辽宁省沈阳市东北育才学校超常教育实验部2024届高三下学期第十一次模拟考试数学试题

2024届东北育才学校超常教育实验部 高三年级 数学学科 第十一次模拟考试 考试时间：2024.6.4 120 分钟 试卷满分： 150 分 命题人： 高三数学组 一、单选题 1．若是关于的实系数方程的一个复数根，且，则（    ） A． B． C． D． 2．若函数与其反函数的图像有交点，则实数的值可以是（    ） A．1 B． C．2 D． 3．甲､乙等6名高三同学计划今年暑假在，四个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个同学去打卡游玩，每位同学都会选择一个景点打卡游玩，且甲､乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（    ） A．96种 B．132种 C．168种 D．204种 4．在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（   ）    A． B． C． D． 5．若直线平分圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D．或 6．已知函数，若满足（、、互不相等），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（    ）    A． B．1 C． D．2 8．已知函数，若，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题正确的是（    ） A．数据4，6，7，7，8，9，11，14，15，19的分位数为11 B．已知变量x，y的线性回归方程，且，则 C．已知随机变量，最大，则的取值为3或4 D．已知随机变量，，则 10．已知正方体边长为2，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A．当时，则直线平面 B．当时，的最小值为 C．当时，的取值范围为 D．当，且时，则点的轨迹长度为 11．我们把方程的实数解称为欧米加常数，记为.和一样，都是无理数，还被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是（    ） A． B． C．，其中 D．函数的最小值为 三、填空题 12．已知集合，若且，则实数的取值范围是 . 13．圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 cm. 14．已知实数，满足，则的取值范围是 . 四、解答题 15．已知是函数的一个极值点. (1)求； (2)求函数的单调区间； (3)若函数有3个零点，求的取值范围. 16．如图（1），正三棱柱，将其上底面ABC绕的中心逆时针旋转，，分别连接得到如图（2）的八面体    (1)若，依次连接该八面体侧棱的中点分别为M，N，P，Q，R，S， （ⅰ）求证：共面； （ⅱ）求多边形的面积； (2)求该八面体体积的最大值． 17．19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，该不等式被称为切比雪夫不等式，它可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件做出估计.若随机变量具有数学期望，方差，则切比雪夫定理可以概括为:对任意正数，不等式成立.已知在某通信设备中，信号是由密文“”和“”组成的序列，现连续发射信号次，记发射信号“”的次数为. (1)若每次发射信号“”和“”的可能性是相等的， ①当时，求； ②为了至少有的把握使发射信号“”的频率在与之间，试估计信号发射次数的最小值； (2)若每次发射信号“”和“”的可能性是，已知在2024次发射中，信号“”发射次的概率最大，求的值. 18．网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图． (1)为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角不能超过，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形，，，而客户家门高度为米，其他过道高度足够．若以倾斜角的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由． (2)由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为米．记此冰箱水平截面为矩形，．设，当冰箱被卡住时(即点、分别在射线、上，点在线段上），尝试用表示冰箱高度的长，并求出的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到） 19．已知椭圆C：，四点中恰有三点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点，若直线与直线的斜率的和为，证明：l过定点． (3)如图，抛物线M：的焦点是F，过动点的直线与椭圆C交于P，Q两点，与抛物线M交于两点，且G是线段PQ的中点，是否存在过点F的直线交抛物线M于T，D两点，且满足，若存在，求直线的斜率k的取值范围；若不存在，说明理由．    高三年级 数学试卷 第2页 共5页 高三年级 数学试卷 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$