4—5.一元一次不等式、一元一次不等式与一次函数-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

4—5.一元一次不等式、一元一次不等式与一次函数 一、一元一次不等式 只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式。一元一次不等式基本情形为ax>b（或ax<b）。解一元一次不等式的步骤包括去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1（注意不等号的改变）。 二、一元一次不等式与一次函数 一次函数的定义是形如y=kx+b的函数。一元一次不等式与一次函数的关系是通过一次函数的性质和图像来解一元一次不等式。 巩固课内例1:解整数不等式 1．不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，先解不等式可得解集为，再在数轴上表示解集即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在数轴上表示为： ． 故选：D． 2．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先移项，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： 移项得：， 合并同类项得：， 故答案为：． 3．解不等式，并在数轴上表示其解集． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，先根据去括号、移项、合并后系数化为1后即可得出不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， 去括号得，， 移项得，， 合并得，， 系数化为1，得：， 在数轴上表示如下： 巩固课内例2:解分数不等式 1．解不等式时，下列去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键；因此此题可根据一元一次不等式的解法进行求解即可． 【详解】解： 去分母得：； 故选C． 2．不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键．根据解一元一次不等式基本步骤∶去分母、移项、系数化为1即可得到答案． 【详解】解：去分母，得：， 移项，得：， 故答案为：． 3．解下列不等式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元一次不等式的求解，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法，正确求出不等式的解集． （1）按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解． （2）按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 巩固课内例3:一元一次不等式的应用——比赛问题 1．在某市举办的青少年校园足球比赛中，比赛规则是胜一场积分，平一场积分，负一场积分．某校足球队共比赛场，以负场的成绩夺得了冠军，已知该校足球队最后的积分不少于分，则该校足球队获胜的场次最少是（    ） A．场 B．场 C．场 D．场 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用．设该校足球队获胜了场，则平了场，根据最后的积分不少于分可列不等式，解不等式可得获胜的场次最少是多少． 【详解】解：设该校足球队获胜了场，则平了场， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 的最小值为． 故应选：B． 2．某校举行篮球联赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，七年级一班要想在10场比赛中得分不低于24分．则该班至少要胜 场． 【答案】7 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，难度一般，解答本题的关键是表示出胜场得分和输场得分并列出不等式．设这个班要胜x场，则负场，根据题意列出不等式，解不等式即可求出至少要胜几场． 【详解】解：设这个班要胜x场，则负场，由题意得： ， 解得：， 故答案为：7． 3．为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，开展班级篮球赛． (1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在12场比赛中获得总积分为30分，求该班胜、负场数分别是多少场？（用二元一次方程组解答） (2)投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中18个球，所得总分不低于40分，求该班在这场比赛中至少投中了多少个得3分的球？ 【答案】(1)该班胜9场，负3场 (2)该班在这场比赛中至少投中了4个得3分的球 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用； （1）等量关系式：胜场数负场数场，胜场的得分负场的得分分，列方程组，即可求解； （2）不等关系式：3分线外投篮得分在3分线内（含3分线）投篮得分分，列出不等式，即可求解； 找出等量关系式和不等关系式是解题的关键． 【详解】（1）解：设该班胜x场，负y场，根据题意得 解得： 答：该班胜9场，负3场 （2）解：设该班在这场比赛中投中了m个得3分的球，则投中个得2分的球， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最小值为4． 答：该班在这场比赛中至少投中了4个得3分的球． 类型一、一元一次不等式的定义 1．下列各式：①；②；③；④；中是一元一次不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键．根据一元一次不等式的概念逐项判断即可． 【详解】解：①，是一元一次不等式；②，有2未知数，不是一元一次不等式；③，是代数式，不是一元一次不等式；④，未知数的次数是2，不是一元一次不等式． 