解】 由题可得； 经检验，时，函数满足，符合题意； 【小问2详解】 由得 即，平方得， 即， 所以． 【小问3详解】 假设存在； 则，即， 当时，函数在上单调递增，易知， 只需对恒成立， 所以， 可得或（舍去） 当时，函数在上单调递减， 需，或对恒成立 ，或 可得 综上所述，存在实数a符合题意，a的取值范围为 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解函数“分离”的定义，结合反函数解析式得出不等关系，并利用函数单调性解不等式即可求得a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $