专题16 导数中的隐零点问题（3大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第二册）

专题16 导数中的隐零点问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、利用隐零点解决最值、极值 2 题型二、隐零点与零点个数问题 11 题型三、利用隐零点证明 20 压轴能力测评（20题） 28 一、隐零点问题 隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）. 基本步骤： 第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程, 并结合的单调性得到零点的范围; 第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数 的正负, 进而得到的最值表达式; 第 3 步: 将零点方程适当变形, 整体代入最值式子进行化简: （1）要么消除最值式中的指对项 （2）要么消除其中的参数项; 从而得到最值式的估计. 二、函数零点的存在性定理 函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得. 三、隐零点的同构 实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以下面我们看到的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析 所以在解决形如 , 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作. 四、一般思路 针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时，需要根据导函数零点代入方程，把参数表示成含隐零点的函数，再来求原函数的极值或者最值问题或证明不等式。构建关于隐零点作为自变量的新函数，求函数值域或者证明不等式恒成立问题。在使用零点存在定理确定区间时往往存在困难，必要时使用放缩法取含参的特殊值来确定零点存在区间。 【题型一 利用隐零点解决最值、极值】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，易知在区间上单调递增，由在区间上有最小值，可得，即可求解. 【详解】由题意得， 易知在区间上单调递增， 若在区间上有最小值， 则，即，解得. 这时存在，使得在上单调递减，在上单调递增， 即函数在上有极小值，也是最小值， 所以的取值范围是. 故选：A. 2．（2024·江苏苏州·一模）已知表示不超过的最大整数，若为函数的极值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导后，构造，分别求出，由零点存在定理得到零点范围，再结合题意求出结果即可. 【详解】由题意可得， 令， 则，， 所以存在，使得，即， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 故为函数的极值点， 依题意，， 所以， 故选：B. 3．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知函数在区间上有极大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，令，结合函数的单调性，可知，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为， 所以， 因为函数在区间上有极大值， 令，因为在上单调递减， 所以在区间上有零点，且零点左侧函数值大于，右侧函数值小于， 所以，解得， 此时设在区间的零点为， 则当时，即，所以在上单调递增， 当时，即，所以在上单调递减， 则在处取得极大值，符合题意； 所以实数的取值范围是. 故选：B 4．（23-24高二下·重庆·阶段练习）若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数判断其单调性，从而判断AB；构造函数，利用隐零点与导数判断其单调性，从而判断CD. 【详解】对于AB，构造函数 ， 因为，所以在上单调递减， 因为，所以，即，故A正确，B错误； 对于CD，构造函数，， 易知在上单调递增，而，， 所以，使， 所以当时，；当时，； 则在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，即， 当时，，即，故CD错误. 故选：A. 5．（23-24高二下·重庆·期中）已知函数有三个零点，，，其中，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式得，由，得，设，则，从而可得，求解导函数，分类讨论与两种情况下函数的单调性，从而可得答案. 【详解】定义域为，显然， 若是零点，则， ， 所以也是零点，函数有三个零点， 不妨设，则， 所以，， 因为有三个零点，令，则， 即或， 当时，的对称轴为，且， 所以当时，，即恒成立， 即函数在上单调递增，不符合题意； 当时，设的两根分别为， 则，，故， 因为或时，，；时，，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，，， ，当，， 所以由零点存在定理易知有三个零点，满足题意. 综上，的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是根据函数解析式得若是零点，也是零点，从而得，所以求的取值范围即求的取值范围，然后求解导函数，利用导数分类讨论函数的单调性即可. 二、填空题 6．（23-24高二下·河北邢台·期中）已知函数，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】法1，利用导数探讨函数单调性，求出的最小值；法2，由已知可得，换元构造函数并利用导数求出最小值即可. 【详解】解法l：隐零点处理策略 函数的定义域为，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 由，，得在上存在唯一的零点，即， 于是当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增， 所以. 解法2：同构变形 依题意，，令，， 设，求导得， 当时，，当，， 函数在上单调递减，在上单调递增，则， 所以的最小值为. 故答案为： 7．（23-24高二上·山东·阶段练习）已知函数，若是的极大值点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用导数和极值关系求解即可. 【详解】由函数，得， 令， 由是的极大值点，易得， 且在上单调递减， 即，所以，即， 当时，，符合题意； 当时，，， 则，， 则，， 则，，在上单调递减， 在上，在上，，符合题意； 所以a的取值范围是. 故答案为： 8．（2024·河南郑州·一模）已知数列满足，，其中为函数的极值点，则 . 【答案】/ 【分析】由为函数的极值点，推理得到，利用此式和题设条件，将分别用表示，化简消元即得. 【详解】因为，则， 令，，则， 易知在上单调递增，令 ，得， 即，，，， 所以，单调递减，，单调递增， 又，，， 即存在，使得当时，，当时，， 所以函数存在唯一得极值点， 则，. 且，，可得， 因为在上单调递增，则在上单调递增， 可得，， 且，则，可得. 又因为，则， 所以. 故答案为：. 9．（2024·广东广州·模拟预测）若，关于的不等式恒成立，则正实数的最大值为 . 【答案】 【分析】先将不等式同构变形为，构造函数，求导判单调性转化为解不等式0或，令，求导求得最大值小于等于0即可求解. 【详解】，即， 令，则. 设，其中， 则，令，得， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，又， 所以存在，使得， 所以若，则或，即0或恒成立， 当，故不可能， ， 所以在上，单调递增， 在上，单调递减， 所以，所以只有才能满足要求， 即，又，解得，所以正实数的最大值为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：函数隐零点的处理思路： 第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数. 第二步：虚设零点并确定取值范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次. 10．（2024高二·全国·专题练习）设函数，．若函数有两个零点，，则满足条件的最小正整数的值为 ． 【答案】3 【分析】求导，分，两种情况讨论，当时，不存在两个零点，当时，有两个零点时，需，进而求解即可. 【详解】由题， 所以， 当时，对恒成立， 则在单调递增，故不存在两个零点， 当时，若，则，函数在上单调递减， 若，则，函数在上单调递增， 要使函数有两个零点，则的最小值， 所以即， 因为，所以，令， 显然在上为增函数，且，， 所以存在，使得， 当时，，当时，， 所以满足条件的最小正整数， 又当时，，， 所以时，有两个零点， 综上所述，满足条件的最小正整数的值为3. 故答案为：3. 【点睛】思路点睛：利用导数的运算法则即可得出，并对分类讨论得出函数的单调性，再结合根的存在性原理得，进而将问题转化为求的最小正整数的值即可求解. 11．（24-25高二上·江西上饶·阶段练习）设函数的极值点为，数列满足，若，则 【答案】 【分析】先利用导数研究函数的单调性与极值，结合隐零点得出极值点，且，再根据已知数列化简得出，利用二次导函数的符号判定为极大值点，结合数列的递推关系消元计算即可. 【详解】由题设， 令，则， 当时，，故在上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 又时，恒成立， 而， 所以，存在，使， 即，所以① . 由已知得，②， 由①②可得，③， 因为， 所以，， 故③可化为，④ 即，⑤ 由时，，故， 所以在上单调递增， 由时，， 所以在上单调递减， 故为极大值点，所以， 故由⑤可知， 由， 所以， 所以， 所以，即， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键先利用多次求导判定为极大值及其满足的等量关系，结合函数与数列的递推关系消元转化. 【题型二 隐零点与零点个数问题】 一、解答题 1．（24-25高二上·江西宜春·期末）已知函数. (1)当时，，求实数的取值范围； (2)判断函数在的零点个数，并说明理由. 【答案】(1)实数的取值范围为 (2)函数在上的零点个数为1 【分析】（1）利用导数求的最大值即可求解； （2）先把方程转化，再构造新函数，应用导函数得出单调性结合零点存在定理得出结果. 【详解】（1）由题意得，令，解得，所以， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为， 由于时，，所以实数的取值范围为. （2）令，则，整理得， 令，则， 当时，．所以在上单调递减， 又，， 所以由零点存在性定理得，在上存在唯一零点． 当时，，此时函数无零点． 综上所述，在上存在唯一零点，即函数在上的零点个数为1． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的解决关键是，将函数在零点个数的问题转化为零点个数问题，从而得解. 2．（24-25高二上·湖南岳阳·期末）已知函数 (1)当时，求在区间上的最值； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)最大值，无最小值 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）当时，分析函数在区间上的单调性，即可求出函数在区间上的最值； （2）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按、进行讨论，写出单调区间； （3）对按、进行讨论，分析函数的单调性，在时，根据函数的单调性直接验证即可；在时，求出函数的最小值，结合零点存在定理可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 则在区间上单调递减，所以，，无最小值. （2）函数的定义域为，， （ⅰ）若，则，所以在单调递减； （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增. 综上所述，当时，函数的减区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为. （3）分析以下几种情况讨论： （ⅰ）若，函数在上为增函数，则至多有一个零点； （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. 当时，由于，故只有一个零点； 当时，由于，此时，函数没有零点； 当时，， 又，故在有一个零点. 设正整数满足， 则. 由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 3．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若有3个零点，，，其中.求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间 (2) 【分析】（1）求导函数，利用导数求解单调区间即可. （2），由得，则除1外还有两个零点，对求导分类讨论其单调性，当时，在单调递减，不满足，当时，要是除1外还有两个零点，则不单调，则，再由韦达定理求出其余两个零点的范围，结合函数的单调性说明所求范围即为所求. 