专题06 平面向量中的最值（范围）问题（3大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第二册）

专题06 平面向量中的最值（范围）问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 题型一、数量积的最值（范围）问题 1 题型二、模的最值（范围）问题 3 题型三、夹角的最值（范围）问题 4 压轴能力测评（16题） 5 一、平面向量中的最值（范围）问题 平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解题思路通常有两种： 一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断； 二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决． 【题型一 数量积的最值（范围）问题】 一、单选题 1．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）如图，已知等腰中，，点是边上的动点，则的值（    ）    A．为定值 B．不为定值，有最大值 C．为定值 D．不为定值，有最小值 2．（24-25高一上·河北保定·期末）已知平面向量，满足，，则的最大值为（    ） A．8 B． C．10 D． 3．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知是圆的直径，是圆上两点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24高一下·上海·期末）北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（如图②），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图①）.已知这个正六边形的边长为1，且P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是 . 三、解答题 5．（23-24高一下·山东烟台·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，，． (1)若点A，B，P不能构成三角形，求； (2)当取得最小值时，求的面积． 6．（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）如图，是单位圆上的相异两定点（Q为圆心），且（为锐角）．点C为单位圆上的动点，线段交线段于点M． (1)求（结果用表示）； (2)若． ①求的取值范围： ②设，记，求函数的值域． 【题型二 模的最值（范围）问题】 一、单选题 1．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 2．（2024高一·全国·专题练习）已知为坐标原点，为单位向量，且，．若，存在最小值，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·浙江温州·期中）已知，，且，则的最大值为（    ） A．5.5 B．5 C．6.5 D．6 4．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知单位向量满足，若非零向量，其中，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·河北石家庄·期中）已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·全国·模拟预测）已知为单位向量，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 二、填空题 7．（23-24高一下·广西崇左·期末）已知是的重心，的面积是，则的最小值是 . 8．（23-24高一下·河南三门峡·期末）已知在上的投影向量为，则的取值范围为 ． 三、解答题 9．（23-24高一下·吉林白山·阶段练习）已知向量满足． (1)求； (2)求的最大值． 【题型三 夹角的最值（范围）问题】 一、单选题 1．（23-24高一下·重庆·期中）已知平行四边形，，分别为，中点，设在方向上投影向量为，在方向上投影向量为，已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（23-24高一下·湖北黄冈·期中）已知平面向量，满足，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．向量，的夹角的最大值为 3．（23-24高一下·浙江·期中）已知，为非零向量，且满足，，则（    ） A．，夹角的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 三、填空题 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是 . 5．（23-24高一下·甘肃白银·期末）已知，，设，的夹角为，则的最小值为 . 四、解答题 6．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）设两个向量满足. (1)若，求与的夹角； (2)若的夹角为（1）中的，向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 一、单选题 1．（23-24高一下·湖北宜昌·期中）已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·辽宁朝阳·期中）已知| ，，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 3．（23-24高一下·辽宁大连·期中）已知非零向量满足，（）的最小值为2，则的夹角为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（23-24高一上·浙江·开学考试）已知向量满足，则向量与夹角的最大值是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高一·全国·专题练习）等边的外接圆的半径为，点是该圆上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）已知向量，满足，，则（    ） A．的最大值是3 B．的最小值是0 C．的最大值是 D．的最小值是4 7．（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知，是两个不共线的向量，且，，则下列结论中正确的是（    ） A．的取值范围是 B． C．在方向上的投影向量可能为 D．与的夹角最大值为 三、填空题 8．（23-24高一下·上海·期末）设是单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 . 9．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）向量，若存在实数，使得，则的取值范围是 10．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知平面向量，，满足：，，，则 ，且的取值范围为 . 11．（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）对任意两个非零向量，定义.若非零向量，满足，向量与的夹角是锐角，且是整数，则的取值范围是 . 12．（23-24高一下·福建莆田·期中）设平面向量，其中为单位向量，且满足，则的最大值为 ． 四、解答题 13．（23-24高一下·陕西安康·期中）已知，. (1)求在上的投影向量的坐标. (2)若，，求证：、、三点共线. (3)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 14．（23-24高一下·福建宁德·期中）如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为 (1)若在该坐标系下，，计算的大小 (2)若在该坐标系下，已知，，求的最大值． 15．（23-24高一下·福建福州·期中）如图，在中，，. (1)若，、分别为、的中点，设、交于点，求的余弦值； (2)若点满足，，为中点，点在线段上移动（包括端点），求的最小值. 16．（23-24高一下·山东聊城·阶段练习）如图，在中，. (1)证明:为等边三角形. (2)试问当为何值时，取得最小值?并求出最小值. (3)求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 平面向量中的最值（范围）问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 题型一、数量积的最值（范围）问题 1 题型二、模的最值（范围）问题 6 题型三、夹角的最值（范围）问题 12 压轴能力测评（16题） 16 一、平面向量中的最值（范围）问题 平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解题思路通常有两种： 一是“形化”，即利用平面向量的几何意义，先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断； 二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程的有解等问题，然后利用函数、不等式、方程有关知识来解决． 【题型一 数量积的最值（范围）问题】 一、单选题 1．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）如图，已知等腰中，，点是边上的动点，则的值（    ）    A．为定值 B．不为定值，有最大值 C．为定值 D．不为定值，有最小值 【答案】C 【分析】先记的中点为，然后利用是等腰三角形，得到，再利用向量数量积的几何意义求解即可. 【详解】如图，记的中点为，由题可知，， ，，所以. 故选：C.    2．（24-25高一上·河北保定·期末）已知平面向量，满足，，则的最大值为（    ） A．8 B． C．10 D． 【答案】C 【分析】根据向量数量积运算律得，再利用向量不等式即可得到答案. 【详解】因为则，则， 所以，所以， ， 故选：C. 3．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知是圆的直径，是圆上两点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取弦MN的中点C，结合垂径定理与数量积的运算表示出后，借助三角函数值域即可得解. 【详解】设弦MN的中点为，由，得， 由为MN的中点，得，设向量与的夹角为， ，又， 所以的最小值为. 故选：D 二、填空题 4．（23-24高一下·上海·期末）北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（如图②），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图①）.已知这个正六边形的边长为1，且P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由的几何意义表示向量在方向上的投影乘以，在借助图像可知当点在C点处时，有最大值，由此即可求出答案. 【详解】， 几何意义表示向量在方向上的数量投影乘以， 由图可知：当点P在点C处时，有最大值， 此时，， 所以的最大值是. ，所以取值范围为. 故答案为：. 三、解答题 5．（23-24高一下·山东烟台·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，，． (1)若点A，B，P不能构成三角形，求； (2)当取得最小值时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量三点共线的坐标表示计算即可； （2）利用平面向量数量积的坐标表示、二次函数的性质可先确定值，再利用平面向量数量积公式计算夹角结合三角形面积公式计算即可. 【详解】（1）因为点A，，不能构成三角形，所以A，，三点共线，即， ，，则有， 所以，所以； （2）因为，， 所以， 当时，取得最小值1，此时，， 所以， 因为，所以， 则的面积． 所以的面积为． 6．（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）如图，是单位圆上的相异两定点（Q为圆心），且（为锐角）．