6.一元一次不等式组-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

6.一元一次不等式组 一、一元一次不等式组的定义 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 二、一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。如果这些不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解。几个不等式解集的公共部分，通常利用数轴来确定。 三、一元一次不等式组的解法步骤 1.分别求出不等式组中各个不等式的解集。 2.利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 四、一元一次不等式组的注意事项 在解一元一次不等式组时，要特别注意不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变。此外，在利用数轴求解集时，要注意确定边界和方向，有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；大数向右，小数向左。 巩固课内例1:解一元一次不等式组(移项、合并同类项) 1．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．    C．    D．    【答案】C 【分析】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 根据解一元一次不等式的方法可以解答本题． 【详解】解： 由不等式①，得 ， 由不等式②，得 ， 故原不等式组的解集是， 故选：C． 2．一元一次不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式和解一元一次不等式组，先求出两个不等式的解集，再求其公共解即可，解题的关键是掌握一元一次不等式组的求解方法． 【详解】解： 解不等式得，， ∴不等式组的解集为． 故答案为： 3．解不等式组 (1)求不等式组的解集并将解集在数轴上表示出来． (2)写出满足这个不等式组的所有整数解． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)3，4 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出不等式组的解集是解答此题的关键． 先求出不等式组中每一个不等式的解集，即可求得整数解． 【详解】（1）解：解不等式组 解不等式①得： 解不等式②得： 原不等式组的解集为： 该不等式组的解集在数轴上表示如图：      （2）故这个不等式组的所有整数解为：3，4． 巩固课内例2:解一元一次不等式组(去括号) 1．不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．分别求出两个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 故选：A． 2．解不等式组的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 分别求出两个不等式的解集，进而求出不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 故答案为：． 3．解不等式组 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．分别求出两个不等式的解集，找出解集的公共部分，确定出不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 故不等式组的解集为． 巩固课内例3:解一元一次不等式组(去分母) 1．把不等式组中每个不等式的解集在一条数轴上表示出来，正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示解集，先解不等式组求出解集，再在数轴上表示出来即可，正确求出每个不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等数组的解集为， 在数轴上表示解集为： 故选：． 2．不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法步骤并正确求解是关键． 先求出每个一元一次不等式的解集，再求出它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解： 解①得：， 解②得：， ∴不等式组的解集为． 故答案为：． 3．解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先求出每个不等式的解集，再求其公共部分即可． 【详解】解：解不等式①，得． 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集是． 类型一、一元一次不等式组的定义 1．下列不等式组中，属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组．解题的关键是掌握一元一次不等式组的定义． 一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：A、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； B、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； C、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．下列不等式组： （1） （2） （3） （4） 其中 是一元一次不等式组．（用序号表示） 【答案】（1）（4） 【分析】根据不等式组的定义进行判断即可．把两个含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组．掌握不等式组的定义是解题的关键． 【详解】（1）（4）符合一元一次不等式组的定义，故是一元一次不等式组； （2）中不等式组含有两个未知数，所以它不是一元一次不等式组； （3）中第一个不等式的分母中含有未知数，故它不是一元一次不等式． 3．判断下列不等式组是否为一元一次不等式组． （1）    （2）    （3） 【答案】（1）是；（2）不是；（3）不是 【分析】（1）由题意根据一元一次不等式组的定义即几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成的不等式组进行分析作答； （2）由题意根据一元一次不等式组的定义即几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成的不等式组进行分析作答； （3）由题意根据一元一次不等式组的定义即几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成的不等式组进行分析作答． 【详解】解：（1），符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组； （2）中，是一元二次不等式，故不是一元一次不等式组； （3）中，是方程，不是不等式，故不是一元一次不等式组． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的定义，注意掌握把几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成的不等式组叫做一元一次不等式组． 类型二、求不等式组的解集 1．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，利用数轴表示不等式组的解集，正确掌握一元一次不等式的解法是解题的关键 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 将解集表示在数轴上为： 故选：B 2．不等式组的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集．正确的求出每一个不等式的解集，是解题的关键． 【详解】解：， 由①，得：； 由②，得：， ∴不等式组的解集为：； 故答案为：． 3．下面是小明同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 解：由不等式①，得．…第一步 解得．…第二步 由不等式②，得．…第三步 移项，得．…第四步 解得．…第五步 所以原不等式组的解集是．…第六步 任务一： （1）小明的解答过程中，第__________步开始出现错误，错误的原因是__________； （2）第三步的依据是__________； 任务二： （3）直接写出这个不等式组正确的解集是__________． 【答案】（1）五；不等式两边同时除以负数时，不等号方向没有改变 （2）不等式的性质2 （3） 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）由不等式的性质可知，第五步不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向没有发生改变，据此可得答案； （2）根据不等式的性质2即可得出答案； （3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）由解题过程可知，第五步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边同时除以负数时，不等号方向没有改变， 故答案为：五；不等式两边同时除以负数时，不等号方向没有改变； （2）由解题过程可知，第三步是不等式两边同时乘以2去分母，因而第三步的依据是不等式的性质2， 故答案为：不等式的性质2； （3）， 由不等式①，去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； 由不等式②，去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； 不等式组的解集为：， 故答案为：． 类型三、列不等式组 1．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，理解不超过为小于等于，不少于为大于等于是解题关键．设购买篮球个，则购买排球个，再结合题意列出不等式组即可． 【详解】解：设购买篮球个，则购买排球个， 由购买资金不超过3600元，可列， 由购买篮球的数量不少于排球数量的一半，可列， 即可列不等式组为． 故选C． 2．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则多10本，共本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是，可列出不等式组． 【详解】解：设一共有x名学生，列不等式组为： ． 故答案为：． 3．丽丽今年岁，爷爷今年虽不满岁，他的年龄（岁）比丽丽的年龄的倍还多，试写出符合爷爷年龄的不等式组． 【答案】 【分析】根据爷爷今年虽不满70岁，他的年龄（岁）比丽丽的年龄的4倍还多，分别得出不等式组成方程组即可． 【详解】解：根据题意可得：． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据题意得出正确不等关系是解题关键． 类型一、不等式组解集求参 1．若不等式组的解集为，则的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算可得，从而可得，，然后求出m，n的值，再代入式子中，进行计算即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 2．已知不等式组的解集为，则的值是 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的解法，代数式求值，关键是正确计算出两个不等式的解集．首先计算出两个不等式的解集，再根据不等式的解集是，可得，，再解一元一次方程可得答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， ，， 解得：， ， 故答案为：3． 3．已知关于x的不等式组的解集为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，求代数式的值，根据不等式组的解集求出m与n的值是解题的关键；先解不等式组，根据不等式组的解集得关于m与n的方程，求出m与n的值，即可求得代数式的值． 【详解】解：令 解不等式①，得．解不等式②，得． 不等式组的解集为， ，， 解得，， ． 类型二、不等式组与方程组结合 1．已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键．解方程组可得，再结合列出不等式组，求出不等式组的解集即可得出结论． 【详解】解：关于x，y的方程组为， 解得：， 因为， 所以， 解得：． 故选：C． 2．已知二元一次方程组，其中方程组的解满足，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组的应用，先求出方程组的解，再把解代入到不等式中，最后解不等式即可求解，正确求出方程组的解是解题的关键． 【详解】解： 得，， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为， ∵方程组的解满足， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 3．已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的取值范围． (2)若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数、一元一次不等式组的求解以及等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握相关结论即可. （1）方程组，得：，进而得，即可求解； （2）解方程组得：，可知x，y不可能是等腰三角形的两腰；分类讨论若x是等腰三角形的腰，若是等腰三角形的腰，两种情况，利用三角形的三边关系加以验证即可． 【详解】（1）解：方程组，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； （2）解：解方程组得：， 可知x，y不可能是等腰三角形的两腰； 若x是等腰三角形的腰， 则，解得：； 此时等腰三角形的三边长为：，不能构成三角形； 若是等腰三角形的腰， 则，解得：； 此时等腰三角形的三边长为：，能构成三角形； 综上所述： 类型三、不等式组有、无解 1．如果不等式组有解，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式得到，再根据不等式组有解进行求解即可． 【详解】解：， 解不等式得， ∵不等式组有解， ∴， 故选：A． 2．若关于的不等式组的整数解共有5个，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集，后确定整数解即可．结合分式有意义的条件，解答即可， 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有5个整数解，分别为， ∴， 故答案为：． 3．已知不等式组 (1)若该不等式组的解集为，求 a的值； (2)若该不等式组无解，求 a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）解不等式组中两个不等式后根据不等式组的解集可得关于a的方程，解之可得； （2）根据“大小小大无解了”可确定关于a的不等式，解之可得． 【详解】（1）解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组的解集是， ∴， 解得：； （2）解：∵不等式组无解， ∴， 解得：． 类型一、一元一次不等式组的整数解 1．若不等式组无解，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了列出关于m的不等式，解之可得． 【详解】解：解不等式，得． 又因为且不等式组无解， 所以， 解得． 故选：C． 2．对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190”为一次操作．若操作仅进行了两次就停止，则满足条件的x的最大值是 ． 【答案】64 【分析】根据第一次操作没有停止可得不等式，根据第二次操作后停止可得不等式，由此建立不等式组求解即可．本题主要考查了解一元一次不等式组，正确理解题意列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 解得， ∴x的最大值是64． 故答案为：64 3．已知关于x的不等式组有5个整数解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解：已知解集（整数解）求字母的取值．解题思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解不等式即可得到答案． 【详解】解； 去分母：， 去括号：， 合并同类项：， ∴， 去括号：， 合并同类项：， ∵不等式组有5个整数解， ∴不等式组的解集为，且5个整数解为：2，1，0，，， ∴， ∴． 类型二、一元一次不等式组的应用 1．若关于的不等式组仅有3个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查一元一次不等式组的解法．解题关键在于注意分析不等式组的解集的确定．此题需要首先解不等式，根据整数解的情况确定a的取值范围．特别是要注意不等号中等号的取舍． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∵此不等式组仅有3个整数解， ∴这3个整数解为0，1，2， ∴a的取值范围是． 故选：A． 2．若关于的方程有实数根，则的取值范围是 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值方程，解不等式，分类讨论是解题的关键．根据绝对值的意义，将方程转化为一般的方程，然后求解，再解不等式即可． 【详解】解：根据题意，当时， 解得： 此时，解得 当时， 解得： 此时，解得或 综上所述，或 故答案为：或． 3．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．我校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵30元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用900元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？最低费用是多少？ 【答案】(1)每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是50元 (2)共有4种购买方案，最低费用是5780元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式组的应用，一次函数的应用． （1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，根据买套甲型号和10套乙型号共用900元列一元一次方程求解即可； （2）设需购进乙种型号“文房四宝”套，则需购进甲种型号“文房四宝”套， 根据总费用不超过5870元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的倍列一元一次不等式组求解得，再设总费用为元，列出一次函数，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元， 由题意可得， 解得，． 答：每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是50元； （2）解：设需购进甲种型号“文房四宝”套，则需购进乙种型号“文房四宝”套， 由题意可得：， 解得， 又为正整数， 可以取26，27，28，29； 共有4种购买方案， 设总费用为元，则， ， 随着的增大而增大， 当时，最小，最小值为， 答：共有4种购买方案，最低费用是5780元． 类型三、解特殊的不等式组 1．把一些笔记本分给几个学生，如果每人分4本，那么余9本；如果前面的每个学生分6本，那么最后一人能分到但分不到3本，因此共有学生（    ） A．5人 B．6人 C．7人 D．6人或7人 【答案】C 【分析】本题考查不等式组的实际应用，设共有学生人，根据每个学生分6本，那么最后一人能分到但分不到3本，列出不等式组，求出正整数解，即可． 【详解】解：设共有学生人，由题意，得： ， 解得：， ∵人数为正整数， ∴； 故选C． 2．新定义一个运算：，例如，．用表示大于m的最小整数，例如，，．按照上述规定，如果整数x满足，则x的值是 ． 【答案】或2/2或 【分析】本题考查了新定义，求不等式组的解集，根据题意将整理后分和两种情况分类讨论即可． 【详解】解：∵， ∴， 则， 那么即， 整理得：， 当时， ， 则， 解得：， ∵x为整数， ∴； 当时， ， 则， 解得：， ∵x为整数， ∴； 综上，x的值是或2， 故答案为：或2． 3．阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了因式分解式不等式的求解，解题的关键在于熟练掌握两式之积大于0，则两式为同号，两式之积小于0则两式为异号． （1）利用两式之积大于0，推出两式同号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大大取大，小小取小即可求出原不等式的解集． （2）利用两式之积小于0，推出两式异号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大小小大取中间，即可求出原不等式的解集． 【详解】（1）解：①当，则， ，解不等式组得． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：或． （2）解：①当，则， ， 不等式组无解． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：． 类型四、一元一次不等式组的新定义 1．若关于x的不等式的最小整数解是，则实数的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解，解不等式得出，根据不等式的最小整数解是即可确定的取值范围，继而得出结论．解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解． 【详解】解：∵， 解得：， ∵关于x的不等式的最小整数解是， ∴， ∴， ∴实数的值可能是． 故选：C． 2．甲种蔬菜保鲜适宜的温度是，乙种蔬菜适宜的温度是，将两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式解集的应用，掌握相关知识是解题的关键．找出甲乙两种蔬菜保鲜适宜的温度范围的公共部分即可． 【详解】解：甲种蔬菜保鲜适宜的温度是，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是， 将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是， 故答案为：． 3．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)① (2)； (3)． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键． （1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可； （2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组，解不等式组可得答案； （3）先解不等式组可得，再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：，，，，，再求解，而为整数，则或0，分两种情况讨论，从而可得答案． 【详解】（1）解：①， 整理得：， 解得：； ②， 解得：； ③， 解得：； ， 解不等式可得：， 解不等式可得：， 所以不等式组的解集为：； 根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”． 故答案为：①； （2）解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为：， ， ， 根据“相依方程”的含义可得： ， ， 解得：； （3）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 此时不等式组有5个整数解， 令整数的值为：，，，，， ， ∴， 则， 解得：，而为整数，则或0， 当时，， ∴， 因为， 解得：， 根据“相依方程”的含义可得：， 解可得：， 解可得：， 所以不等式组的解集为：； 当时，， ∴， 综上：． 1．对，定义一种新运算“”，规定：．若关于的不等式组有且只有一个整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的运算，一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解的确定，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 本题根据新运算列出不等式组求出的取值范围，根据题意列出关于的不等式组，解不等式组求出实数的取值范围． 【详解】解：由，根据新运算，可化简为：， 解这个不等式组，解得：， ∵关于的不等式组有且只有一个整数解， ∴， ∴， 解得：， 故选：B． 2．若不等式组的解为，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解一元一次不等式组和不等式组解集的确定方法，熟练掌握不等式组解集的确定方法是解本题的关键．根据“都小取小”的不等式解集确定方法进行解答即可． 【详解】解：∵不等式组的解为， ∴， 故选：B. 3．关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集，首先解不等式组求得不等式组的解集，根据不等式组有3个整数解即可确定整数解，从而得到a的范围． 【详解】解：不等式组的解集是． 又∵不等式组有3个整数解， ∴整数解是0，1，2． ∴， 故选：C． 4．关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式组的解集，首先解出不等式的解集，再根据不等式组有且只有四个整数解，得到a的取值范围． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， ∵关于x的不等式组有四个整数解，而的四个整数是9，10，11，12， ∴， 解得， ∴a的取值范围是， 故选：A． 5．不等式组的最小整数解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则，求出不等式组的解集是解题的关键． 求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可求出最小整数解． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∴最小整数解是， 故答案为：． 6．如果关于的不等式组有解，且关于的方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的解，已知一元一次方程解的情况求参数，掌握不等式组的解集由所构成的几个不等式解集的公共部分组成是解题关键． 先解方程，再根据不等式组有解求出的取值范围，然后根据方程有正整数解得出，将的取值代入，找出符合条件的值，并相加即可得出答案． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． 该不等式组有解， ， 解得． 整理方程，得． 方程有正整数解， ，解得， ． 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得，不符合题意，舍去； 符合条件的所有整数的和为． 故答案为：． 7．若关于x的不等式组的解集为，求的值． 【答案】12 【分析】本题考查的是一元一次不等式组与方程组的综合应用，根据不等式组的解集建立方程组是解本题的关键． 先解不等式组可得解集为，结合已知解集建立方程组，再解方程组得到、的值，即可求解． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为：， 关于的不等式组的解集为， ，解得， ． 8．已知关于，的方程组的解满足． (1)的取值范围是________； (2)若不等式组的解集为，求符合条件的正整数的值． 【答案】(1) (2)的值为 【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组； （1）根据得，，得出，根据，即可求解； （2）先解不等式得出，根据不等式组的解集为，可得不等式的解集为．进而得出，结合（1）得结论，且为正整数，即可求解． 【详解】（1）解： 得， ∴ ∵ ∴ 解得： 故答案为：． （2）解不等式，得． ∵不等式组的解集为， ∴不等式的解集为． ∴，解得． 由（1）知， ∴，且m为正整数，故正整数m的值为1． 9．某学校七年级（1）班购买若干支签字笔作为奖品发放给获奖学生，如果每人分5支，那么剩余7支；如果每人分6支，那么最后一名学生虽然能分到但分到的笔少于4支，则该班级获奖学生的人数至少是多少？ 【答案】10人 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用；根据题意列出不等式组是解题的关键；设获奖学生有x人，则共有支签字笔，根据“如果每人分6支，那么最后一名学生虽然能分到但分到的笔少于4支”，列出不等式组并求解即可． 【详解】解：设获奖学生有x人，则共有支签字笔． 依题意，得 解得． x为整数， x的最小值为10，即获奖学生至少有10人． 10．（新考法）对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如：，，根据以上材料，解决下列问题： (1)__________， __________； (2)若，则的取值范围是__________； (3)求满足的所有非负数的值． 【答案】(1)2；2 (2) (3)或2或 【分析】本题以新定义为背景，考查了一元一次不等式组的解法，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组，求出相应的数值． （1）根据题意和四舍五入法，可以写出题目中的数据的结果； （2）根据题意和，可以得到不等式组，然后求解即可； （3）根据题意和，可以设，然后可以得到，从而可得关于m的不等式组，从而可以求得m的取值范围，进而求得的值． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 故答案为：2，2； （2）解：由题意可得：， 解得， 故答案为：； （3）解：设，为整数，则，， ，解得． 为整数， 或2或3， 时，，； 时，，； 时，，； 或2或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.一元一次不等式组 一、一元一次不等式组的定义 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 二、一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。如果这些不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解。几个不等式解集的公共部分，通常利用数轴来确定。 三、一元一次不等式组的解法步骤 1.分别求出不等式组中各个不等式的解集。 2.利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 四、一元一次不等式组的注意事项 在解一元一次不等式组时，要特别注意不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变。此外，在利用数轴求解集时，要注意确定边界和方向，有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；大数向右，小数向左。 巩固课内例1:解一元一次不等式组(移项、合并同类项) 1．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A．   B．    C．    D．    2．一元一次不等式组的解集为 ． 3．解不等式组 (1)求不等式组的解集并将解集在数轴上表示出来． (2)写出满足这个不等式组的所有整数解． 巩固课内例2:解一元一次不等式组(去括号) 1．不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 2．解不等式组的结果为 ． 3．解不等式组 巩固课内例3:解一元一次不等式组(去分母) 1．把不等式组中每个不等式的解集在一条数轴上表示出来，正确的为（   ） A． B． C． D． 2．不等式组的解集是 ． 3．解不等式组： 类型一、一元一次不等式组的定义 1．下列不等式组中，属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 2．下列不等式组： （1） （2） （3） （4） 其中 是一元一次不等式组．（用序号表示） 3．判断下列不等式组是否为一元一次不等式组． （1）    （2）    （3） 类型二、求不等式组的解集 1．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．不等式组的解集为 ． 3．下面是小明同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 解：由不等式①，得．…第一步 解得．…第二步 由不等式②，得．…第三步 移项，得．…第四步 解得．…第五步 所以原不等式组的解集是．…第六步 任务一： （1）小明的解答过程中，第__________步开始出现错误，错误的原因是__________； （2）第三步的依据是__________； 任务二： （3）直接写出这个不等式组正确的解集是__________． 类型三、列不等式组 1．“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 2．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 3．丽丽今年岁，爷爷今年虽不满岁，他的年龄（岁）比丽丽的年龄的倍还多，试写出符合爷爷年龄的不等式组． 类型一、不等式组解集求参 1．若不等式组的解集为，则的值为（   ） A．－1 B．0 C．1 D．2 2．已知不等式组的解集为，则的值是 ． 3．已知关于x的不等式组的解集为，求的值． 类型二、不等式组与方程组结合 1．已知关于x，y的方程组的解满足条件，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知二元一次方程组，其中方程组的解满足，则的取值范围 ． 3．已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的取值范围． (2)若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求的值． 类型三、不等式组有、无解 1．如果不等式组有解，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 2．若关于的不等式组的整数解共有5个，则的取值范围是 ． 3．已知不等式组 (1)若该不等式组的解集为，求 a的值； (2)若该不等式组无解，求 a的取值范围． 类型一、一元一次不等式组的整数解 1．若不等式组无解，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190”为一次操作．若操作仅进行了两次就停止，则满足条件的x的最大值是 ． 3．已知关于x的不等式组有5个整数解，求a的取值范围． 类型二、一元一次不等式组的应用 1．若关于的不等式组仅有3个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若关于的方程有实数根，则的取值范围是 3．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．我校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵30元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用900元． (1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？最低费用是多少？ 类型三、解特殊的不等式组 1．把一些笔记本分给几个学生，如果每人分4本，那么余9本；如果前面的每个学生分6本，那么最后一人能分到但分不到3本，因此共有学生（    ） A．5人 B．6人 C．7人 D．6人或7人 2．新定义一个运算：，例如，．用表示大于m的最小整数，例如，，．按照上述规定，如果整数x满足，则x的值是 ． 3．阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 类型四、一元一次不等式组的新定义 1．若关于x的不等式的最小整数解是，则实数的值可能是（   ） A． B． C． D． 2．甲种蔬菜保鲜适宜的温度是，乙种蔬菜适宜的温度是，将两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是 ． 3．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 1．对，定义一种新运算“”，规定：．若关于的不等式组有且只有一个整数解，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若不等式组的解为，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．不等式组的最小整数解是 ． 6．如果关于的不等式组有解，且关于的方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 7．若关于x的不等式组的解集为，求的值． 8．已知关于，的方程组的解满足． (1)的取值范围是________； (2)若不等式组的解集为，求符合条件的正整数的值． 9．某学校七年级（1）班购买若干支签字笔作为奖品发放给获奖学生，如果每人分5支，那么剩余7支；如果每人分6支，那么最后一名学生虽然能分到但分到的笔少于4支，则该班级获奖学生的人数至少是多少？ 10．（新考法）对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如：，，根据以上材料，解决下列问题： (1)__________， __________； (2)若，则的取值范围是__________； (3)求满足的所有非负数的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$