【详解】（1）当时，，， 则在恒成立，所以在单调递增， 故的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）， ，，则除1外还有两个零点， ， 令， 当时，在恒成立，则， 所以在单调递减，不满足，舍去； 当时，要是除1外还有两个零点，则不单调， 所以存在两个零点，所以，解得， 当时，设的两个零点为，， 则，，所以 当时，，，则单调递增； 当时，，，则单调递减； 当时，，，则单调递增； 又，所以，， 而，且， ，且， 所以存在，，使得， 即有3个零点，，， 综上，实数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，或借助数形结合思想分析解决问题. 4．（24-25高二上·河北·期末）已知函数，，． (1)若，函数在上单调递减，求实数a的取值范围； (2)若，，求函数在上的零点个数． 【答案】(1) (2)函数在上两个零点． 【分析】（1）求出导函数，题意得出在上恒成立，转化为，在上恒成立，再引入函数求出函数的最值得参数范围； （2）求出，令，再求导，由的单调性确定的零点的存在性,从而得的正负，确定即的单调性，然后再确定的零点的存在性，得出的正负，确定的单调性，然后确定的零点的存在性（零点的存在性需与零点存在定理结合）． 【详解】（1）当时，，， 因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，可得， 令，在上，，， 所以在上的最小值为， 所以实数a的取值范围为． （2）当，时，，可得， ，设， 则，易知在上单调递增， 又，，所以，使得， 在上,在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，，使得， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，由得，， 又因为，所以，使得， 综上，函数在上有，0两个零点． 【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点问题，方法是利用导数确定函数的单调性，然后结合零点存在定理得出零点的存在性．为此可能需要对导函数（或其中部分函数）进行再一次的求导，以确定单调性、正负性． 5．（北京市昌平区2024-2025学年高二上学期期末质量抽测数学试卷）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数的值； (2)求函数的单调区间； (3)求函数的零点的个数. 【答案】(1) (2)单调增区间为，，单调减区间为 (3)三个零点 【分析】（1）由基本初等函数的求导公式与导数运算法则，结合导数的几何意义即可求解； （2）由（1）可知函数，求导后解不等式与即可求得单调区间； （3）函数可化为，结合（2）中函数的单调区间与零点存在性定理即可求解. 【详解】（1）函数，所以. 依题意，解得. （2）由（1）知：函数，所以. 令，则， 记两根分别为，且，. 列表 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数的单调增区间为，，单调减区间为. （3）函数.    令，得或，所以是函数的一个零点. 下面只要研究零点情况. 由（1）知，且，即. 又因为函数在上单调递减，所以， 即函数在上有且只有一个零点. 又因为，，且函数在上单调递增， 所以，存在唯一的，使. 同理，又因为，，且函数在上单调递增， 所以，存在唯一的，使. 所以函数存在三个零点，，.   综上函数存在三个零点，，. 【点睛】本题考查倒数的几何意义、利用导数研究函数的单调区间与零点问题. 本题第（2）小问考查利用导数研究函数单调区间，求导后解不等式与即可求得单调区间；本题第（3）小问为利用导数研究函数的零点问题，结合（2）中函数的单调区间与零点存在性定理即可求解. 6．（24-25高二上·江苏·阶段练习）设，已知函数. (1)若，判断在区间上的单调性； (2)若，判断的零点个数，并给出证明； (3)若，求正整数a的值. 【答案】(1)在区间上单调递增． (2)有且仅有1个零点，证明见解析 (3)1 【分析】（1）先求出导函数，然后结合指数函数的单调性及余弦函数的最值判断，即可得解. （2）求出的导函数，按照和，分别研究函数的单调性，结合零点存在性定理判断零点个数. （3）设，分，，三种情况讨论，利用导数法研究其单调性求出其最值即可判断成立. 【详解】（1），则，所以. 当时，，， 所以在区间上单调递增． （2），则，， 当时，，故在上单调递增． 又， 故在上存在唯一零点． 当时，恒成立． 综上，若有且仅有1个零点． （3）设， ①若，令，令，解得． 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，又， 所以，，即． 同理，令，令，解得． 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，又， 所以，，即． ， 所以满足题意． ②若，令，则，记， 由得故在上单调递增，又， 所以，时，在上单调递增． 又，所以， 所以不合题意． ③若， 当， 又，所以， 所以不合题意． 综上，正整数a的值为1． 【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题. 【题型三 利用隐零点证明】 一、解答题 1．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)若在区间上存在唯一零点，证明：. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）求导，分和两种情况，利用导数求原函数的单调区间； （2）由题设得，从而得若要证明，则只需，即只需，通过构造函数，利用导数证明即可得证. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，令，解得；令，解得； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）因为在区间上存在唯一零点， 所以存在唯一的，有，化简得， 若要证明，则只需，即只需证明， 设，则， 令，则， 所以当时，单调递增， 所以， 所以当时，单调递增， 所以， 即当时，有不等式成立， 综上所述：若在区间上存在唯一零点，则. 2．（24-25高二上·湖北·期中）设函数. (1)讨论函数在区间上的单调性； (2)判断并证明函数在区间上零点的个数. 【答案】(1)函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. (2)函数在区间上有2个零.，证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数后根据导数的符号可得函数的单调性； （2）根据（1）中函数的单调性可得函数在区间上存在唯一的零点，设，根据三角函数的性质可得判断出，故结合零点存在定理可判断在上的单调性，再结合零点存在定理可判断零点的个数. 【详解】（1），且. 当时，，， 从而， 即此时函数在区间上单调递增； 当时，，， 从而， 即此时函数在区间上单调递减. ∴综上所述，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2），又，且函数在区间上单调递减， ∴函数在区间上存在唯一的零点. 当时，记， 从而，且此时，， ∴，在区间上单调递增. ，，∴存在，使得 且时，，即此时在区间上单调递减； 时，，即此时在区间上单调递增. ∴由，得， 即函数在区间上无零点； 而由，， 即函数在区间上有唯一的零点. ∴函数在区间上有2个零点. 【点睛】思路点睛：函数零点问题，需利用导数讨论其单调性，再结合零点存在定理判断零点个数. 3．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知函数且． (1)求a； (2)证明：存在唯一的极大值点，且． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）（方法一）由等价于，得出是极小值点，再由可得答案；（方法二）由等价于，求出．时由不合题意．当时只需可得答案； （2）利用导数研究的单调性、极值情况，依据单调性证极大值的范围. 【详解】（1）（方法一） 因为， 则等价于， 是极小值点． 又， 检验，当时，，当时单调递减； 当时单调递增， ，符合题意； （方法二）因为， 则等价于， 求导可知． ①当时，即在上单调递减， 所以当时，，不合题意． ②当时， 因为当时，当时， 所以，只需， ， 所以在单调递增，在单调递减， ，所以的解只有； （2）由（1）可知时，， 记，则， 令，解得：， 当时，时， 所以在区间上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，所以在区间上有唯一零点且， 在上为正、在上为负、在上为正， 所以必存在唯一极大值点，且， 所以， 由可知， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以； 综上所述，存在唯一的极大值点，且． 【点睛】关键点点睛：第一问，讨论参数并应用导数研究且最小值，根据不等式恒成立确定参数值；第二问，导数研究极值点分布，进而证极大值的范围. 4．（24-25高二上·天津·阶段练习）设函数 ，其中 . (1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程; (2)若 ， （i） 证明: 函数 恰有两个零点; （ii） 设 为函数 的极值点， 为函数 的零点，且 ，证明: . 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）先，再求，由点斜式即可求解； （2）（i）求导得，构造并应用导数研究单调性，进而判断符号确定单调性，可求极值点所在的区间为，再证上，由此得，结合零点存在性定理即可证结论； （ii）由①结合题设可得，结合上，即可证结论. 【详解】（1）由题设，且，则， 所以，又， 所以切线方程为，即：. （2）（i）由，令，又， 易知在上递减， 又，， ∴在上有唯一零点，即在上唯一零点， 设零点为，则， ∴，，递增；，，递减； ∴是唯一极值点，且为极大值， 令且，则，故在上递减， ∴，即， ∴，又， 根据零点存在性定理知在上存在零点，又∵在单调递减； ∴在存在唯一零点， 又∵，在上单调递增；， ∴在上的唯一零点为1， 故恰有两个零点； （ii）由题意，，即， 则，即， 当时，，又，则， ∴，得， 即，得证. 【点睛】方法点睛：在利用导数证明不等式时，一般会构造一个函数，转化为求解函数的取值情况进行研究. 5．（24-25高二上·江西新余·阶段练习）已知函数，. (1)证明：随着的变化，的图像总是经过无穷多个定点，并求出这些定点坐标； (2)若是轴对称图形，证明：与有相同的对称轴； (3)设，使是轴对称图形的一系列值从小到大排列构成数列，是指时对应的函数. （ⅰ）判定时，与的大小关系； （ⅱ）求证：在上有且仅有个零点. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 (3)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）整理为关于的恒等式，由对应系数为0可以求得定点坐标； （2）由经过的定点特征可判断的对称轴只能为，进而由可得，再求出的对称轴即可证明； （3）（ⅰ）可判断是关于递减函数，由即可证明； （ⅱ）可判断与关于对称，可证明在上有且仅有1个零点，分和种情况，结合导数证明即可. 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以当，即， 所以过定点. （2）解：因为经过的定点可知，的对称轴只能为， 所以，可得， 所以，即， 又因为的对称轴为， 所以与有相同的对称轴，且. （3）解：（ⅰ）， 所以时， 是关于递减函数， 所以当时，， 又因为， 所以. （ⅱ）因为时，与均关于对称， 所以也关于对称， 而区间也关于对称， 下面证明在上有且仅有1个零点： ， 当时，， ①当时，则时，，所以； 当时，，所以， 故在单调递减，在单调递增， ，， 所以在上有且仅有1个零点成立 ②当时，由可知， 在区间上的极大值点为， 令， 则，所以当时,关于单调递增， 所以时，,而， 所以在有1个零点； 又因为当时，，所以关于单调递增， 所以，即在无零点. 所以在仅有1个零点. 综上，由对称性可知在上有且仅有个零点. 一、单选题 1．（24-25高二上·四川成都·期中）已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，讨论两个函数的零点，根据可得的关系，代入目标式，结合基本不等式可得. 【详解】设，. 因为，所以在上单调递增. 当时，；当时，. 因为的图象开口向上，，所以方程有一正根一负根， 即函数在上有且仅有一个零点，且为异号零点. 由题意可得，，则当时，；当时，， 所以是方程的根，则，即，且， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：A. 【点睛】关键点睛：关键在于将不等式恒成立转化为两个函数零点重合，从而得到的关系，然后借助基本不等式求解即可. 2．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数恰有两个极值点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导后，令，则只需要有两个不同的零点，利用导数求得在上单调递减，在上单调递增，则，得，再结合零点存在性定理可判断出在和上各有一个零点，从而可求得结果. 【详解】的定义域是，，令， 所以，令，解得；令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 要使恰有两个极值点，则，解得， 此时， 所以在上有唯一的零点， 令，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以， 所以， 所以在上有唯一的零点， 综上，当时，在上有两个不同的零点，且零点两侧的函数异号， 所以a的取值范围是． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：此题考查利用导数解决函数极值点问题，解题的关键是将问题转化为有两个不同的零点，结合零点存在性定理分析，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 3．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）函数在区间上存在极值，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用导数讨论函数的单调性和极值即可求解. 【详解】函数的定义域为， ， 令，， 所以当时，，当时，， 所以在单调递增，单调递减， 所以， 又因为当时，则， ， 所以存在唯一，使得， 所以函数在时，时， 所以函数在单调递增，单调递减， 所以要使函数在区间上存在极值， 所以的最大值为3， 故选:B. 4．（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）已知函数若不等式对一切恒成立，则正整数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式整理为，由此构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，即恒成立；令，利用导数判断其单调性，求得其恒大于0时m的范围，即得答案. 【详解】由题意不等式对一切恒成立， 即对一切恒成立， 令，则， 当时，；当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 故，则需恒成立； 令， 当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 且，当时，， 取，（）， 取， 即在存在唯一的零点，且， 故时，，时，， 故正整数的最大值为7， 故选：C 【点睛】方法点睛：关于不等式恒成立求参数的范围问题，一般解决方法是转化为函数的最值问题，即将不等式整理，构造函数，利用导数求函数最值；另外有时也可以参变分离，构造函数，利用导数解决. 5．（2024高二上·吉林四平·阶段练习）若函数在上存在极大值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，令，讨论a的取值范围，结合在上存在极大值点，结合二次函数性质列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意可得， 令，则 ， 当时，，当时，，递增， 当时，，递减，函数在时取极大值，符合题意； 当时，图象对称轴为， 此时要使函数在上存在极大值点，需满足， 即，则， 此时，在上递减，存在 ，使得， 则当时，，递增，当时，，递减，函数在时取极大值，符合题意； 当时，图象开口向下，对称轴为， 此时要使函数在上存在极大值点，需满足， 即，则，同上同理可说明此时符合题意， 综合上述，可知的取值范围为， 故选：D 6．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）若在上恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易知，原式可变形为，结合隐零点的解题思路，求出，由可得，结合函数的单调性解得，即可求出a的取值范围即可. 【详解】由题意知，，由，得. 原式可化为， 设，则， 又函数在上单调递增，所以函数在上单调递增， 则当时，，当时，， 故存在使得，即，得，即， 且当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以， 即，设， 由函数在在单调递减， 知函数在在单调递减，且，所以， 所以，故，即，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 故选：C 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略： 形如的恒成立的求解策略： 1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； 2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可； 3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 7．（浙江省温州市2024-2025学年高二上学期期末教学质量统一检测数学试卷A卷）过点可作函数，的三条切线，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，再由切线过点得到，令，，依题意与在上有三个交点，求出函数的导函数，分、、、、五种情况讨论，说明函数的单调性，求出函数的极值，即可得到需满足的条件，从而得解. 【详解】设切点为，又，所以，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以，即， 令，，依题意与在上有三个交点， 又， 当，则时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则与在上不可能有三个交点，故舍去； 同理可得当时与在上不可能有三个交点，故舍去； 当时恒成立，则在上单调递增， 与在上不可能有三个交点，故舍去； 当时，令，解得或， 当或时，当时, 所以在，上单调递减，在上单调递增， 又，，，， 所以且； 当时，令，解得或， 当或时，当时, 所以在，上单调递减，在上单调递增， 又， ，，， 所以且. 综上可得，可能成立的只有. 故选：C 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 二、填空题 8．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是 【答案】 【分析】求出函数的导数，由题意可得在内有唯一零点，且单调递减，由此列出不等式，即可求得答案. 【详解】因为，故， 由于在区间上有最大值， 且在上单调递减， 故需满足在内有唯一零点，故， 即，解得， 即实数a的取值范围为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于判断出导数在在上单调递减，则需在内有唯一零点，由此列不等式求解即可. 9．（2024高二下·四川·竞赛）设函数的零点都在区间内，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】求出在上的导数，得到的单调区间，结合函数的奇偶性求出所有零点所在的区间，进而求出，的值，求出答案即可． 【详解】， 当时，，， 在上递增， 而，， 时，在内存在唯一零点， 是偶函数，在上递减， 而，， 时，在存在唯一零点， 零点都在内． 故当时，取最小值，且最小值为4， 故答案为：4. 10．