第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组（优质类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组思维导图 【类型覆盖】 类型一、不等式的整数解 【解惑】若，则式中的n可能表示的不同自然数有（   ）个 A．4 B．5 C．6 D．7 【融会贯通】 1．若关于x的不等式的最小整数解是，则m的取值范围是⋯（    ） A． B． C． D． 2．已知两边长分别为和的两个全等三角形，第三边的长都是不等式的正整数解，则这样的全等三角形有 对． 3．不等式的非负整数解是 ． 类型二、不等式组的整数解 【解惑】若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若关于的不等式组的整数解共有2个，则的取值范围是（） A． B． C． D． 2．如果关于的不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 3．若关于的不等式组的整数解有且只有一个，则的取值范围是 ． 类型三、不等式组与方程组结合 【解惑】若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 【融会贯通】 1．已知关于x，y的方程组的解满足，，若k为整数，且关于k的不等式的解集为，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 2．若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 3．若关于x的不等式有且只有3个整数解，且关于x，y方程组的解为整数，则满足条件的整数a的值为 ． 类型四、不等式(组)的绝对值 【解惑】先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． 【融会贯通】 1．在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式和的解集． 小明同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求和的解集．确定的解集过程如图1： 先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下： (1)请将小明的探究过程补充完整； 所以，的解集是或______①___________． 再来确定的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离小于2的所有点所表示的数，请你在图2的数轴上确定范围②； 所以，的解集为：_______③________． 经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式的解集为___________④___________，的解集为___________⑤___________． 请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题： (2)求绝对值不等式的解集． 2．阅读下列材料：我们知道表示的是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，对表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离． 例1解方程． 解：∵， ∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为，即该方程的解为． 例2解不等式． 解：如图，首先在数轴上找出的解，即到1的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： （1）方程的解为______； （2）解不等式； （3）若，则的取值范围是_______； （4）若，则的取值范围是_______． 3．阅读： 我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解:（1）当，即时： 解这个不等式，得： 由条件，有： （2）当，即 时， 解这个不等式，得： 由条件，有： ∴   如图， 综合（1）、（2）原不等式的解为： 根据以上思想，请探究完成下列个小题： ； 类型五、延伸拓展——分式与二次不等式 【解惑】我们已经学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题： (1)阅读理解：解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或， 解不等式组，得；解不等式组，得． 原不等式的解集为或． 问题解决：根据以上材料，解不等式． (2)已知关于，的方程组的解满足不等式组，求满足条件的的整数值． 【融会贯通】 1．阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则 即可以写成： 解不等式组得： ②当若，则 即可以写成： 解不等式组得： 综合以上两种情况：不等式解集：或． （以上解法依据：若，则a，b同号）请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 2．自学下面材料后，解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：；等．那么如何求出它们的解集呢？ 根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：若，，则；若，，则；若，，则；若，，则． （1）反之：若，则或；若，则______或_______． （2）根据上述规律，求不等式的解集． （3）直接写出分式不等式的解集___________． 3．阅读下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式． 小亮在解分式不等式时，是这样思考的：根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组： ①或② 解不等式组①得， 解不等式组②得． 所以原不等式的解集为或． 请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式． 类型六、不等式比较大小应用 【解惑】阅读理解并解答： (1)我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ，． 则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______． (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值． (3)已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． (4)若，，试比较、的大小，并说明理由． 【融会贯通】 1．已知代数式和． (1)比较与的大小（用等号或不等号填空）． ①当时，计算得：______； ②当时，计算得：______； ③当时，计算得：______； (2)根据（1）的计算结果猜想和的大小关系，并说明理由． 2．请认真阅读下面的材料： 小李在学习了不等式的知识后，发现如下正确结论： 若，则；若，则；若，则． 下面是小李利用这个结论解决问题的过程： 试比较与的大小． 解：， 请运用这种方法尝试解决下面的问题： (1)填空：______（填“”或“=”或“”）； (2)若，试比较与的大小（写出相应的解答过程）； (3)比较与的大小． 3．先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式的最小值． 解：， 的最小值是1 请利用以上方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值____________； (2)若代数式有最小值是6，求k的值____________； (3)判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值； (4)已知a、b为任意值，试比较与的大小关系，并说明理由． 类型七、不等式中的规律 【解惑】如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y（单位：cm）随着碗的数量x（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据： 个 1 2 3 4 6 8.4 10.8 13.2 (1)依据小亮测量的数据，写出y与x之间的函数表达式，并说明理由； (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8cm，求此时碗的数量最多为多少个？ 【融会贯通】 1．观察表格 x …… 0 1 2 …… …… 0 a …… …… b 0 2 …… …… 1 3 5 …… (1) ______， ______； (2)用文字语言表述代数式的值随x的变化规律______； (3)下列判断：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中所有正确结论的序号是______； (4)若，直接写出x的取值范围． 2．数学活动课上，同学们根据学习“二次根式”及“乘法公式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究“当，时，与的大小关系”． 下面是探究过程． ①具体运算，发现规律： 当，时， 特例1：若，则； 特例2：若，则； 特例3：若，则； ②观察、归纳，得出猜想： 当，时，． ③证明猜想： 当，时， ， ， 当且仅当时，． 请你利用发现的规律，解答以下问题． (1)当时，的最小值为 ． (2)当时，的最小值为 ． (3)当时，的最大值为 ． 3．综合与实践： 合肥市某中学为了让学生增加课外阅读的机会，计划修建一条读书走廊，并准备用若干块带有圆形花纹和没有圆形花纹的两种大小相同的正方形地砖搭配在一起，按如图①所示的排列方式铺满走廊，已知每块正方形地砖的边长均为． 【观察思考】 当带有圆形花纹的地砖只有1块时，没有花纹的地砖有8块（如图②）；当带有圆形花纹的地砖有2块时，没有花纹的地砖有13块（如图③）；…；以此类推． 【规律总结】 （1）按图示规律，第一个图案（图②）的长为 ，第五个图案的长为 ； （2）若这条走廊的长为，带有圆形花纹的地砖块数为n（n为正整数），则 （用含n的代数式表示）； 【问题解决】 （3）若要使走廊的长不小于72，则至少需要带有圆形花纹的地砖多少块？ 类型八、不等式中的新定义 【解惑】定义：多项式化简后的项数记作，例如多项式，则．多项式，，满足．如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”． (1)若，均是关于的多项式，则是不是的“好多项式”？请判断并说明理由； (2)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，求的值． 【融会贯通】 1．阅读下列材料：定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的相伴方程． (1)方程是不是不等式组的相伴方程？请说明理由； (2)若关于的方程是不等式组的相伴方程，求的取值范围． 2．定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的【相伴方程】． (1)在下列方程中：；；，与不等式组是 【相伴方程】的是 ；（填序号） (2)若不等式组的一个【相伴方程】的解是整数，则这个【相伴方程】可以是 ；（写出一个即可） (3)若方程，都是关于的不等式组 的【相伴方程】，求的取值范围． 3．阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值，称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”，例：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： （1）请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”______（直接填写序号）； ①；②；③ （2）若关于x，y的方程组与不等式有“理想解”，求a的取值范围； （3）若关于x，y的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），求b的取值范围． 类型九、一次函数与不等式的新定义 【解惑】在平面直角坐标系中，对于点P和多边形G，给出如下的定义：如果点P到多边形G每一边所在直线的距离均不小于多边形G最短边长度的，则称P为多边形G的“长聚点”．已知点，，，． (1)在点，，，，______是正方形的“长聚点”； (2)已知点，点是正方形OABC在第一象限中的“长聚点”，且，结合图形，求a的最小值； (3)将点O、A、B、C分别向右平移个单位，得到点、、、，已知点，，．若对内（不含边界）的每一点Q，都有正方形的“长聚点”，将点关于直线的对称点记作，满足点Q和关于直线对称，直接写出t的取值范围． 【融会贯通】 1．深圳百合外国语学校八年级某数学学习小组在研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数的图象和性质做了探究．下面是该学习小组的探究过程，请补充完整： (1)列表：表格是y与x的几组对应值，请将表格补充完整： x －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y a －1 0 1 2 b 2 1 0 … 表格中a的值为 ，b的值为 ． (2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象： (3)请观察函数的图象，回答下列问题： ①不等式的解集为 ； ②若，为该函数图象上不同的两点，则m＝ ； ③定义，例如，，则函数的最大值为 ． 2．定义运算：当时，；当时，；如：；；，根据该定义运算完成下列问题： (1)______，当时，______； (2)若，求x的取值范围； (3)如图，已知直线与相交于点，若，结合图象，直接写出x的取值范围是______． 3．定义：对于关于x的一次函数，我们称函数为一次函数的“a变换函数”（其中a为常数）． 例如：对于关于x的一次函数的“5变换函数”为      (1)一次函数的“0变换函数”为y＝　 　． (2)在网格中补全一次函数的“2变换函数”图象，并完成下列问题： ①对于一次函数的“2变换函数”，当时，求y的值；当时，求x的值； ②对于一次函数的“2变换函数”，当时，y的取值范围是 　 　． (3)当一次函数的“a变换函数”与直线y＝2有一个交点时，直接写出a的取值范围． 类型十、项目化学习 【解惑】项目化学习 项目主题：哪一款手机资费套餐更合适． 项目背景：做一件事情、有时会有不同的实施方案，比较这些方案，从中选择最佳方案是非常有必要的．手机作为日常生活的必备品，在我们身边有着举足轻重的作用．某校综合实践小组以探究“哪一款手机资费套餐更合适”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究“哪一款手机资费套餐更合适”． 研究步骤： （1）实地走访，调查使用最广泛且性价比较高的几种资费套餐； （2）查看小明妈妈手机近几个月的话费账单，初步筛选出可供选择的两种资费套餐； （3）数据分析，形成结论． 收集数据： 套餐名称 套餐内容 超出套餐资费 月费 流量 通话 流量 通话 A 60元 30GB 500分钟 5元/GB 0.1元/分钟 B 180元 60GB 1000分钟 3元/GB 套餐说明：月资费月费超出套餐资费（流量超出费+通话超时费）；套餐内，流量和通话均免费，只收取月费，超出套餐内容额外计费． 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务． (1)建立模型：据调查显示，小明妈妈的手机通话时长没有超出套餐内容，因此只需研究流量与手机资费的关系： ①小明妈妈5月份的通话时长为480分钟，使用流量，若使用A套餐，这个月她的手机资费是______元； ②设小明妈妈每月手机资费为y（元），每月使用流量为，通过分析数据，完成下面的填空． A套餐：当时，______；B套餐：当时，______． (2)图象表示：为了更直观地比较，请你在同一平面直角坐标系中分别画出A套餐和B套餐每月手机资费y（元）关于每月使用流量的函数图象．下面已给出部分图象，请你补充完整． (3)应用模型：结合上面信息，请你为小明妈妈提出一条套餐使用建议． 【融会贯通】 1．【项目式学习】 项目主题：数学智慧拼图 项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展，王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展以“数学智慧拼图”为主题的项目式学习． 任务一：观察建模 （1）如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别为y，，小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组则_________，_________． 任务二：推理分析 （2）第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积． 任务三：设计方案 （3）第三小组领了A，B，C三种类型的矩形卡片，它们的长都为18，宽分别为a，b，c，其中且a，b，c均为正整数，分别取A，B，C卡片2，3，4张，把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A，B，C卡片3，2，5张，则能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠）？如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a，b，c的值；如果不能，请说明理由． 2．项目化学习． 项目主题：优化运输方案 项目背景：临沂被称为物流之都，在临沂你没有发不出的货，也没有临沂物流到不了的地方，物流产业为我们的社会生产生活带来了极大的方便．某校综合实践活动小组以探究“优化某企业运输方案”为主题开展了项目化学习． 驱动任务：探究运输商品和总运费之间的关系 研究步骤： ①收集某公司每月运往各地商品的信息； ②对收集的信息，用适当的方法描述； ③信息分析，形成结论． 数据信息： 信息1，某物流公司每月要将某企业的2000件商品分别运往A，B，C三地，其中运往C地的总费用与运往A地总费用相同； 信息2，各地的运费如下表所示： 运送地点 A地 B地 C地 运费（元/件） 40 20 30 问题解决： (1)设每月运往A地的商品x件，运往B地的商品y件，则运往C地的商品为 件（用含x，y的式子表示），请写出y与x之间的数量关系为 ； (2)设运往A，B，C三地的总运费为w（元），试写出w与x的函数关系式； (3)若某月运往B地的商品件数不超过运往A地的商品件数，求最少可运往A地商品多少件才能使总运费最少？最少为多少元？ 3．近几年，我国快递市场跟随电商经历了爆发式增长，快递已成为人们生活的一部分．越来越多的人选择通过快递公司代办点邮寄包裹，那么选择哪家快递公司更合算呢？以此为驱动问题，某校八年级开展了项目学习．以下是李华同学帮家人选择更优惠的快递公司的活动报告（不完整），请仔细阅读并完成相应任务． 为家人选择更优惠的快递公司活动报告 一、收集信息 经了解我家附近有甲、乙两个不同的快递公司代办点，服务质量同等，爸爸妈妈邮寄快递通常是随机去其中的一个代办点．他们邮寄的快递都是省外且在以内，体积一般较小．快递费通常是由首重费和续重费组成，以为单位计费，不足按计费．取实际重量和体积重量（长宽高，单位）中两者较大值作为物品重量计费． 甲、乙两个代办点省外邮寄费用标准如下： 甲：首重收费8元，续重5元；（即所寄物品重量不超过时收费8元，重量超过时超过部分按每千克加收5元计费） 乙：首重收费10元，续重4元． 二、建立模型 １．发现所寄物品的快递费用（元）与物品重量之间存在函数关系，与之间的关系式为： 在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图象（如图，不完整），两图象交于点．    三、解决问题 我们可以根据图象推断哪个快递公司更优惠．结论如下： …… 任务： (1)请将函数图像补充完整（在图中画出的函数图象），直接写出点的坐标，并根据图象推断哪个快递公司更优惠． (2)同一个问题可以有不同的解决策略，李华借助一次函数的图象解决了这个问题，请你想想，此问题还可以借助哪些知识解决． (3)同一策略可以帮助我们解决生活中的许多共性问题，例如以上策略还可以解决哪款手机套餐资费更划算的问题，请你再举出一个利用以上策略解决的实际问题． 【一览众山小】 1．已知，若是任意实数，则下列不等式始终成立的是（   ） A． B． C． D． 2．若关于的一元一次不等式组的解集是，且是非正整数，则所有满足条件的的积为（   ） A． B．2 C．0 D． 3．若关于x的一元一次不等式的解集中每一个x的值都能使不等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知关于x的方程的解大于且小于4，则k的取值范围为 ． 5．为了发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，共有道题．评分标准为：答对题得分，答错题扣分，不答扣分．某同学有道题未答，并且得分超过了分，则他至少答对了 道题． 6．若关于的不等式组的解集中任意的值，都能使不等式成立，则的取值范围是 ． 7．解下列不等式（组） (1) (2) 8．为了提升学生的数学素养，某校八年级举行说题比赛，购买，两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是元和元．根据比赛设奖情况，需购买两种笔记本共本，并且购买种笔记本的数量要不少于种笔记本数量的． (1)问至少购买种笔记本多少本？ (2)当购买这两种笔记本各多少本时，费用最少？最少的费用是多少元？ 9．若一个不等式组有解且解集为（），则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含． (1)已知关于的不等式组：，以及不等式组：， ①的解集中点值为 ． ②不等式组对于不等式组 （填“是”或“不是”）中点包含． (2)已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围． (3)关于的不等式组：（）和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之积为，求的取值范围． 10．对于平面直角坐标系中的点与图形，我们给出如下定义：若，将图形关于直线对称，得到图形；若，将图形向上平移个单位长度，得到图形．并称为图形关于点的“斗转星移图”． (1)点关于点的“斗转星移图”为________； (2)若点关于点的“斗转星移图”坐标为，求的值； (3)已知点，点，点，点，点，，若线段关于点的“斗转星移图”与线段关于点的“斗转星移图”有公共点，则的取值范围是________． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组思维导图 【类型覆盖】 类型一、不等式的整数解 【解惑】若，则式中的n可能表示的不同自然数有（   ）个 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式的解集为，即可求解． 【详解】解：， 解得， ∴n可能表示的不同自然数5个， 故选：B． 【融会贯通】 1．若关于x的不等式的最小整数解是，则m的取值范围是⋯（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解关于的不等式求得，根据不等式的最小整数解是即可作答． 【详解】解：， 移项，得：， 不等式的最小整数解是， ， 故选：B． 2．已知两边长分别为和的两个全等三角形，第三边的长都是不等式的正整数解，则这样的全等三角形有 对． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解一元一次不等式，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 根据三角形的三边关系得到第三边的取值范围，再解一元一次不等式得，即可得到，从而得到正整数解即可得到结论． 【详解】解：根据题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的正整数解为：三个， ∴这样的全等三角形有对， 故答案为： ． 3．不等式的非负整数解是 ． 【答案】 【分析】此题考查了求不等式的非负整数解．先解不等式求出不等式的解集，再找出非负整数解即可． 【详解】解： 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴不等式的非负整数解是． 故答案为：． 类型二、不等式组的整数解 【解惑】若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式组的整数解，列出关于的不等式组，再借助数轴做出正确的取舍．首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围． 【详解】解：由得，， ， 故原不等式组的解集为：， 不等式组的正整数解有4个， 其整数解应为：3、4、5、6， 的取值范围是． 故选：D 【融会贯通】 1．若关于的不等式组的整数解共有2个，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组的应用，先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解进而求得的取值范围，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：不等式组整理得：，即， ∵不等式组的整数解共有2个， ∴不等式组的整数解为，， ∴的取值范围为：， 故选：D． 2．如果关于的不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解答本题的关键是求出的取值范围． 先分别解出两个不等式的解，根据不等式组有且只有个整数解可以是，，，，，即可得到，解得，可以求得满足条件的整数的值，然后求出它们的和即可． 【详解】解：由，得， 由，得， 关于的不等式组有且只有个整数解， 这个整数解是，，，，， ， 解得：， 满足条件的整数的值为，，， 符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 3．若关于的不等式组的整数解有且只有一个，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．首先解每个不等式，然后根据不等式组的整数解的个数，确定整数解，从而确定a的范围． 【详解】解， 解①得， 解②得， 则不等式组的解集是． ∴， ∴， ∵不等式组有1个整数解，则整数解是0． ∴， 解得： 综上：， 故答案是：． 类型三、不等式组与方程组结合 【解惑】若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 【答案】D 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是： ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 【融会贯通】 1．已知关于x，y的方程组的解满足，，若k为整数，且关于k的不等式的解集为，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解含有参数的二元一次方程组和一元一次不等式组，根据题意，求出k的范围是解题的关键．先求出关于x，y的方程组的解，再根据，，列不等式求出k的范围，再根据关于k的不等式的解集为，可得，进一步缩小k的范围，最后再根据k为整数，即可得出k的值． 【详解】解：解方程组，得， ∵，， ∴， 解得， 又∵关于k的不等式的解集为：， ∴， 解得， ∴k的范围为． 又∵k为整数， ∴． 故选：B． 2．若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7， ∴满足条件的整数之和是， 故答案为：． 3．若关于x的不等式有且只有3个整数解，且关于x，y方程组的解为整数，则满足条件的整数a的值为 ． 【答案】4或1或0 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组．根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数，列式计算，据此求解即可． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组只有3个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入④得：，解得 方程组的解为：， ∵， ∴， 关于的方程组的解为整数， 或或或或或， 或或或或， 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，是整数，符合题意； 所有满足条件的整数的值为4或1或0， 故答案为：4或1或0． 类型四、不等式(组)的绝对值 【解惑】先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有大于－6而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有小于－6的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求的值． 【答案】(1)；或 (2) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、二元一次方程组的特殊解法，求一元一次不等式组的整理数解等知识点，理解绝对值的几何意义是解答本题的关键． （1）根据阅读材料的结论即可解答； （2）先将二元一次的方程组的两方程求和可得，再代入得到关于的绝对值方程，然后求解，最后确定满足题意的的值即可． 【详解】（1）解：由阅读材料提供方法可得：的解集为； 的解集为或． 故答案为；或． （2）解：二元一次方程组 可得：，即 ， 是正整数 ． 【融会贯通】 1．在数学课外小组活动中，老师提出了如下问题： 如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式和的解集． 