综上可知只有①是一元一次不等式． 故选D． 2．已知不等式是关于x的一元一次不等式，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此可得，再计算即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴， 故答案为：． 3．已知是关于x的一元一次不等式． (1)求m的值． (2)求出原一元一次不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元一次不等式的定义，，，分别进行求解即可． （2）代入m的值，利用解一元一次不等式的一般步骤求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，解得，， 所以． （2）解：原一元一次不等式为， 移项得， 合并同类项得， 解得． 【点睛】题考查了一元一次不等式的定义，解一元一次不等式，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 类型二、列一元一次不等式 1．“x的与5的相反数的和是非负数”用不等式表示为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．首先表示的．为，再表示与5的相反数的和为，最后表示是非负数可得答案． 【详解】解：由题意得：， 故选：A． 2．一天，小颖对妈妈说：妈妈，我的年龄比你小26岁，六年后，我的年龄还不到你的年龄的一半．设小颖今年的年龄为x岁，可列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据“六年后，小颖的年龄还不到妈妈的年龄的一半”列出不等式即可． 【详解】解：由题意知，六年后，小颖的年龄为岁，妈妈的年龄为岁， 根据不等关系得：； 故答案为：． 3．用不等式表示下列关系： (1)a是非负数：___________； (2)与的差是负数：___________； (3)y不小于2：___________； (4)x与5的差的绝对值大于4：___________； (5)a的3倍与y的和大于2：___________； (6)小于5：___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的不等式． （1）根据题意可知大于等于0，即可得出答案； （2）根据题意可知与的差小于0，即可得出答案； （3）根据题意可知大于等于2，即可得出答案； （4）根据题意可知x与5的差的绝对值大于4，即可得出答案； （5）根据题意可知与y的和大于2，即可得出答案； （6）根据题意可知小于5，即可得出答案． 【详解】（1）a是非负数可表示为：； （2）与的差是负数可表示为：； （3）y不小于2可表示为：； （4）x与5的差的绝对值大于4可表示为：； （5）a的3倍与y的和大于2可表示为：； （6）小于5可表示为：． 类型三、在数轴上表示不等式解集 1．不等式的解集在数轴上的表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的求解，先移项，再合并同类项，根据不等式性质求出不等式的解集，再在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， ∴， 解得， 在数轴上表示不等式的解集如下： ． 故选：A． 2．若一个关于x的不等式的解集如图所示，则这个不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，关键是用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 根据不等式的解集在数轴上的表示方法即可得出结论． 【详解】解：∵3处是空心圆点，且折线向左， ∴这个不等式的解集为． 故答案为：． 3．利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示其解集： (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】此题考查了不等式的性质和在数轴上表示不等式的解集． （1）不等式两边都加上同一个数，不等式仍然成立，据此即可求出不等式的解集，把解集表示在数轴上即可； （2）不等式两边都减去同一个整式，不等式仍然成立，据此即可求出不等式的解集，把解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：∵， ， ． 不等式的解集在数轴上表示如图． （2）∵， ， ． 类型四、解一元一次不等式 1．如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则天平左盘中的每个小立方体的质量m（克）的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，正确列出关于m不等式组是解题关键． 根据题意，可列不等式组，求解即可． 【详解】根据题意，得 解得． 故选D． 2．一元一次不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式．利用移项即可得到不等式的解集． 【详解】解： ∴， 故答案为： 3．解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次不等式． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 类型一、一元一次不等式的整数解 1．不等式的正整数解有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．先分别求出不等式的解集，然后求其正整数解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴正整数解为1，2，3，共3个， 故选：D． 2．不等式的非负整数解为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤是解题的关键：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为． 先按照解一元一次不等式的一般步骤求解，然后取其非负整数解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 不等式的非负整数解为：或， 故答案为：或． 3．若方程的解是不等式的最大整数解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了由一元一次方程和一元一次不等式解的情况求参数，先求出方程的解和不等式的解集，根据不等式的解集确定出方程的解，再代入方程的解即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：解方程，得， 解不等式，得， 不等式的最大整数解为， ∵方程的解是不等式的最大整数解， ∴， 解得． 类型二、一元一次不等式的应用——销售问题 1．某超市以160元的价格购进某种商品，将进价提高一定百分比后标价出售，并在标价的基础上推出8折优惠活动，若利润率仍不少于，则提高的百分比至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，设提高的百分比至少为，根据利润率=（售价-进价）÷进价列不等式求解即可． 【详解】解：提高的百分比至少为，根据题意得， ， 解得，， 即：提高的百分比至少为， 故选：C． 2．某水果店以每千克元的价格购进千克橙子，且购进的橙子有的损耗，如果销售完这批橙子后该水果店获得了不少于元的利润，那么橙子每千克的售价至少为 元． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式，利用不等式的性质解答． 由“”根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得售价的最小值． 【详解】解：设橙子每千克的售价至少为元， 依题意得： 解得： 即橙子每千克的售价至少为元． 故答案为：． 3．“恒都生态牛肉”享誉东南亚，不少城市都设有“恒都生态牛肉”专卖店，某专卖店经销精选牛肉和普通牛肉，其中精选牛肉每斤进价比普通牛肉多5元，该专卖店用3800元一次购进普通牛肉50斤和精选牛肉40斤进行销售． (1)求精选牛肉和普通牛肉每斤购进单价各多少元？ (2)本次所购进牛肉该专卖店将普通牛肉以每斤60元价格销售，精选牛肉以每斤80元价格销售，普通牛肉很快售完，精选牛肉销售60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使得本次购进牛肉销售利润不少于2080元，剩余精选牛肉每斤售价最多打几折？ 【答案】(1)精选牛肉每斤购进单价为元，普通牛肉每斤购进单价元 (2)剩余精选牛肉每斤售价最多打7.5折 【分析】本题考查二元一次方程组解实际应用题、一元一次不等式解实际应用题，读懂题意，准确找到等量关系及不等关系列式求解是解决问题的关键． （1）设精选牛肉每斤购进单价为元，普通牛肉每斤购进单价元，由题中等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设剩余精选牛肉每斤售价打折，由题中要使得本次购进牛肉销售利润不少于2080元，列不等式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设精选牛肉每斤购进单价为元，普通牛肉每斤购进单价元，则 ，解得， 答：精选牛肉每斤购进单价为元，普通牛肉每斤购进单价元； （2）解：设剩余精选牛肉每斤售价打折，则 ，解得， 答：剩余精选牛肉每斤售价最多打7.5折． 类型三、一元一次不等式的应用——和差倍分问题 1．某学校为了开展好课后服务，计划用不超过元的资金购买足球，篮球和排球，将它们用于球类兴趣班，已知足球，篮球，排球的售价分别为元，元，元，且根据参加球类兴趣班的学生总数了解到以下两项信息：①篮球的数量必须比足球的数量多；②排球数量必须是足球数量的倍，则学校最多能购买足球（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】设足球个，则篮球个，排球个，由用不超过元的资金购买足球、篮球和排球，列出不等式，即可求解． 【详解】解：设足球个，则篮球个，排球个， 由题意可得：， 解得：， 为正整数， 最大取． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，找出正确的不等关系是解题的关键． 2．斑马线前“车让人”，反映了城市的文明程度，但行人一般都会在红灯亮起前通过马路．某人行横道全长24米，小明以的速度过该人行横道，行至处时，9秒倒计时灯亮了．小明要在红灯亮起前通过马路，他的速度至少要提高到原来的 倍． 【答案】 【分析】设他的速度要提高到原来的x倍，再根据题意表示出倒计时期间行驶的路程，然后解不等式即可． 【详解】解：设他的速度要提高到原来的x倍，根据题意可得： ，解得： ， ∴他的速度至少要提高到原来的倍． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，审清题意、正确列出不等关系是解题关键． 3．为了提高学生体育中考成绩，某学校打算购买，品牌实心球用于学生训练，若一次购买品牌个和品牌个，需花费元；若一次购买品牌个和品牌个，需花费元． (1)求品牌实心球和品牌实心球的单价． (2)现学校决定一次性购买，品牌实心球共个，要求品牌实心球数量不超过品牌实心球数量的倍，问如何安排购买方案，使学校购买的总费用最少？最少为多少元？ 【答案】(1)品牌实心球和品牌实心球的单价分别为元、元 (2)当购买品牌实心球个，品牌实心球个时，使学校购买的总费用最少，最少为元 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用； （1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得品牌实心球和品牌实心球的单价； （2）根据题意可以得到费用与购买品牌数量的函数关系式，然后根据品牌实心球数量不超过品牌实心球数量的倍，可以得到购买品牌实心球数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可解答本题． 【详解】（1）解：设品牌实心球和品牌实心球的单价分别为元、元， ，得， 答：品牌实心球和品牌实心球的单价分别为元、元； （2）设购买品牌的实心球个，则购买品牌的实心球个，费用为元， ， 品牌实心球数量不超过品牌实心球数量的倍， ， 解得，， 当时，取得最小值，此时，， 答：当购买品牌实心球个，品牌实心球个时，使学校购买的总费用最少，最少为元． 类型四、直线与坐标轴的交点求不等式的解集 1．如图，一次函数（k为常数，）的图象分别与x、y轴交于A、B两点，，则当时，x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与不等式，根据函数图象解答即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 由函数图象可得，当时，， ∴的取值范围为， 故选：C． 2．如下图，已知一次函数，观察图象回答下列问题：当 时，． 【答案】 【分析】本题考查从图像获取信息的能力，根据一次函数得出函数位于y轴下方时x的取值范围求解即可．理解题意并合理利用图像是关键． 【详解】解：根据图像可知：当时，， 故答案为：． 3．已知一次函数． (1)在给定的平面直角坐标系中，画出一次函数的图象，并求出它与轴、轴交点的坐标； (2)根据图象，直接写出时的取值范围． 【答案】(1)图象见解析；与轴交点的坐标为，与轴交点的坐标为 (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质、一次函数的图象，明确题意、利用一次函数的性质和数形结合的思想是解题的关键． （1）根据函数解析式画出函数图象，并求出其与坐标轴交点坐标即可； （2）找出图象在轴上方的部分对应的横坐标的取值范围即可． 【详解】（1）函数图象如图所示． 一次函数， 当时，； 当时，； 一次函数的图象与轴交点的坐标为，与轴交点的坐标为． （2）由图象可得，当时，． 类型五、两直线的交点求不等式的解集 1．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式的解集是 D．方程组的解是 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与方程，不等式的关系，利用数形结合的思想是解题关键．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由图可知直线与直线的交点P的坐标为， ∴方程的解是，故A选项正确，不符合题意； ∴不等式的解集为， 不等式的解集为， ∴不等式和不等式的解集相同，故B选项正确，不符合题意； ∴不等式的解集是，故C选项正确，不符合题意； 由题意可知方程组，即方程组的解是， 无法求出方程组的解，故D选项符合题意． 故选D． 2．如图，直线经过点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，注意从数与形两个方面来理解一次函数与一元一次不等式间的关系，这是解答问题的关键．利用函数图象，找出正比例函数的图象在一次函数下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵时，， ∴函数的图象也经过点， ∴函数和的图象都经过点， 观察图象得，当时，． 故答案为：． 3．如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． (1)根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ (2)求直线的表达式和a的值； (3)若点P在直线上，且，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】本题考查一次函数解析式及一次函数的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）根据图象可知时，在的下方，得出答案； （2）将点，代入，得：，求解得出直线的表达式为，进而求出点M的坐标为，把代入， 求解即可得出答案； （3）设把代入得，，求出，进而得出，根据题意得出，求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，当时， x的取值范围为； （2）将点，代入， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 把代入 得， ∴点M的坐标为， 把代入， 得． （3）设， 把代入得，， ∴， ∴， ， 解得或． ∴或 类型一、一元一次不等式中的最值 1．已知点在直线上，且，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】A 【分析】将点代入直线中,得到m、n的关系式，分别表示代入不等式即可判断的最值； 【详解】解：将点代入直线中， 得，则 将代入中，解得： 将代入中，解得： ∴当，时，=有最大值 故选：A 【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次不等式的综合应用，掌握相关知识点并灵活应用是解题的关键． 2．关于的不等式的最小整数解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式； 先解不等式求出x的取值范围，再根据题意得出关于n的方程，求解即可． 【详解】解：解不等式得：， ∵关于的不等式的最小整数解为， ∴， ∴， 故答案为：． 3．已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值． 【答案】0 【分析】首先解方程求得x的值，把x的值代入不等式中，得关于a的不等式，解不等式即可求得满足条件的整数a的最小值． 【详解】原方程可化为：， 即7x=7， 解得：x=1， 把x=1代入2x－3a<5中，得2－3a<5， 解不等式得：， 所以整数a的最小值为0． 【点睛】本题是一元一次方程与一元一次不等式的综合，考查了解一元一次方程及解一元一次不等式、求一元一次不等式的整数解，正确解一元一次方程及一元一次不等式是解题的关键． 类型二、一元一次不等式中的绝对值 1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据绝对值性质分、，去绝对值符号后解相应不等式可得x的范围． 【详解】 解：①当，即时，原式可化为：， 解得：， ； ②当，即时，原式可化为：， 解得：， ， 综上，该不等式的解集是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的能力，根据绝对值性质分类讨论是解题的关键． 2．不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】根据“|a|”的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离即可解答． 【详解】解：根据绝对值的几何意义可得：“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于， 不等式的解集是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 3．先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：． 解：分情况讨论：①当时，原方程可化为，解得； ②当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解为或． 根据材料，解下列绝对值方程： (1)理解应用：； (2)拓展应用：不等式的解集为______． 【答案】(1)①；②或 (2)或 【分析】（1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （2）分为两种情况：①当时，②当时，分情况求出即可． 【详解】（1）解：分情况讨论： ①当时， 原方程可化为，解得； ②当时， 原方程可化为：， 解得：， 所以原方程的解为或； （2）解：分情况讨论： ①当时， 解得：； ②当时， 解得：， 所以不等式解集为或． 【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程及一元一次不等式的应用，关键是能去掉绝对值符号，用了分类讨论思想． 类型三、一元一次不等式的几何问题 1．在中，，若其周长为，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系、等腰三角形的性质；设，由三角形的三边关系定理得出，再由边长为正数得出，即可得出结果．掌握三角形的三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：设， ∵在中，，若其周长为， ∴， ∵，即， 解得：， 又∵， 解得：， ∴， 即． 故选：B． 2．如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意，则，解出，即可． 【详解】解：一颗玻璃球的体积为， ∵将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， ∴， 解得：； ∵五颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出， ∴， 解得：； ∴一颗玻璃球的体积的取值范围为：， 故答案为：． 3．如图，在靠墙（墙长为）的地方围建一个长方形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为， （1）鸡场的长（对着墙的边长）与宽（与墙相邻的边长）的函数关系式为 ． （2）养鸡场的长大于宽，并求自变量的取值范围为 ． 【答案】 【分析】主要考查了求函数的解析式，一元一次不等式的应用，首先审清题意，发现变量间的关系；再列出关系式或通过计算得到关系式，需注意结合实际意义，关注自变量的取值范围． （1）根据长方形的周长公式和围成的长方形仅有三边，找到函数关系解答即可 （2）根据题意列不等式，求出自变量的取值范围即可． 【详解】解：（1）根据题意得：鸡场的长与宽有，即； （2）墙长为 ， ， ， 养鸡场的长大于宽， ，解得， 则自变量的取值范围为； 故答案为：；． 类型四、一次函数的应用中的不等式 1．一次函数和，与x的部分对应值如表，与x的部分对应值如表：则当时，x的取值范围是（   ） x … 0 1 … x … 0 1 … … 3 5 … … 0 … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式和一次函数的性质，解题关键是找到两函数的交点坐标．在同一平面直角坐标系画图，根据一次函数与不等式即可判断． 【详解】解：在同一坐标系画图： 当时，x的取值范围是． 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，将一次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折，x轴上方的图象保持不变，所得的图象对应的新函数记为函数G．若，是函数G的图象上两点，其中，已知t为实数，且当时，都有，则t的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一函数的性质，一次函数解析，对称的性质，根据题意画出函数图象，求出函数G的解析式为，结合函数图象，分三种情况讨论，当；当；当；分别列出不等式求解即可． 【详解】解：如图， 当时，，当时，， ， 一次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折， ， 设x轴下方的图象沿x轴翻折后的函数解析式为， 则，解得， x轴下方的图象沿x轴翻折后的函数解析式为， 函数G的解析式为， 如图，当时， 显然，，不符合题意； 如图，当时， 此时，点P，Q都在的函数图象上， ， ； 如图，当时， 此时，点P在的函数图象上，点Q在的函数图象上， ， ， ， ； 综上，当时，都有， 故答案为：． 3．已知函数，请对该函数及图象进行如下探究： … 0 2 … … 0 0 … (1)选取适当的值补充表格，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数图象． (2)结合函数图象，写出该函数的一条性质． (3)结合上述函数的图象，直持写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)见解析 (2)时随的增大而增大，时随的增大而减小 (3) 【分析】此题考查函数的实际应用及根据函数图像解不等式，对函数的数形结合的掌握是关键． （1）把1代入函数求出或1，根据表格内容取1即可；把代入函数求出；再描点连线作图即可； （2）根据图像写出一条即可； （3）数形结合求出不等式的解集即可； 【详解】（1）当时，，当时，， 补充表格如下： … 0 1 2 … … 0 0 … 画图如下： （2）性质不唯一，时随的增大而增大，时随的增大而减小等． （3）根据图象可知：两函数的图象交点是， ∴关于的不等式的解集：． 1．下列说法错误的是（　　） A．2不是的解 B．0是的解 C．不等式的解集是 D．是的解集 【答案】D 【分析】本题考查不等式的解集，解题的关键是正确理解不等式的解集，本题属于基础题型． 根据不等式的解法以及解集的概念即可求出答案． 【详解】解：A. 2不是的解，说法正确，不符合题意； B. 0是的解，说法正确，不符合题意； C. 不等式的解集是，说法正确，不符合题意； D. 是的解集，说法错误，符合题意； 故选D． 2．一艘小船匀速顺流从A地驶向B地用了，又用了不超过匀速逆流从B地返回A地，若船速为，则水流的最大速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设水流的速度是，利用路程速度时间，结合从B地匀速返回A地用了不超过，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】解：设水流的速度是， 根据题意得：， 解得：， ∴x的最大值为， 即最大流速为． 故选：B． 3．如图，一次函数与的图象交于点，下列结论正确的是（） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解为 【答案】C 【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，一次函数图象的交点坐标与二元一次方程组的关系，利用函数图象解不等式，数形结合是解题的关键． 根据图象可直接判断A，B，D，求出与轴的交点可判断C． 【详解】A．由图象可得直线与的图象交于点， ∴方程的解是，故A不符合题； B．由图象可知，不等式的解集是，不等 式的解集是，故B不符合题意； C．将代入得， 解得， ， 将代入得， 解得， ∴时，直线在轴下方且在直线上方， ∴的解集是，故C符合题意； D．方程组的解为，故D不符合题． 故选：C． 4．根据“5与的差大于0”可列出不等式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列不等式，正确理解题意，弄清运算顺序和不等关系是解题的关键．根据题意列出不等式即可． 【详解】解：根据“5与的差大于0”可列出不等式． 故答案为：． 5．关于x的不等式的解均不小于，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，正确得到关于a的不等式是解答的关键．先求得，再根据已知不等式的解集情况得到，进而解不等式可得a的取值范围． 【详解】解：解关于x的不等式得， ∵关于x的不等式的解均不小于， ∴， 解得， 故答案为：． 6．如图，一次函数（，为常数）与（为常数）的图象交于点，则关于的不等式的解集是 ．    【答案】 【分析】本题考查一次函数与不等式，利用图象法确定不等式的解集即可． 【详解】解：， ∴， 由图象，可知，不等式的解集为：； 故答案为：． 7．解不等式： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，关键是能根据不等式的性质解出不等式．根据不等式的性质求出不等式的解即可． 【详解】解：两边同时乘以6得，， 去括号得，， 移项得，， 整理得， 系数化为1得，． 8．若不等式的最小整数解是关于的方程的解，求式子的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，一元一次方程的解，代数式求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先解一元一次不等式得到，得出不等式的最小整数解为，代入一元一次方程求出，再代入中计算即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 不等式的最小整数解为． 不等式的最小整数解是关于的方程的解， 将代入方程，得， 解得， 则． 9．某中学在运动会前夕准备购买篮球、足球作为奖品．若购买3个篮球和2个足球共花费520元，且购买一个篮球比购买一个足球多花40元． (1)请问：购买一个篮球，一个足球各需多少元? (2)今年学校计划购买这种篮球和足球共20个，恰逢商场正在开展促销活动，篮球打八折，足球打七五折，若此次购买两种球的总费用不超过1600元，则最多可购买多少个篮球? 【答案】(1)购买一个篮球需要120元，一个足球需80元； (2)篮球最多可以购买11个． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，关键是根据等量关系列出方程，利用总费用作为不等关系列出不等式求解． （1）设购买一个篮球需x元，购买一个足球需y元，根据购买3个篮球和2个足球共花费520元，且购买一个篮球比购买一个足球多花40元列出方程组解答即可； （2）设购买a个篮球，根据题意列出不等式解答即可． 【详解】（1）解：设购买一个篮球需要元，一个足球需元； 可得方程组：， 解得：， 答：购买一个篮球需要120元，一个足球需80元； （2）解：设购买篮球个，则购买足球个， 可列不等式：， 解得：， 答：篮球最多可以购买11个． 10．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点、，与函数的图象交于点． (1)求和的值； (2)函数的图象与轴交于点，点从点出发沿方向，以每秒个单位长度匀速向轴负方向运动，设点的运动时间为秒 当的面积为时，求的值； 在点运动过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． (3)当时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)；存在，或或 (3) 【分析】本题考查了一次函数的性质、动点问题，平面直角坐标系两点间距离坐标公式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答． （1）根据点在直线上求得点坐标再根据点在函数的图象上，可以得到的值； （2）根据题意可得，进而根据三角形面积即可求解；存在，分三种情况讨论求解即可； （3）结合图象分析一次函数与不等式的关系即可求解； 【详解】（1）解：∵点在直线上， ， 点， ∴函数的图象过点， ，得， 即的值是，的值是； （2）解：①∵函数的图象与轴，轴分别交于点，， ∴点，点， 点的坐标为：， 点， ∵函数的图象与轴交于点， ∴点的坐标为 由题意可得，， 则， 解得：； 存在 点，， ∵函数的图象与轴交于点， ∴点的坐标为， ， 设点的坐标为： 当时， 则， 解得：； 当时， 则， 解得：（舍去）或， 故； 当时， 则， 解得：； 综上所述，当或或时，是等腰三角形； （3）解：当时， 根据图像，可得：； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4—5.一元一次不等式、一元一次不等式与一次函数 一、一元一次不等式 只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式。一元一次不等式基本情形为ax>b（或ax<b）。解一元一次不等式的步骤包括去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1（注意不等号的改变）。 二、一元一次不等式与一次函数 一次函数的定义是形如y=kx+b的函数。一元一次不等式与一次函数的关系是通过一次函数的性质和图像来解一元一次不等式。 巩固课内例1:解整数不等式 1．不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 2．不等式的解集是 ． 3．解不等式，并在数轴上表示其解集． 巩固课内例2:解分数不等式 1．解不等式时，下列去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集是 ． 3．解下列不等式． (1)； (2)． 巩固课内例3:一元一次不等式的应用——比赛问题 1．在某市举办的青少年校园足球比赛中，比赛规则是胜一场积分，平一场积分，负一场积分．某校足球队共比赛场，以负场的成绩夺得了冠军，已知该校足球队最后的积分不少于分，则该校足球队获胜的场次最少是（    ） A．场 B．场 C．场 D．场 2．某校举行篮球联赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，七年级一班要想在10场比赛中得分不低于24分．则该班至少要胜 场． 3．为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校利用课后服务时间，开展班级篮球赛． (1)比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在12场比赛中获得总积分为30分，求该班胜、负场数分别是多少场？（用二元一次方程组解答） (2)投篮评分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可得2分．某班在其中一场比赛中，共投中18个球，所得总分不低于40分，求该班在这场比赛中至少投中了多少个得3分的球？ 类型一、一元一次不等式的定义 1．下列各式：①；②；③；④；中是一元一次不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 2．已知不等式是关于x的一元一次不等式，则k的取值范围是 ． 3．已知是关于x的一元一次不等式． (1)求m的值． (2)求出原一元一次不等式的解集． 类型二、列一元一次不等式 1．“x的与5的相反数的和是非负数”用不等式表示为（） A． B． C． D． 2．一天，小颖对妈妈说：妈妈，我的年龄比你小26岁，六年后，我的年龄还不到你的年龄的一半．设小颖今年的年龄为x岁，可列不等式为 ． 3．用不等式表示下列关系： (1)a是非负数：___________； (2)与的差是负数：___________； (3)y不小于2：___________； (4)x与5的差的绝对值大于4：___________； (5)a的3倍与y的和大于2：___________； (6)小于5：___________． 类型三、在数轴上表示不等式解集 1．不等式的解集在数轴上的表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若一个关于x的不等式的解集如图所示，则这个不等式的解集是 ． 3．利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示其解集： (1)； (2)． 类型四、解一元一次不等式 1．如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则天平左盘中的每个小立方体的质量m（克）的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 2．一元一次不等式的解集为 ． 3．解下列不等式： (1)； (2)． 类型一、一元一次不等式的整数解 1．不等式的正整数解有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．不等式的非负整数解为 ． 3．若方程的解是不等式的最大整数解，求的值． 类型二、一元一次不等式的应用——销售问题 1．某超市以160元的价格购进某种商品，将进价提高一定百分比后标价出售，并在标价的基础上推出8折优惠活动，若利润率仍不少于，则提高的百分比至少为（    ） A． B． C． D． 2．某水果店以每千克元的价格购进千克橙子，且购进的橙子有的损耗，如果销售完这批橙子后该水果店获得了不少于元的利润，那么橙子每千克的售价至少为 元． 3．“恒都生态牛肉”享誉东南亚，不少城市都设有“恒都生态牛肉”专卖店，某专卖店经销精选牛肉和普通牛肉，其中精选牛肉每斤进价比普通牛肉多5元，该专卖店用3800元一次购进普通牛肉50斤和精选牛肉40斤进行销售． (1)求精选牛肉和普通牛肉每斤购进单价各多少元？ (2)本次所购进牛肉该专卖店将普通牛肉以每斤60元价格销售，精选牛肉以每斤80元价格销售，普通牛肉很快售完，精选牛肉销售60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使得本次购进牛肉销售利润不少于2080元，剩余精选牛肉每斤售价最多打几折？ 类型三、一元一次不等式的应用——和差倍分问题 1．某学校为了开展好课后服务，计划用不超过元的资金购买足球，篮球和排球，将它们用于球类兴趣班，已知足球，篮球，排球的售价分别为元，元，元，且根据参加球类兴趣班的学生总数了解到以下两项信息：①篮球的数量必须比足球的数量多；②排球数量必须是足球数量的倍，则学校最多能购买足球（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．斑马线前“车让人”，反映了城市的文明程度，但行人一般都会在红灯亮起前通过马路．某人行横道全长24米，小明以的速度过该人行横道，行至处时，9秒倒计时灯亮了．小明要在红灯亮起前通过马路，他的速度至少要提高到原来的 倍． 3．为了提高学生体育中考成绩，某学校打算购买，品牌实心球用于学生训练，若一次购买品牌个和品牌个，需花费元；若一次购买品牌个和品牌个，需花费元． (1)求品牌实心球和品牌实心球的单价． (2)现学校决定一次性购买，品牌实心球共个，要求品牌实心球数量不超过品牌实心球数量的倍，问如何安排购买方案，使学校购买的总费用最少？最少为多少元？ 类型四、直线与坐标轴的交点求不等式的解集 1．如图，一次函数（k为常数，）的图象分别与x、y轴交于A、B两点，，则当时，x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．如下图，已知一次函数，观察图象回答下列问题：当 时，． 3．已知一次函数． (1)在给定的平面直角坐标系中，画出一次函数的图象，并求出它与轴、轴交点的坐标； (2)根据图象，直接写出时的取值范围． 类型五、两直线的交点求不等式的解集 1．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式的解集是 D．方程组的解是 2．如图，直线经过点，则关于x的不等式的解集为 ． 3．如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． (1)根据图象，直接写出当时，x的取值范围是什么？ (2)求直线的表达式和a的值； (3)若点P在直线上，且，求点P的坐标． 类型一、一元一次不等式中的最值 1．已知点在直线上，且，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 2．关于的不等式的最小整数解为，则的值为 ． 3．已知有关x的方程的解也是不等式2x-3a<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值． 类型二、一元一次不等式中的绝对值 1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 2．不等式的解集是 ． 3．先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：． 解：分情况讨论：①当时，原方程可化为，解得； ②当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解为或． 根据材料，解下列绝对值方程： (1)理解应用：； (2)拓展应用：不等式的解集为______． 类型三、一元一次不等式的几何问题 1．在中，，若其周长为，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是 ． 3．如图，在靠墙（墙长为）的地方围建一个长方形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为， （1）鸡场的长（对着墙的边长）与宽（与墙相邻的边长）的函数关系式为 ． （2）养鸡场的长大于宽，并求自变量的取值范围为 ． 类型四、一次函数的应用中的不等式 1．一次函数和，与x的部分对应值如表，与x的部分对应值如表：则当时，x的取值范围是（   ） x … 0 1 … x … 0 1 … … 3 5 … … 0 … A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，将一次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折，x轴上方的图象保持不变，所得的图象对应的新函数记为函数G．若，是函数G的图象上两点，其中，已知t为实数，且当时，都有，则t的取值范围是 ． 3．已知函数，请对该函数及图象进行如下探究： … 0 2 … … 0 0 … (1)选取适当的值补充表格，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数图象． (2)结合函数图象，写出该函数的一条性质． (3)结合上述函数的图象，直持写出关于的不等式的解集． 1．下列说法错误的是（　　） A．2不是的解 B．0是的解 C．不等式的解集是 D．是的解集 2．一艘小船匀速顺流从A地驶向B地用了，又用了不超过匀速逆流从B地返回A地，若船速为，则水流的最大速度为（   ） A． B． C． D． 3．如图，一次函数与的图象交于点，下列结论正确的是（） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解为 4．根据“5与的差大于0”可列出不等式 ． 5．关于x的不等式的解均不小于，则a的取值范围为 ． 6．如图，一次函数（，为常数）与（为常数）的图象交于点，则关于的不等式的解集是 ．    7．解不等式： 8．若不等式的最小整数解是关于的方程的解，求式子的值． 9．某中学在运动会前夕准备购买篮球、足球作为奖品．若购买3个篮球和2个足球共花费520元，且购买一个篮球比购买一个足球多花40元． (1)请问：购买一个篮球，一个足球各需多少元? (2)今年学校计划购买这种篮球和足球共20个，恰逢商场正在开展促销活动，篮球打八折，足球打七五折，若此次购买两种球的总费用不超过1600元，则最多可购买多少个篮球? 10．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点、，与函数的图象交于点． (1)求和的值； (2)函数的图象与轴交于点，点从点出发沿方向，以每秒个单位长度匀速向轴负方向运动，设点的运动时间为秒 当的面积为时，求的值； 在点运动过程中，是否存在某一时刻，使是等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． (3)当时，请直接写出的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$