（2024·河南郑州·模拟预测）若在内存在唯一的零点，在内存在唯一的零点，且，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】通过导数可得到在上单调递减,结合题意在内存在唯一的零点可得通过导数可得在上单调递增,在上单调递减，结合在内存在唯一的零点，且，可得，即可求解 【详解】由可得,则在上单调递减, 因为在上有唯一零点,所以,所以 ， 令,即,则,且时,,当时,, 所以在上单调递增,在上单调递减, 因为在上有唯一零点且, 所以, 所以. 综上,实数的取值范围为. 故答案为： 11．（23-24高二上·河南开封·期末）若函数在上存在极值,则的取值范围为 . 【答案】 【分析】在上存在极值,即在上存在变号零点,构造新函数,求导求单调性,判断函数性质后使函数的最小值小于零即可. 【详解】解:由题知在上存在极值, 即在上存在变号零点, 所以, 设函数, 即在上存在变号零点, 则, 当时,,单调递减; 当时,,单调递增. 因为时,, 故只需即可, 即. 故答案为:. 【点睛】思路点睛:此题考查函数与导数综合问题,属于难题,关于函数极值点的存在问题的思路有: (1)对原函数进行求导; (2)令导函数为新的函数,使新的函数有变号零点; (3)对新函数求导求单调性,判断函数性质,建立不等式,计算结果. 12．（2024·湖南·二模）函数在范围内极值点的个数为 . 【答案】2 【分析】依题意可知，利用三角函数值域以及复合函数单调性求得的零点个数即可得出结论. 【详解】易知. 当时，；当时，； 当时，和均为单调减函数， 令，则， 当时，恒成立， 所以在上是单调增函数， 根据复合函数单调性可知为减函数，又， 易知，由零点存在定理可得函数在上存在一个零点， 同理可得，所以函数在上存在一个零点， 结合的正负情况，的零点为函数的极值点， 因此函数在内一共有2个极值点. 故答案为：2 【点睛】方法点睛：求解函数极值点个数问题时往往利用极值点定义，由导函数单调性和零点存在定理求导函数的变号零点个数即可得出原函数的极值点个数. 三、解答题 13．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，，若在上不单调，求a的取值范围. 【答案】 【分析】求出函数的导数，利用函数在上存在变号零点求解即得. 【详解】函数，求导得， 由在上不单调，得函数在上存在变号零点， 而函数在上单调递增，，， 因此，又，解得， 所以a的取值范围为． 14．（2024·湖南·二模）已函数，其图象的对称中心为. (1)求的值； (2)判断函数的零点个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由的图象关于对称，得到，列出方程组即可求解； （2）由（1）得到函数的解析式，求出，利用判断根的情况，分类讨论确定零点的个数. 【详解】（1）因为函数的图象关于点中心对称，故为奇函数， 从而有，即， ， ， 所以，解得， 所以； （2）由（1）可知，，，， ①当时，，，所以在上单调递增， ，， 函数有且仅有一个零点； ②当时，，， 有两个正根，不妨设，则， 函数在单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ，， 函数有且仅有一个零点； ③当时，， 令，解得或， 有两个零点； ④当时，，， 有一个正根和一个负根，不妨设， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ，， 函数有且仅有三个零点； 综上，当时，函数有三个零点； 当时，函数有两个零点； 当时，函数有一个零点. 15．（2024·广西·模拟预测）设函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)证明：． 【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为． (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的定义域，利用导数求出其单调区间即可. （2）通过导数及零点存在定理判断函数在上单调递减，在上单调递增，且，等式两边取对数并使用基本不等式证明即可. 【详解】（1）当时，，定义域为， 所以， 令 因为， 所以在上单调递增， 即在上单调递增，注意到， 所以当时，； 当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）证明：， 即， 的定义域为， 且． 在上单调递增， 当时，在上单调递增， 故在上单调递增， 又，当趋近于0时，， 根据零点存在定理可知，导函数存在唯一的零点， 设该零点为．当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值． ，即， 两边同时取对数得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 故当时，， 即． 16．（2024·山西晋中·模拟预测）已知函数. (1)求函数在区间上的最小值； (2)判断函数的零点个数，并证明. 【答案】(1) (2)函数在有且仅有一个零点，证明见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，令，利用导数说明的单调性，结合零点存在性定理得到的单调性，即可求出在闭区间上的最小值； （2）利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理，讨论，和时，的正负，即可得出证明. 【详解】（1）因为， 所以，令，， 当时，， 所以在上单调递减，且， ， 所以由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使 又当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为， ， 所以函数在区间上的最小值为. （2）函数在上有且仅有一个零点，证明如下： 函数，，则， 若，， 所以在区间上单调递增，又， ， 结合零点存在定理可知，在区间有且仅有一个零点， 若，则，，则， 若，因为，所以， 综上，函数在有且仅有一个零点. 17．（24-25高二上·北京海淀·期末）已知函数. (1)当时，求的定义域； (2)若在区间上单调递减，求的取值范围； (3)当时，证明：若，，则.（参考数据：，，） 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据对数、分式性质求函数定义域； （2）对函数求导，根据题设有在上恒成立，构造函数研究最值，列不等式求参数范围. （3）应用导数分别求在、上的最值，进而得到、，即可证结论. 【详解】（1）由题设，则，故定义域为. （2）由，则必有，且， 由在区间上单调递减，则在上恒成立， 令且，则， 在上，则单调递增，故， 所以. （3）当，则，且， 设，则， 当，则，当，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当， 0 0 单调递减 极小值 单调递增 ； 当，，，故使， 0 0 单调递增 极大值 单调递减 由，又，则， 综上，得证. 【点睛】关键点点睛：第三问，应用导数求出在、上的最值为关键. 18．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数. (1)在处切线斜率为2，求； (2)当时， ①，证明：； ②判断的零点个数，并说明理由. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②两个 【分析】（1）根据导数的几何意义代入计算解方程可得； （2）①对函数求导并构造函数利用函数单调性即可证明得出结论； ②对不同区间上的单调性进行分类讨论，并利用零点存在定理可得在上有两个零点. 【详解】（1）由可得， 可得，解得； （2）当时，，其定义域为； 可得； ①当时，令， 则， 令， 则； 因此可知在上单调递增，即， 因此，可得在上单调递增； 所以，即在上单调递增， 因此， 即可得时，； ②由，可知在上单调递增， 易知当趋近于时，趋近于，又； 根据零点存在定理可得在上存在唯一零点； 设，， 即可得时，；时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此，当趋近于时，趋近于， 令， 所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增； 即可得，当趋近于时，趋近于， 即可得在上有唯一零点，且，即的一个零点为0，上无零点， 综上可知，在上有两个零点. 【点睛】方法点睛：求解函数零点问题时，要利用导数求出函数单调性并由零点存在定理得出零点所在区间，即可求得函数的零点个数. 19．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知函数，其中，为自然对数的底数. (1)若函数在处的切线与平行， ①求的值； ②证明：函数在定义域上恰有两个不同的零点. (2)设函数在区间上存在极值，求证：. 【答案】(1)①；②证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）①利用导数求函数在处的切线的斜率即可；②利用导数求出的单调性，结合零点存在性定理即可证明； （2）求出，当时不合题意，当时，令，利用导数判断的单调性，根据，要使得在上存在极值，则须满足，即，分析推理即可得到. 【详解】（1）①的定义域为， ， 因为函数在处的切线与平行， 所以，得； ②由①得，， 令， 因为，所以在单调递减， 又，， 所以存在唯一的，使，即， 当时，，即，在单调递增； 当时，，即，在单调递减， 又（当且仅当，即时等号成立）， 即，因为，， 由零点存在性定理知在和分别有一个零点， 综上，函数在定义域上恰有两个不同的零点； （2）依题意，， 则， 当时，，在单调递增，不合题意； 当时，令，，则， 所以在单调递增， 因为，要使得在上存在极值， 则须满足，即， 所以，，即. 设，则， 令，则， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以， 即当时，， 所以，. 所以， 即， 所以. 【点睛】关键点睛：本题第（2）问解题的关键在于当时，构造函数，，利用的单调性和，将题设在上存在极值，转化成，从而列出关于a的不等式组可进一步求解. 20．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. (1)求曲线在处的曲率的平方； (2)求正弦曲线曲率的平方的最大值. (3)正弦曲线，若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程. 【答案】(1) (2)1 (3)零点个数为2，证明见解析 【分析】（1）根据所给曲率的定义求解即可； （2）由新定义求出，换元后，利用导数求最值即可； （3）对分区间讨论，在上无零点，在上利用导数判断函数单调性极值，由零点存在性定理分析即可得解. 【详解】（1）因为，所以，， 所以， . （2）由，，则， ， 令，则，故， 设，则， 在时，递减， 所以，最大值为1. （3）因为，， 则. ①当时，因为， 所以在上单调递减.所以. 所以在上无零点. ②当时，因为单调递增，且，， 所以存在，使. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，且. 所以.设，， ，, 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 所以，所以. 所以在上存在一个零点. 所以在有2个零点. 综上所述，在上的零点个数为2 【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，理解所给定义，运用所给定义解题是解题关键，对于函数零点问题，一般要先求出函数的单调性，极值，再结合零点存在性定理判断. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 导数中的隐零点问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、利用隐零点解决最值、极值 2 题型二、隐零点与零点个数问题 3 题型三、利用隐零点证明 4 压轴能力测评（20题） 5 一、隐零点问题 隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）. 基本步骤： 第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程, 并结合的单调性得到零点的范围; 第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数 的正负, 进而得到的最值表达式; 第 3 步: 将零点方程适当变形, 整体代入最值式子进行化简: （1）要么消除最值式中的指对项 （2）要么消除其中的参数项; 从而得到最值式的估计. 二、函数零点的存在性定理 函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得. 三、隐零点的同构 实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以下面我们看到的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析 所以在解决形如 , 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作. 四、一般思路 针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时，需要根据导函数零点代入方程，把参数表示成含隐零点的函数，再来求原函数的极值或者最值问题或证明不等式。构建关于隐零点作为自变量的新函数，求函数值域或者证明不等式恒成立问题。在使用零点存在定理确定区间时往往存在困难，必要时使用放缩法取含参的特殊值来确定零点存在区间。 【题型一 利用隐零点解决最值、极值】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏苏州·一模）已知表示不超过的最大整数，若为函数的极值点，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知函数在区间上有极大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·重庆·阶段练习）若，则（     ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·重庆·期中）已知函数有三个零点，，，其中，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24高二下·河北邢台·期中）已知函数，若，则的最小值为 . 7．（23-24高二上·山东·阶段练习）已知函数，若是的极大值点，则a的取值范围是 ． 8．（2024·河南郑州·一模）已知数列满足，，其中为函数的极值点，则 . 9．（2024·广东广州·模拟预测）若，关于的不等式恒成立，则正实数的最大值为 . 10．（2024高二·全国·专题练习）设函数，．若函数有两个零点，，则满足条件的最小正整数的值为 ． 11．（24-25高二上·江西上饶·阶段练习）设函数的极值点为，数列满足，若，则 【题型二 隐零点与零点个数问题】 一、解答题 1．（24-25高二上·江西宜春·期末）已知函数. (1)当时，，求实数的取值范围； (2)判断函数在的零点个数，并说明理由. 2．（24-25高二上·湖南岳阳·期末）已知函数 (1)当时，求在区间上的最值； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围. 3．（24-25高二上·山东德州·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若有3个零点，，，其中.求实数的取值范围. 4．（24-25高二上·河北·期末）已知函数，，． (1)若，函数在上单调递减，求实数a的取值范围； (2)若，，求函数在上的零点个数． 5．（北京市昌平区2024-2025学年高二上学期期末质量抽测数学试卷）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数的值； (2)求函数的单调区间； (3)求函数的零点的个数. 6．（24-25高二上·江苏·阶段练习）设，已知函数. (1)若，判断在区间上的单调性； (2)若，判断的零点个数，并给出证明； (3)若，求正整数a的值. 【题型三 利用隐零点证明】 一、解答题 1．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)若在区间上存在唯一零点，证明：. 2．（24-25高二上·湖北·期中）设函数. (1)讨论函数在区间上的单调性； (2)判断并证明函数在区间上零点的个数. 3．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知函数且． (1)求a； (2)证明：存在唯一的极大值点，且． 4．（24-25高二上·天津·阶段练习）设函数 ，其中 . (1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程; (2)若 ， （i） 证明: 函数 恰有两个零点; （ii） 设 为函数 的极值点， 为函数 的零点，且 ，证明: . 5．（24-25高二上·江西新余·阶段练习）已知函数，. (1)证明：随着的变化，的图像总是经过无穷多个定点，并求出这些定点坐标； (2)若是轴对称图形，证明：与有相同的对称轴； (3)设，使是轴对称图形的一系列值从小到大排列构成数列，是指时对应的函数. （ⅰ）判定时，与的大小关系； （ⅱ）求证：在上有且仅有个零点. 一、单选题 1．（24-25高二上·四川成都·期中）已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数恰有两个极值点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）函数在区间上存在极值，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）已知函数若不等式对一切恒成立，则正整数的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024高二上·吉林四平·阶段练习）若函数在上存在极大值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）若在上恒成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（浙江省温州市2024-2025学年高二上学期期末教学质量统一检测数学试卷A卷）过点可作函数，的三条切线，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是 9．（2024高二下·四川·竞赛）设函数的零点都在区间内，则的最小值为 ． 10．（2024·河南郑州·模拟预测）若在内存在唯一的零点，在内存在唯一的零点，且，则实数a的取值范围为 . 11．（23-24高二上·河南开封·期末）若函数在上存在极值,则的取值范围为 . 12．（2024·湖南·二模）函数在范围内极值点的个数为 . 三、解答题 13．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，，若在上不单调，求a的取值范围. 14．（2024·湖南·二模）已函数，其图象的对称中心为. (1)求的值； (2)判断函数的零点个数. 15．（2024·广西·模拟预测）设函数，． (1)当时，求函数的单调区间； (2)证明：． 16．（2024·山西晋中·模拟预测）已知函数. (1)求函数在区间上的最小值； (2)判断函数的零点个数，并证明. 17．（24-25高二上·北京海淀·期末）已知函数. (1)当时，求的定义域； (2)若在区间上单调递减，求的取值范围； (3)当时，证明：若，，则.（参考数据：，，） 18．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期末）已知函数. (1)在处切线斜率为2，求； (2)当时， ①，证明：； ②判断的零点个数，并说明理由. 19．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知函数，其中，为自然对数的底数. (1)若函数在处的切线与平行， ①求的值； ②证明：函数在定义域上恰有两个不同的零点. (2)设函数在区间上存在极值，求证：. 20．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. (1)求曲线在处的曲率的平方； (2)求正弦曲线曲率的平方的最大值. (3)正弦曲线，若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$