3.1.1椭圆及其标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

圆锥曲线的方程 人教A版2019选择性必修第一册 第三章 章前导读 什么是圆锥曲线,圆锥曲线是怎么产生的? 用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,当圆锥的轴与截面所成的角不同时,可以得到不同的截口曲线,它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线(conic sections). 椭圆 抛物线 双曲线 圆 圆锥曲线与科研、生产以及人类生活有着紧密的关系.如行星绕太阳运行的轨道是椭圆,发电厂冷却塔的外形线是双曲线,探照灯反射镜面、卫星接收天线是抛物线绕其对称轴旋转所成的抛物面....为什么圆锥曲线有如此广泛的应用呢?我们可以从它们的几何特征及其性质中找到答案. 新课导入 3.1.1椭圆及其标准方程 人教A版2019选择性必修第一册 一 二 三 学习目标 掌握椭圆的定义,会用椭圆的定义解决问题 理解椭圆标准方程的推导过程,并能运用标准方程解决相关问题,提升逻辑推理的核心素养 会用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程,提升数学运算的核心素养 学习目标 ——生活中的椭圆 情境引入 我们知道,平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆。 那么,椭圆上的点满足什么条件呢? F1 F2 M [1] 在平面内,任取两个定点F1、F2 ; [2] 取一细绳并将细绳(大于两定点的距离)的两端分别固定在F1、F2两点 ; [3] 用笔尖(点M)把细绳拉紧,慢慢移动笔尖看看能画出什么图形? 数学实验 新知探究 F1 F2 1.在椭圆形成的过程中,细绳的两端的位置是固定的还是运动的? 2.在画椭圆的过程中,绳子的长度变了没有?说明了什么? 3.在画椭圆的过程中,绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系? 思考 F1 F2 椭圆 M (1)由于绳长固定,所以点M到两个定点的距离和是个定值。 (2)点M到两个定点的距离和要大于两个定点之间的距离 请你归纳出椭圆的定义? 概念生成 椭 圆 平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆. 这两个定点F1, F2叫做椭圆的焦点,两焦点之间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距. 焦距的一半称为半焦距. F1 F2 M • • |MF1|+|MF2|=2a 记焦距为2c,椭圆上的点M与F1, F2的距离的和记为2a。 (|F1F2|=2c, 2a>2c>0) 问题1 若一个动点的轨迹是椭圆,则该动点应满足什么条件? ① 在平面内-(这是前提条件); ② 两个定点F1, F2的距离为定值; ③动点M到两个定点F1, F2的距离之和是定值(常数); ④ 为什么是“>”?若是“<”或是“=”动点的轨迹会是什么图形呢? 新知探究 问题2 为什么要求|MF1|+|MF2|>|F1F2|? ① 当|MF1|+|MF2|=|F1F2|时 (绳长等于两定点间距离) F1 F2 M 点M的轨迹为线段F1F2 ② 当|MF1|+|MF2|<|F1F2|时 (绳长小于两定点间距离) F1 F2 点M无轨迹 下面我们根据椭圆的几何特征, 选择适当的坐标系, 建立椭圆的方程. 新知探究 问题3 回忆一下我们是如何求圆轨迹方程的? 建系 设点 列式 代换 建立适当的平面直角坐标系 设曲线上任意一点M的坐标为(x, y) 找出限制条件P(M),并列出几何等式 把坐标代入限制条件P(M) 列出方程 化简 化简方程 类比这个方法,我们开始求椭圆的标准方程 新知探究 问题4 观察椭圆的形状,你认为怎样建立坐标系可使所得的椭圆方程形式简单? 建立平面直角坐标系通常遵循的原则:对称、“简洁” O x y O x y O x y M F1 F2 方案一 F1 F2 方案二 O x y M O x y O x y 新知探究 求椭圆方程的步骤(以方案一为例) (1)建系: (2)设点: (3)列式: (4)代换: (5)化简: F1 F2 以F1F2所在直线为x轴,F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系, 则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0),椭圆的焦距为2c(c>0)。 M 设M(x,y)为所求轨迹上的任意一点, 点M与焦点F1、F2的距离的和为2a(a>0) |MF1|+|MF2|=2a >2c 两边平方整理得 要进行第二次平方,且计算量较大 追问 那如何化简会比较简便? 即:(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 由椭圆的定义可知,2a>2c>0,即a>c>0,所以a2-c2>0 移项,得 平方,得 y O x F1 F2 P 你能从中找出表示a ,c, 的线段吗? |PF1|=|PF2|=a, |OF1|=|OF2|=c , |PO|= , 整理,得 上式两边通除以a2(a2-c2),得 平方,得 新知探究 那么方程①就是 新知探究 这个方程叫做椭圆的标准方程,它表示焦点在x轴上,两个焦点分别是F1(-c, 0), F2(c,0)的椭圆,这里c2=a2-b2. 问题5 如图示, 如果焦点F1, F2在y轴上, 且F1, F2的坐标分别为(0,-c), (0, c), a, b的意义同上, 那么椭圆的方程是什么? F1 F2 M • • x y O (问题:下面怎样化简?) 由椭圆的定义得,限制条件: 由于 得方程 ? x,y交换位置 谁的分母大,焦点就在哪个轴上 标准方程 不 同 点 相 同 点 图 形 焦点坐标 定 义 a、b、c 的关系 焦点位置的判断 椭圆的标准方程: F1 F2 M • • x y O F1 F2 M • • x y O 新知探究 a在哪个字母下面,焦点就在哪个坐标轴 椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上, 中心在坐标原点的椭圆;方程的左边是平方和,右边是1. 概念辨析 1.下列方程哪些表示椭圆? 若是,则判定其焦点在何轴?若是椭圆,指明a2,b2,c2. ? 2. 椭圆+=1的焦距为4,则m= . 4或8 [解析] 当焦点在x轴上时,10-m>m-2>0, 10-m-(m-2)=4,∴m=4. 当焦点在y轴上时,m-2>10-m>0, m-2-(10-m)=4,∴m=8. 综上m=4或8. 典型例题 3. 根据椭圆标准方程求参数 A 方法总结 根据含参方程求参数范围方法: 形如 ① 表示椭圆:② 表示焦点在x轴上的椭圆: ③ 表示焦点在y轴上的椭圆: ④ 表示圆: 方法总结 典例解析 例1 解1: (定义法) 你还能用其他方法求它的标准方程吗?试比较不同方法的特点. 求椭圆的标准方程 典例解析 例1 解2: (待定系数法) 求椭圆的标准方程 方法总结 (3) 求椭圆的标准方程,要先定“位”, a, b, c 满足的关系有: 根据焦点位置设方程,代入计算出待定字母的值. 用定义寻找a, b, c的方程; (1) 定义法: (2) 待定系数法: 待定系数法更为常用,是解此类问题的通法. 即求 a, b 的大小 . 即确定焦点的位置; 其次是定“量”, 求椭圆标准方程的主要方法有: (法1) (法2) 未知焦点位置:巧设方程 巩固练习 求椭圆的标准方程 椭圆的两种标准方程可以写成统一形式 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n). 方法总结 25 巩固练习 课本P109 14 巩固练习 与椭圆有关的轨迹方程 C 1. 已知 ABC的一边BC固定,长为8,周长为18,求顶点A的轨迹方程。 2. 根据椭圆的定义知所求轨迹方程是椭圆,且焦点在轴上, 所以可设椭圆的标准方程为 : ∵ 2a=10, 2c=8 ∴ a=5, c=4 ∴ b2=a2-c2=52-42=9 ∴所求椭圆的标准方程为: (y≠0) y o B C A x 解:以BC的中点为原点,BC所在的直线为x轴建立直角坐标系。 注意检验 定义法求轨迹方程 典例解析 设点M的坐标为(x, y),点P的坐标为(x0, y0),则点D的坐标为(x0, 0).由点M是线段PD的中点,得 例2 如图,在圆 上任意一点P , 过点P作x轴的垂线段 PD, D为垂足. 当点P在圆上运动时, 线段 PD中点M的轨迹是什么?为什么? x y P M O • D • 寻求点M的坐标(x,y)中x, y与x0, y0之间的关系,然后消去x0, y0, 得到点M的轨迹方程. 这是解析几何中求点的轨迹方程常用的方法. 解: 相关点法(代入法) 与椭圆有关的轨迹方程 新知探究 问题6 由例2我们发现,可以由圆通过 “压缩” 得到椭圆. 你能由圆通过 “拉伸” 得到椭圆吗? 如何 “拉伸” ? 由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗? x y P M O • D • x y P M O • D • x y P M O • D • x y O D • • M P 将圆“压缩”可得到椭圆 将圆“拉伸”可得到椭圆 椭圆可以经过把圆伸缩变换得来,这种变换方法称为仿射变换。 