小明同学的探究过程如下： 先从特殊情况入手，求和的解集．确定的解集过程如图1： 先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离大于2的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如下： (1)请将小明的探究过程补充完整； 所以，的解集是或______①___________． 再来确定的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到原点的距离小于2的所有点所表示的数，请你在图2的数轴上确定范围②； 所以，的解集为：_______③________． 经过大量特殊实例的实验，小明得到绝对值不等式的解集为___________④___________，的解集为___________⑤___________． 请你根据小明的探究过程及得出的结论，解决下列问题： (2)求绝对值不等式的解集． 【答案】(1)①；②见解析；③；④或；⑤； (2)． 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法、绝对值的性质；熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键． （1）根据题意即可求得； （2）将的数字因数2化为1后，根据以上结论即可得． 【详解】（1）解：①∵， ∴或 故答案为：． 如下图： ∵， ∴ 故答案为：； ∵ ∴或； 故答案为：或 ∵ ∴； 故答案为： （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．阅读下列材料：我们知道表示的是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，对表示在数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离． 例1解方程． 解：∵， ∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为，即该方程的解为． 例2解不等式． 解：如图，首先在数轴上找出的解，即到1的距离为2的点对应的数为，3，则的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： （1）方程的解为______； （2）解不等式； （3）若，则的取值范围是_______； （4）若，则的取值范围是_______． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】（1）利用绝对值的性质，直接化简进而求出即可； （2）将原式化解为，首先在数轴上找出的解，即或，则的解集为到-2的距离小于4的点对应的所有数，写出解集即可； （3）表示到1的点与到-2的点距离和为3，-2与1之间的距离为3，据此可得出答案； （4）表示数x到1的距离，表示数x到-2的距离，表示数到1的距离减去数x到-2的距离，然后分三者情况讨论y的取值即可． 【详解】解：（1）， ， 解得：， 故答案为：； （2） ， 首先找的解， 即到-2距离为4的点对应的数为-6和2， 表示到-2的距离小于4的点对应的所有数， 不等式解集为； （3）， 表示到1的点与到-2的点距离和为3， -2与1之间的距离为3， ； 故答案为：； （4）， 表示数x到1的距离， 表示数x到-2的距离， 表示数x到1的距离减去数x到-2的距离， 当x在点1右边时，， 当x在点-2左边时，， 当x在-2到1之间时，， ； 故答案为：． 【点睛】本条考查含有绝对值的方程和不等式的解法，正确对x的范围进行讨论，转化为一般的不等式是关键． 3．阅读： 我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解:（1）当，即时： 解这个不等式，得： 由条件，有： （2）当，即 时， 解这个不等式，得： 由条件，有： ∴   如图， 综合（1）、（2）原不等式的解为： 根据以上思想，请探究完成下列个小题： ； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分①x+1≥0，即x≥-1，②x+1<0，即x<-1，两种情况分别求解可得； （2）分①x-2≥0，即x≥2，②x-2<0，即x<2，两种情况分别求解可得． 【详解】， ①当，即时：， 解这个不等式，得： 由条件，有：； ②当，即 时： 解这个不等式，得： 由条件，有：, ∴   综合①、②，原不等式的解为：． （2） ①当，即时： 解这个不等式，得： 由条件，不符合，舍去； ②当，即时：， 解这个不等式，得： 符合条件 综合①、②，原不等式的解为： 【点睛】考查解一元一次不等式，读懂题目中含绝对值的不等式的解题的方法是解题的关键. 类型五、延伸拓展——分式与二次不等式 【解惑】我们已经学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题： (1)阅读理解：解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或， 解不等式组，得；解不等式组，得． 原不等式的解集为或． 问题解决：根据以上材料，解不等式． (2)已知关于，的方程组的解满足不等式组，求满足条件的的整数值． 【答案】(1) (2)可取的整数值为，． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及二元一次方程组的解法，熟练掌握求不等式组的解集及二元一次方程组的解的方法是解题关键． （1）根据阅读材料可得：当和异号时不等式成立，据此即可转化为不等式问题求解即可； （2）根据题意求出方程组的解，然后代入不等式组求解即可． 【详解】（1）解：根据两数相乘，异号得负，原不等式可以转化为：或． 解不等式组，不等式组无解； 解不等式组 ，解得． 所以原不等式组的解集为：； （2）解： 得：，解得， 将代入①得，， ∴方程组的解为， ∵， ∴， 解不等式组得：， ∴可取的整数值为，． 【融会贯通】 1．阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则 即可以写成： 解不等式组得： ②当若，则 即可以写成： 解不等式组得： 综合以上两种情况：不等式解集：或． （以上解法依据：若，则a，b同号）请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据例题可得：此题分两个不等式组和，分别解出两个不等式组即可； （2）根据两数相乘，异号得负可得此题也分两种情况）①，②，解出不等式组即可． 【详解】（1）当时，， 可以写成, 解得：； 当时，， 可以写成, 解得：， 综上：不等式解集：或； （2）当时，， 可以写成， 解得； 当时，， 可以写成， 解得：无解， 综上：不等式解集：． 【点睛】此题主要考查了不等式的解法，关键是正确理解例题的解题根据，然后再进行计算． 2．自学下面材料后，解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：；等．那么如何求出它们的解集呢？ 根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：若，，则；若，，则；若，，则；若，，则． （1）反之：若，则或；若，则______或_______． （2）根据上述规律，求不等式的解集． （3）直接写出分式不等式的解集___________． 【答案】（1）或；（2）或；（3）或 【分析】（1）根据有理数的运算法则，两数相除，同号得正，异号得负即可解答. （2）根据不等式大于0得到分子分母同号，再分类讨论即可. （3）观察不等式后，发现分子相同且为正数，故只需要比较分母，再对分母的正负性进行分类讨论即可. 【详解】解：(1)若，则分子分母异号，故 或 故答案为： 或 . (2)∵不等式大于0，∴分子分母同号，故有： 或 解不等式组得到：或. 故答案为：或. (3)由题意知，不等式的分子为是个正数，故比较两个分母大小即可. 情况①：时，即时，，解得：. 情况②：时，即时，，解得：. 情况③：时，此时无解. 故答案为：或. 【点睛】本题借助有理数的除法法则考查了不等式的解法，题目比较新颖，需要进行分类讨论，将分式型不等式化成不等式组的形式处理是解决此题的关键；第3问中分子相同且为正数，故对分母的大小及正负性分类讨论. 3．阅读下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式． 小亮在解分式不等式时，是这样思考的：根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组： ①或② 解不等式组①得， 解不等式组②得． 所以原不等式的解集为或． 请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式． 【答案】 【分析】根据题意，由材料中的解不等式的方法进行解不等式，即可求出答案. 【详解】解：根据题意， ∵，则； ∵， 分式不等式可转化为下面两个不等式组： ①或② 解不等式组①，得：， 解不等式组②，得：无解， ∴原不等式的解集为：. 【点睛】本题考查了解不等式组，以及解分式不等式，解题的关键是熟练掌握材料，利用材料的方法进行解题. 类型六、不等式比较大小应用 【解惑】阅读理解并解答： (1)我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ，． 则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______． (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值． (3)已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． (4)若，，试比较、的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2)最大值，相应的的值为 (3) (4)，理由见解析 【分析】（1）根据题意可直接写出代数式的最小值，通过解一元一次方程即可求出此时相应的的值； （2）利用完全平方公式可将代数式变形为，进而利用不等式的性质可得，于是可知其最大值是，再通过解一元一次方程即可求出此时相应的的值； （3）利用完全平方公式可将已知条件变形为，于是可得，，通过解一元一次方程即可求出、的值，利用三角形三边之间的关系可得，即，再结合是中最长的边，即可求出的取值范围是； （4）根据已知条件可得，利用完全平方公式可将其变形为，利用不等式的性质可得，于是可得结论． 