专题07 正、余弦定理解三角形（4大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第二册）

专题07 正、余弦定理解三角形 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 题型一、正、余弦定理的应用 3 题型二、解三角形面积问题 8 题型三、判断三角形的形状 12 题型四、解三角形的实际应用 15 压轴能力测评（22题） 21 一、正、余弦定理和面积公式 1、正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； . 常见变形 (1)，，； (2)，，； ； ； . 2、面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） 注：(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c． (2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C． (3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C． (4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理＝可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由＝可求出c，而通过＝求角B时，可能有一解或两解或无解的情况． 二、公式的相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① ②； ③在中，内角成等差数列. 三、解三角形的实际应用 （1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)． （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． （3）方向角：相对于某一正方向的水平角． (1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)． (2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似． （4）坡角与坡度 (1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)． (2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比． 【常用结论】 1.解三角形多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 2.（1）在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边” （2）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （3）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到. 【题型一 正、余弦定理的应用】 一、单选题 1．（24-25高一上·重庆·阶段练习）设的内角所对的边分别为，已知，，，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形的内角和为，可求得，再利用正弦定理求解即可. 【详解】解：因为，， 所以， 又因为，， 所以. 故选：A. 2．（24-25高一上·山西晋城·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则角的大小为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理求出，再由正弦定理计算可得. 【详解】由余弦定理可得， 所以. 由正弦定理可得，则，又，故. 故选：B. 3．（23-24高一下·四川成都·期末）在中，分别为角所对的边，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理，将角化边，再用余弦定理的推论得到，再次用余弦定理的推论求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 化简得， 将代入可得， 所以， 所以. 故选：C. 4．（23-24高一下·湖南益阳·阶段练习）在中，若，则（    ） A．25 B．5 C．4 D． 【答案】B 【分析】结合完全和平方公式，利用余弦定理即可求解. 【详解】因为在中，， 所以由余弦定理可得： ，所以. 故选：B 5．（23-24高一下·云南玉溪·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的外接圆半径为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】设的外接圆半径为，由正弦定理得到，求出答案. 【详解】设的外接圆半径为，由正弦定理， 又，所以， 故，解得. 故选：C. 6．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）在中，内角的对边分别是.若， ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意利用正弦定理可得，，结合余弦定理运算求解即可. 【详解】因为，由正弦定理可得， 又因为，即，可得， 由余弦定理可得， 且，所以. 故选：A. 7．（24-25高一上·河南·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，，，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则有两解 D．若，则有两解 【答案】D 【分析】根据正弦定理建立方程，利用每个选项中的条件，可得答案. 【详解】由正弦定理，得， 当时，，故A正确； 当时，，故B正确； 当时，，故B有两解，故C正确； 当时，，得，仅有一解，故D错误. 故选：D. 8．（23-24高一下·重庆·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正、余弦定理边角转化可得，再利用正弦定理解得，根据大边对大角结合同角三角关系分析求解. 【详解】因为，则， 由正弦定理可得，整理可得， 则，且，所以. 由正弦定理可得， 且，则，所以. 故选：A. 9．（24-25高一上·河北保定·开学考试）在中，角的对边分别为，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】利用余弦定理结合整体代入思想求解即可. 【详解】因为，所以，而， 在中，，所以，故， 由余弦定理得，代入得， ，故， 故，故B正确. 故选：B 10．（2025高一·全国·专题练习）在中内角所对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，再利用正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得：， 即：，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 【题型二 解三角形面积问题】 一、单选题 1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知的面积为，则（    ） A．13 B．14 C．17 D．15 【答案】C 【分析】先根据三角形的面积公式求出，再利用余弦定理即可得解. 【详解】因为的面积为， 所以的面积，所以， 由余弦定理得，所以. 故选：C. 2．（23-24高一下·广西百色·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由给定条件，利用正弦定理边化角求出，再利用余弦定理求出即可求出三角形面积. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 而，则，由及余弦定理得，， 因此，，则， 所以的面积为. 故选：B 3．（23-24高一下·陕西宝鸡·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，且面积为，则的外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用面积公式，求出边，由余弦定理得出a，再利用正弦定理求解即可. 【详解】由题意，， ， 的外接圆的半径为. 故选：B 4．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知在中，角的对边分别为，若，且，则的面积是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由结合题意先求出，再由余弦定理求出的值即可由面积公式得解. 【详解】因为， 所以由得， 所以，因为，又，则B为锐角，所以， 所以，即， 化简为或， 所以或， 故选：D. 5．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角的对边分别为，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理及二倍角公式可得，再由余弦定理可得，得，利用平方关系可计算的值，再由三角形面积公式即可求解. 【详解】因为，， 所以 即， ，解得， ， ， ， . 故选：. 6．（23-24高一下·天津·阶段练习）的面积为S.若，，则角B等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理边角互化以及两角和正弦可求得的度数，再根据面积公式以及余弦定理可求得，即可求得角B 【详解】根据题意知，有正弦定理边角互化可知， ， 化简可得，在中，所以，则， 所以得， 由， 可得，，所以， 所以. 故选：C 7．（24-25高一上·全国·期中）在中，角的对边分别为，其面积，则边长c为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】先由题中条件，结合三角形面积公式，求出和；再由求出角，进而可求出结果. 【详解】因为，又， 所以，即，因为为三角形内角，所以，又，所以； 由得，即，所以，即， 所以，因此，故，即 因为，所以. 故选：D 8．（23-24高一下·江苏扬州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D为的中点，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由结合余弦定理求出，再由余弦定理得，进而由两边平方得，再由三角形面积公式即可得解. 【详解】因为， 所以由余弦定理得， 整理得，故， 又，所以， 所以由得即，    又由题， 所以 ， 即，故， 所以的面积为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：解决中线问题通常用向量法，先由向量得，接着两边平方，再结合余弦定理去求解. 【题型三 判断三角形的形状】 一、单选题 1．（23-24高一下·河南漯河·期末）三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【分析】根据余弦定理进行转化，判断三角形的形状. 【详解】由余弦定理，， 因为，所以. 故选：A 2．（23-24高一下·河北邢台·期中）在中，角的对边分别是，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定的 【答案】C 【分析】利用同角三角函数的平方关系将转化为，利用正弦定理角化边，结合余弦定理可判断角，即可得答案. 【详解】因为，所以， 即，由正弦定理角化边得， 即，故． 因为，所以是钝角，即是钝角三角形． 故选：C 3．（23-24高一下·江苏苏州·期末）在中，已知，则的形状一定为（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】利用二倍角公式及正弦定理将角化边，即可判断. 【详解】因为， 所以， 所以，由正弦定理可得， 所以为直角三角形. 故选：C 4．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）在中，，，的对边分别为，，，若，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理将边化角，再由二倍角公式及三角函数的性质判断即可. 【详解】因为， 由正弦定理可得，所以， 又，则， 所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形. 故选：B 5．（2024·河北秦皇岛·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A．为直角三角形 B．为锐角三角形 C．为钝角三角形 D．的形状无法确定 【答案】A 【分析】由正弦定理得，利用正余弦的二倍角公式、两角和与差的正弦展开式化简可得，解方程可得答案. 【详解】由，可得， 则， ， ， 即， 由，故只能为锐角，可得， 因为，所以，. 故选：A. 6．（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】先利用二倍角公式化简，然后利用正余弦定理统一成边的形式，化简变形可得答案. 【详解】因为，所以， 所以， 所以由正弦定理得， 因为，所以， 所以由余弦定理得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形. 故选：D 7．（24-25高一上·上海·课堂例题）在中，若，，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】先由结合数量积的定义化简可得，再利用正弦定理结合三角函数恒等变换公式化简可得，同理由可得，从而可得，进而可得为等边三角形. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 即， 所以由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 同理由可得， 所以， 所以为等边三角形. 故选：D 【题型四 解三角形的实际应用】 一、单选题 1．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理结合物理学知识求解即可. 【详解】如图，由余弦定理，得 ， 于是， 解得或， 所以，台风从O到B用时小时，台风从O到C用时小时. 故，A点受到台风影响的时间是早上8:00后的5小时至10小时之间，即13:00-18:00. 故选：B. 2．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）如图，从无人机上测得正前方的峡谷的两岸的俯角分别为，若无人机的高度是，则此时峡谷的宽度是（    ） A．60 B． C．30 D． 【答案】A 【分析】利用锐角三角函数，得到，，进而利用，即可得到答案. 【详解】由已知得，得到，，所以. 故选：A 3．（23-24高一下·四川眉山·阶段练习）某景区准备在两座山峰的山顶之间建设索道，要预先测量这两个山顶之间的距离.