精品解析：山东省菏泽市2025届高三上学期期末考试数学试题

山东省菏泽市2025届高三上学期期末考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求得集合，利用交集的意义可求得. 【详解】由题意可得或，故. 故选：B. 2. 已知命题，；命题，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】取可判断命题，利用函数的零点存在定理可判断命题，即可得出结论. 【详解】取易得命题为假命题，故命题为真命题； 构造函数，其中， 因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 因为，，则， 所以，函数在上有且只有一个零点，命题为真命题. 因此，和都是真命题. 故选：B 3. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 相离 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心间距离及半径和差的关系判断圆与圆的位置关系. 【详解】由题意可得的半径的半径 且，故两圆相交. 故选： 4. 已知O为内部一点，，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得. 【详解】依题意， 故选：D 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式可求得，利用二倍角的正切公式可求得. 【详解】由题意可得，， 所以， 故. 故选：C. 6. 已知分别为抛物线的焦点，平行于x轴的直线与分别交于A，B两点，且，则四边形为（ ） A. 任意不规则的四边形 B. 直角梯形 C. 等腰梯形 D. 平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】设，由题设得，结合抛物线的定义列方程求得，即可得答案. 【详解】设，根据题意知，即，故， 由抛物线的定义，知， 当时，，故， 所以，即四边形平行四边形. 故选：D 7. 设甲乙：函数在区间上有唯一极值点，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】首先求得函数在区间上有唯一极值点时，的取值范围，再利用集合之间的关系，即可得答案. 【详解】由且得显然 由函数在区间上有唯一极值点，则解得 故甲是乙的必要不充分条件. 故选： 8. 已知某圆锥的高为h，且该圆锥的顶点和底面圆周上的各点均在半径为R的球O的表面上，则当圆锥的侧面展开图的圆心角与轴截面的顶角之差取得最大值时（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为l，轴截面的顶角为，侧面展开图的圆心角为，底面圆半径为r，，令，利用导数求解可求得. 【详解】设圆锥的母线长为l，轴截面的顶角为， 侧面展开图的圆心角为，底面圆半径为r，则， 侧面展开图的扇形弧长，即圆锥底面的周长， 因此 记， 则 因为在上单调递减， 且， 所以存在唯一的满足即， 且当时，，则在上单调递增； 当时则在上单调递减， 于是是的极大值点，也是最大值点，此时 则，所以① 在中②， 联立①②，得③， 如图，在圆锥中，高轴截面的顶角 则 在中，由勾股定理得 化简得④， 联立③④，得，化简得. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：求得，构造函数，利用导数可求得最大值时，，进而运算求解. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知则（ ） A. z有可能为实数 B. z不可能为纯虚数 C. 的最小值为1 D. 若z在复平面内所对应的点在第三象限，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】化简得，，结合每个选项的条件逐项计算判断即可. 【详解】由题意知，，其中， 若z为实数，则符合题意，故A正确； 由于z实部为-2，故不可能纯虚数，故B正确； 当时取得最小值，且最小值为2，故C错误； 若z在复平面内所对应的点在第三象限，则，解得，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数的定义域均为，且，则下列选项一定正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 的图象关于直线对称 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知可得，可判断A；进而可关于对称，可判断C； 【详解】因为， 所以，即， 所以关于直线对称，故A正确， 因为，，无法确定与的关系， 所以得不出，故B错误； 因为所以关于对称，即为偶函数，故C正确， 由，可得，， 因为与的关系无法确定，所以得不出，故D错误. 故选：AC. 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，P是Z上不同于长轴端点的一点，记的外接圆为S，当最大时，为等边三角形，则（ ） A. Z的离心率为 B. 若S的圆心在外，则 C. 若，则S的面积为 D. 若，则S的半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】点P位于椭圆Z的短轴端点时最大，求得椭圆的离心率判断A；考虑S的圆心在上的情况，可求得，可判断B；由正弦定理可得，进而可求面积判断C；由可得，可判断D. 