1—3.不等关系、不等式的性质、不等式的解集-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

1—3.不等关系、不等式的性质、不等式的解集 一、不等关系 不等关系表示两个量之间的大小关系。在数学中，通常用符号“<”，“>”，“≤”，“≥”来表示不等关系。例如，a>b表示a大于b，a≤b表示a小于或等于b。 二、不等式的性质 不等式的基本性质包括： 1.对称性：如果x>y，那么y<x。 2.传递性：如果x>y，y>z，那么x>z。 3.加法单调性：如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z，即不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变。 4.乘法单调性： a. 如果x>y，z>0，那么xz>yz，即不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变。 b. 如果x>y，z<0，那么xz<yz，即不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变。 5.其他性质：如果x>y>0，m>n，那么x+m>y+n；如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数）。 三、不等式的解集 不等式的解集是满足不等式的所有解的集合。不等式的解集可以用不等式或数轴来表示。 1.用不等式表示：例如，x-1≤2的解集是x≤3。 2.用数轴表示：在数轴上，不等式的解集可以直观地表示出来。需要注意的是，要定好边界线并确定方向。 巩固课内例1:列不等式 1．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过隧道时，我们往往会看到如图所示的标志，该标志表示车辆高度不超过，则通过该隧道的车辆高度的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的定义．根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【详解】解：由题意得：，故D正确． 故选：D． 2．小明中午在订餐软件下单订餐，得到如图所示的反馈，若送餐员在预计时间范围内送达，则小明接到餐的时长（分钟）用不等式表示为 ． 立即送出 送达 【答案】 【分析】此题考查了不等式的应用，根据题意正确列出不等式即可． 【详解】解：∵小明中午在订餐软件下单订餐，立即送出，在送达， ∴小明接到餐的时长（分钟）用不等式表示为， 故答案为； 3．用适当的不等式表示下列关系： (1)x的与x的2倍的和是非正数； (2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米； (3)三件相同上衣与四条相同长裤的总价钱不高于268元； (4)小明的体重不比小刚轻． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：，，，，． （1）非正数用“”表示； （2）不小于就是大于等于，用“”来表示； （3）不高于就是等于或低于，用“”表示； （4）不比小刚轻，就是与小刚一样重或者比小刚重．用“”表示． 【详解】（1）根据题意，得． （2）设一枚炮弹的杀伤半径为r米，则应有． （3）设每件上衣为a元，每条长裤为b元，则应有． （4）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有． 巩固课内例2:将不等式化为大于或小于的形式 1．已知，则下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴， ∴四个选项中，只有B选项的不等式正确，符合题意； 故选：B． 2．利用不等式的性质，把下列各式化成或的形式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】（1）利用在不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变，从而可得答案； （2）利用在不等式的两边都减去同一个式子，不等号的方向不变，从而可得答案； （3）利用在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变，从而可得答案； （4）利用在不等式的两边都除以同一个数，不等号的方向改变，从而可得答案； 【详解】解：（1） 两边都加上，得： 合并同类项可得： （2） 两边都减去得： 合并同类项得： （3） 两边都乘以得： （4） 两边都除以得： 故答案为：（1）（2）（3）（4） 【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键. 3．将下列不等式化成“”或“”的形式． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的知识点是不等式的性质、求一元一次不等式的解集．结合不等式的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：两边同时加上，得， 即； （2）解：两边同时加上，得， 两边都除以，得． 巩固课内例3:在数轴上表示不等式解集 1．把不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是掌握一元一次不等式解集的表示方法，当符号为“”或“”，边界点为实心圆点，当符号为“”或“”，边界点为空心圆点，即可． 【详解】∵不等式组的解集为：， ∴数轴上表示为：， 故选：B． 2．在中，已知，，的取值范围在数轴上表示如图所示，则的长为 【答案】 【分析】三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据题意，写出的取值范围，设，分两种情况讨论，若时和若时，由三角形三边关系结合即可解题． 【详解】解：在中，设 ， 若时 由题意得 ， 解得， 若时， 由题意得 ，（不符合题意，舍去） 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形三边关系，涉及一元一次不等式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 3．将下列不等式化成或的形式，并将解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)，见解析 【详解】（1）解： 两边都减3，得， 在数轴上表示解集为： （2）解：， 两边都除以3，得， 在数轴上表示解集为： （3）解：， 两边都乘，得， 在数轴上表示解集为： 类型一、不等式的定义 1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的定义，用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． 根据不等式的定义逐一判断即可． 【详解】解：不等式有①；②；⑤；⑥，共4个， 故选C． 2．对于下列结论：①为正数，则；②为自然数，则；③不大于5，则；正确的有 ．（填所有正确的序号） 【答案】①③ 【分析】本题考查了不等式的定义，根据正数大于0，自然数是非负整数，不大于即小于或等于，逐项判断即可得解． 【详解】解：①为正数，则，故①说法正确，符合题意； ②为自然数，则，故②说法错误，不符合题意； ③不大于5，则，故③说法正确，符合题意； 综上所述，正确的有①③， 故答案为：①③． 3．判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)52； (7)． 【答案】(1)既不是等式也不是不等式 (2)是不等式 (3)是等式 (4)是不等式 (5)是等式 (6)既不是等式也不是不等式 (7)是不等式 【分析】本题主要考查不等式的定义，掌握等式和不等式的定义是解题的关键．根据所学知识，可知：含有等号的式子叫做等式，用不等号连接的式子叫做不等式，根据上述定义，找出用等号和不等号连接的式子即可找出等式和不等式，进而找出既不是等式也不是不等式的式子． 【详解】（1）解：既不是等式也不是不等式； （2）解：是不等式； （3）解：是等式； （4）解：是不等式； （5）解：是等式； （6）解：52既不是等式也不是不等式 （7）解：是不等式． 类型二、不等式表示关系 1．秦岭是中国南北方的界山，秦岭的大散岭，凤岭，紫柏山的海拔均在1500米以上．若用米表示这些山岭的海拔，则满足的条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义．根据题意列出不等式即可求解． 【详解】解：∵山岭主峰海拔超过1500米． ∴， 故选：B． 2．“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了把文字语言转化为数学语言，理解好题意是解题关键． 根据x与5的差不小于x的3倍，可知x与5的差大于等于x的3倍，从而可以用相应的不等式表示出来. 【详解】解：“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为， 故答案为：. 3．用适当的符号表示下列关系： (1)x的3倍与5的差小于1； (2)x的一半不小于3； (3)x与1的差的绝对值是非负数； (4)a是大于－1且不大于2的数． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． （1）x的3倍即为，即可列出不等式； （2）x的一半即为，不小于即为大于或等于，即可列出不等式； （3）x与1的差即为，非负数即为大于等于零的数，即可列出不等式； （4）不大于是小于或等于，即可列出不等式； 【详解】（1）根据题意，得； （2）根据题意，得； （3）根据题意，得； （4）根据题意，得； 类型三、不等式的成立 1．若 ，则下列不等式不一定成立的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键：①把不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A．∵，，不等式成立，故选项不符合题意；     B．∵，，不等式成立，故选项不符合题意；     C．当，时，满足，但不成立，故选项符合题意； D．∵，，不等式成立，故选项不符合题意； 故选：C． 2．给出下列不等式：①；②；③；④．其中一定成立的是 ． 【答案】②③④ 【解析】“”的意义是“>”或“”，有选择功能，二者之一成立即可，事实上也只能两者取一，“>”“=”不能同时成立，所以对“”的理解应是取8大于6．对“”的理解应是当时，；当时，． 【易错点分析】导致本题错误的原因是对符号“”理解不透切．“”的含义是“”或“”，且二者不能同时成立． 3．已知，下列不等式一定成立吗？ （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）不成立；（2）不成立；（3）成立；（4）成立． 【分析】根据不等式的性质，对选项逐个判断即可． 【详解】解：（1）∵ ∴，不等式两边同时加上或减去一个数，不等号方向不变； 不等式不成立； （2）∵ ∴，不等式两边同时乘以一个大于零的数，不等号方向不变； 不等式不成立； （3）∵ ∴，不等式两边同时乘以一个小于零的数，不等号方向改变； 不等式成立； （4）∵ ∴ ∴ 不等式成立 【点睛】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的有关性质是解题的关键． 类型四、不等式比较大小 1．已知，比较与的大小，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．先在的两边同乘以，变号，再在此基础上同减去3，不变号，即可得出结果． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 2．比较大小：当实数时， （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 利用不等式的性质求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．阅读下面解题过程，再回答问题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，① ∴，② ∴．③ (1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误； (2)错误的原因是什么？ (3)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)② (2)不等式两边乘同一个负数时，不等号的方向没有改变 (3) 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟记性质是解题的关键． （1）根据不等式的基本性质：不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变，即可得出结果； （2）根据不等式的基本性质：不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变，即可得出结果； （3）先利用不等式的性质，两边同时乘以，不等号的方向改变； 再利用不等式的性质，两边同时加1，不等号的方向不变，即可得解． 【详解】（1）解：根据题意即可得出从第②步开始出现错误， 故选：②； （2）解：错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； （3）解：∵， ∴， ∴． 类型五、求不等式的解集 1．下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了不等式，解集，唯一解，一个解的定义的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 所有满足不等式的数的全体称为这个不等式的解集，(是不等式解集中的一个数)我们仅可以说它是满足这个不等式的一个解，所有解的全体称为解集，解集中的一个数称为不等式的一个解，当不等式的解有且只有一个时，则称它为这个不等式的唯一解，根据解集，唯一解，一个解的定义，以此判断四个选项即可选出正确答案． 【详解】解：解不等式， 可得． A.由于，故不是不等式的解，故选项错误； B.由于，故是不等式的一个解，但不是唯一解，故选项错误； C.由于，故不是不等式的一个解，但不是解集，故选项错误； D.由于，故不是不等式的一个解，故选项正确； 故选D． 2．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键． 根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则说明n不能小于2．即． 【详解】根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则n的取值范围是． 故答案为：． 3．关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a． (1)若两个不等式解集相同，求a的值； (2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围． 【答案】(1)a=1； (2)a≥1． 【分析】（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可； （2）根据不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求出a的范围即可． 【详解】（1）解：由x+1<7−2x得：x＜2， 由−1+x<a得：x＜a+1， 由两个不等式的解集相同，得到a+1=2， 解得：a=1； （2）解：由不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解， 得到2≤a+1， 解得：a≥1． 【点睛】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值，利用不等关系求解． 类型一、不等式的实际意义 1．2月份的研学活动，对于初二的全体同学是难得且有意义的，我校租用55座和53座两种型号的客车接送同学们，若租用55座客车辆，租用53座客车辆，则不等式“”表示的实际意义是（    ） A．两种客车总的载客量不少于990人 B．两种客车总的载客量不超过990人 C．两种客车总的载客量不足990人 D．两种客车总的载客量恰好等于990人 【答案】A 【分析】主要依据不等式的定义：用“”、“”、“”、“”、“”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断． 【详解】解：不等式“”表示的实际意义是两种客车总的载客量不少于990人， 故选：A． 【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号． 2．学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是 ． 