点C为单位圆上的动点，线段交线段于点M． (1)求（结果用表示）； (2)若． ①求的取值范围： ②设，记，求函数的值域． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用平面向量的线性运算结合二倍角公式化简即可. （2）①结合给定条件，将目标式表示为三角函数，结合有界性求解即可. ②利用给定条件将目标式表示为一元函数，结合换元法和定义法求解值域即可. 【详解】（1）， （2）①， ， 设．由题意得，则， ，， ，所以 ， 因为，则， 所以，则； ②设， 则， 所以，由得， 即， 整理得，所以， 所以． 即，， 令，， ，，令． ； ∵，，， 则，即， ∴在上单调递增，则， 所以函数值域是. 【点睛】关键点点睛：解题关键是利用平面向量的线性运算将目标式表示为一元函数，然后利用换元法结合定义法得到所要求的值域即可． 【题型二 模的最值（范围）问题】 一、单选题 1．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知向量为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据向量共线定理设(t∈R)，得，两边平方根据二次函数知识可得结果. 【详解】因为向量与共线，所以可设(t∈R)， 所以，所以， 因为向量，为单位向量，且， 所以， 所以，所以的最小值为. 故选：A 2．（2024高一·全国·专题练习）已知为坐标原点，为单位向量，且，．若，存在最小值，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，由向量数量积的运算律以及模长公式可得，再由二次函数的图像性质，即可得到结果. 【分析】因为， 所以． 又，， 所以 ． 令． 由，可知为二次函数，其图像开口向上， 要使，存在最小值，只需其图像的对称轴即可，解得． 则正数的取值范围是. 故选：D 3．（23-24高一下·浙江温州·期中）已知，，且，则的最大值为（    ） A．5.5 B．5 C．6.5 D．6 【答案】A 【分析】根据向量模长的计算公式，结合以及已知数据，直接求解即可. 【详解】， 又，当且仅当与同向时取得等号； 故. 故选：A. 4．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知单位向量满足，若非零向量，其中，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件进行化简， 【详解】由两边平方得， 所以，所以， 当时，， 当时，， 当时等号成立. 所以的最大值为. 故选：B 【点睛】本题的主要解题方法是化归与转化的数学思想方法，根据向量的运算，将已知条件进行平方变形，等到等量关系式，由此来化简所要求得表达式，再根据化简后的式子的结构来选择求最值的方法. 5．（23-24高一下·河北石家庄·期中）已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为，若向量满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量数量积的运算和模长公式可得的最小值为3，结合二次函数最值得，即可根据数量积的运算律求解. 【详解】已知， 又任意，的最小值为，则的最小值3， 记，则的最小值为3， 即，即， 又向量与夹角为锐角，则， 即，即，即， 则， 又向量满足，则， 即， 即， 即. 故选：D． 6．（2024·全国·模拟预测）已知为单位向量，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】由，得，可得，由，当等号成立时可得最小值. 【详解】为单位向量，有，得， 由，得， 有，所以， ， ，，有， 则， 当且仅当与方向相反时“”成立， 如取时，可使“”成立. 所以. 故选：B． 【点睛】关键点点睛： 本题关键点是由已知条件得，这样就能得到. 二、填空题 7．（23-24高一下·广西崇左·期末）已知是的重心，的面积是，则的最小值是 . 【答案】 【分析】根据三角形重心得出，结合面积公式计算得解，应用向量关系平方计算应用基本不等式计算即可. 【详解】如图，取的中点，连接. 设的内角的对边分别为. 因为是的重心，所以在线段上，且. 因为的面积是，所以，解得. 因为是的中点，所以，所以，即， 当且仅当时，等号成立，则. 因为是的中点，所以，所以. 故答案为： 8．（23-24高一下·河南三门峡·期末）已知在上的投影向量为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】给已知等式两边平方化简可求出和，然后根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】因为，所以， 即，， 所以，， 所以，， 因为在上的投影向量为，所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查向量数量积的运算律，考查数量积的几何意义，解题的关键是对已知等式两边平方化简后，两式相结合求出的范围，考查计算能力，属于较难题. 三、解答题 9．（23-24高一下·吉林白山·阶段练习）已知向量满足． (1)求； (2)求的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）把给定的两个等式两边分别平方，利用数量积的运算律计算得解. （2）由（1）的结论可得，再利用基本不等式求解即得. 【详解】（1）由，得， 即，两式相减得， 所以． （2）由（1）知，，于是，则，即， 因此，即，当且仅当时取等号， 所以的最大值为． 【题型三 夹角的最值（范围）问题】 一、单选题 1．（23-24高一下·重庆·期中）已知平行四边形，，分别为，中点，设在方向上投影向量为，在方向上投影向量为，已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用表示，然后利用投影向量的公式求出，计算化简得到，最后根据及均值不等式求最值. 【详解】在平行四边形中，，，， 又分别为中点，则， 因为在方向上投影向量为，所以， 因为在方向上投影向量为，所以 所以， 解得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 二、多选题 2．（23-24高一下·湖北黄冈·期中）已知平面向量，满足，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．向量，的夹角的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据平面向量数量积以及模长的运算律计算可得A正确，B错误，C正确；再由向量夹角的计算公式利用基本不等式可求得D正确. 【详解】由可得，即，可得； 对于A，若可得， 因此，因此，可得，即A正确； 对于B，若，则存在唯一实数使得， 联立可得， 即，解得； 因此，可得B错误； 对于C，若，则， 所以，联立解得，即C正确； 对于D，， 当且仅当，即时，等号成立； 又因为，所以向量，的夹角的最大值为，即D正确. 故选：ACD 3．（23-24高一下·浙江·期中）已知，为非零向量，且满足，，则（    ） A．，夹角的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】选项A中，设，的夹角为，由题意求出的取值范围，即可得出夹角的范围；选项B中，由的取值范围，列不等式求出的取值范围；选项C中，由取值范围，求出的取值范围；选项D中，由的取值范围，直接求出的范围． 【详解】设，的夹角为，由，，得， 所以，解得，当且仅当，即时取“”， 所以，所以夹角的取值范围是，A正确； 由，得，等价于， 解得，所以的取值范围是,，选项B正确； 因为，，，所以,， 即的取值范围是,，C错误； ， 由,，得,，所以,，D正确． 故选：ABD． 三、填空题 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据夹角为钝角转化为数量积小于零且不共线即可. 【详解】因为夹角为钝角，所以且不反向共线， 所以即, 或不成立， 所以. 故答案为： 5．（23-24高一下·甘肃白银·期末）已知，，设，的夹角为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，利用向量的模，可得向量的数量积，利用向量的夹角公式可得，从而求得.利用向量夹角公式求得，令，求得的最值，从而求得的最小值. 【详解】设，由可得，化简可得， 根据向量夹角公式，可得， 由，可得，解得. 由，的夹角为可得， ， 分子分母同除以，可得， 令，则，所以， 当，时取得最大值；当或时，取得最小值， 所以的最小值为，的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 6．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）设两个向量满足. (1)若，求与的夹角； (2)若的夹角为（1）中的，向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先根据求出，再利用，即可求出夹角； （2）根据题意可得且与不共线，计算即可. 【详解】（1）， 又， ，又； （2）的夹角为且， ， 向量与的夹角为锐角， 且与不共线， ，即， 解得：或且且， . 一、单选题 1．（23-24高一下·湖北宜昌·期中）已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，结合题意得，结合即得解. 【详解】， 因为，所以， 又，所以． 故选：B． 2．（23-24高一下·辽宁朝阳·期中）已知| ，，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用数量积的运算律，结合已知可得，再利用数量积运算律及定义求解即得. 【详解】由，得，即，则， 因此 ， 而， 所以当时，取得最大值2． 故选：A 3．（23-24高一下·辽宁大连·期中）已知非零向量满足，（）的最小值为2，则的夹角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设，分析可知点在直线上，当且仅当与直线垂直时，取到最小值，即可得结果. 【详解】因为向量都为非零向量，设， 可知与共线，即点在直线上， 又因为， 当且仅当与直线垂直时，取到最小值， 可得，且，所以或. 故选：C 4．（23-24高一上·浙江·开学考试）已知向量满足，则向量与夹角的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意化简得到，得到，结合向量的夹角公式和基本不等式，即可求解. 【详解】由题意知，可得， 又由，可得， 则， 即，即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以向量与夹角的最大值是. 故选：B. 5．（2024高一·全国·专题练习）等边的外接圆的半径为，点是该圆上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，再给出一个点的位置使得，即可得到的最大值是. 【详解】 如图，设的中点为，的中点为，的外接圆圆心为，则. 从而，故，所以，故，所以. 这表明，所以一方面有 . 而另一方面，当点是点的对径点时，有，. 所以此时有. 综合两方面，可知的最大值是. 故选：C. 二、多选题 6．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）已知向量，满足，，则（    ） A．的最大值是3 B．的最小值是0 C．的最大值是 D．的最小值是4 【答案】ACD 【分析】 根据数量积的运算可判断AB，再由数量积的性质及运算可得的最值，判断CD. 【详解】因为， 所以，当且仅当，反向时取得最大值，同向时取得最小值，故A正确； 因为， 所以，当且仅当，反向时取最小值，同向时取最大值，故B错误； 设，由A，B可知，， 所以，所以，故CD正确. 故选：ACD 7．（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知，是两个不共线的向量，且，，则下列结论中正确的是（    ） A．的取值范围是 B． C．在方向上的投影向量可能为 D．与的夹角最大值为 【答案】ACD 【分析】对A，根据判断；对B，根据，从而求出的范围判断；对C，根据投影向量的概念判断；对D，利用向量夹角公式判断. 【详解】对A：由以及不共线可知，， 故A正确； 对B：由于不共线，所以， 又， 因此，故B错误； 对C：当时，在方向上的投影向量为，故C正确； 对D：设与的夹角为，则 ， 由于， 所以，， 因为，所以， 即与的夹角的最大值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 8．