【详解】（1）解：根据题意可得： 当代数式取得其最小值时，， 解得：， 代数式的最小值是，这时相应的的值是， 故答案为：，； （2）解： ， ， ， ， 当代数式取得其最大值时，， 解得：， 代数式的最大值是，这时相应的的值为； （3）解：，，是的三边长，且满足， ， ， ， ， ， ，， 解得：，， ， ， 是中最长的边， ， 的取值范围是； （4）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，不等式的性质，解一元一次方程，等式的性质，三角形三边之间的关系，整式的加减运算，有理数大小比较等知识点，利用完全平方公式对代数式或等式进行适当变形是解题的关键． 【融会贯通】 1．已知代数式和． (1)比较与的大小（用等号或不等号填空）． ①当时，计算得：______； ②当时，计算得：______； ③当时，计算得：______； (2)根据（1）的计算结果猜想和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)；； (2)，理由见解析 【分析】本题考查不等式的性质和完全平方公式， （1）把的值分别代入和，求出结果后比较即可； （2）求出，再根据平方的非负性质及不等式的性质即可得出结论； 能求出是解题的关键． 【详解】（1）解：①当时，得： ，， ∴； ②当时，得： ，， ∴； ③当时，得： ，， ∴， 故答案为：；；； （2）猜想：． 理由：， ∵不论为何值，， ∴， ∴． 2．请认真阅读下面的材料： 小李在学习了不等式的知识后，发现如下正确结论： 若，则；若，则；若，则． 下面是小李利用这个结论解决问题的过程： 试比较与的大小． 解：， 请运用这种方法尝试解决下面的问题： (1)填空：______（填“”或“=”或“”）； (2)若，试比较与的大小（写出相应的解答过程）； (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3)当时， 当时， 当时， 【分析】（1）根据阅读学习的基本方法，作差计算解答即可． （2）根据阅读学习的基本方法，作差计算解答即可． （3）根据阅读学习的基本方法，分类，作差计算解答即可． 本题考查了不等式的应用，数的大小比较，熟练掌握大小比较的基本原则是解题的关键． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ 故． （3）解：∵ ， 当时，，此时 当时，，此时 当时，，此时． 3．先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式的最小值． 解：， 的最小值是1 请利用以上方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值____________； (2)若代数式有最小值是6，求k的值____________； (3)判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值； (4)已知a、b为任意值，试比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)2； (2)； (3)有最大值，最大值为12； (4)，理由见解析 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，不等式的性质．掌握完全平方式恒大于等于0是解题的关键． （1）仿照例题，将代数式化为完全平方式求解即可； （2）仿照例题，将代数式化为完全平方式，再根据最小值，得到，求出的值即可 （3））仿照例题，将代数式化为完全平方式，再结合不等式的性质求解即可； （4）将两个代数式作差，再结合完全平方式求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值是2； （2）解：， ， ， 有最小值是6， ， ， （3）解：， ， ， ， 有最大值，最大值为12； （4）解：，理由如下： ， ，， ， ， ． 类型七、不等式中的规律 【解惑】如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y（单位：cm）随着碗的数量x（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据： 个 1 2 3 4 6 8.4 10.8 13.2 (1)依据小亮测量的数据，写出y与x之间的函数表达式，并说明理由； (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8cm，求此时碗的数量最多为多少个？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)10个 【详解】解：（1），理由如下： 由表中的数据，x增加1，y增加2.4， 是x的一次函数，设， 由题意得解得 与x之间的函数表达式为（且为整数）； （2）设碗的数量有x个，则，解得， 的最大整数解为10． 答：此时碗的数量最多为10个． 【融会贯通】 1．观察表格 x …… 0 1 2 …… …… 0 a …… …… b 0 2 …… …… 1 3 5 …… (1) ______， ______； (2)用文字语言表述代数式的值随x的变化规律______； (3)下列判断：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中所有正确结论的序号是______； (4)若，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2)x的值每增加1，的值随之增加2 (3)①③④ (4) 【分析】本题主要考查代数式求值，解答的关键是对分析清楚所给的数列之间的关系． （1）根据表中的规律进行求解即可； （2）根据的变化规律进行描述即可； （3）结合表格进行分析即可得出结果； （4）根据绝对值的定义，分类讨论从而求解即可． 【详解】（1）当时，， 当时，． （2）的值随着x的变化而变化的规律是： x的值每增加1，的值就增加2． （3）当时，， ， ，①正确． 当时，， ， ，②错误． 当时，， ， ，③正确． 由， 得，即， 当时，成立，④正确． 正确的有①③④． （4）， 当且时， 即时，有， 得恒成立，满足题意． 当且时， 即， ， 解得， ， 当且时， 即， ， 得无解，不符合题意， 综上所述，当时，． 2．数学活动课上，同学们根据学习“二次根式”及“乘法公式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究“当，时，与的大小关系”． 下面是探究过程． ①具体运算，发现规律： 当，时， 特例1：若，则； 特例2：若，则； 特例3：若，则； ②观察、归纳，得出猜想： 当，时，． ③证明猜想： 当，时， ， ， 当且仅当时，． 请你利用发现的规律，解答以下问题． (1)当时，的最小值为 ． (2)当时，的最小值为 ． (3)当时，的最大值为 ． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握二次根式的性质，完全平方公式的特点，能够准确地将所求的式子变形是解题的关键． （1）根据阅读材料直接可得； （2）根据的取值范围，将所求的式子变形为，再结合阅读材料求解即可； （3）先变量分离已知式子，再由的取值范围，将所求式子变形为，结合（2）求解即可． 【详解】（1）解：， ， 的最小值为2， 故答案为：2； （2）解：， ， ， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）解：， ， ∴ ， 的最大值为． 3．综合与实践： 合肥市某中学为了让学生增加课外阅读的机会，计划修建一条读书走廊，并准备用若干块带有圆形花纹和没有圆形花纹的两种大小相同的正方形地砖搭配在一起，按如图①所示的排列方式铺满走廊，已知每块正方形地砖的边长均为． 【观察思考】 当带有圆形花纹的地砖只有1块时，没有花纹的地砖有8块（如图②）；当带有圆形花纹的地砖有2块时，没有花纹的地砖有13块（如图③）；…；以此类推． 【规律总结】 （1）按图示规律，第一个图案（图②）的长为 ，第五个图案的长为 ； （2）若这条走廊的长为，带有圆形花纹的地砖块数为n（n为正整数），则 （用含n的代数式表示）； 【问题解决】 （3）若要使走廊的长不小于72，则至少需要带有圆形花纹的地砖多少块？ 【答案】（1），；（2）；（3）至少需要带有圆形花纹的地砖60块． 【分析】（1）第一个图案边长，第二个图案边长，得出第n个图案边长为，从而计算第五个图案的长； （2）根据（1）中的结论可解答； （3）根据题意列不等式可解答． 【详解】解：（1）第一图案的长度， 第二个图案的长度， •••， 第n个图案边长为； ∴第五个图案的长为； 故答案为：，； （2）由（1）得第n个图案的长为； 故答案为：； （3）由题意得：， ∴， ∴， ∴至少需要带有圆形花纹的地砖60块． 【点睛】此题考查了平面图形的有规律变化，以及一元一次不等式的应用，要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题． 类型八、不等式中的新定义 【解惑】定义：多项式化简后的项数记作，例如多项式，则．多项式，，满足．如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”． (1)若，均是关于的多项式，则是不是的“好多项式”？请判断并说明理由； (2)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，求的值． 【答案】(1)是的“好多项式”，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是多项式乘多项式，掌握“好多项式”和“极好多项式”的定义，多项式乘多项式的运算法则是解题的关键. （1）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“好多项式”的定义判断； （2）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“极好多项式”，得到关于的方程，解方程即可求解； 【详解】（1）解： ， 是的“好多项式” （2）解： ． 当时，，， ， ， 当时， ， 【融会贯通】 1．阅读下列材料：定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程是不等式组的相伴方程． (1)方程是不是不等式组的相伴方程？请说明理由； (2)若关于的方程是不等式组的相伴方程，求的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了新定义“相伴方程”，正确理解新定义“相伴方程”，熟练掌握解一元一次方程和一元一次不等式组的方法是解题关键． （1）分别求解方程和不等式组，然后根据“相伴方程”的定义，即可获得答案； （2）分别求解不等式组和方程，结合“相伴方程”的定义可得关于的不等式组，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：方程是不等式组的相伴方程，理由如下： 解不等式组，得：， 解方程，得：， ∵， ∴方程是不等式组的相伴方程； （2）解不等式组，得：， 解方程，得：， ∵关于的方程是不等式组的相伴方程， ∴，解得． 2．定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的【相伴方程】． (1)在下列方程中：；；，与不等式组是 【相伴方程】的是 ；（填序号） (2)若不等式组的一个【相伴方程】的解是整数，则这个【相伴方程】可以是 ；（写出一个即可） (3)若方程，都是关于的不等式组 的【相伴方程】，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)（答案不唯一，只要满足解为即可）； (3)． 【分析】（）分别求出三个一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集即可得到答案； （）先求出不等式组的解集，然后确定出不等式组的整数解，然后写出一个满足这个整数解的一元一次方程即可； （）先求出两个相伴方程的解，然后求出不等式组的解，然后根据相伴方程的定义求解即可； 本题主要考查了新定义，解一元一次方程与解不等式组，掌握一元一次方程与不等式组解法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴方程的解为； ∵， ∴， ∴方程的解为； ∵， ∴ ∴方程的解为：； 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∴方程的解是不等式组的解， ∴不等式组 的【相伴方程】是； 故答案为：； （2）解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为， ∴这个【相伴方程】可以是， 故答案为：（答案不唯一，只要满足解为即可）； （3）解：解方程得， 解方程得， 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵方程，都是关于的不等式组的【相伴方程】， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 3．阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值，称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”，例：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： （1）请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”______（直接填写序号）； ①；②；③ （2）若关于x，y的方程组与不等式有“理想解”，求a的取值范围； （3）若关于x，y的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），求b的取值范围． 【答案】（1）①②；（2）；（3） 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式（组），解二元一次方程组，理解题中定义是解答的关键． （1）先求得方程的解，再根据题中定义代入不等式中验证即可； （2）先求得关于x、y的方程组的解，然后根据题中定义得到关于a的不等式，进而解不等式即可； （3）将方程组中的两个方程相加，得到，再根据题中定义得到关于b的不等式，进而求解即可． 【详解】解：（1）解得， ①当时，成立，即是方程与不等式的“理想解”； ②当时，成立，即是方程与不等式的“理想解”； ③当时，，但，即不是方程与不等式组的“理想解”； 故答案为①②； （2）将方程组中的两个方程组相加，得， 即， ∵该方程组与不等式有“理想解”， ∴，解得； （3）解方程组得， ∵该方程组与不等式的“理想解”均为正数 ∴，即， 解得． 类型九、一次函数与不等式的新定义 【解惑】在平面直角坐标系中，对于点P和多边形G，给出如下的定义：如果点P到多边形G每一边所在直线的距离均不小于多边形G最短边长度的，则称P为多边形G的“长聚点”．已知点，，，． (1)在点，，，，______是正方形的“长聚点”； (2)已知点，点是正方形OABC在第一象限中的“长聚点”，且，结合图形，求a的最小值； (3)将点O、A、B、C分别向右平移个单位，得到点、、、，已知点，，．若对内（不含边界）的每一点Q，都有正方形的“长聚点”，将点关于直线的对称点记作，满足点Q和关于直线对称，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)和； (2)a的最小值为1； (3)t的取值范围为或． 【分析】（1）先求得正方形的边长为4，并根据“长聚点”新定义可得，若题目所给的点到正方形的每一边直线的距离均不小于1，则为“长聚点”，否则不为“长聚点”，逐个验证四个点即可得到结论； （2）在坐标平面内作直线、直线、直线、直线，以及直线、直线、直线、直线，则这8条直线将平面分成25个区域，并由题意得，正方形的“长聚点”所围成的全部区域为标注序号的9个区域，由条件可以得到在的垂直平分线上，先利用C、D坐标得到直线：，再由垂直平分线的性质得到在直线上，然后结合图形可以求得a的范围，即可得a的最小值； （3）将向左平移个单位得到，并将关于直线对称得到，再将关于直线对称得到，则根据题意可将该问题转化为：若内的每一点都在正方形的“长聚点”所围成的区域内，求出t的取值范围，根据三个顶点的坐标，通过平移和对称的性质逐步算得三个顶点的坐标，然后结合图形并分9种情况讨论可以求得t的范围． 【详解】（1）解：由题意得正方形的边长为4， P为正方形的“长聚点”， P到正方形每一边所在直线的距离均不小于1， 到直线的距离为，到直线的距离为， 和不是正方形的“长聚点”， 到直线的距离为，到直线的距离为，到直线的距离为，到直线的距离为， 是正方形的“长聚点”， 同理可得，是正方形的“长聚点”， 和是正方形的“长聚点”． （2）如图所示，在坐标平面内作直线、直线、直线、直线，以及直线、直线、直线、直线，则这8条直线将平面分成25个区域，并由题意得，正方形的“长聚点”所围成的全部区域为标注序号的9个区域． ， 直线：， ， 在的垂直平分线上， 设的垂直平分线：， 代入中点得，， 直线：， ， 点是正方形OABC在第一象限的“长聚点”， 在区域⑤或区域③， 结合图形得：或， 解得：或． a的最小值为1． （3）将向左平移个单位得到，并将关于直线对称得到，再将关于直线对称得到，则根据题意可将该问题转化为：若内的每一点都在正方形的“长聚点”所围成的区域内，求出t的取值范围． 向左平移个单位得到， 点，，， 关于直线对称得到，直线：， 点，，， 关于直线对称得到，直线：， 点，，， 内的每一点都在正方形的“长聚点”所围成的区域内， 在如图所示标注序号的9个区域内． 下面分9种情况讨论： 若在区域①内，则结合图形得，无解； 若在区域②内，则结合图形得，无解； 若在区域③内，则结合图形得，； 若在区域④内，则结合图形得，无解； 若在区域⑤内，则结合图形得，无解； 若在区域⑥内，则结合图形得，无解； 若在区域⑦内，则结合图形得，； 若在区域⑧内，则结合图形得，无解； 若在区域⑨内，则结合图形得，无解； 综上所述，t的取值范围为或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、坐标与图形综合、坐标系中的平移与对称、解一元一次不等式（组），解题的关键是熟练运用一次函数的图象与性质和待定系数法求解析式，学会理解新定义并结合图形解一元一次不等式（组），学会分类讨论处理复杂的情景问题，题目综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 【融会贯通】 1．深圳百合外国语学校八年级某数学学习小组在研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题时，对函数的图象和性质做了探究．下面是该学习小组的探究过程，请补充完整： (1)列表：表格是y与x的几组对应值，请将表格补充完整： x －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y a －1 0 1 2 b 2 1 0 … 表格中a的值为 ，b的值为 ． (2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象： (3)请观察函数的图象，回答下列问题： ①不等式的解集为 ； ②若，为该函数图象上不同的两点，则m＝ ； ③定义，例如，，则函数的最大值为 ． 【答案】(1)，3 (2)见解析 (3)①或；②；③ 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，函数图象点的坐标的求法、函数图象的画法以及看函数图象，熟练掌握函数图象点的坐标的求法、函数图象的画法以及看函数图象是解决本题关键． （1）把，1分别代入即可得到答案； （2）描出表中以各对对应值为坐标的部分点，然后连线； （3）设，，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象根据函数图象和性质解决． 【详解】（1）， ， 故答案为：，3； （2）函数图象如下： （3）①观察图象可得，当或时，，即， ∴不等式的解集为：或， 故答案为：或； ②把，代入，得， 当时，有， 解得：或， ∴ 故答案为：； ③设，， 在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象如下： 当时，有， 解得：或3， 当时，， ∴ 此时，的最大值是， ∴的最大值是， 当时，， ∴， 此时，的最大值是， ∴的最大值是， 当时，， ∴ 此时，的最大值是， ∴的最大值是， 综上可得，的最大值是 故答案为：． 2．定义运算：当时，；当时，；如：；；，根据该定义运算完成下列问题： (1)______，当时，______； (2)若，求x的取值范围； (3)如图，已知直线与相交于点，若，结合图象，直接写出x的取值范围是______． 【答案】(1)， (2)； (3) 【分析】（1）由定理可知：的值就是取和1的较小值，即；同理可得另一个式子的结果； （2）由定义列不等式解出即可； （3）根据图象可知：当，． 【详解】（1）解：，当时，； 故答案为：，； （2）解：由题意得：， 整理得， 解得； （3）解：∵， ∴， 由图象得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式以及新定义的理解，此类题目要认真阅读并理解新定义的内含：结果取最小值，第三问利用数形结合的思想求解更简便． 3．定义：对于关于x的一次函数，我们称函数为一次函数的“a变换函数”（其中a为常数）． 例如：对于关于x的一次函数的“5变换函数”为      (1)一次函数的“0变换函数”为y＝　 　． (2)在网格中补全一次函数的“2变换函数”图象，并完成下列问题： ①对于一次函数的“2变换函数”，当时，求y的值；当时，求x的值； ②对于一次函数的“2变换函数”，当时，y的取值范围是 　 　． (3)当一次函数的“a变换函数”与直线y＝2有一个交点时，直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)图见解析，①或；② (3)或 【分析】（1）由定义写出函数解析式； （2）按照列表一描点一连线的顺序画出图象；将代入对应的函数解析式中求出y，分 类将代入解析式求出； ②分类讨论函数的性质，求出y的取值范围； （3）结合函数图象上时的点的横坐标，推理出a的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：一次函数的“0变换函数”为； （2）解：图象如图所示，    ①∵的“2变换函数”为：， ∴当时，， 当时，或， 解得：或． ②当时，y随x的增大而减小， ∴， 当时，，y随x的增大而增大， ∴， 综上所述：． （3）解：由图象可知，时，或， ∴当一次函数的“a变换函数”与直线有一个交点时， ∴或 ． 【点睛】本题考查了函数图象与函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征.解题的关键是理解定义的基础上准确画出函数的图象． 类型十、项目化学习 【解惑】项目化学习 项目主题：哪一款手机资费套餐更合适． 项目背景：做一件事情、有时会有不同的实施方案，比较这些方案，从中选择最佳方案是非常有必要的．手机作为日常生活的必备品，在我们身边有着举足轻重的作用．某校综合实践小组以探究“哪一款手机资费套餐更合适”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究“哪一款手机资费套餐更合适”． 研究步骤： （1）实地走访，调查使用最广泛且性价比较高的几种资费套餐； （2）查看小明妈妈手机近几个月的话费账单，初步筛选出可供选择的两种资费套餐； （3）数据分析，形成结论． 收集数据： 套餐名称 套餐内容 超出套餐资费 月费 流量 通话 流量 通话 A 60元 30GB 500分钟 5元/GB 0.1元/分钟 B 180元 60GB 1000分钟 3元/GB 套餐说明：月资费月费超出套餐资费（流量超出费+通话超时费）；套餐内，流量和通话均免费，只收取月费，超出套餐内容额外计费． 问题解决：请根据此项目实施的相关材料完成下列任务． (1)建立模型：据调查显示，小明妈妈的手机通话时长没有超出套餐内容，因此只需研究流量与手机资费的关系： ①小明妈妈5月份的通话时长为480分钟，使用流量，若使用A套餐，这个月她的手机资费是______元； ②设小明妈妈每月手机资费为y（元），每月使用流量为，通过分析数据，完成下面的填空． A套餐：当时，______；B套餐：当时，______． (2)图象表示：为了更直观地比较，请你在同一平面直角坐标系中分别画出A套餐和B套餐每月手机资费y（元）关于每月使用流量的函数图象．下面已给出部分图象，请你补充完整． (3)应用模型：结合上面信息，请你为小明妈妈提出一条套餐使用建议． 【答案】(1)①110；②； (2)见解析 (3)当每月使用流量不足时，使用A套餐，当每月使用流量等腰时，使用A套餐和B套餐均可以，当每月使用流量超过时，使用B套餐．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了一次函数应用和不等式的应用，解题的关键是理解题意，求出一次函数解析． （1）①根据题干提供的信息列式计算即可； ②根据题干提供的信息，列出函数解析式即可； （2）根据解析（1）②得出的函数解析式，画出函数图象即可； （3）分别求出，，时，x的取值范围，然后再提出建议即可． 【详解】（1）解：①（元）， 这个月她的手机资费是110元； ②当时，， 即； 当时，， 即； （2）解：函数图象，如图所示： （3）解：令， 解得：， 令， 解得：， 令， 解得：， 建议：当每月使用流量不足时，使用A套餐，当每月使用流量等于时，使用A套餐和B套餐均可以，当每月使用流量超过时，使用B套餐． 【融会贯通】 1．【项目式学习】 项目主题：数学智慧拼图 项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展，王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展以“数学智慧拼图”为主题的项目式学习． 任务一：观察建模 （1）如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别为y，，小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组则_________，_________． 任务二：推理分析 （2）第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积． 任务三：设计方案 （3）第三小组领了A，B，C三种类型的矩形卡片，它们的长都为18，宽分别为a，b，c，其中且a，b，c均为正整数，分别取A，B，C卡片2，3，4张，把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A，B，C卡片3，2，5张，则能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠）？如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a，b，c的值；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）6，10；（2）31；（3）能，图见解析 【详解】3．解：（1）6   10 （2）设小矩形的长为m、宽为n．由题意，得解得则． （3）由题意，得 解得因为且a，b，c均为正整数，所以所以． 所以或．当时，，分别取A，B，C卡片3，2，5张，拼成的不重叠的图形面积为，故此时不能放置；当时，，，分别取A，B，C卡片3，2，5张，拼成的不重叠的图形面积为，此时能放置，放置方式如下图： 2．项目化学习． 项目主题：优化运输方案 项目背景：临沂被称为物流之都，在临沂你没有发不出的货，也没有临沂物流到不了的地方，物流产业为我们的社会生产生活带来了极大的方便．某校综合实践活动小组以探究“优化某企业运输方案”为主题开展了项目化学习． 驱动任务：探究运输商品和总运费之间的关系 研究步骤： ①收集某公司每月运往各地商品的信息； ②对收集的信息，用适当的方法描述； ③信息分析，形成结论． 数据信息： 信息1，某物流公司每月要将某企业的2000件商品分别运往A，B，C三地，其中运往C地的总费用与运往A地总费用相同； 信息2，各地的运费如下表所示： 运送地点 A地 B地 C地 运费（元/件） 40 20 30 问题解决： (1)设每月运往A地的商品x件，运往B地的商品y件，则运往C地的商品为 件（用含x，y的式子表示），请写出y与x之间的数量关系为 ； (2)设运往A，B，C三地的总运费为w（元），试写出w与x的函数关系式； (3)若某月运往B地的商品件数不超过运往A地的商品件数，求最少可运往A地商品多少件才能使总运费最少？最少为多少元？ 【答案】(1)； (2) (3)最少可运往A地商品600件才能使总运费最少，最少为60000元 【分析】本题考查列一次函数，一元一次不等式解决实际问题，列代数式，能够根据题意列出不等式，和等量关系式解决本题的关键． （1）根据每月要将某企业的2000件商品分别运往A，B，C三地，即可求出运往C地的商品数；由运往C地的总费用与运往A地总费用相同，即可得到y与x之间的数量关系； （2）根据题意将运往A，B，C三地的总费用相加即可； （3）根据题意列出不等式，解不等式，结合（2）中总费用关系式，利用一次函数的性质即可得． 【详解】（1）解：根据题意得：运往C地的商品为件， 运往C地的总费用与运往A地总费用相同， ，即 y与x之间的数量关系为：； （2）解：运往A地的总费用为：， 运往B地的总费用为：， 运往C地的总费用为：， ； （3）解：根据题意得：， 解得：， 由（2）知总费用关系式为， ， 随的增大二增大， 当时，总费用有最小值，最小值为（元）， 答：最少可运往A地商品600件才能使总运费最少，最少为60000元． 3．近几年，我国快递市场跟随电商经历了爆发式增长，快递已成为人们生活的一部分．越来越多的人选择通过快递公司代办点邮寄包裹，那么选择哪家快递公司更合算呢？以此为驱动问题，某校八年级开展了项目学习．以下是李华同学帮家人选择更优惠的快递公司的活动报告（不完整），请仔细阅读并完成相应任务． 为家人选择更优惠的快递公司活动报告 一、收集信息 经了解我家附近有甲、乙两个不同的快递公司代办点，服务质量同等，爸爸妈妈邮寄快递通常是随机去其中的一个代办点．他们邮寄的快递都是省外且在以内，体积一般较小．快递费通常是由首重费和续重费组成，以为单位计费，不足按计费．取实际重量和体积重量（长宽高，单位）中两者较大值作为物品重量计费． 甲、乙两个代办点省外邮寄费用标准如下： 甲：首重收费8元，续重5元；（即所寄物品重量不超过时收费8元，重量超过时超过部分按每千克加收5元计费） 乙：首重收费10元，续重4元． 二、建立模型 １．发现所寄物品的快递费用（元）与物品重量之间存在函数关系，与之间的关系式为： 在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图象（如图，不完整），两图象交于点．    三、解决问题 我们可以根据图象推断哪个快递公司更优惠．结论如下： …… 任务： (1)请将函数图像补充完整（在图中画出的函数图象），直接写出点的坐标，并根据图象推断哪个快递公司更优惠． (2)同一个问题可以有不同的解决策略，李华借助一次函数的图象解决了这个问题，请你想想，此问题还可以借助哪些知识解决． (3)同一策略可以帮助我们解决生活中的许多共性问题，例如以上策略还可以解决哪款手机套餐资费更划算的问题，请你再举出一个利用以上策略解决的实际问题． 【答案】(1)图见解析，，理由见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】对于（1），根据题意补全统计图，再结合图像分析即可； 对于（2），可以结合一元一次方程和不等式解决，再解答； 对于（3），根据实际解答即可． 【详解】（1）补全函数图象如图所示：      点的坐标为． 从节省费用的角度考虑，当所寄物品重量小于时，选择甲代办点更合适；当所寄物品重量大于时，选择乙代办点更合适；当所寄物品重量为时，两个代办点的收费一样； （2）此问题还可以借助一元一次不等式、一元一次方程的知识来解决； 当时，，所以当所寄物品重量大于时，选择乙代办点更合适； 当时，，当所寄物品重量小于时，选择甲代办点更合适； 当时，，当所寄物品重量等于时，选择甲，乙代办点都可以. （3）答案不唯一，如选用哪款旅游套餐更划算，选用哪款共享单车更划算等，合理即可． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，理解题意并正确解题是解决问题的关键． 【一览众山小】 1．已知，若是任意实数，则下列不等式始终成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴，该选项错误，不合题意； 、∵， ∴，该选项正确，符合题意； 、∵， 当时，；当时，；当时，，该选项错误，不合题意； 、∵， 当时，；当时，；当时，，该选项错误，不合题意； 故选：． 2．若关于的一元一次不等式组的解集是，且是非正整数，则所有满足条件的的积为（   ） A． B．2 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，进而确定出非正整数，再相乘计算即可． 【详解】解：不等式组整理得：， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：， 则非正整数，，0， 所有满足条件的的积为， 故选：C． 3．若关于x的一元一次不等式的解集中每一个x的值都能使不等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先求出两个不等式的解集分别为和，再根据题意可得，解不等式即可得． 【详解】解：， ， ， ； ， ， ， ， ； ∵关于的一元一次不等式的解集中每一个的值都能使不等式成立， ∴， 解得， 故选：B． 4．已知关于x的方程的解大于且小于4，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组；解一元一次方程，根据解大于且小于4得到关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：解关于x的方程，得：； 由于方程的解大于且小于4， ∴， 解前一不等式得：，解后一不等式得：， 则不等式组的解集为：； 故答案为：． 5．为了发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，共有道题．评分标准为：答对题得分，答错题扣分，不答扣分．某同学有道题未答，并且得分超过了分，则他至少答对了 道题． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设他答对了道题，则答错了道题，根据题意列出不等式即可求解，根据题意正确列出不等式是解题的关键． 【详解】解：设他答对了道题，则答错了道题， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴他至少答对了道题， 故答案为：． 6．若关于的不等式组的解集中任意的值，都能使不等式成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由一元一次不等式组和一元一次不等式解集的情况求参数的取值范围，先分别求出不等式组和不等式的解集，再根据解集的情况列出关于的不等式即可求解，掌握解一元一次不等式组和一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：解不等式组，得， 解不等式，得， ∵不等式组解集中的任意的值都能使不等式成立， ∴， ∴， 故答案为： 7．解下列不等式（组） (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组： （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 8．为了提升学生的数学素养，某校八年级举行说题比赛，购买，两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是元和元．根据比赛设奖情况，需购买两种笔记本共本，并且购买种笔记本的数量要不少于种笔记本数量的． (1)问至少购买种笔记本多少本？ (2)当购买这两种笔记本各多少本时，费用最少？最少的费用是多少元？ 【答案】(1)本 (2)当购买种笔记本本，种笔记本本时，费用最少，最少的费用是元 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据购买种笔记本的数量要不少于种笔记本数量的，可以列出相应的不等式，然后求解即可； （2）根据题意，可以写出总费用与购买种笔记本数量的函数关系式，然后根据一次函数的性质，可以得到总费用的最小值． 【详解】（1）解：设购买种笔记本本，则购买种笔记本本， 由题意可得，解得． 答：至少购买种笔记本8本． （2）解：设购买种笔记本本，则购买种笔记本本， 设购买，两种笔记本的总费用为元， ， ， 的值随的增大而增大， 当时，有最小值，最小值是， ， 答：当购买种笔记本本，种笔记本本时，费用最少，最少的费用是元． 9．若一个不等式组有解且解集为（），则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含． (1)已知关于的不等式组：，以及不等式组：， ①的解集中点值为 ． ②不等式组对于不等式组 （填“是”或“不是”）中点包含． (2)已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围． (3)关于的不等式组：（）和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之积为，求的取值范围． 【答案】(1)①； ②是 (2) (3) 【分析】（）①求出不等式组的解集，再根据解集中点值的定义求出的解集中点值即可；②根据不等式组的解集判断即可求解； （）求出不等式组和的解集，进而得到，据此即可求解； （）求出不等式组和的解集，进而可得，再根据所有符合要求的整数之积为，可得，即得到，据此即可求解； 本题考查了解一元一次不等式组，由不等式组的解集情况求参数，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①解不等式组得，， ∴不等式组的解集中点值为， 故答案为：； ②∵不等式组：，不等式组的解集中点值为， ∴不等式组对于不等式组是中点包含， 故答案为：是； （2）解：解不等式组得，， ∴不等式组的解集中点值为 解不等式组得，， ∵不等式组对于不等式组中点包含， ∴ 解得； （3）解：解不等式组得，， ∴不等式组的解集中点值为， 解不等式组得，， ∵不等式组对于不等式组中点包含， ∴， 解得， ∵所有符合要求的整数之积为， ∴可取或可取， ∴或， 即． 10．对于平面直角坐标系中的点与图形，我们给出如下定义：若，将图形关于直线对称，得到图形；若，将图形向上平移个单位长度，得到图形．并称为图形关于点的“斗转星移图”． (1)点关于点的“斗转星移图”为________； (2)若点关于点的“斗转星移图”坐标为，求的值； (3)已知点，点，点，点，点，，若线段关于点的“斗转星移图”与线段关于点的“斗转星移图”有公共点，则的取值范围是________． 【答案】(1)． (2)； (3)． 【分析】（1）根据新定义结合平移的性质，即可求解； （2）根据新定义，得出向上平移个单位得，进而列方程即可求解； （3）根据，，得出线段，的对应点，根据线段有交点，得出不等式，解不等式，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴将向上平移个单位长度，得到， 即点关于点的“斗转星移图”为； 故答案为：． （2）解：∵点关于点的“斗转星移图”坐标为， 又向上平移个单位得， ∴，且 解得； （3）解：∵， 又∵点，点，点， ∴线段关于点的“斗转星移图”的横坐标为：，的横坐标为 ∴，，在上， ∵，点，点，， ∴线段关于点的“斗转星移图”， ∵与有交点， ∴ 解得：． 【点睛】本题考查了平移与轴对称变换，坐标与图象，解不等式组，一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$