第8章 立体几何初步小结（1）空间直线、平面的垂直 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019） 必修第二册

小结（1）空间直线、平面的垂直 高中数学 学习目标 进一步认识和理解直线与直线、直线与平面、平面和平面 垂直的判定定理和性质定理； 建立直线与直线、直线与平面、平面和平面垂直之间的联 系； 在解决空间直线、平面垂直问题的过程中，培养和发展空 间想象能力，提升直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学 素养． 高中数学 学习重点与难点 学习重点：建立直线与直线、直线与平面、平面和平面垂直之 间的联系． 学习难点：灵活解决空间直线、平面垂直的问题． 高中数学 复习知识 一、空间直线、平面的垂直的知识结构框图 高中数学 复习知识 二、空间直线、平面的垂直的联系 三、三类垂直问题证明的常见方法 1.证明线线垂直的常见方法 （1）定义法 （2）线面垂直 线线垂直 l    l  a a    高中数学 复习知识 三、三类垂直问题证明的常见方法 2.证明线面垂直的常见方法 （1）线线垂直 线面垂直 面面垂直 线面垂直 平行与垂直的相互转化 α l a b l  a l  b     l  a,b  a  b  A A l O      OA  OA    OA  l     l  a    b  a // b  a   a   //   β α a A 高中数学 复习知识 三、三类垂直问题证明的常见方法 证明面面垂直的常见方法 定义法 线面垂直 面面垂直 a 高中数学 例题讲解 暂停播放 例题 1：如图，在正方体ABCD  A1B1C1D1 中， 1 求证：（Ⅰ） AC  BD ； D1 B1 C1 A1 D C B A （Ⅱ） A1C 平面C1DB ； （Ⅲ）平面A1BC 平面C1DB ． 分析：（Ⅰ）这是一个证明线线垂直的问题．要么 证明直线A1C 与直线BD 所成的角为90，要么就利用线 面垂直来证明． 选择BD  平面A1 AC ． 高中数学 例题讲解 证明：（Ⅰ）如图，连接AC ． 在正方形ABCD 中， AC  BD ． 在正方体ABCD  A1B1C1D1 中， A1 A 平面ABCD ． 又因为BD  平面ABCD ，所以A1 A  BD ． 又因为A1 A  AC  A，所以BD 平面A1 AC ． 又因为A1C 平面A1 AC ，所以A1C  BD ． 线线垂直 线面垂直 线线垂直 高中数学 例题讲解 （Ⅱ） A1C 平面C1DB 分析：（Ⅱ）这是一个证明线面垂直的 问题．需要充分的分析已知条件，选择证明 直线A1C 垂直于平面C1DB 中的两条相交直线． 1 1 A C  BD  AC  BC  1   A1C 平面C1DB 高中数学 例题讲解 证明：由（Ⅰ）可知， A1C  BD ． 在正方形B1BCC1 中， BC1  B1C ． 在正方体ABCD  A1B1C1D1 中， A1B1  平面B1BCC1 ． 又因为BC1  平面B1BCC1 ，所以 A1B1  BC1 ． 又因为A1B1  B1C  B1 ，所以BC1 平面A1B1C ． 又因为A1C 平面 A1B1C ，所以 A1C  BC1 ． 又因为BD  BC1  B ，所以A1C 平面C1DB ． 线面垂直 线线垂直 线线垂直 线面垂直 高中数学 例题讲解 （Ⅲ）平面A1BC 平面C1DB 分析：（Ⅲ）这是一个证明面面垂直的 问题．要么利用定义证明两个平面所成的 二面角为90，要么就选择面面垂直的判定 定理来证明．观察图形、分析已知条件， 只要证明A1C 平面C1DB ，即可． 证明：由（Ⅱ）可知A1C 平面C1DB ． 所以平面A1BC 平面C1DB ． 线面垂直 面面垂直 高中数学 例题讲解 例题 2：如图，在正四面体V  ABC 中，点D 是 AC 中点． 求证：（Ⅰ）VB  AC ； （Ⅱ）平面ABC 平面VDB ． D V A B C 分析：（Ⅰ）这是一个证明线线垂直 的问题．要么证明直线VB 与直线AC 所成的角为90，要么就利用线面垂直来证明． 选择证明AC 平面VBD ． 高中数学 例题讲解 证明：（Ⅰ）如图， 在VAC 中， 因为VA  VC ，所以VD  AC ． 在ABC 中，同理BD  AC ． 又因为VD  BD  D ，所以AC 平面VBD ． 又因为VB 平面VBD ，所以VB  AC ． D V A B C （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 AC 平面VBD ，所以平面ABC 平面VDB ． 如果直接让大家证明平面 ABC  平面VDB ，你会 证明吗？ 高中数学 课堂小结 线面垂直 面面垂直 转化 线线垂直 转化 线线平行 面面平行 转化 转化 高中数学 l    l  a a   的常见方法 （3）平行与垂直的相互转化 证明线线垂直（1）定义法 的常见方法（2）线面垂直 （1）线线垂直 证明线面垂直（2）面面垂直 线线垂直 线面垂直 线面垂直 α l a b   l  a l  b   l   a  b  A a,b  A l O      OA   OA    OA  l     l  a  a // b   b  a  //   a    β α a 面面垂直  证明面面垂直（1）定义法 的常见方法（2）线面垂直 a 课堂小结 高中数学 课后作业 教材 P164第19、20、21题 高中数学 谢谢观看！ $$