【详解】 ， 当且仅当时取等号，所以点P位于椭圆Z的短轴端点时，最大， 若此时为等边三角形， 则，由椭圆的定义知，故椭圆的离心率为，故A正确； 所以，两边平方可得，所以， 若S的圆心在外，可以先考虑S的圆心在上的情况，此时为直角三角形， 不妨设P在第一象限，则， 故若S的圆心在外，此时小于S的圆心在上的情况， 故，故B正确； 若，则S的半径由正弦定理可知，故S的面积为，故C错误； 设坐标原点为O，则，故，此时P位于Z的短轴端点， 故，故，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：关键是利用余弦定理可求得的最小值，进而确定时，最大，进而可求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知递增数列的通项公式为则m的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据递增数列的定义，由,对于恒成立,即可求得的取值范围. 【详解】解：由数列是递增数列，可得, 即, 可转化为对于恒成立， 故. 故答案为: 13. 已知函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数的运算性质化简求值. 【详解】由题意，得. 故答案为： 14. 已知，为曲线上两个不同的点，过、分别作的两条切线，若这两条切线交于点，且这两条切线的斜率之积为，则当取得最小值时，__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义表示出切线方程，联立切线方程，求出、，再由两条切线的斜率之积为得到，即可用的式子表示、，代入利用基本不等式求出最小值时的值. 【详解】因为，所以，则，， 依题意可知两条切线方程分别为， 联立两条切线的方程 解得，则， 因为两条切线的斜率之积为，所以，所以， 代入上式得，， 所以， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是表示切线方程，从而求出、，再结合，转化为的式子. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记为首项为4的数列的前n项和，且是以首项为3，公比为的等比数列. （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前n项和. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用等比数列的定义写出通项公式，即可得，进而求项； （2）利用关系求数列的通项公式； （3）由（2）得，再应用错位相减法、等比数列前n项和公式求和. 【小问1详解】 由题意，得，则，则 【小问2详解】 由（1），当时，则， 又满足上式，故 【小问3详解】 由（2），得，记的前n项和为， 所以①， 则②， ①②得，， 则，故数列的前n项和为 16. 如图，四棱锥中，是等边三角形，，E为中点，O为中点. （1）证明：平面平面； （2）若，平面平面ABCD，求与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可证以平面，四边形是平行四边形，进而可证平面，利用面面平行的判定定理可证结论； （2）由题意可证，进而建立空间直角坐标系，求得平面PBC的一个法向量，与直线的方向向量，利用向量法可求与平面所成的角的正弦值. 【小问1详解】 因为在中，E为的中点，O为中点，所以， 而平面平面，所以平面. 因为，所以，所以四边形是平行四边形， 所以而平面平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 如图，连接，得 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，又，所以. 故以O为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面PBC的一个法向量为， 所以，令，则， 设直线与平面所成的角为 则， 故与平面所成的角的正弦值为 17 如图，平面四边形ABCD中AC平分 （1）若求； （2）若 （ⅰ）求； （ⅱ）求 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，进而利用余弦定理可求得； （2）（ⅰ）设则，设，利用余弦定理可求得，求解即可；（ⅱ）由于在直角三角形ACD中为锐角，可求得，进而利用二倍角的正弦公式可求得. 【小问1详解】 由题意可知AC平分因此 则， 而， 故在中，由余弦定理可得. 【小问2详解】 （ⅰ）设则，设，则， 由余弦定理可得， 所以，解得. （ⅱ）由于在直角三角形ACD中为锐角， 则 故. 18. 已知函数 （1）当时，求的单调区间； （2）当时，求曲线的对称中心； （3）当时，，求a的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导解三角函数不等式计算可得结果； （2）根据对称中心定义代入解方程组计算可得对称中心； （3）对a的取值范围进行分类讨论，再结合利用零点存在定理可得出结果. 