专题14 导数中的构造函数技巧应用（4大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第二册）

专题14 导数中的构造函数技巧应用 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 题型一、构造函数比较大小 3 题型二、构造函数解不等式 3 题型三、构造函数求最值、范围 4 题型四、构造函数证明不等式 5 压轴能力测评（16题） 6 一、同构构造函数 1.同构是构造函数的一种常用方法.常利用将要比较的三个数化为结构相同的式子,再将其看作同一个函数的三个值,用常值换元构造函数,利用函数的单调性比较大小. 2.对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变量间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利用同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值与的大小,最后利用函数的单调性,转化为比较自变量与的大小,实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。 3.常见的构造函数有 （1）乘积模型： （2）商式模型： （3）和差模型： 二、构造函数解不等式解题思路 利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 三、构造函数解不等式解题技巧 求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形 模型1.对于，构造 模型2.对于不等式，构造函数. 模型3.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型4.对于不等式，构造函数 模型5.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型6.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型7.对于，分类讨论：（1）若，则构造 （2）若，则构造 模型8.对于，构造. 模型9.对于，构造. 模型10.（1）对于，即， 构造． （2） 对于，构造． 模型11.（1） （2） 【题型一 构造函数比较大小】 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）三个数，，的大小顺序为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）若，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·贵州安顺·期末）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知，，，试比较，，的大小（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·云南保山·期末）已知，比较三个数的大小，则有（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川自贡·一模）若，则满足的大小关系式是（    ） A． B． C． D． 【题型二 构造函数解不等式】 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏扬州·期中）已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知可导函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江苏常州·期末）已知函数及其导数的定义域均为，对任意实数，，且当时，.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·福建南平·期中）定义在上的函数满足，且，则不等式解集为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·吉林·模拟预测）定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·安徽合肥·阶段练习）定义在 上的奇函数，且对任意实数x都有，．若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【题型三 构造函数求最值、范围】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东潮州·期末）若满足，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025高二·全国·专题练习）已知，若对任意的，恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D．10 3．（24-25高二上·河南焦作·开学考试）已知当时，恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）若对一切恒成立，则的最大值为 . 5．（24-25高二上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数，若对任意，都有，则的取值范围为 . 6．（23-24高二上·河北保定·期末）已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为 . 7．（2024·四川凉山·三模）已知函数的零点为，则 ． 8．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数，，若，且，则的最大值为 ． 【题型四 构造函数证明不等式】 一、解答题 1．（24-25高二上·江苏盐城·期末）凸函数是数学中一个值得研究的分支，它包括数学中大多数重要的函数，如，等.记为的导数.现有如下定理： 在区间上为凸函数的充要条件为. (1)证明：函数为上的凸函数; (2)已知函数. ① 若为上的凸函数，求的最小值; ② 在① 的条件下，当取最小值时，证明：在上恒成立. 2．（2024·河北·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 3．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知函数，． (1)证明：． (2)证明：． (3)若，求的最大值． 一、单选题 1．（2024·吉林长春·一模）已知定义在上的函数是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二·全国·专题练习）已知函数为上的可导函数，且，均有，则有（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高二上·河北邢台·期中）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（2024高二·全国·专题练习）已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025高二上·全国·专题练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·湖南郴州·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·湖南永州·开学考试）若对任意的，且，都有成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C．e D． 9．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函数，，若，则的最大值是（    ） A． B．0 C． D． 10．（2024·陕西商洛·三模）已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·陕西商洛·阶段练习）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 12．（23-24高二上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数的最小值为1，则的取值范围为 . 13．（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 三、解答题 14．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知. (1)若，求f（x）在的最大值； (2)若，证明：在上单调递增. 15．（23-24高二上·山东·阶段练习）已知函数的最小值为1． (1)求a； (2)若数列满足，且，证明：． 16．（2024·四川绵阳·三模）设. (1)当，求在点处的切线方程； (2)当时，证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 导数中的构造函数技巧应用 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 题型一、构造函数比较大小 3 题型二、构造函数解不等式 6 题型三、构造函数求最值、范围 11 题型四、构造函数证明不等式 17 压轴能力测评（16题） 22 一、同构构造函数 1.同构是构造函数的一种常用方法.常利用将要比较的三个数化为结构相同的式子,再将其看作同一个函数的三个值,用常值换元构造函数,利用函数的单调性比较大小. 2.对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变量间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利用同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值与的大小,最后利用函数的单调性,转化为比较自变量与的大小,实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。 3.常见的构造函数有 （1）乘积模型： （2）商式模型： （3）和差模型： 二、构造函数解不等式解题思路 利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 三、构造函数解不等式解题技巧 求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形 模型1.对于，构造 模型2.对于不等式，构造函数. 模型3.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型4.对于不等式，构造函数 模型5.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型6.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型7.对于，分类讨论：（1）若，则构造 （2）若，则构造 模型8.对于，构造. 模型9.对于，构造. 模型10.（1）对于，即， 构造． （2） 对于，构造． 模型11.（1） （2） 【题型一 构造函数比较大小】 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）三个数，，的大小顺序为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】据题意可设，求导，从而可根据导数符号得出在上单调递减，并且可得出，，，从而得出，，的大小顺序． 【详解】设，则， 当时，则，可得， 可知在上单调递减， 因为，，， 且，则，所以． 故选：D． 2．（2024·全国·模拟预测）若，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知要比较函数值的结构特点，构造函数，利用导数研究函数单调性，通过函数单调性比较大小即可. 【详解】构造函数，则，，， 由，令得，令得， 则在上单调递增，在上单调递减． 因为，所以，所以； 因为，所以，所以； 令，且，则， 令，， 则， 所以在上单调递增， 又，所以，所以， 因为，且，所以，所以. 故选：B 3．（23-24高二下·贵州安顺·期末）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的性质可得，构造函数证明即可比较大小. 【详解】令，求导得，即函数在上单调递减， 则，即，因此； 令，求导得， 函数在上单调递增，则，即，因此， 所以. 故选：B 【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用. 4．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知，，，试比较，，的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数以及，利用函数的单调性即可求解. 【详解】设 则当时单调递减， 故 故进而， 设 由于函数和均为定义域内的单调递增函数， 所以为上的单调递增函数， 因此， 故， 故， 因此， 故选：B 5．（23-24高二下·云南保山·期末）已知，比较三个数的大小，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别构造函数，，利用导数求导，得单调性求解． 【详解】设，则， 所以在上单调递增，故时，恒成立，即， 所以有，故； 设，则， 所以在上单调递减，故时，恒成立，即，所以有，，得， 综上：， 故选：A． 6．（2024·四川自贡·一模）若，则满足的大小关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用构造函数法，结合导数来求得正确答案. 【详解】由于，所以. 设， 在上单调递增， 所以，所以当时，， 则，即. 设， ， 所以在上单调递增，， 所以在上单调递增，， 所以当时，，即， 所以， 而，所以，所以. 故选：A 【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤： （1）确定的定义域； （2）计算导数； （3）求出的根； （4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间. 【题型二 构造函数解不等式】 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏扬州·期中）已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设不等式整理后构造函数满足，得出在上单调递增，整理待求不等式，利用函数的单调性即可求得. 【详解】由可得，即， 设，，则由可得，在上单调递增. 又， 由可得，，即，解得. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用构建函数的单调性求抽象不等式的解集的问题，属于难题. 解题的关键在于观察已知不等式和题设不等式的组成，提炼出构造函数的基本形式，结合函数定义域和函数值等条件，利用单调性求解抽象不等式. 2．（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先令，根据题中条件，判断其单调递减；将所求不等式化为，结合单调性，得到，求解即可. 【详解】令，因为，所以， 所以在上单调递减； 又，所以， 因此不等式可化为， 所以，解得， 即不等式的解集为. 故选：A 3．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知可导函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性，原不等式可转化为，结合函数的单调性解不等式即可. 【详解】令，则， 故在上单调递减， 不等式可变形为 ， 即， 所以且，解得. 故选：A 4．（23-24高二下·江苏常州·期末）已知函数及其导数的定义域均为，对任意实数，，且当时，.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，从而结合导数与所给条件得到函数的单调性与对称性，在将所给不等式中化为即可得解. 【详解】令，则， 由题意可得，当时，，即在上单调递增， 由，则， 即，故为偶函数，故在上单调递减， 则不等式可化为：， 即，则有，即， 即，即， 解得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造函数，从而结合导数与所给条件得到函数的单调性与对称性. 5．（24-25高二上·福建南平·期中）定义在上的函数满足，且，则不等式解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数单调性可得，构造函数并利用可证明在上单调递减，可得，由单调性可解得. 【详解】不等式等价于，可得， 即可得； 令函数，可得， 又可得恒成立， 因此在上单调递减，又， 所以等价于，即； 解得， 所以不等式解集为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将指数不等式转化为，再通过构造函数结合导数求得其单调性，利用函数单调性可解不等式. 6．（2024·吉林·模拟预测）定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构建，求导，利用导数判断的单调性，进而判断的符号性，即可得的符号性. 【详解】令，则的定义域为，且， 因为，即，注意到，可得， 可知在定义域内单调递增，且， 当时，，即； 当时，，即； 所以不等式的解集为. 故选：B. 7．（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件构造函数，利用导数确定单调性，结合求解不等式即得. 【详解】依题意，令，求导得，则在上单调递减， 由，得，不等式， 则或，即或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：B 8．（24-25高二上·安徽合肥·阶段练习）定义在 上的奇函数，且对任意实数x都有，．若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由是奇函数，可得是偶函数，得到，令，得到，得出在上单调递增，再由，求得的周期为的周期函数，根据，得到，把不等式转化为，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】因为是奇函数，可得是偶函数， 又因为，所以， 令，可得，所以在上单调递增， 因为且是奇函数， 可得，则， 所以的周期为的周期函数， 因为，所以， 则不等式，即为，即， 又因为在上单调递增，所以，解得， 所以不等式的解集为． 故选：C． 【题型三 构造函数求最值、范围】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东潮州·期末）若满足，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则满足 等价于，求导分析的单调性，求出的最小值，继而即可求解. 【详解】设，则恒成立，即， 因为，所以在上单调递增， 且当时，， 故当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，即最小值， ， 令，得． 故选：D． 2．（2025高二·全国·专题练习）已知，若对任意的，恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D．10 【答案】D 【分析】观察题目中的式子，利用指对数转化将其化为结构相同的形式，再构造函数，根据函数的单调性求得参数的取值范围. 【详解】， 两边同时取对数得，即， 令，则，故在上单调递减， 又，故当时，，即，可得，故的最小值为10． 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题的关键是应用同构构造函数，结合函数单调性解题. 3．（24-25高二上·河南焦作·开学考试）已知当时，恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由当时，恒成立，则，先利用导数工具研究函数的单调性，从而求出函数的值域为，进而构造函数，求出函数的最小值即为，进而即可得解. 【详解】令，则， 所以当时，，单调递减；时，，单调递增， 所以，又，所以的值域为， 令，则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以， 又当时，恒成立，所以， 故实数a的取值范围为. 故选：A. 【点睛】思路点睛：恒成立求参问题通常转化为最值问题，对“时，恒成立”可转化为“”，利用导数工具可求得函数的值域，从而函数的最小值即为，故只需求出函数的最小值即可得解. 二、填空题 4．（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）若对一切恒成立，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】构造函数，借助导数可研究其单调性即可得，再构造函数，借助导数可研究其单调性即可得，即可得解. 【详解】由题意可得对一切恒成立， 令，则， 当时，，故在上单调递减， 此时在上无最小值，不符合题意， 当时，令，有，令，有， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 即，则， 令，则， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，即， 当满足题意，即的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造函数，从而得到，即可得，再构造函数，求出其最大值即可得. 5．（24-25高二上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数，若对任意，都有，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可得对任意恒成立，且，令函数，则对任意恒成立，对求导分析单调性，可得对任意恒成立，由可得出的范围. 【详解】由题意可得对任意恒成立，且. 令函数，则对任意恒成立. ， 当时，单调递增， 当时，，单调递减， 且当时，，当时，， 所以，即对任意恒成立. 因为，所以.    故答案为：. 6．（23-24高二上·河北保定·期末）已知，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为 . 【答案】 【分析】不等式恒成立，等价于恒成立，令，由单调性得，即，令，利用导数求最大值，得的取值范围和最小值. 【详解】恒成立，等价于. 令，则， ，当时都有，则在上单调递增. 所以不等式转化为，即，得，即在上恒成立. 令，，则. 当， ，单调递增；当时，，单调递减. 所以，得，即的最小值为. 故答案为： 【点睛】方法点睛： 导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 7．（2024·四川凉山·三模）已知函数的零点为，则 ． 【答案】 【分析】先零点代入函数解析式得，构造函数，利用导数研究其单调性得，再根据的单调性计算即可. 【详解】为函数零点， ． 令， 显然时，，时，， 在上单调递减，在上单调递增， ， 令，， 显然时，，即在上单调递增， 则，所以. 故答案为： 【点睛】思路点睛：先将零点代入函数解析式通过同型构造得，之后判定函数的单调性得出，再根据的单调性计算即可. 8．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数，，若，且，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据的单调性及特值，求得，再由，找到和满足的等量关系，再以此化简得到，构造函数，借用导数求最值即可. 【详解】，时，，单调递增， 又，，所以， 又，所以， 由，有，即， 又，，在上单调递增，所以， 即，所以， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，即，， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于找到和满足的等量关系，进而在化简时减少参数的个数，才容易构造出新的函数. 【题型四 构造函数证明不等式】 一、解答题 1．（24-25高二上·江苏盐城·期末）凸函数是数学中一个值得研究的分支，它包括数学中大多数重要的函数，如，等.记为的导数.现有如下定理： 在区间上为凸函数的充要条件为. (1)证明：函数为上的凸函数; (2)已知函数. ① 若为上的凸函数，求的最小值; ② 在① 的条件下，当取最小值时，证明：在上恒成立. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）先求，再得即可证明； （2）①根据凸函数的定义，转化为在区间上恒成立，进而可得； ②设，根据导函数可得，设，令，换元后，根据导函数可得，进而可得. 【详解】（1），则，， ，， 故在区间上恒成立，即为上的凸函数. （2）①， ，， 由题知在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，则在区间上恒成立，                      令，对称轴为，所以当时，取到最大值，最大值为， 所以，得到，所以的最小值为，                   ②由①知， 令， 则， 令， 则在区间恒成立，          所以在区间上单调递增，得到， 即在区间恒成立， 即在区间上单调递增，所以， 令，令，得到， 则在区间上恒成立， 在区间上单调递减，， 所以，在上恒成立． 【点睛】关键点点睛：第二问由可以观察不等号前后有明显差异，可考虑即可. 2．（2024·河北·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先明确函数定义域和求导，根据导数结构特征对进行和的分类讨论导数正负即可得单调性. （2）证，故问题转化成证，接着构造函数研究其单调性和最值即可得证. 【详解】（1）由题函数定义域为，， 故当时，恒成立，所以函数在上单调递减； 当时，在上单调递减，令， 则时，；时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 故在上恒成立， 故证证， 即， 令，则， 故当时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上恒成立，故， 所以当时，. 【点睛】思路点睛：证明含参函数不等式问题通常转化成研究函数最值问题，第（2）问证当时，可将问题转化成证，接着根据其结构特征进行变形转化和构造函数，利用导数确定所构造的函数单调性和最值即可得证. 3．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知函数，． (1)证明：． (2)证明：． (3)若，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）设，求导，分析函数单调性，求函数的最小值，得到最小值大于或等于0即可. （2）利用（1）的结论进行放缩，再利用导数求函数最小值即可. （3）首先由条件同构方程，得到，再利用变量转化，变形，并构造函数，利用导数求函数的最大值. 【详解】（1）设， 则， 由，得；由，得. 所以函数在上递减，在上递增. 所以，所以恒成立. 即恒成立. （2）由（1）得，（当时取“”） 所以. 设， 则， 由；由， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以（当时取“”） 因为，中，“”成立的条件不一致， 所以. （3）由题意可知，， 即， 函数是增函数+增函数，所以单调递增， 所以，即，所以， ， 设，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是根据（1）的结果，对不等式进行放缩，第3问的关键是将方程两边同构成，根据函数的单调性得到等式，这是解题的关键. 一、单选题 1．（2024·吉林长春·一模）已知定义在上的函数是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，由导数确定单调性，将已知不等式转化为关于不等式，然后利用单调性即可求解． 【详解】设，则 ， 因为，，所以，可得在上单调递减， 不等式，即，即，所以， 因为在上单调递减，所以，解得：， 所以不等式的解集为：， 故选：D 2．（2024高二·全国·专题练习）已知函数为上的可导函数，且，均有，则有（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】构造，结合已知得在上单调递增，利用单调性比较函数值大小，即可得答案. 【详解】令，则． 由，均有，即，则在上单调递增， ，可得． 故选：B 3．（24-25高二上·河北邢台·期中）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数的性质计算大小即可. 【详解】因为，所以在上均单调递增， 所以，即， 对于，构造函数， 易知时，，即此时函数单调递增，则， 所以， 因为在上单调递增，所以， 综上. 故选：A 4．（2024高二·全国·专题练习）已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造，利用导数研究单调性，再依次比较各项对应函数值大小即可. 【详解】设，则，则在上单调递增， 对于A，，化简得，错； 对于B，，化简得，错； 对于C，，化简得，对； 对于D，，化简得，错. 故选：C 5．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构建，利用导数判断的单调性，进而可得，再结合对数函数单调性可得. 【详解】记，则， 可知在上单调递增，则，即， 可得； 又因为，则，即； 所以. 故选：B. 6．（2025高二上·全国·专题练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦及指数函数性质有，，构造研究的大小，即可得答案. 【详解】因为，故，而， 设，则，所以在上为增函数． 又，所以，即，所以． 综上，． 故选：D 7．（24-25高二上·湖南郴州·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用单调性可判断的大小，构造函数，利用单调性可判断的大小，进而可得结论. 【详解】令，求导得， 令，所以，所以在上单调递增， 所以，所以，所以单调递增， 所以，所以， 所以，所以，即， 令，求导得， 所以在上单调递减，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以. 故选：B. 8．（23-24高二下·湖南永州·开学考试）若对任意的，且，都有成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C．e D． 【答案】A 【分析】将已知不等式变形为，令，将问题转化为在上单调递增，利用导数可求得单调性，由此可得的最大值. 【详解】由可得， 由,且,所以，即， 令，则在上单调递增， 所以，令，则, 当时，，此时在上单调递增； 当时，，此时在上单调递减； 所以，故. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将恒成立的不等式变形为同一函数不同函数值之间大小关系的比较问题，通过构造函数的方式，将问题转化为函数在区间内单调的问题. 9．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函数，，若，则的最大值是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】先求得的表达式，再构造函数，并利用导数求得其最大值，进而求得的最大值 【详解】设，则有，解之得， ，解之得，则有 令，则 令，则恒成立， 则时，单调递减，又， 则时，，，单调递增， 时，，，单调递减， 则，则的最大值为0. 故的最大值是0. 故选：B 10．（2024·陕西商洛·三模）已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、参变量分离法进行求解即可. 【详解】由题意，不等式即，进而转化为， 令，则， 当时，，所以在上单调递增. 则不等式等价于恒成立. 因为，所以， 所以对任意恒成立，即恒成立. 设，可得， 当单调递增,当单调递减． 所以有最大值，于是，解得． 故选：B 【点睛】方法点睛：将已知条件转化为，通过构造函数，进而利用导数得到，进而计算求得结果. 11．（23-24高二上·陕西商洛·阶段练习）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为，令函数，则，再由的单调性将问题转化为恒成立，构造函数，利用导数求出其最大值即可. 【详解】由题知恒成立，可得(否则时，不等式不成立)， 所以， 则. 令函数，则. 因为， 所以在上为增函数， 所以，即. 令函数，则， 当时，；当时，， 所以在单调递增，在上单调递减. 所以. 故的取值范围是. 故选：C 【点睛】关键点点睛：解题的关键是对已知化简变形，再构造函数，则转化为，再利用函数的单调性转化为，然后构造函数利用导数求函数的最值，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 二、填空题 12．（23-24高二上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数的最小值为1，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】变换得到，换元构造新函数，确定单调区间，计算最值得到有解，变换得到，构造新函数，求导得到单调区间，画出图像，根据图像得到答案. 【详解】，， 设，，，， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 故，故有解，即，，， 即，， 设，， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递增； ，画出函数图像，如图所示： 根据图像知，解得或，即. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求参数的取值范围，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将取值范围问题转化为函数的最值问题，再利用函数图像求解是解题的关键. 13．（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先将等式变形，构造函数，利用函数单调性得到，对变形后使用基本不等式求解最小值. 【详解】变形为， 则，即， 令，则恒成立， 则，单调递增， 又，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为2. 故选：A 三、解答题 14．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知. (1)若，求f（x）在的最大值； (2)若，证明：在上单调递增. 【答案】(1)1. (2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，由此令，根据其导数判断的单调性，进而判断其值的正负，可得的单调性，进而求得最值; （2）由于要证明在是恒成立，故根据其结构特征，先证明成立，再证明成立，利用这两个结论即可证明，从而证明结论. 【详解】（1）若 ，则，故， 令，则在上恒成立， 故在 上递增， 又 ，，故存在，使得， 则时，，时，， 故在递减，在递增，故， 又 ， ， 故在的最大值为. （2）先证明成立，再证明成立． 令，则 ， 当时， ，当时， ， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以 ，即恒成立． 令，则，仅在时取等号， 所以在上单调递增， 所以 ，即成立， 所以， 由于，当时，， 而，则 ，故 ， 所以在上单调递增． 【点睛】关键点点睛：利用导数证明在上单调递增，即要证明其导数在上大于或等于0恒成立，求出导数后，关键在于根据其结构特征，构造函数证明成立，再证明成立，从而利用这两个结论，证明成立. 15．（23-24高二上·山东·阶段练习）已知函数的最小值为1． (1)求a； (2)若数列满足，且，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，并讨论和两种情况讨论函数的单调性，并求函数的最小值，即可求实数的取值； （2）由（1）的结果可知，，，并设，，利用导数判断函数的单调性，根据，即可证明. 【详解】（1），． ①若，恒成立， 可得在上单调递增，没有最小值，不符合题意； ②若，令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以． （2）证明：由（1）可得，在上单调递减，在上单调递增， 则有， 因为，所以，． 令，， ， 所以在区间上单调递减，且， 所以，而， 所以， 所以，即， 即，所以． 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的最值以及不等式的综合应用问题，第二问是本题的难点，关键是构造函数，，并结合，即可求解. 16．（2024·四川绵阳·三模）设. (1)当，求在点处的切线方程； (2)当时，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先求导后代入点的横坐标求出切线斜率，再把点的横坐标代入求出纵坐标，最后由点斜式写出直线方程即可； （2）用导数求出，把问题转化为设，即证：在上恒成立，求导后构造函数，再求导后得到在恒成立，从而得到在上单调递增，即可证明. 【详解】（1）当时，， ， ， 又， 所以在点处的切线方程为， 即. （2）因为， 由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要证，即证， 只需证， 设，即证：在上恒成立， 则， 令， 所以， 令， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则， 所以在恒成立，则在上单调递增， 所以，原不等式得证. 【点睛】方法点睛： （1）第一问用导数求出切线斜率，再用点斜式写出直线方程即可； （2）第二问证明函数不等式恒成立，求导判断函数的最小值，最小值大于不等式右边即可，当一次求导无法判断时，通常二次求导. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$