设两座山峰的山顶分别为，它们对应的山脚位置分别为，在山脚附近的一块平地上找到一点，（所在的平面与山体垂直），使得是以为斜边的等腰直角三角形，现从处测得到两点的仰角分和，若到的距离为1千米，则两个峰顶的直线距离为（    ）    A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【分析】先求得，然后利用梯形的知识求得. 【详解】依题意可知，， ，由于是直角梯形， 所以千米. 故选：A 4．（23-24高一下·天津南开·阶段练习）如图，测量河对岸的塔高时可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，由正弦定理，求得，再在中，即求. 【详解】在中，， 则， 由正弦定理得， 解得(m）， 又在点测得塔顶的仰角为，即， 在中，(m). 故选：D. 5．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则该铁塔的高度约为（    ）（参考数据：，，，）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】在中，由两角和的正弦得到，由同角三角函数关系得到，由正弦定理得到，在中，，代入数值即可得到答案. 【详解】在中，， 则， ， 由正弦定理，可得， 在中，可得. 所以该铁塔的高度约为米． 故选：C. 6．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东、B点北偏西的D点有一艘船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点最快所需时间为（    ） A．0.2小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．1小时 【答案】A 【分析】在中，先由正弦定理，求出；在中，根据余弦定理，求出的长，即可求出结果. 【详解】由题意，在中，，，， 所以， 由正弦定理可得，， 则； 又在中，，， 由余弦定理可得， ，所以， 因此救援船到达点需要的时间为小时. 故选：A. 7．（23-24高一下·浙江温州·期中）如图，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为.若，山坡与地平面的夹角为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，在中，由正弦定理求出，在中，由正弦定理，再由，即可求解. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理得， 又， 解得， 在中，由正弦定理得， 解得， 即， 所以. 故选：. 8．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【答案】D 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【详解】如图，    由题意，在中，，，， 由正弦定理得， 所以， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得， 所以， 因为，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向. 故选：D. 一、单选题 1．（23-24高一下·广东佛山·期中）已知中，角，，所对的边分别为，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二倍角正弦公式结合正弦定理即可直接得到答案. 【详解】因为，即， 由正弦定理可得， 可得， 因为，则，， 所以，解得， 故选：B． 2．（23-24高一下·福建泉州·期中）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用二倍角公式求，再运用余弦定理求即可. 【详解】因为， 所以， 由余弦定理可得， 因为， 所以， 所以. 故选：B. 3．（23-24高一下·广西柳州·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，若，则一定是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】利用余弦定理得到，即可得到，从而得解. 【详解】因为，又由余弦定理得， 所以，即，即， 所以， 所以为等腰三角形. 故选：C 4．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（    ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由正弦定理和正弦和角公式化简得到，求出，得到答案. 【详解】由正弦定理得， 其中， 所以， 因为，所以， 故， 因为，所以， 故为直角三角形. 故选：C 5．（23-24高一下·江苏南京·期末）在中，，，分别为角，，的对边.若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形面积求，再根据余弦定理求，再根据正弦定理，即可求解. 【详解】，所以， 根据余弦定理, 即，， 所以. 故选：D 6．（23-24高一下·浙江·期中）某人的正北方有一座高塔，此时测得塔顶的仰角为．随后此人沿北偏东的方向前进20米，再测得塔顶的仰角为．那么，此人在行进过程中距离塔顶的最近距离为（    ）（人的身高忽略不计） A． B． C．20 D． 【答案】D 【分析】作出示意图，设塔的高为，由题意得，利用余弦定理可求得，进而可求到的距离. 【详解】设塔的高为，由题意得， 则， 在中，由余弦定理可得， 所以，解得或（舍去）， 所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以到的距离为. 故选：D. 7．（23-24高一下·湖北·阶段练习）在中，内角所对的边分别为是的外心，，则的面积为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】先化简得，再由，得到，再由余弦定理得，从而得面积. 【详解】因为，故由得， 由正弦定理得，又，故， 因为，所以，故，所以. 因为， 所以.在中余弦定理得，， 所以.所以的面积为. 故选：D. 8．（23-24高一下·山东烟台·期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】利用正弦定理变化角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及两角和的正弦公式，结合三角形内角的范围和三角方程即可求解. 【详解】由及正弦定理，得 , 所以, 所以, 即， 即，解得或, 当时，又，,所以或（舍），所以为等腰三角形; 当时，又，所以，所以为直角三角形; 综上所述，为等腰或直角三角形. 故选：D. 9．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在海面上有两个观测点，点B在D的正北方向，距离为2km，在某天观察到某航船在C处，此时测得，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，，，则该船行驶的距离（    ） A．km B．km C．km D．km 【答案】A 【分析】在中可得，在中由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得. 【详解】, ， 在中，，，则， 又因为，所以km. 在中，，，则. 由正弦定理，得AB=km， 在中，，由余弦定理得 ， 即km， 故选：A. 10．（23-24高一下·四川成都·期末）斯特瓦尔特定理是由世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论．根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论：设中，内角、、的对边分别为，点在边上，且，则．已知中，内角、、的对边分别为，，，点在上，且的面积与的面积之比为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理可求得角的值，由余弦定理可得出的值，由已知可得出，再利用斯特瓦尔特定理可求得的长. 【详解】由及正弦定理可得， 因为，则，所以，则， 因为，故，因为， 由余弦定理可得， 因为的面积与的面积之比为，所以， 则，故， 由斯特瓦尔特定理可得， 因此. 故选：A. 11．（24-25高一上·广东潮州·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论错误的是（    ） A．当时，是直角三角形 B．当时，是锐角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是钝角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理化简已知可得，利用余弦定理，勾股定理，三角形两边之和大于第三边等知识逐一分析各个选项即可得解． 【详解】对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 显然是直角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 显然是等腰三角形，， 说明为锐角，故是锐角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 可得，说明为钝角，故是钝角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 此时，不等构成三角形，故命题错误. 故选：D. 12．（23-24高一下·江苏无锡·期中）在中，角的对边分别为a，b，c．已知，，则角A的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用余弦定理化简已知条件可得，再利用正弦定理化边为角，可得，进而化简，得，由三角形内角和可解角. 【详解】由余弦定理得，即， ∵，∴，∴， 由正弦定理得， ∴， 即， ∴， ∵，∴，∴，∴， 又， 即，由得， ∵，，所以，即， 由，即， 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：分别化简两个条件得和，由三角形内角和可解角. 二、多选题 13．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.若三角形有两解，则边c的取值可以是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】BC 【分析】由余弦定理以及方程有两个正根，，从而列出关于的不等式即可求解. 【详解】由余弦定理得，即. 因为三角形有两解， 所以方程有两个正根，， 由，，得， 故选：BC. 14．（24-25高一上·全国·期中）在中，角所对的边分别为，给出下列命题，其中正确的命题为（    ） A．若，则 B．若，则满足条件的有两个 C．若，则是钝角三角形 D．存在，使得成立 【答案】ABC 【分析】根据大角对大边，结合正弦定理即可判断A；根据正弦定理即可判断B；根据三角形内角和定理结合两角和的正切公式即可判断CD. 【详解】对于A，若，则， 由正弦定理可得，故A正确； 对于B，若，则， 因此满足条件的有两个，故B正确； 对于C，若，则， 所以，，所以， 所以是钝角三角形，故C正确； D. 由于当时，， 所以，故D不正确. 故选：ABC. 15．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则为直角三角形 C．若为锐角三角形，则角B的取值范围是 D．若为锐角三角形，则的最小值为1 【答案】AB 【分析】对于A,由题意可得，从而可求出、及的值，再根据余弦函数的性质即可判断；对于B，将代入，得，，再结合，求解后即可判断；对于C，根据题意，列出不等式组求解即可判断；对于D，结合C可得，从而得，再结合对勾函数的性质求解即可. 【详解】解：对于A，因为， 所以， 所以，， 所以 ，， 又因为，所以，故A正确； 对于B，因为， 所以当时，则有，， 又因为，， 所以， 所以为直角三角形，故B正确； 对于C，当为锐角三角形时， 则有，解得，故C错误； 对于D，当为锐角三角形时，由C可知， 所以， 所以， 令， 因为在上单调递减， 所以， 即，故D错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用余弦定理求解出、，再利用三角恒等变换求出. 三、填空题 16．（24-25高一上·上海·阶段练习）中，，则 . 【答案】 【分析】利用正弦定理角化边，再结合勾股定理即可求得答案. 【详解】因为，所以， 设,则, 又，所以该三角形为直角三角形， 所以， 所以， 故答案为：. 17．（23-24高一下·浙江·期中）在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据正弦定理和图形关系得到，然后解不等式即可. 【详解】在中，，，若有两解，必须满足的条件为：，即， 故答案为： 18．（23-24高一下·天津南开·阶段练习）在中，角的对边分别为，且的面积为，，则 ． 【答案】 【分析】利用三角形的面积公式求出的值，再利用余弦定理可求得的值. 【详解】因为，且的面积为， 则，可得， 由余弦定理可得 ， 因此，. 故答案为: . 19．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，若，且，则的周长为 . 【答案】 【分析】由正弦定理及余弦定理求出，求解即可． 【详解】由正弦定理可得，故， 所以，由余弦定理可得， 所以，可得，则， 则周长为： 故答案为：． 20．（24-25高一上·河北保定·期末）内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为 . 【答案】/ 【分析】根据正弦定理进行边换角并结合三角恒等变换得，再利用余弦定理和三角形面积公式即可得到答案. 【详解】由，结合正弦定理得， ， 因为，所以, 利用余弦定理，解得， 所以. 故答案为：. 21．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知海岛在海岛的北偏东的方向上，且两岛的直线距离为. 一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛出发，同时海警船以的速度从海岛进行追赶，经过小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东 . 【答案】 【分析】设海警船的航行方向是北偏东，根据条件，利用正弦定理得到，即可求解. 【详解】设海警船的航行方向是北偏东， 由题知，，， 在中，由正弦定理得到，得到， 又，所以，得到， 故答案为：. 22．（23-24高一下·河北沧州·期中）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．已知飞机在点时，测得，在点时，测得，，千米，则 千米． 【答案】 【分析】由题意判断是等边三角形，为等腰三角形，取的中点，解直角三角形即可. 【详解】由题意可得是等边三角形，千米.记直线与直线的交点为， ，所以，为的中点， 所以为等腰三角形，由， 所以千米. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 正、余弦定理解三角形 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 题型一、正、余弦定理的应用 3 题型二、解三角形面积问题 4 题型三、判断三角形的形状 5 题型四、解三角形的实际应用 6 压轴能力测评（22题） 9 一、正、余弦定理和面积公式 1、正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； . 常见变形 (1)，，； (2)，，； ； ； . 2、面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） 注：(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c． (2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C． (3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C． (4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理＝可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由＝可求出c，而通过＝求角B时，可能有一解或两解或无解的情况． 二、公式的相关应用 （1）正弦定理的应用 ①边化角，角化边 ②大边对大角 大角对大边 ③合分比： （2）内角和定理： ① ②； ③在中，内角成等差数列. 三、解三角形的实际应用 （1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)． （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． （3）方向角：相对于某一正方向的水平角． (1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)． (2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似． （4）坡角与坡度 (1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)． (2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比． 【常用结论】 1.解三角形多解情况 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 2.（1）在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边” （2）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （3）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到. 【题型一 正、余弦定理的应用】 一、单选题 1．（24-25高一上·重庆·阶段练习）设的内角所对的边分别为，已知，，，则（   ） A． B．2 C． D． 2．（24-25高一上·山西晋城·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则角的大小为（   ） A． B． C．或 D． 3．（23-24高一下·四川成都·期末）在中，分别为角所对的边，且，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·湖南益阳·阶段练习）在中，若，则（    ） A．25 B．5 C．4 D． 5．（23-24高一下·云南玉溪·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的外接圆半径为（    ） A． B．1 C． D． 6．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）在中，内角的对边分别是.若， ，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·河南·阶段练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，，，则下列说法错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则有两解 D．若，则有两解 8．（23-24高一下·重庆·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 9．（24-25高一上·河北保定·开学考试）在中，角的对边分别为，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 10．（2025高一·全国·专题练习）在中内角所对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型二 解三角形面积问题】 一、单选题 1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知的面积为，则（    ） A．13 B．14 C．17 D．15 2．（23-24高一下·广西百色·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·陕西宝鸡·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，且面积为，则的外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知在中，角的对边分别为，若，且，则的面积是（     ） A． B． C．或 D．或 5．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角的对边分别为，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·天津·阶段练习）的面积为S.若，，则角B等于（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·全国·期中）在中，角的对边分别为，其面积，则边长c为（    ） A．1 B． C． D．2 8．（23-24高一下·江苏扬州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D为的中点，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【题型三 判断三角形的形状】 一、单选题 1．（23-24高一下·河南漯河·期末）三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 2．（23-24高一下·河北邢台·期中）在中，角的对边分别是，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定的 3．（23-24高一下·江苏苏州·期末）在中，已知，则的形状一定为（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 4．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）在中，，，的对边分别为，，，若，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 5．（2024·河北秦皇岛·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（    ） A．为直角三角形 B．为锐角三角形 C．为钝角三角形 D．的形状无法确定 6．（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 7．（24-25高一上·上海·课堂例题）在中，若，，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【题型四 解三角形的实际应用】 一、单选题 1．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）如图，从无人机上测得正前方的峡谷的两岸的俯角分别为，若无人机的高度是，则此时峡谷的宽度是（    ） A．60 B． C．30 D． 3．（23-24高一下·四川眉山·阶段练习）某景区准备在两座山峰的山顶之间建设索道，要预先测量这两个山顶之间的距离.设两座山峰的山顶分别为，它们对应的山脚位置分别为，在山脚附近的一块平地上找到一点，（所在的平面与山体垂直），使得是以为斜边的等腰直角三角形，现从处测得到两点的仰角分和，若到的距离为1千米，则两个峰顶的直线距离为（    ）    A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 4．（23-24高一下·天津南开·阶段练习）如图，测量河对岸的塔高时可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高等于（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则该铁塔的高度约为（    ）（参考数据：，，，）    A．米 B．米 C．米 D．米 6．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东、B点北偏西的D点有一艘船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点最快所需时间为（    ） A．0.2小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．1小时 7．（23-24高一下·浙江温州·期中）如图，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为.若，山坡与地平面的夹角为，则等于（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 一、单选题 1．（23-24高一下·广东佛山·期中）已知中，角，，所对的边分别为，，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·福建泉州·期中）在中，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广西柳州·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，若，则一定是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 4．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（    ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 5．（23-24高一下·江苏南京·期末）在中，，，分别为角，，的对边.若，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·浙江·期中）某人的正北方有一座高塔，此时测得塔顶的仰角为．随后此人沿北偏东的方向前进20米，再测得塔顶的仰角为．那么，此人在行进过程中距离塔顶的最近距离为（    ）（人的身高忽略不计） A． B． C．20 D． 7．（23-24高一下·湖北·阶段练习）在中，内角所对的边分别为是的外心，，则的面积为（    ） A． B．6 C． D． 8．（23-24高一下·山东烟台·期中）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 9．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在海面上有两个观测点，点B在D的正北方向，距离为2km，在某天观察到某航船在C处，此时测得，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，，，则该船行驶的距离（    ） A．km B．km C．km D．km 10．（23-24高一下·四川成都·期末）斯特瓦尔特定理是由世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论．根据斯特瓦尔特定理可得出如下结论：设中，内角、、的对边分别为，点在边上，且，则．已知中，内角、、的对边分别为，，，点在上，且的面积与的面积之比为，则的值是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·广东潮州·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论错误的是（    ） A．当时，是直角三角形 B．当时，是锐角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是钝角三角形 12．（23-24高一下·江苏无锡·期中）在中，角的对边分别为a，b，c．已知，，则角A的大小为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.若三角形有两解，则边c的取值可以是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 14．（24-25高一上·全国·期中）在中，角所对的边分别为，给出下列命题，其中正确的命题为（    ） A．若，则 B．若，则满足条件的有两个 C．若，则是钝角三角形 D．存在，使得成立 15．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则下列结论正确的有（    ） A． B．若，则为直角三角形 C．若为锐角三角形，则角B的取值范围是 D．若为锐角三角形，则的最小值为1 三、填空题 16．（24-25高一上·上海·阶段练习）中，，则 . 17．（23-24高一下·浙江·期中）在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为 . 18．（23-24高一下·天津南开·阶段练习）在中，角的对边分别为，且的面积为，，则 ． 19．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，若，且，则的周长为 . 20．（24-25高一上·河北保定·期末）内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为 . 21．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知海岛在海岛的北偏东的方向上，且两岛的直线距离为. 一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛出发，同时海警船以的速度从海岛进行追赶，经过小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东 . 22．（23-24高一下·河北沧州·期中）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．已知飞机在点时，测得，在点时，测得，，千米，则 千米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$