【小问1详解】 当时， 令得或， 解得， 令得， 所以的单调递增区间为 单调递减区间为 【小问2详解】 当时，， 设曲线的对称中心为 则 ， 所以解得， 所以曲线的对称中心为 【小问3详解】 当时在上恒成立，满足题意； 当时，； 当时，， 所以在上单调递增，此时满足题意； 当时， 令， 所以在上单调递增， 又因，所以存在使得； 当时单调递减，所以，不符合题意. 综上所述：a的取值范围为 19. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线为C上不与左、右顶点重合的两点，记直线AB的斜率为中点为 （1）当直线OM斜率存在时，求用a，b表示； （2）记C在点A处切线的斜率为，在点B处切线的斜率为，证明：依次构成等差数列的充要条件为 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据已知有、，再由点差法得，即可得结果； （2）从充分性、必要性两个角度证明，应用分类讨论，结合等差数列的定义得到且A，B关于y轴对称，即可证结论. 【小问1详解】 由题意，显然，存在，显然， 直线OM斜率存在，故，则A、B不关于y轴对称，即 直线OM斜率存在，故AB不过坐标原点O，则A、B不关于原点对称，即 由题知，故， 由A，B在双曲线上，故， 两式相减得，故， 综上. 【小问2详解】 先证充分性：即时，依次构成等差数列， 当OM斜率存在时，即，显然不满足， 所以OM斜率不存在，即与y轴重合，则轴，， 由双曲线关于y轴对称，知，故依次构成等差数列. 再证必要性：即依次构成等差数列时，， 当AB过原点时，由对称性知，而AB显然不为C的切线，故，不依次构成等差数列， 当AB不过原点，由（1）得，且过的切线为， 联立，则， 整理得， 由， 所以且，则， 所以切线为，又，则， 所以C在处的切线方程为， 即，故，同理可得， 由依次构成等差数列，即，即， 由（1）得，即，化简得， 设直线且，则， 即，即，得， 此时且A，B关于y轴对称，故M在y轴上，则 故依次构成等差数列的充要条件为 【点睛】关键点点睛：第二问，从充分、必要性两个角度证明，结合直线与双曲线的位置关系得到且A，B关于y轴对称为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省菏泽市2025届高三上学期期末考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，；命题，，则（ ） A. 和都真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 相离 4. 已知O内部一点，，设，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知分别为抛物线的焦点，平行于x轴的直线与分别交于A，B两点，且，则四边形为（ ） A. 任意不规则的四边形 B. 直角梯形 C. 等腰梯形 D. 平行四边形 7. 设甲乙：函数在区间上有唯一极值点，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8. 已知某圆锥高为h，且该圆锥的顶点和底面圆周上的各点均在半径为R的球O的表面上，则当圆锥的侧面展开图的圆心角与轴截面的顶角之差取得最大值时（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知则（ ） A. z有可能为实数 B. z不可能为纯虚数 C. 的最小值为1 D. 若z在复平面内所对应的点在第三象限，则 10. 已知函数的定义域均为，且，则下列选项一定正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 的图象关于直线对称 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，P是Z上不同于长轴端点的一点，记的外接圆为S，当最大时，为等边三角形，则（ ） A. Z的离心率为 B. 若S的圆心在外，则 C. 若，则S的面积为 D. 若，则S的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知递增数列的通项公式为则m的取值范围为__________. 13. 已知函数，则__________. 14. 已知，为曲线上两个不同点，过、分别作的两条切线，若这两条切线交于点，且这两条切线的斜率之积为，则当取得最小值时，__________. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记为首项为4的数列的前n项和，且是以首项为3，公比为的等比数列. （1）求； （2）求数列的通项公式； （3）求数列的前n项和. 16. 如图，四棱锥中，是等边三角形，，E为中点，O为中点. （1）证明：平面平面； （2）若，平面平面ABCD，求与平面所成的角的正弦值. 17. 如图，平面四边形ABCD中AC平分 （1）若求； （2）若 （ⅰ）求； （ⅱ）求 18. 已知函数 （1）当时，求的单调区间； （2）当时，求曲线的对称中心； （3）当时，，求a的取值范围. 19. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线为C上不与左、右顶点重合的两点，记直线AB的斜率为中点为 （1）当直线OM斜率存在时，求用a，b表示； （2）记C在点A处切线的斜率为，在点B处切线的斜率为，证明：依次构成等差数列的充要条件为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $