精品解析：山东省东营市2024—2025学年上学期七年级数学期末题

2024-2025学年第一学期期末质量调研 七年级数学试题 （总分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，第I卷为选择题，30分；第II卷为非选择题，90分；本试题共7页． 2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、学校、准考证号等填写在试题和答题卡上． 3．第I卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第II卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项D能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质，，，是解题的关键．根据二次根式的性质进行化简，然后分析作出判断即可． 【详解】解：A． ，故A正确，符合题意； B．，故B错误，不符合题意； C．，故C错误，不符合题意； D．，故D错误，不符合题意． 故选：A． 3. 如图，，点D在上，下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得出，，，，证明，，据此得出选项即可． 【详解】解：， ，，，， ，即， 如图，记与的交点为， ∵， ∴， 故A、B、C正确，D不正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等． 4. 若点和点关于y轴对称，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”，可得，，再代入计算即可． 详解】点和点关于轴对称， ，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 5. 将直线向上平移2个单位长度后得到的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题一次函数()的平移，根据平移的性质“左加右减自变量，上加下减常数项”，即可找出平移后的直线解析式． 【详解】解：将直线向上平移2个单位长度后得到的函数解析式是． 故选A． 6. 下列图形中，表示一次函数与正比例函数，为常数，且的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数图象，注意：一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象．根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：根据一次函数的图象分析可得： A、由一次函数图象可知，，，与正比例函数的图象可知矛盾，故此选项不符合题意； B、由一次函数图象可知，，即，正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； C、由一次函数图象可知，，即，与正比例函数的图象可知矛盾，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知，，即，与正比例函数的图象可知矛盾，故此选项不符合题意； 故选：B． 7. 如图，在三角形中，，平分，平分，其角平分线相交于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解决本题的关键．利用三角形的内角和定理先求出与的和，再根据角平分线的性质求出，最后再利用三角形的内角和求出． 【详解】解：， ． ，分别是和的平分线， ． ， ． 故选C． 8. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则为（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用．利用勾股定理的几何意义解答． 【详解】解：由题意可知：，，，． 如图，连接， 在直角和中，， 即， ，， ． 故选：B． 9. 一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车距甲地的距离 (千米)与行驶时间 (小时)之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 客车比出租车晚4小时到达目的地 B. 客车速度为60千米/时，出租车速度为100千米/时 C. 两车出发后小时相遇 D. 两车相遇时客车距乙地还有千米 【答案】C 【解析】 【分析】观察图形可发现客车出租车行驶路程均为600千米，客车行驶了10小时，出租车行驶了6小时，即可求得客车和出租车行驶时间和速度；易求得直线和直线的解析式，即可求得交点横坐标x，即可求得相遇时间，和客车行驶距离，即可解题． 【详解】解：A、∵客车行驶了10小时，出租车行驶了6小时， ∴客车比出租车晚4小时到达目的地，故正确，不符合题意； B、∵客车行驶了10小时，出租车行驶了6小时， ∴客车速度为60千米/时，出租车速度为100千米/时，故正确，不符合题意； C、∵设出租车行驶时间为x，距离目的地距离为y，函数解析式为，将点代入得：， 则， 设客车行驶时间为x，距离目的地距离为y， 则； 当两车相遇时即时，，故错误，不符合题意； D、∵小时客车行驶了千米， ∴距离乙地千米，故正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的实际应用，正确求得一次函数解析式是解题的关键． 10. 如图，在中，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（ ） ①；②的周长的周长；③；④； A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的角平分线，中线，高．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．根据勾股定理可判断①；根据的周长的周长为，可判断②；利用面解法求出的长可判断③；根据余角和对顶角的性质可判断④． 【详解】解：∵，，， ∴，故①正确，符合题意； ②∵是中线， ∴， ∴的周长的周长，故②正确，符合要求； ③∵， ∴，\ ∴，故③正确，符合题意； ④∵是高，是角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确，符合题意． 故选A． 第II卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果． 11. 已知平面直角坐标系第四象限内的点到两坐标轴的距离都是3，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了点的坐标，正确掌握各坐标系中点的坐标特点是解题关键．利用第四象限点的坐标性质结合到两坐标轴的距离都是3，得出其坐标即可． 【详解】解：∵点P在平面直角坐标系中第四象限， ∴P点横坐标为正数，纵坐标为负数， ∵P到两坐标轴的距离都是3， ∴点P的坐标是． 故答案为：． 12. 已知，则的平方根是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根的意义，先根据算术平方根的非负性求出a，b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是． 故答案为：． 13. 若一次函数的图象过点，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，整体代入法，由一次函数的图象过点得，然后用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象过点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，△ABC中．点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点．若∠CAE=16°，则∠B为_____度． 【答案】37 【解析】 【分析】先判断出∠AEC=90°，进而求出∠ADC=∠C=74°，最后用等腰三角形的外角等于底角的2倍即可得出结论． 【详解】解：∵AD=AC，点E是CD中点， ∴AE⊥CD， ∴∠AEC=90°， ∴ ∵AD=AC， ∴∠ADC=∠C=74°， ∵AD=BD， ∴2∠B=∠ADC=74°， ∴∠B=37°， 故答案为：37°． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，求出∠ADC=74°是解本题的关键． 15. 如图，在中，，点是的垂直平分线与的交点，将沿着翻折得到，则的度数是_____． 【答案】##40度 【解析】 【分析】由线段垂直平分线性质和等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质和三角形内角和定理求得，，根据翻折的性质求得，进而求得的度数． 【详解】解：点是的垂直平分线与的交点， ， ， ，， 将沿着翻折得到， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查翻折的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理和外角的性质，解题的关键是掌握翻折的性质和线段垂直平分线的性质． 16. 如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若，则∠3＝______°． 【答案】47 【解析】 【分析】根据“边边边”证明，再根据全等三角形的性质可得∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和求出∠3＝∠1＋∠2，然后求解即可． 【详解】解：在△ABC和△ADE中，， ∴（SSS）， ∴∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2， ∴∠3＝∠ABC＋∠BAC＝∠1＋∠2， ∵， ∴， ∴． 故答案为：47． 【点睛】本题主要考查了全等三角形判定与性质以及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 17. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中的较短直角边长为，较长直角边长为，，且中间小正方形的面积为5，则大正方形的面积为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型． 由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， ∵， ∴②， 得， ∴大正方形的面积， 故答案为：9． 18. 如图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；…，记面积为，面积为，面积为，…，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及图形变化的规律，能通过计算得出（n为正整数）是解题的关键．根据题意，依次求出，，，…，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，将代入得，， 所以点得坐标为． 所以． 又因为， 所以， 所以． 因为轴，且点在直线上， 所以点得坐标为， 所以， 所以， 依次类推，， ， …， 所以（n为正整数）． 当时，． 故答案为： 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1）或； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了利用平方根的定义解方程，实数的混合运算． （1）先把两边都除以4，再利用平方根的定义求解即可； （2）先算乘方、开方、绝对值，再算加减即可求解． 【小问1详解】 解： 或 或． 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 如图，三个顶点的坐标分别为、、． （1）若与关于轴成轴对称，作出； （2）若为轴上一点，使得最小，则最小值为_____； （3）计算的面积． 【答案】（1）见解析 （2）； （3）5． 【解析】 【分析】本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路径问题，勾股定理，解决本题的关键是根据轴对称的性质准确作出点P． （1）根据轴对称的性质先分别找到点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接即可作出； （2）连接交y轴于点P，则点P即为所求，再利用勾股定理求出即可； （3）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 连接交y轴于点P，则点P即为所求， 此时， ， 即最小值为， 故答案为： 【小问3详解】 21. 如图，分别过点C、B作的边上的中线及其延长线的垂线，垂足分别为E、F． （1）求证：； （2）若的面积为6，的面积为2，求的面积． 【答案】（1）见解析； （2）10． 【解析】 【分析】（1）根据三角形中线的定义得到，再根据垂直的定义得到，则可根据“”判断，从而得到； （2）先计算出，再根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分得到，接着根据全等三角形的性质得到，然后计算即可． 【小问1详解】 证明：，， ， 是的中线， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， 是的中线， ， 又， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．也考查了三角形全等的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 22. 如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数图像与轴的交点为，与轴的交点为． （1）求一次函数解析式； （2）一次函数图像上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数交点问题等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）首先确定点的坐标，然后利用待定系数法计算一次函数解析式即可； （2）设点，再确定点坐标，易知，然后根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵正比例函数的图像与一次函数的图像交于点， ∴可有，解得， ∴点坐标； ∵一次函数的图像过点和点， 则有，解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 存在，理由如下： 设点， 对于一次函数，令， 则有，解得， ∴点，故， 根据题意可知：， 解得， 当时，， 当时，， ∴点的坐标或． 23. 我国是一个严重缺水的国家．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨1.5元，超过6吨时，超过的部分按每吨2.2元收费．该市某户居民10月份用水吨，应交水费元． （1）若，请写出与的函数关系式． （2）若，请写出与的函数关系式． （3）如果该户居民这个月交水费20元，那么这个月该户用了多少吨水？ 【答案】（1） （2） （3）这个月该户用了11吨水 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据数量关系找出函数关系式是解题关键． （1）当时，根据水费=用水量，即可求出y与x的函数关系式； （2）当时，根据“每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨1.5元，超过6吨时，超过的部分按每吨2.2元收费”，把两部分费用相加即可求出y与x的函数关系式； （3）当时，，由此可知这个月该户用水量超过6吨，将代入（2）中所求的关系式，求出x的值即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知： 当时，； 【小问2详解】 解：根据题意可知： 当时，； 【小问3详解】 解：∵当时，， 的最大值为（元），， 该户当月用水超过6吨． 令中，则， 解得：． 答：这个月该户用了11吨水． 24. 1．数学兴趣小组学习了《勾股定理》后，利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为12米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米．即米． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向下降7米，且长度不变，则他应该回收多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】（1）风筝的高度为17.6米；（2）他应该回收5米线． 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合的思想的应用． （1）根据勾股定理求出，进而求出； （2）先根据勾股定理求出下降后风筝线的长，再根据题意计算，得到答案． 【详解】解：（1）在中，米，米 由勾股定理得：米， 米， 米， 答：风筝的高度为17.6米； （2）设点A沿着方向下降7米到点M的位置，则，连接， 在中 米，米 由勾股定理得：米 米 答：他应该回收5米线． 25. 如图①，，，，相交于点M，连接． （1）求证：； （2）用含的式子表示的度数； （3）当时，的中点分别为点P，Q，连接，如图②，判断的形状，并证明． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）为等腰直角三角形．证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用证明，即可得； （2）根据得出，再利用三角形内角和定理，进一步即可得出的度数； （3）先证明，再根据全等三角形的性质，得出，然后得，进而得到结论． 【小问1详解】 证明：如图1，， ， 在和中， ， ， ． 【小问2详解】 解：如图1，∵， ， 在中，， = ， 在中， ． 【小问3详解】 解：为等腰直角三角形． 证明：如图2，由（1）得， 的中点分别为点P、Q， ， ∵， ， 在与中， ， ， ， 又， ， ， ∴为等腰直角三角形． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，准确找到全等三角形是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期末质量调研 七年级数学试题 （总分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，第I卷为选择题，30分；第II卷为非选择题，90分；本试题共7页． 2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、学校、准考证号等填写在试题和答题卡上． 3．第I卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第II卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，点D在上，下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 若点和点关于y轴对称，则值是（ ） A. B. 1 C. D. 5 5. 将直线向上平移2个单位长度后得到的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 下列图形中，表示一次函数与正比例函数，为常数，且图象的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在三角形中，，平分，平分，其角平分线相交于，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为，，，．若，，则为（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 9. 一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车距甲地的距离 (千米)与行驶时间 (小时)之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 客车比出租车晚4小时到达目的地 B. 客车速度为60千米/时，出租车速度为100千米/时 C. 两车出发后小时相遇 D. 两车相遇时客车距乙地还有千米 10. 如图，在中，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（ ） ①；②的周长的周长；③；④； A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③ 第II卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果． 11. 已知平面直角坐标系第四象限内的点到两坐标轴的距离都是3，则点的坐标为_____． 12. 已知，则平方根是_____． 13. 若一次函数的图象过点，则_____． 14. 如图，△ABC中．点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点．若∠CAE=16°，则∠B为_____度． 15. 如图，在中，，点是的垂直平分线与的交点，将沿着翻折得到，则的度数是_____． 16. 如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若，则∠3＝______°． 17. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中的较短直角边长为，较长直角边长为，，且中间小正方形的面积为5，则大正方形的面积为_____． 18. 如图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；…，记面积为，面积为，面积为，…，则的值为_____． 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算 （1）； （2）． 20. 如图，三个顶点的坐标分别为、、． （1）若与关于轴成轴对称，作出； （2）若轴上一点，使得最小，则最小值为_____； （3）计算的面积． 21. 如图，分别过点C、B作的边上的中线及其延长线的垂线，垂足分别为E、F． （1）求证：； （2）若的面积为6，的面积为2，求的面积． 22. 如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数图像与轴的交点为，与轴的交点为． （1）求一次函数解析式； （2）一次函数的图像上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 23. 我国是一个严重缺水的国家．为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨1.5元，超过6吨时，超过的部分按每吨2.2元收费．该市某户居民10月份用水吨，应交水费元． （1）若，请写出与的函数关系式． （2）若，请写出与的函数关系式． （3）如果该户居民这个月交水费20元，那么这个月该户用了多少吨水？ 24. 1．数学兴趣小组学习了《勾股定理》后，利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下： 活动课题 风筝离地面垂直高度探究 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 测量数据抽象模型 小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为12米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米．即米． 问题产生 经过讨论，兴趣小组得出以下问题： （1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度． （2）如果想要风筝沿方向下降7米，且长度不变，则他应该回收多少米线？ 问题解决 …… 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 25 如图①，，，，相交于点M，连接． （1）求证：； （2）用含的式子表示的度数； （3）当时，的中点分别为点P，Q，连接，如图②，判断的形状，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $