第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组（基础+中等类型）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次不等式(组)的定义 【解惑】下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 2．若是关于x的一元一次不等式，则m的值是 ． 3．某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 类型二、列不等式(组) 【解惑】用不等式表示：“a的与b的和为正数”，正确的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则空一间还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 2．用不等式表示“减36的差值是非负数”为 ． 3．的5倍在3与7之间（不包括3和7）用不等式（组）表示： ． 类型三、不等式的性质 【解惑】如果，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列各式变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 2．若，那么 ．（用不等号填空） 3．a、b、c表示的数在数轴上如图所示，试填入适当的“”“”或“”． (1)______． (2)________0． (3)__________． (4)________． (5)________． (6)_______． (7)________． (8)_______． 类型四、不等式的解集 【解惑】若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．若点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围是 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，若点在直线 与x轴正半轴、y轴正半轴围成的三角形内部，则b的取值范围是 ． 类型五、在数轴上表示不等式(组) 【解惑】若关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则a的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【融会贯通】 1．不等式组的解集在数轴上的表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．关于x的不等式的解如图所示，则 ． 3．关于的一元一次不等式组的解集，在数轴上表示如图所示，若其中一个不等式为，则该不等式组中另一个不等式可以是 ．（写出一个即可） 类型六、一元一次不等式(组)的求参 【解惑】已知关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知关于，的二元一次方程组的解均为正数，且不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若关于x的不等式可化为，则a的取值范围是 ． 3．已知关于的不等式组的解集为，则的值为 ． 类型七、一元一次不等式(组)的有、无解 【解惑】若关于x的不等式组在实数范围内有解，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知关于的不等式组无解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数之和为 ． 3．已知关于x、y的方程组的解满足，且关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的和为 ． 类型八、一次函数中不等式的解集 【解惑】关于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．函数值y随自变量x的增大而增大 B．图象经过第一、三、四象限 C．图象与y轴交于点 D．当时， 【融会贯通】 1．如图，函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．如图，一次函数与相交于点，当时，的取值范围是 ． 3．如图，已知函数和的图象交于点，则时，的取值范围是 ． 类型九、解一元一次不等式(组) 【解惑】解下列不等式： (1)； (2)． 【融会贯通】 1．下面是小马虎解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务： 去分母，得． 第一步 去括号，得． 第二步 移项，得． 第三步 合并同类项，得． 第四步 系数化为1，得． 第五步 任务一：以上求解过程中，去分母的依据是________________________；第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________________________； 任务二：该不等式的解集为________； 任务三：请你根据平时的学习经验，就解不等式需要注意的事项给其他同学提一条建议． 2．解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上． 3．解不等式组：，并把它的解集在如图的数轴上表示出来． 类型十、一元一次不等式(组)的应用 【解惑】东港市某学校要购买甲、乙两种消毒液用于日常预防，经市场调查，将获取相关数据整理如下： 购买的数量（单位：瓶） 总费用（元） 甲消毒液 乙消毒液 17 13 64 13 17 56 (1)每瓶甲消毒液、每瓶乙消毒液的价格分别是多少元？ (2)如果该校计划购买甲、乙两种消毒液共30瓶，其中购买甲消毒液a瓶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5瓶，又不超过乙消毒液的数量的2倍，则怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【融会贯通】 1．“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下： A型车销售量（辆） B型车销售量（辆） 总销售额（元） 第一周 10 12 20000 第二周 20 15 31000 (1)求的值； (2)若计划第三周售出两种规格自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第三周总销售额最大，最大总销售额是多少元？ 2．科技兴国，创新为本，某校在神舟一号发射成功20周年纪念日当天举办了第一届“科技节”展示活动，本届“科技节”以“筑梦航天”为主题，一一展示我国在航天事业上的成就，并对在本届“科技节”展示活动中表现优异的同学进行嘉奖．学校计划选购甲、乙两种图书作为本届“科技节”的奖品，已知甲种图书的单价比乙种图书单价多10元．用600元购买甲种图书的数量和用400元购买乙种图书的数量相同． (1)甲、乙两种图书每本分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 3．某市教育局计划购买台阅卷扫描仪，有，两种型号可供选择，其中型号功能多一点．已知购买台型号和台型号共需要万元；购买台型号和台B型号共需要万元． (1)求，两种型号阅卷扫描仪的单价； (2)若购买阅卷扫描仪的费用不超过万元，请你通过计算说明，共有哪几种购买方案； (3)在（2）的购买方案中，教育局想多购买功能多一点的阅卷扫描仪，应选择哪种方案？ 【一览众山小】 1．将一包糖果分给学生，若________，若每人分6个，则最后一个学生分到的糖果数量不足4个．设有x名学生，根据题意可列不等式为，则横线上的信息可以是（   ） A．每人分7个，则少分4个人 B．每人分4个，则还剩7个 C．每人分7个，则还剩4个 D．其中一个人分4个，则其他人每人可分7个 2．信阳毛尖是中国十大名茶之一，具有生津止渴、清心明目等多种功效，某商家以200元/罐的价格购进一批罐装信阳毛尖，并在进价的基础上提价30%进行售卖，设售出的数量为x，要使总销售额多于13万元，可列不等式为（   ） A． B． C． D． 3．定义新运算“※”如下：当时，；当时，．例如，，，若则x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 4．请直接写出下列不等式组的解集： （1）的解集为 ； （2）的解集为 ； （3）的解集为 ． 5．已知关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是 ． 6．若定义是a与b中的较大者，例如：，，若有，那么y的最小值是 ． 7．解不等式组： 8．解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 9．已知关于x、y的二元一次方程组 (1)若方程组的解满足条件，，求实数k的取值范围； (2)若方程组的解满足方程，求实数k的取值范围． 10．某校计划为教师购买甲、乙两种词典，已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本家中词典和3本乙种词典共需290元． (1)求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元． (2)学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1700元，那么最多可购买甲种词典多少本？ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次不等式(组)的定义 【解惑】下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，不等号的左右两边都是整式，并且未知数的次数都是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．是一元一次不等式，故符合题意；     B．不含不等号，不是一元一次不等式，故不符合题意；     C．不含未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意；     D．的未知数在分母里，不是一元一次不等式，故不符合题意； 故选A． 【融会贯通】 1．下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组定义，会根据定义识别一元一次不等式组是解题关键．利用一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：是一元一次不等式组． 故选：B． 2．若是关于x的一元一次不等式，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义得出，解一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式组解集的意义；由题意知，温度要同时适宜两种菌苗的生长，就是求这两个范围的公共部分． 【详解】解：这两个温度范围的公共部分是：； 故答案为：． 类型二、列不等式(组) 【解惑】用不等式表示：“a的与b的和为正数”，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列一元一次不等式，正数定义等．根据题意可知，即可得到本题答案． 【详解】解：∵a的与b的和为正数， ∴， 故选：A． 【融会贯通】 1．若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则空一间还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设有x间宿舍，根据“每间住4人，2人无处住”可得学生有人，再根据“每间住6人，空一间还有一间不空也不满”列出不等式组即可．此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 【详解】解：设有x间宿舍，则学生有人，由题意得： ． 故选：C． 2．用不等式表示“减36的差值是非负数”为 ． 【答案】 【分析】本题考查列不等式，正确的翻译句子，列出不等式即可． 【详解】解：由题意，可列代数式为：； 故答案为：． 3．的5倍在3与7之间（不包括3和7）用不等式（组）表示： ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题列出一元一次不等式组，理解题意并能列出相应的不等式组是解答本题的关键．根据题意写出相应的不等式组即可． 【详解】解：的5倍在3与7之间（不包括3和）用不等式（组）表示是 故答案为：． 类型三、不等式的性质 【解惑】如果，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质分别进行判断，即可求出答案． 【详解】解：A．若，则不等式两边同时减去3得，，原变形成立，故本选项符合题意； B．若，则不等式两边同时减去得，，原变形不成立，故本选项不符合题意； C．若，则不等式两边同时乘以得，，原变形不成立，故本选项不符合题意； D．若，则不等式两边同时乘以得，，原变形不成立，故本选项不符合题意； 故选：A． 【融会贯通】 1．下列各式变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 由，得，故该选项正确，符合题意； B. 由，得，故该选项不正确，不符合题意； C. 由，得，故该选项不正确，不符合题意；     D. 由，得，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 2．若，那么 ．（用不等号填空） 【答案】 【分析】此题主要考查了不等式的基本性质：(1)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质，即可得出正确答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 3．a、b、c表示的数在数轴上如图所示，试填入适当的“”“”或“”． (1)______． (2)________0． (3)__________． (4)________． (5)________． (6)_______． (7)________． (8)_______． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【分析】本题考查了不等式的性质、数轴的定义，熟记不等式的性质是解题关键． （1）根据不等式的两边同加上一个数，不改变不等号的方向即可得； （2）根据不等式的两边同减去一个数，不改变不等号的方向即可得； （3）根据不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向即可得； （4）根据不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向即可得； （5）先根据不等式的两边同乘以一个负数，改变不等号的方向，再根据不等式的两边同加上一个数，不改变不等号的方向即可得； （6）根据不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向即可得； （7）根据不等式的两边同减去一个数，不改变不等号的方向即可得； （8）根据不等式的两边同乘以一个正数，不改变不等号的方向即可得． 【详解】（1）解：由数轴的定义得：， 不等式的两边同加上3，不改变不等号的方向，则； 故答案为：； （2）解：由数轴的定义得：， 不等式的两边同减去，不改变不等号的方向，则，即； 故答案为； （3）解：由数轴的定义得：， 不等式的两边同乘以，不改变不等号的方向，则； 故答案为：； （4）解：由数轴的定义得：， 不等式的两边同乘以，改变不等号的方向，则； 故答案为：； （5）解：由数轴的定义得：， 不等式的两边同乘以，改变不等号的方向，则；不等式的两边同加上1，不改变不等号的方向，则； 故答案为：； （6）解：由数轴的定义得：， 不等式的两边同乘以正数，不改变不等号的方向，则； 故答案为：； （7）解：由数轴的定义得：， 不等式的两边同减去，不改变不等号的方向，则； 故答案为：． （8）解：由数轴的定义得：， 不等式的两边同乘以正数，不改变不等号的方向，则． 故答案为：． 类型四、不等式的解集 【解惑】若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【详解】解：A、中不包含，不符合题意； B、中不包含，不符合题意； C、中包含，符合题意； D、中不包含，不符合题意； 故选：C． 【融会贯通】 1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解法．根据不等式的解法进行求解． 【详解】解：， 移项得，， 系数化为1得，． 故选：D． 2．若点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点在平面直角系中的对称，求不等式的解集，掌握平面直角坐标系的特点，轴对称的性质是解题的关键． 根据点关于轴对称的点，横坐标变为相反数，纵坐标不变，再根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵点关于轴的对称点在第二象限， ∴点， ∴且， 解得，， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，若点在直线 与x轴正半轴、y轴正半轴围成的三角形内部，则b的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】先根据点在直线与轴正半轴、轴正半轴围成的三角形内部，可知点在直线的下方，即当时，，再将代入，从而得出，即．本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，根据点在直线与轴正半轴、轴正半轴围成的三角形内部，得到点在直线的下方是解题的关键． 【详解】解：点在直线与轴正半轴、轴正半轴围成的三角形内部， 点在直线的下方，即当时，， 又当时，， ， ． 故答案为：． 类型五、在数轴上表示不等式(组) 【解惑】若关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则a的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，一元一次方程的解法；先移项解不等式，再根据不等式的解建立方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 系数化为1，得． 由题图知，此不等式的解集是， ∴， 解得． 故选C 【融会贯通】 1．不等式组的解集在数轴上的表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再在数轴上表示不等式组的解集即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 在数轴上表示不等式组的解集如下： 故选：D． 2．关于x的不等式的解如图所示，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式、在数轴上表示解集等知识点，能根据题意得出不等式的解集是解题的关键．先用a表示出x的取值范围，再由不等式的解集得出a的值即可． 【详解】解：由不等式得：， ∵由数轴可知， ∴， 解得：． 故答案为：． 3．关于的一元一次不等式组的解集，在数轴上表示如图所示，若其中一个不等式为，则该不等式组中另一个不等式可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查用数轴表示不等式组的解集，根据数轴，得到另一个不等式的解集为，进而写出一个满足题意的不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， 由数轴可知，另一个不等式的解集为， ∴另一个不等式可以是； 故答案为：． 类型六、一元一次不等式(组)的求参 【解惑】已知关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和求不等式的解集．先解方程可得，再建立不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：． 关于的方程的解是负数， ， 解得． 故选：B． 【融会贯通】 1．已知关于，的二元一次方程组的解均为正数，且不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数，由一元一次不等式组的解集求参数等知识点，熟练掌握二元一次方程组及一元一次不等式组的解法是解题的关键． 解二元一次方程组，得，由“方程组的解均为正数”可得，解得；解不等式组，由得，由得，由“不等式组的解集为”可得，解得；综合以上，于是得解． 【详解】解：， ，得：， 系数化为，得：， 将代入，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 二元一次方程组的解为， 关于，的二元一次方程组的解均为正数， ， 解得：； ， 整理，得： 由得：， 由得：， 不等式组的解集为， ， 解得：； 综上，的取值范围是：， 故选：． 2．若关于x的不等式可化为，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了不等式的基本性质，根据变形后不等号是否改变判断是用性质2还是性质3进行的变形,从而列出不等式求解. 【详解】解：∵关于x的不等式可化为， ∴ 解得 故答案为：． 3．已知关于的不等式组的解集为，则的值为 ． 【答案】0 【分析】考查一元一次不等式组和二元一次方程组的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．分别求出每个不等式的解集，根据该不等式组的解集为可得关于m、n的方程，解得m、n的值，代入即可． 【详解】解：不等式组整理得， 即． 不等式组的解集为， 解得 故答案为∶ 类型七、一元一次不等式(组)的有、无解 【解惑】若关于x的不等式组在实数范围内有解，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解、解不等式组等知识点，根据在实数范围内有解列出关于a的不等式是解题的关键． 先解关于x的不等式，再根据不等式在实数范围内有解，即两个不等式的解集有公共部分，据此列出关于a的不等式，进而求得a的范围即可． 【详解】解， 解不等式①得：， 解不等式②得：． 因为关于x的不等式组在实数范围内有解， ∴，解得：． 故选：B． 【融会贯通】 1．已知关于的不等式组无解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解第一个不等式求出其解集，再结合且不等式组无解，利用“大大小小找不到”可得答案，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解：解不等式，得， 且不等式组无解， ， 故选：． 2．关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数之和为 ． 【答案】5 【分析】本题考查解二元一次方程组的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解方程组和不等式的方法． 根据关于、的方程组的解满足，且关于的不等式组有解，可以求得的取值范围，从而可以求得符合条件的整数的值的和，本题得以解决． 【详解】解：， ①+②得， ， 关于、的方程组的解满足， ，得， 解不等式组， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ，得，由上可得，， 符合条件的整数的值的和为：． 故答案为：5． 3．已知关于x、y的方程组的解满足，且关于x的不等式组无解，那么所有符合条件的整数a的和为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查解二元一次方程组和解一元一次不等式组，解关于x，y的方程组，结合，可求得的取值范围，解关于x的不等式组，根据不等式组无解，可再次可求得的另一取值范围，求解即可得到答案； 【详解】解关于x，y的方程组，得 ， 则， 即 解得， 解关于x的不等式组 由不等式①，得 ， 由不等式②，得， ， 因为关于x的不等式组无解，可得 ， 解得， 综上所述可知 ， ∴所有符合条件的整数a为，，0，1，2，3，4，这些整数的和为，， 故答案为：7． 类型八、一次函数中不等式的解集 【解惑】关于一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．函数值y随自变量x的增大而增大 B．图象经过第一、三、四象限 C．图象与y轴交于点 D．当时， 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，掌握一次函数的性质成为解题的关键． 根据一次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：A、因为，所以函数值y随自变量x的增大而增大，故本选项正确，不符合题意； B、因为，，所以图象经过第一、三、四象限，故本选项正确，不符合题意； C、当时，，所以图象与y轴交于点，故本选项正确，不符合题意； D、当时，，所以当时，，故本选项错误，不符合题． 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式．首先利用待定系数法求出点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可． 【详解】解：函数过点， ， 解得：， ， 不等式的解集为． 故选：D． 2．如图，一次函数与相交于点，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数与不等式，根据函数图象，写出当时，的取值范围即可求解． 【详解】解：根据函数图象，一次函数与相交于点， 可得当时，的取值范围为， 故答案为：． 3．如图，已知函数和的图象交于点，则时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是根据函数图象，求不等式的解集，掌握一元一次不等式与函数图象的关系是解决此题的关键． 利用函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可得到答案． 【详解】解：由图象可知：在点右侧图象符合，且点的横坐标为， ∴若不等式，则． 故答案为：． 类型九、解一元一次不等式(组) 【解惑】解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可 【详解】（1）解：， 去分母得：， 移项得：， ∴， 解得：； （2）解：， 去分母得：， 移项得：， ∴， 解得：． 【融会贯通】 1．下面是小马虎解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务： 去分母，得． 第一步 去括号，得． 第二步 移项，得． 第三步 合并同类项，得． 第四步 系数化为1，得． 第五步 任务一：以上求解过程中，去分母的依据是________________________；第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________________________； 任务二：该不等式的解集为________； 任务三：请你根据平时的学习经验，就解不等式需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】解：任务一：不等式的性质2［或不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变］；二；去括号时，不等式右侧括号里的常数项漏乘系数；任务二：；任务三：不等式两边乘（或除以）同一个负数时，记得改变不等号的方向． 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法； 任务一：根据不等式的性质可得答案； 任务二：先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； 任务三：结合解不等式时，经常犯错的地方提建议即可． 【详解】解：任务一：求解过程中，去分母的依据是不等式的性质2［或不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变］；第二步开始出现错误，这一步错误的原因是：去括号时，不等式右侧括号里的常数项漏乘系数 任务二：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得． 任务三：不等式两边乘（或除以）同一个负数时，记得改变不等号的方向． 2．解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查不等式组的解法和在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【详解】解：由不等式①得，， 由不等式②得，， 在数轴上表示为： ． 3．解不等式组：，并把它的解集在如图的数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式组，数轴上画解集等．根据题意先解出两个一元一次不等式，继而在数轴上画出解集即可得到本题答案． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． 则不等式组的解集为． 将不等式组的解集表示在数轴上， 如图：． 类型十、一元一次不等式(组)的应用 【解惑】东港市某学校要购买甲、乙两种消毒液用于日常预防，经市场调查，将获取相关数据整理如下： 购买的数量（单位：瓶） 总费用（元） 甲消毒液 乙消毒液 17 13 64 13 17 56 (1)每瓶甲消毒液、每瓶乙消毒液的价格分别是多少元？ (2)如果该校计划购买甲、乙两种消毒液共30瓶，其中购买甲消毒液a瓶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5瓶，又不超过乙消毒液的数量的2倍，则怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1) (2)当购买消毒液18瓶，购买乙消毒液12瓶时，总费用最少，最少费用为66元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：单价与单价和数量的关系，正确列出二元一次方程组；列出w关于a的函数关系式． （1）设每桶甲消毒液的价格是x元、每桶乙消毒液的价格是y元，根据题意列二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意可得出关于a的一元一次不等式组 ，解之即可得出a的取值范围，再根据所需资金总额=甲种消毒液的价格×购进数量+乙种消毒液的价格×购进数量，即可得出W关于a的函数关系式，再利用一次函数的增减性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每瓶甲消毒液的价格是元，每瓶乙消毒液的价格是元， 根据题意得：， 解这个方程组得： （2）根据题意，得 由已知，得， 解得：． 是正整数， 可取18，19，20． ， 随的增大而增大， 当a取最小值18，时，取得最小值， 即． 答：当购买消毒液18瓶，购买乙消毒液12瓶时，总费用最少，最少费用为66元． 【融会贯通】 1．“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下： A型车销售量（辆） B型车销售量（辆） 总销售额（元） 第一周 10 12 20000 第二周 20 15 31000 (1)求的值； (2)若计划第三周售出两种规格自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第三周总销售额最大，最大总销售额是多少元？ 【答案】(1)， (2)该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为最大，为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，一次函数的应用等知识，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）根据前两周两种自行车的销售数量及总销售额，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出的值； （2）设第三周售出A种规格自行车x辆，则售出B种规格自行车辆，根据“B型车的销售量大于A型车的售量，且不超过A型车销售量的2倍”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为整数，利用一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，解得：， （2）设该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为元，由题意得：， 由   解得;   取整数， ∵W随着x的增大而减小，     ∴当时，W取得最大值，此时（元），（辆）. 答：该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为最大，为元． 2．科技兴国，创新为本，某校在神舟一号发射成功20周年纪念日当天举办了第一届“科技节”展示活动，本届“科技节”以“筑梦航天”为主题，一一展示我国在航天事业上的成就，并对在本届“科技节”展示活动中表现优异的同学进行嘉奖．学校计划选购甲、乙两种图书作为本届“科技节”的奖品，已知甲种图书的单价比乙种图书单价多10元．用600元购买甲种图书的数量和用400元购买乙种图书的数量相同． (1)甲、乙两种图书每本分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 【答案】(1)甲种图书每本为 30元，乙种图书每本为 20元 (2)共有 6 种购买方案 【分析】本题考查分式方程的应用及一元一次不等式组的应用，正确得出等量关系是解题关键． （1）用总费用除以单价即为数量，设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为元，根据两种图书数量之间的关系列方程； （2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本，根据“投入的经费不超过1050元，甲种图书数量不少于乙种图书的数量”列出不等式组解决问题． 【详解】（1）设乙种图书每本为 x 元，则甲种图书每本为元， 根据题意得： 解得：， 经检验， 是分式方程的根，且符合题意， ∴（元）， 答：甲种图书每本为 30 元，乙种图书每本为 20 元； （2）设购买甲种图书 a 本，由题意可得： 解得：， ∵a 为整数， ∴a 可取 20，21，22，23，24，25， ∴共有 6 种购买方案． 3．某市教育局计划购买台阅卷扫描仪，有，两种型号可供选择，其中型号功能多一点．已知购买台型号和台型号共需要万元；购买台型号和台B型号共需要万元． (1)求，两种型号阅卷扫描仪的单价； (2)若购买阅卷扫描仪的费用不超过万元，请你通过计算说明，共有哪几种购买方案； (3)在（2）的购买方案中，教育局想多购买功能多一点的阅卷扫描仪，应选择哪种方案？ 【答案】(1)型号阅卷扫描仪的单价是万元/台，型号阅卷扫描仪的单价是万元/台 (2)有三种购买方案．方案一：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台；方案二：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台；方案三：购买型号阅卷扫描仪台 (3)选择方案一：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设型号阅卷扫描仪的单价是万元，B型号阅卷扫描仪的单价是万元，根据题意列出方程组并求解； （2）设购买型号阅卷扫描仪台，根据题意列出不等式即可； （3）写出所有可能的方案，然后选出型号最多的方案． 【详解】（1）设型号阅卷扫描仪的单价是万元/台，型号阅卷扫描仪的单价是万元/台， 根据题意，得解得 答：型号阅卷扫描仪的单价是万元/台，型号阅卷扫描仪的单价是万元/台． （2）设购买型号阅卷扫描仪台，则购买型号阅卷扫描仪台． 根据题意，得， 解得． ∵m为正整数，， ∴m可取，，，对应的值为，，． ∴有三种购买方案．方案一：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台；方案二：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台；方案三：购买型号阅卷扫描仪台． （3）在（2）的购买方案中，教育局想多购买功能多一点的阅卷扫描仪，应选择方案一：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台． 【一览众山小】 1．将一包糖果分给学生，若________，若每人分6个，则最后一个学生分到的糖果数量不足4个．设有x名学生，根据题意可列不等式为，则横线上的信息可以是（   ） A．每人分7个，则少分4个人 B．每人分4个，则还剩7个 C．每人分7个，则还剩4个 D．其中一个人分4个，则其他人每人可分7个 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际问题列不等式，根据不等式表示的意义解答即可求解，理解题意和不等式是解题的关键． 【详解】解：由不等式可得：将一包糖果分给学生，若每人分4个，则还剩7个，若每人分6个，则最后一个学生分到的糖果数量不足4个． ∴横线的信息是每人分4个，则还剩7个， 故选：． 2．信阳毛尖是中国十大名茶之一，具有生津止渴、清心明目等多种功效，某商家以200元/罐的价格购进一批罐装信阳毛尖，并在进价的基础上提价30%进行售卖，设售出的数量为x，要使总销售额多于13万元，可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了售卖问题．熟练掌握总价与单价和数量的等量关系列不等式，是解题的关键．根本总价与单价和数量的关系列不等式即可． 【详解】解：进价200元/罐，在进价的基础上提价30%售卖，售出的数量为x，总销售额多于13万元， 列方程为． 故选：B． 3．定义新运算“※”如下：当时，；当时，．例如，，，若则x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解不等式，新定义运算，解题的关键是根据题意列出不等式，注意进行分类讨论．先根据题意分两种情况：当时，当时，列出不等式，解不等式即可得出答案． 【详解】解：当时，， 解不等式得：， 解不等式得： ∴； 当时，， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴此时无解； 综上分析可知：x的取值范围是． 故选：C． 4．请直接写出下列不等式组的解集： （1）的解集为 ； （2）的解集为 ； （3）的解集为 ． 【答案】 无解 【分析】本题考查了不等式组的解集，（1）、（2）、（3）根据同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小解不了的原则直接写出解集即可． 【详解】解：（1）的解集为； （2）的解集为； （3）的解集为无解； 故答案为：；；无解． 5．已知关于的不等式组有四个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数可得m的取值范围． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为：， ∵关于的不等式组有四个整数解， ∴整数解为， ∴， 解得：， 故答案为：． 6．若定义是a与b中的较大者，例如：，，若有，那么y的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，一次函数的性质，不等式的性质等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况讨论：①当时；②当时；分别求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时， 解得：， 此时， ， ， ； ②当时， 解得：， 此时， ， ， ， ； 综上，y的最小值为， 故答案为：． 7．解不等式组： 【答案】 【分析】此题考查了解不等式组，求不等式组的解集要根据以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．求出每个不等式的解集，再求其解集的公共部分即可． 【详解】解： 由①得，， 由②得，， 原不等式组的解集为：． 8．解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查的是按一次不等式的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； （1）先去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； 【详解】（1）解：， 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 将不等式的解集表示在数轴上如图①． 图① （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得：， 不等式的解集为． 将解集表示在数轴上如图②． ； 9．已知关于x、y的二元一次方程组 (1)若方程组的解满足条件，，求实数k的取值范围； (2)若方程组的解满足方程，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组． （1）利用加减消元法求解得出，根据，得，分别求解可得答案； （2）根据得，解之即可． 【详解】（1）解：解方程组，得， ∵，， ∴， 解得； （2）解：， ， 解得． 10．某校计划为教师购买甲、乙两种词典，已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本家中词典和3本乙种词典共需290元． (1)求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元． (2)学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本，总费用不超过1700元，那么最多可购买甲种词典多少本？ 【答案】(1)每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元 (2)学校最多可购买甲种词典10本 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用： （1）设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元，根据“购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元，购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设学校购买甲种词典m本，则购买乙种词典本，根据总价单价数量结合总费用不超过1700元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设每本甲种词典的价格为x元，每本乙种词典的价格为y元， 由题意得， 解得， 答：每本甲种词典的价格为70元，每本乙种词典的价格为50元； （2）解：设学校计划购买甲种词典m本，则购买乙种词典本， 根据题意，得， 解得， 答：学校最多可购买甲种词典10本． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$