【答案】租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人 【分析】主要依据不等式的定义：用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断． 【详解】解：不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人． 故答案为：租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人． 【点睛】此题考查不等式的应用，结合题意找出不等式表示的意义即可． 3．（1）利用不等式的基本性质将不等式化成“或”的形式． （2）请设计一个实际背景来表示不等式的实际意义． 【答案】（1）（2）见解析． 【分析】（1）根据不等式的基本性质，两边都乘以，即可求解， （2）根据不等式，设计出题干， 本题考查了，不等式的基本性质，一元一次不等式的应用，解题的关键是：找出符合题意的问题． 【详解】解：（1）根据不等式的基本性质，两边都乘以，得， 解：（2）一个长方形的长为，宽为，且长的2倍与宽的和不小于8，写出长方形的长和宽所满足的条件． 类型二、不等式解集求参 1．已知数轴上两点，表示的数分别为，1，那么关于的不等式的解集，下列说法正确的是（　　） A．若点在点左侧，则解集为 B．若点在点右侧，则解集为 C．若解集为，则点必在点左侧 D．若解集为，则点必在点右侧 【答案】C 【分析】根据不等式的性质化简求值即可. 【详解】关于的不等式化为， 当时，解集为， 此时点在原点左侧， 故A，B，D选项错误， C选项正确， 故选C． 【点睛】此题考查了不等式性质，解题的关键是熟悉不等式的基本性质. 2．已知关于的不等式无解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的计算法则是解题的关键； 根据不等式的计算法则即可求解； 【详解】解：关于的不等式无解， 当时， 无解， 即，无解，满足题意； 当时， 无解， 即恒成立， ， 解得：， 综上，实数的取值范围； 故答案为： 3．已知 4x－y=6，x －y＜2，求 x 的取值范围. 【答案】x的取值范围是x＞1. 【分析】求x的范围，只需要将y换成x的表达式，就可以得到关于x的一元一次不等式 【详解】∵4x－y=6， ∴y=4x-6， ∵x－y＜2， ∴x－（4x－6）＜2， 解得：x＞1， 即x的取值范围是x＞1. 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的性质，解题的关键是将y换成x. 类型一、作差法比较大小 1．用求差法比较大小，就是根据两数之差是正数、负数或0，判断两数大小关系的方法．若a＞b， m<n，试比较P = n+3a与Q = m+3b的大小关系为 A．P＜Q B．P = Q C．P＞Q D．P与Q的大小不确定 【答案】C 【分析】运用判断两数大小关系的方法，P−Q求解判定P，Q的大小． 【详解】P−Q=n+3a−(m+3b)=n+3a−m−3b=n−m+3(a−b) ∵a>b，m<n， ∴n−m+3(a−b)>0， ∴P−Q>0， ∴P>Q， 故选C. 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是根据判断两数大小关系的方法来比较P，Q的大小． 2．已知：，，（、为常数且均不为0），比较、、的大小 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，直接利用不等式的性质并不容易求解，考虑到填空题不需要过程，所以代入特殊值也是最好的选择． 代数式的比较，常用的方法是做差法或者作商法，由于填空题不需要过程的特殊性，还可以考虑特殊值代入法，考虑到答案唯一，因此特殊值代入法最合适，也最简单． 【详解】解：解法1：令，， 则，，， ∵， ∴． 解法2：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．先填空，再探究： (1)①如果，那么a________b； ②如果，那么a________b； ③如果，那么a________b； (2)由（1）你能归纳出比较a与b大小的方法吗？请用文字语言叙述出来； (3)用（1）的方法，你能否比较与的大小？如果能，请写出比较过程． 【答案】(1)①>  ②=  ③< (2)能，见解析 (3)能，见解析 【分析】该题主要考查了不等式的性质，整式的加减等知识点，熟知不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质和等式的性质，移项即可； （2）作差法比较a，b两数，即可根据差的情况得出结论； （3）作差：，化简和0比较大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：①>；②=；③<． （2）解：能． 叙述：如果a减b的值大于0，那么a大于b； 如果a减b的值等于0，那么a等于b； 如果a减b的值小于0，那么a小于b． （3）解：能． ∵， ∴． 类型二、不等式的最值 1．的最小值是（     ） A．0 B．3 C．12 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式，不等式的性质等知识点，运用完全平方公式对原式进行适当变形是解题的关键． 利用完全平方公式将变形为，然后利用不等式的性质即可求出答案． 【详解】解：， ， ， 的最小值是， 故选：． 2．已知，若x的最小值是a，y的最大值是b，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了不等式的定义，根据“”“”的意义求出a和b的值成为解题的关键． 先根据“”“”的意义求出a和b的值，然后计算即可． 【详解】解：∵, ∴x的最小值是, ∵, ∴y的最大值是, ∴. 故答案为：9. 3．阅读材料，回答下列问题 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最小值、最大值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1）    ∴代数式的最小值为－2； 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）求的最小值 【拓展提高】（2）求的最大值 【答案】（1）；（2）5． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、不等式的性质等． （1）依据题意，由，又对于任意的都有，故，进而可以判断得解； （2）根据题意得到，又对于任意的都有，进而可以得解． 【详解】（1）解：由题意得，， 又对于任意的都有， ． 代数式的最小值为． 故答案为：； （2）解： ， 又对于任意的都有， ∴ ∴． ∴的最大值为5． 1．下列各式中，是不等式的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，理解并掌握不等式的定义是解题的关键． 由不等号“”连接的式子即为不等式即可求解． 【详解】解：根据不等式的定义可得，②；③；④；⑥是不等式，共4个， 故选：C ． 2．下列不等式的变形中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质．根据不等式的性质进行逐项判断即可． 【详解】解：A、，则，故本选项不符合题意； B、，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，则，故本选项符合题意； 故选：D． 3．已知点在第二象限，且，为整数，则点P的个数是（    ） A．3 B．6 C． D．无数个 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的解法及坐标系内点的坐标特点．熟练掌握根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值是解题的关键． 先根据第二象限点的坐标特征求出x，y的取值范围，再根据y的取值范围求出x的整数解，进而可求出符合条件的y的值． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴， 解得，， ∴当时，，此时点P为，， 当时，，此时点P为，，， ， 综上所述，点P的个数是6个， 故选：B ． 4．据气象台报道，2024年6月28日双流区的最高气温为，最低气温为，则当天气温的变化范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列不等式，根据题意列出不等式即可求出答案，解题的关键是正确理解不等式的定义． 【详解】由于最高气温是，最低气温是， ∴， 故答案为：． 5．利用不等式的性质填“”或“”： （1）若，则 ； （2）若，则y ； （3）若，，则 ； （4）若，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了不等式的基本性质，熟知不等式的性质是解题的关键：（1）不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质分别求解即可． 【详解】解：（1）若，不等式两边同时乘以2得到， 故答案为：； （2）若，不等式两边同时除以得到， 故答案为：； （3）若，，不等式两边同时乘以得到，不等式两边再同时减去1得到， 故答案为：； （4）若，，不等式两边同时乘以得到，不等式两边再同时加上1得到， 故答案为：． 6．如果关于的不等式的解集是，那么，满足的等量关系是 ，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式，不等式的性质，根据题意得出，，即可求解． 【详解】因为不等式的解集是， 所以，， 所以，． 故答案为：，． 7．判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)是不等式 (2)是不等式 (3)是不等式 (4)是等式 (5)是代数式 (6)是不等式 【分析】根据不等式的定义对各小题进行逐一判断即可． 【详解】（1）是不等式； （2）是不等式； （3）是不等式； （4）是等式； （5）是代数式； （6）是不等式； 综上，（1）、（2）、（3）、（6）是不等式，（4）是等式． 【点睛】本题考查的是不等式的定义，熟知用不等号连接的式子叫不等式是解答此题的关键． 8．请先阅读下列解题过程，再解决问题．例题：已知，试比较：与的大小． 解：，， 根据不等式的基本性质3，得 ，    第一步 根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上，得．    第二步 (1)上述解题过程中，从第_____步开始出现错误，错误的原因是_______________； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)一；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变 (2)见解析 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）根据不等式的性质即可得到答案； （2）根据不等式的性质即可解答． 【详解】（1）解：一  ；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； 故答案为：一  ；不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变； （2）解：，， 根据不等式的基本性质3，得， 根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上，得． 9．已知． (1)计算：当时，______，______；当时，______，______；当时，______，______； (2)猜想：无论a为何值，A______B始终成立（填“＞”，“＜”或“＝”）； (3)请说明（2）中猜想的合理性． 【答案】(1)1，，，，8，4 (2)＞ (3)见解析 【分析】本题考查的是求解代数式的值，利用作差法比较代数式的值的大小，熟练掌握整式的加减运算法则是解本题的关键． （1）分别将，，代入A，B的代数式求解即可； （2）观察（1）中结果即可解答； （3）利用作差的方法比较A，B的大小． 【详解】（1）解：当时， ， ； 当时， ， ； 当时， ， ； 故答案为：1，，，，8，4 （2）解：由（1）可得，当时，；当时，；当时，； 猜想：无论a为何值，始终成立． 故答案为：＞ （3）解： ∵， ∴， ∴， ∴． 10．定义运算“”，规定（其中均为常数），例如．已知． (1)求的值； (2)若关于的不等式恰有2个正整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据，，以及关于的不等式恰有2个正整数解，即可得到答案； 此题考查了二元一次方程组的应用、求不等式的解集等知识，读懂题意，正确列出方程组和理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由得到， ， 解得 （2）由题意可得，， ∵，，，关于的不等式恰有2个正整数解， ∴. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1—3.不等关系、不等式的性质、不等式的解集 一、不等关系 不等关系表示两个量之间的大小关系。在数学中，通常用符号“<”，“>”，“≤”，“≥”来表示不等关系。例如，a>b表示a大于b，a≤b表示a小于或等于b。 二、不等式的性质 不等式的基本性质包括： 1.对称性：如果x>y，那么y<x。 2.传递性：如果x>y，y>z，那么x>z。 3.加法单调性：如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z，即不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变。 4.乘法单调性： a. 如果x>y，z>0，那么xz>yz，即不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变。 b. 如果x>y，z<0，那么xz<yz，即不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变。 5.其他性质：如果x>y>0，m>n，那么x+m>y+n；如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数）。 三、不等式的解集 不等式的解集是满足不等式的所有解的集合。不等式的解集可以用不等式或数轴来表示。 1.用不等式表示：例如，x-1≤2的解集是x≤3。 2.用数轴表示：在数轴上，不等式的解集可以直观地表示出来。需要注意的是，要定好边界线并确定方向。 巩固课内例1:列不等式 1．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过隧道时，我们往往会看到如图所示的标志，该标志表示车辆高度不超过，则通过该隧道的车辆高度的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 2．小明中午在订餐软件下单订餐，得到如图所示的反馈，若送餐员在预计时间范围内送达，则小明接到餐的时长（分钟）用不等式表示为 ． 立即送出 送达 3．用适当的不等式表示下列关系： (1)x的与x的2倍的和是非正数； (2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米； (3)三件相同上衣与四条相同长裤的总价钱不高于268元； (4)小明的体重不比小刚轻． 巩固课内例2:将不等式化为大于或小于的形式 1．已知，则下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．利用不等式的性质，把下列各式化成或的形式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 3．将下列不等式化成“”或“”的形式． (1)； (2)． 巩固课内例3:在数轴上表示不等式解集 1．把不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在中，已知，，的取值范围在数轴上表示如图所示，则的长为 3．将下列不等式化成或的形式，并将解集在数轴上表示出来： (1)； (2)； (3)． 类型一、不等式的定义 1．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．对于下列结论：①为正数，则；②为自然数，则；③不大于5，则；正确的有 ．（填所有正确的序号） 3．判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)52； (7)． 类型二、不等式表示关系 1．秦岭是中国南北方的界山，秦岭的大散岭，凤岭，紫柏山的海拔均在1500米以上．若用米表示这些山岭的海拔，则满足的条件为（    ） A． B． C． D． 2．“x与5的差不小于x的3倍”用不等式表示为 ． 3．用适当的符号表示下列关系： (1)x的3倍与5的差小于1； (2)x的一半不小于3； (3)x与1的差的绝对值是非负数； (4)a是大于－1且不大于2的数． 类型三、不等式的成立 1．若 ，则下列不等式不一定成立的是 （    ） A． B． C． D． 2．给出下列不等式：①；②；③；④．其中一定成立的是 ． 3．已知，下列不等式一定成立吗？ （1）；（2）；（3）；（4）． 类型四、不等式比较大小 1．已知，比较与的大小，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．比较大小：当实数时， （填“”或“”）． 3．阅读下面解题过程，再回答问题． 已知，试比较与的大小． 解：∵，① ∴，② ∴．③ (1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误； (2)错误的原因是什么？ (3)请写出正确的解题过程． 类型五、求不等式的解集 1．下列说法中，正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解 C．是不等式的解集 D．是不等式的一个解 2．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 3．关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a． (1)若两个不等式解集相同，求a的值； (2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围． 类型一、不等式的实际意义 1．2月份的研学活动，对于初二的全体同学是难得且有意义的，我校租用55座和53座两种型号的客车接送同学们，若租用55座客车辆，租用53座客车辆，则不等式“”表示的实际意义是（    ） A．两种客车总的载客量不少于990人 B．两种客车总的载客量不超过990人 C．两种客车总的载客量不足990人 D．两种客车总的载客量恰好等于990人 2．学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是 ． 3．（1）利用不等式的基本性质将不等式化成“或”的形式． （2）请设计一个实际背景来表示不等式的实际意义． 类型二、不等式解集求参 1．已知数轴上两点，表示的数分别为，1，那么关于的不等式的解集，下列说法正确的是（　　） A．若点在点左侧，则解集为 B．若点在点右侧，则解集为 C．若解集为，则点必在点左侧 D．若解集为，则点必在点右侧 2．已知关于的不等式无解，则实数的取值范围是 ． 3．已知 4x－y=6，x －y＜2，求 x 的取值范围. 类型一、作差法比较大小 1．用求差法比较大小，就是根据两数之差是正数、负数或0，判断两数大小关系的方法．若a＞b， m<n，试比较P = n+3a与Q = m+3b的大小关系为 A．P＜Q B．P = Q C．P＞Q D．P与Q的大小不确定 2．已知：，，（、为常数且均不为0），比较、、的大小 ． 3．先填空，再探究： (1)①如果，那么a________b； ②如果，那么a________b； ③如果，那么a________b； (2)由（1）你能归纳出比较a与b大小的方法吗？请用文字语言叙述出来； (3)用（1）的方法，你能否比较与的大小？如果能，请写出比较过程． 类型二、不等式的最值 1．的最小值是（     ） A．0 B．3 C．12 D．无法确定 2．已知，若x的最小值是a，y的最大值是b，则 ． 3．阅读材料，回答下列问题 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最小值、最大值问题． 【初步思考】观察下列式子： （1）    ∴代数式的最小值为－2； 【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题： （1）求的最小值 【拓展提高】（2）求的最大值 1．下列各式中，是不等式的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列不等式的变形中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知点在第二象限，且，为整数，则点P的个数是（    ） A．3 B．6 C． D．无数个 4．据气象台报道，2024年6月28日双流区的最高气温为，最低气温为，则当天气温的变化范围是 ． 5．利用不等式的性质填“”或“”： （1）若，则 ； （2）若，则y ； （3）若，，则 ； （4）若，，则 ． 6．如果关于的不等式的解集是，那么，满足的等量关系是 ，的取值范围是 ． 7．判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 8．请先阅读下列解题过程，再解决问题．例题：已知，试比较：与的大小． 解：，， 根据不等式的基本性质3，得 ，    第一步 根据不等式的基本性质1，不等式的两边都加上，得．    第二步 (1)上述解题过程中，从第_____步开始出现错误，错误的原因是_______________； (2)请写出正确的解题过程． 9．已知． (1)计算：当时，______，______；当时，______，______；当时，______，______； (2)猜想：无论a为何值，A______B始终成立（填“＞”，“＜”或“＝”）； (3)请说明（2）中猜想的合理性． 10．定义运算“”，规定（其中均为常数），例如．已知． (1)求的值； (2)若关于的不等式恰有2个正整数解，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$