（23-24高一下·上海·期末）设是单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用数量积的运算律及性质建立不等式，再求解不等式即可得解. 【详解】单位向量满足，则， 由，得， 则，当且仅当同向时取等号， 因此，解得. 所以的取值范围是. 故答案为： 9．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）向量，若存在实数，使得，则的取值范围是 【答案】 【分析】对给定向量等式两边平方，借助一元二次方程有实根求出的取值范围即得. 【详解】向量，由两边平方，得， 整理得， 依题意，关于的方程有实根，显然，否则， 则，即，解得或， 由，得，因此，， 所以的取值范围是. 故答案为： 10．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知平面向量，，满足：，，，则 ，且的取值范围为 . 【答案】 5 【分析】第一空：直接根据模的计算公式即可求解；第二空，由向量之间的“三角不等式”即可求解. 【详解】第一空：因为，，， 所以， ； 第二空：对于两个向量，有， 进一步有， 所以， 注意到，， 从而，等号成立当且仅当反向， ，等号成立当且仅当同向， 所以的取值范围为. 故答案为：5；. 【点睛】关键点点睛：第一空的关键是在于利用整体思想结合，得到，其中，，由此即可顺利得解. 11．（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）对任意两个非零向量，定义.若非零向量，满足，向量与的夹角是锐角，且是整数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用给定定义结合向量夹角的运算性质求解即可. 【详解】设向量与的夹角为，由题意可知则 因为 所以 因为所以 因为是整数，所以所以 而即所以 因为 所以即 故的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查向量新定义，解题关键是合理利用给定定义，然后求出最后得到所要求的取值范围即可． 12．（23-24高一下·福建莆田·期中）设平面向量，其中为单位向量，且满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用向量的模公式及向量的数量积的性质，再利用向量的夹角公式和向量数量积的运算律可将表示为关于的函数的形式，令，换元后可得，结合的范围即可求解. 【详解】，为单位向量， ，即， 又 所以 设，，则 ， 设，，则 ， 因为，所以，所以， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解题关键是能够利用平面向量数量积的运算律将所求量转化为以为自变量的函数的形式，从而利用函数求最值的方法求得最大值. 四、解答题 13．（23-24高一下·陕西安康·期中）已知，. (1)求在上的投影向量的坐标. (2)若，，求证：、、三点共线. (3)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据给定条件，直接求出在上的投影向量的坐标. （2）利用向量共线证明三点共线. （3）利用向量夹角公式，结合向量共线列式计算即得. 【详解】（1）依题意，在上的投影向量为. （2）依题意，不共线，由，，得， 即向量共线，且与有公共点， 所以、、三点共线. （3）依题意，，， 由与的夹角为钝角，得，且与不共线， 则且，解得，且， 所以实数的取值范围是. 14．（23-24高一下·福建宁德·期中）如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为 (1)若在该坐标系下，，计算的大小 (2)若在该坐标系下，已知，，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将，用，表示，根据向量模的运算求解即可； （2）求出，然后利用换元法将转化为关于的函数，利用二次函数求最值即可. 【详解】（1）依题意，，， 由，，得， 所以， 即； （2）由题意可知， 所以， ， 所以， 令， ， 又因为， 且，所以，所以， 即， 又因为函数在单调递增， 即时，函数取到最大值3， 即，则有， 所以当时，的最大值为. 15．（23-24高一下·福建福州·期中）如图，在中，，. (1)若，、分别为、的中点，设、交于点，求的余弦值； (2)若点满足，，为中点，点在线段上移动（包括端点），求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出相关点坐标，利用向量的夹角公式，即可求得答案； （2）设，结合表示出M点坐标，利用求出t的值，设，表示出的表达式，结一次函数的性质，即可求得答案. 【详解】（1）以为原点，所在直线为轴，过B作的垂线为y轴，建立如图所示直角坐标系， ，，，，，， ，， ，， 由题意知即为，的夹角，设为， . （2）设，， ，，， 设，，， ，，，则，. ， ，， ，即，解得（负值舍去）， ，因为为中点，， 设，，，， ， ， 所以当时，即. 16．（23-24高一下·山东聊城·阶段练习）如图，在中，. (1)证明:为等边三角形. (2)试问当为何值时，取得最小值?并求出最小值. (3)求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3) 【分析】（1）利用向量的数量积公式，求出，得到，进而得证； （2）用基底和分别表示和，从而得到，利用函数求最值即可； （3）设，找到与的等量关系，表示出，再利用函数求取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 因为，所以为等边三角形. （2）， ， 则 ， 当时，取得最小值，最小值为. （3）由题意可得， 在中，， 设， 则， 所以， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查向量的数量积及模长范围问题，关键是用唯一参数表示出要求的式子，并结合函数的单调性求得取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$