1.3线段的垂直平分线 知识点分类解答专项练习题 2024-2025学年北师大版八年级数学下册

2024-2025学年北师大版八年级数学下册《1.3线段的垂直平分线》 知识点分类解答专项练习题（附答案） 一、线段的垂直平分线的性质 1．如图，线段的垂直平分线相交于点O．求证：． 2．如图，AD与BC相交于点O，．求证：垂直平分．    3．如图，在中，，垂直平分，的平分线交于点P，连接，若，求的度数． 4．如图，在中，边的垂直平分线交边于点D，交边于点E，连接． (1)如图的周长为18，求的长． (2)，求的度数． 5．如图，在中，，，，的垂直平分线交、于点、，的垂直平分线交、于点、． (1)求的周长； (2)求的度数． 6．如图，在中，是边上的高，的垂直平分线交于点，且，求证：． 7．如图，在中，，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于，交于． (1)求的度数； (2)证明是等边三角形； (3)若的长为2，求的边长． 8．如图，在中，，，点D是的中点，点M在上，连接，以为边向右作等边三角形，连接，．求证： (1)． (2)． 9．如图，在等腰中，，，在边上取一点D，连接，点E为线段上一点，以为斜边作等腰，连接交于 (1)如图1，若垂直平分， ①求证：； ②判断与的关系，并说明理由； (2)如图2，M是线段CE上一点，若，求证： 二、线段的垂直平分线的判定 10．如图，在中，已知点D在上，且．求证：点D在边的垂直平分线上． 11．如图，是等边三角形，点D在外部，且，连接，交于点G． (1)求证：垂直平分； (2)在上取点E，连接，交于点F，若，试判断的形状，并说明理由． 12．已知：如图，，垂足分别为E、D．    (1)求证：； (2)连接，判断直线与的关系． 13．如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O． (1)证明：； (2)证明：垂直平分； (3)若，，求的长． 14．如图，在中，，于，点、分别在线段、上，且平分，与交于点． (1)当，是等腰三角形时，求的大小； (2)当，，求的大小． 15．如图，，与相交于点，． (1)求证：垂直平分； (2)过点作交的延长线于，如果； ①求证：是等边三角形； ②如果、分别是线段、线段上的动点，当为最小值时，请确定点的位置，并思考此时与有怎样的数量关系． 16．如图，在等腰直角三角形中，，，点在边上，作于点，连接、． (1)如图1，若平分，求证：垂直平分． (2)如图2，点是的中点，直线交于点，连接， ①求证：是等腰直角三角形． ②若，，求的长度． 17．如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴正半轴上一动点．    (1)求证：y轴是线段的垂直平分线； (2)以为边作等边，点在第一象限，作射线交轴于点，设； 若，求的度数(用含有的式子表示)； 探究线段与的数量关系，并证明． 三、作已知线段的垂直平分线 18．如图，在河岸的同侧有两村，在河边修一水泵站，使其到两村所用的水管最短（两村不共用水管）．另修一码头，使其与两村的距离相等．试画出所在的位置（不写画法，保留画图痕迹）． 19．如图，已知中，，，点为上一点，且到，两点的距离相等． (1)用直尺和圆规，作出点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，若，，求的长度？ 20．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点、点、点都在格点上，利用学具完成下列作图．    (1)作直线． (2)画线段． (3)作线段的垂直平分线． (4)过点作直线的垂线，垂足为点． 21．如图，在中，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线交于点E，交于点D（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：是等边三角形． 22．如图，在每个小正方形的边长均为个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，请用无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． (1)在图中，请以直线为对称轴，画出与成轴对称的图形． (2)在图中，请在直线上找一点，使得． (3)在图中，请在直线上找一点，使周长值最小． 参考答案： 1．证明：如图所示，连接， ∵线段的垂直平分线相交于点O， ∴， ∴． 2．证明：在 和 中， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上． 又， 点在线段的垂直平分线上 两点确定一条直线， 垂直平分 ． 3．解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（1）解：∵垂直平分， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵的周长， 即， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 5．（1）解：垂直平分，垂直平分， ，， 的周长； （2）解：由（1）知：，， ，， ， ． 6．证明：连接， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴． ． 7．（1）解：在中，，， ． 在中，， ． （2）证明：的垂直平分线交于，交于， ，， ， ， 在中，，，是边上的中线， ． ． ∴是等边三角形． （3）在中，，， ． ． 由（2）可知：是等边三角形， ． ． 8．（1）证明：∵，， ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 即； （2）证明：∵，， ∴为的垂直平分线，， ∵， ∴． 9．（1）证明：①如图，过作于点，则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 同理：， ∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 解：② ，，理由如下： 如图，过作于点，则， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由①得：，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点作的垂线交延长线于点，连接， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 10．证明：，， ， 点D在边的垂直平分线上． 11．（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴点B、D在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）解：为等边三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 12．（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：垂直平分，理由如下：如图，   ， ， ， ， ， ， 又， 垂直平分． 13．（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵分别是和的高， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∴点A、在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 14．（1）解：∵平分， ∴， 设， 当是等腰三角形时，分三种情况求解； 当时，， ∵，， ， 解得，， ∴； 当时，， ∴， 解得，， ∴； 当时，， 方程无解，此时不成立； 综上所述，的大小为或； （2）解：∵，，， ∴是等边三角形，， ∴，为的垂直平分线， 如图，连接， ∴， ∴， 同理（1），设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴的大小为． 15．（1）证明：，， ，， 在的垂直平分上，， ， 在的垂直平分上， 垂直平分； （2）①证明：设， ， ， 是的外角， ， 由（1），， ， ， ， ， ， ，即， 则， ， ， 是等边三角形； ②为最小值时，与的数量关系是， 理由： 延长至，使， ， 与关于成轴对称，过作于交于，连接， ， ，此时为最小， 由①知：，即， 即， 在中，， ， 为最小值时，与的数量关系是． 16．（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线； （2）证明：①∵，， ∴， ∵，，点是的中点， ∴，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形． ②如图，过作，且，连接，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．（1）证明：点，， ， 轴， 轴是线段的垂直平分线； （2）解：①如图，      由（1）可得：轴是线段的垂直平分线， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ； ②， 证明：如图，延长至，使，连接、，      则垂直平分， ， 由（1）可得：轴是线段的垂直平分线， ，， 是等边三角形， ，， ， 由①可得：， ，， ，， 是等边三角形， ， 轴是线段的垂直平分线， ，， ， ， ，， ， ， ． 18．解：如图所示，两点的位置即为所求 19．（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图， ∵点在线段的中垂线上， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， 即， 解得：， ∴． 20．（1）解：如图所示，    ∴直线即为所求图形； （2）解：如图所示，线段即为所求图形； （3）解：如图所示，直线即为所求图形； （4）解：如图所示，直线即为所求图形． 21．（1）解：如图所示：DE即为所求； （2）证明是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ，， ， ， 是等边三角形． 22．（1）解：如图，即为所求； （2）如图，在网格中选取点，连接，与直线的交点即为点； 证明：由勾股定理可得：，， ， ； （3）连接交直线于点，则点即为所求． 学科网（北京）股份有限公司 $$