例3 x y B M O A • 解: 设点M (x, y),由A(-5, 0), B(5, 0),可得 典例解析 直接法求轨迹方程 与椭圆有关的轨迹方程 反思 B(t,0), 当m为不等于-1的负数时表示椭圆 椭圆第三定义: 1.求轨迹方程的方法:定义法、直接法、相关点法等 2.具体求轨迹方程时,既要严格按一般步骤去 展开过程, 又要注意思考方法灵活性的尝试。 3.多种几何条件可以确定椭圆 方法总结 巩固练习 课本P109 4. 已知A, B两点的坐标分别是(-1,0), (1,0), 直线AM, BM相交于点M, 且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2, 点M的轨迹是什么? 为什么? 解:设点M的坐标为(x, y), 由已知, 得 直线AM的斜率为 直线BM的斜率为 x y B M O A • • • 1.一动圆过定点A(2,0),且与定圆x2+4x+y2-32=0内切,求动圆圆心M的轨迹方程. 巩固练习 《学习笔记》P80 跟踪训练 1 34 巩固练习 课本P109 y O F1 F2 x A B (1)由题意 故 AF1B的周长为: (2) 如果AB不垂直于x轴, AF1B的周长不会有变化. 仍然成立. 解: • • ∴ AF1B的周长为: 新知拓展 椭圆的焦点三角形 椭圆的焦点三角形是指以椭圆得两个焦点F1和F2与椭圆上一点P(除左右顶点外)为顶点,组成的三角形. P F2 F1 下面我们通过例题来了解一下焦点三角形的性质。 已知P为椭圆 =1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,∠F1PF2=60 ,求 F1PF2的周长和面积. 例 3 新知拓展 F1 P x y 椭圆定义 余弦定理 面积公式 F2 《学习笔记》P79 焦点三角形问题 37 从而|F1F2|=2c=6, 在 F1PF2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1| |PF2|cos 60 , 即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1| |PF2|. ① 即48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1| |PF2|. ② 由①②得|PF1| |PF2|=4. 38 若将本例中“∠F1PF2=60 ”变为“∠PF1F2=90 ”,求 F1PF2的面积. 延伸探究 F2 F1 P x y 已知P为椭圆 =1上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点, 39 新知拓展 椭圆焦点三角形的常用结论 新知拓展 椭圆焦点三角形的常用结论 证明过程: 设P为椭圆C: =1上一点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,且 PF1F2的重心为点G,若|PF1|∶|PF2|=3∶4,那么 GPF1的面积为 A.24 B.12 C.8 D.6 跟踪训练 3 √ 巩固练习 42 ∴|PF1|=6,|PF2|=8. ∴ PF1F2是直角三角形, ∵ PF1F2的重心为点G, ∴ GPF1的面积为8. 43 例. 解析: 能力提升 椭圆中距离和差最值 方法总结 椭圆中的距离和差最值的方法:化折为直法 两定点在曲线同侧;(如:定点Q、F都在椭圆内部); 方法:同侧求差最值,直接三点共线; 同侧求和最值,等价转变为线段差,然后三点共线时取最值 比如:求, 三点共线时取最值 类型一 类型二 两定点在曲线异侧; 方法:异侧求和最值,直接三点共线; 异侧求差最值,等价转变为线段和,然后三点共线时取最值 能力提升 能力提升 BD 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容? 2.椭圆的标准方程 当焦点在x轴上时 当焦点在y轴上时 1.椭圆的定义; 3.轨迹方程的求法 定义法, 待定系数法, 相关点代入法, 直接法. 作业布置: 教材P115习题3.1 第1,2,8,9,10题 +=1 已知点A,B是圆F:2+y2=4(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于点P,求动点P的轨迹方程. x2+y2=1 + 由已知得a=2,b=, 所以c===3, 由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=4, 所以 =|PF1| |PF2| sin 60 =. + ∵P为椭圆C:+=1上一点,|PF1|∶|PF2|=3∶4,|PF1|+|PF2|=2a=14, 又|F1F2|=2c=2=10,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2, =|PF1| |PF2|=24. $$