精品解析：山东省青岛第二中学2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题

青岛二中 2024－2025 学年第一学期期末考试 高三数学试题 命题人：薛海涛 周贝妮 刘士哲 审核人：孙云涛 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后；用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上的无效. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合，再根据集合交集与并集的定义求解即可. 【详解】因为， ， 所以，，故ACD错误，B正确. 故选：B. 2. 已知复数的共轭复数（其中为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出． 【详解】复数的共轭复数，，则的虚部为-2. 故选：C 【点睛】思路点睛：先计算出，再得出，进而得出的虚部. 3. 椭圆上一点 在运动过程中，总满足关系式 ，那么该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义式判断椭圆的焦点位置，求出的值即可求出离心率. 【详解】由题意，可知椭圆的焦点在轴上，且， 所以椭圆的离心率为. 故选：B. 4. 已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性以及指数函数的性质求解. 【详解】因为时，单调递减， 且函数在上具有单调性， 所以当时，函数在单调递减， 所以，解得， 在考虑函数在处左右的取值， 所以，解得， 综上，实数的取值范围是， 故选:A. 5. 设 ，若 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简所求式子，再将齐次分式转化为表示的式子，即可求解. 详解】 . 故选：D 6. 在数列 中，，则 （ ） A. 5 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，利用累加法结合对数的运算法则求解即可. 【详解】在数列中， 即 所以 故选：A. 7. “立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布 ，且 ，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记 在 的人数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布求得特定区间的概率，在的概率为，则，从而求得期望，方差及概率. 【详解】由，则， 则，故A错误； 在的概率为，则， 则，故C正确； ，故D错误； ，故B错误. 故选：C. 8. 已知一个圆台母线长为3，侧面展开图是一个面积为的半圆形扇环（如图所示），在该圆台内能放入一个可以自由转动的正方体（圆台表面厚度忽略不计），则该正方体体积的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过空间想象将圆台内自由转动的正方体问题，转化为求解圆台内球最大问题.先由侧面展开前后图形关系建立方程求解各相关各量等，再计算比较圆台高与圆锥内切球直径的大小关系确定最大球状态，求解半径，进而求正方体棱长与体积可得. 【详解】要使圆台内能放入自由转动的正方体的体积最大，则该正方体的外接球恰好为该圆台内能放入的最大的球. 设圆台的侧面展开图半圆形扇环的内圆半径为，外圆半径为， 则，化简得，又圆台母线长为， 联立，解得. 设圆台上、下底面圆半径分别为，则， 解得. 如图1，还台为锥，设上、下底面圆心为， 在中，，又为锐角，则. 由相似性可知，圆台的轴截面等腰梯形的底角为， 故圆台的高. 如图2，圆锥轴截面为正三角形， 则正三角形内切圆即圆锥内切球半径长为， 因为正三角形内切圆直径， 故圆锥内切球即圆台内能放入的最大的球，直径为. 设正方体的棱长为，由正方体外接球直径即为体对角线可得， ，解得， 此时正方体的体积最大，最大为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决此题中圆台内最大球问题，注意通过比较圆台高与圆锥内切球直径的大小，从而判断最大球何时取到. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得． 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分． 9. 已知空间四点 ，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 点到直线的距离为 D. ，，， 四点共面 【答案】ABC 【解析】 【分析】计算数量积判断A，求向量夹角判断B，利用向量垂直判断C，根据空间向量共面定理判断D． 【详解】因为，，，， 所以，，， 所以，故A正确； 又，，， 所以，故B正确； 因为，所以，，所以点O到直线的距离为，故C正确； ， 假设若，，，四点共面，则共面， 设，因不共线， 则，此方程组无解，所以，，，四点不共面，故D错误． 故选：ABC． 10. 已知抛物线的焦点为上一点到和到轴的距离分别为12和10，且点位于第一象限，以线段为直径的圆记为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 圆与准线相切 C. 圆的标准方程为 D. 由直线上的点向圆引切线（为切点），则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合条件求，利用直线与圆的位置关系，结合圆的几何性质，判断BC，利用切线长的公式，转化为圆心到直线的距离，即可判断D. 【详解】A.由题意可知，则，故A正确； B.由题意可知，点的横坐标为10，，， 所以以为直径的圆的半径为6，的中点，即圆心横坐标为， 所以圆心到轴的距离为6，所以以为直径的圆与轴相切，不与准线相切，故B错误； C. 点的横坐标为10，代入抛物线方程得，即，（负数舍去）， 即圆的圆心为，所以圆的方程为，故C正确； D.设圆的圆心为，，的最小值为圆心到直线的距离， 即，所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，记的最小值为，则（ ） A. B. ，的图象关于直线对称 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】当时，设，令，求得，得出的单调性与最小值，求得，可判定A；由，可判定B；由A选项，即可求出的最大值，可判定C；由，得到，进而得到，从而可判定D． 【详解】对于A，当时，；当时，设，则， 令，可得，其中， 当时，，所以，可得； 当时，，所以，即， 所以，所以A错误； 对于B，因为， 所以函数的图象都关于直线对称，所以B正确； 对于C，由A选项知，，，所以的最大值为1，即的最大值为1，故C正确； 对于D，设，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 又由，所以，即，所以， 又，可得， 所以，所以D正确． 故选：BCD． 【点睛】关键点点睛：该题A，C选项的关键是，通过换元构造函数，借助导数，求出函数的最大值最小值，从而得解，对于B选项的关键是把对称问题，转化为证明等式恒成立问题，对于D选项的关键是构造函数，再一次借助导数，证明不等式，从而借助不等式性质，和数列求和即可得证. 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知双曲线，则该双曲线的实轴长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将双曲线方程化为标准式，即可求出，从而求出实轴长. 【详解】双曲线，即， 所以，则， 则该双曲线的实轴长为. 故答案： 13. 的展开式中常数项为______． 【答案】40 【解析】 【分析】由二项式定理及展开式通项公式可得：展开式的通项公式为,再利用乘法的分配律运算即可得解. 【详解】解：由展开式的通项公式为, 则 的展开式中常数项为-=40, 故答案为40. 【点睛】本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属中档题. 14. 设，，，函数（是自然对数的底数， ），从有序实数对中随机抽取一对，使得恰有两个零点的概率为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】首先构造函数，利用导数判断函数的单调性，最值，根据函数有两个零点，确定的关系，再利用列举法，求满足条件的有序数对，结合古典概型概率公式，即可求解. 【详解】由条件可知，满足条件的有序数对共有个， ，若函数有零点，则，即，两边取以为底的对数，即， 设，，得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，当时，， 所以当时，取得最小值，即， 因为，又， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时， 共35对满足条件的有序数对， 故所求事件的概率. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用导数求函数的最小值，结合条件得到，利用列举法，结合古典概型求概率. 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步㵵． 15. 高血压是血液在流动时对血管壁造成的压力值持续高于正常范围的现象.改善生活方式和药物治疗是最常用的治疗方式，同时适当锻炼可以使血压水平下降，高血压发病率降低，控制高血压的发展.某社区为鼓励和引导辖区居民积极参加体育健身活动，开展“低碳万步走，健康在脚下”徒步走活动.下表为开展活动后近 5 个季度社区高血压患者的血压情况统计. 季度 1 2 3 4 5 血压明显降低（或治愈）人数 320 270 210 150 100 （1）若血压明显降低（或治愈）人数与季度变量（季度变量依次为1,2,3,4,5,…）具有线性相关关系，请预测第 6 季度血压明显降低（或治愈）的大约有多少人？ （2）社区将参加徒步走活动的队员分成了甲，乙，丙三组进行挑战，其规则为：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若甲组挑战某组，则下次挑战权在该组.若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为 ；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为，，经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数的分布列与数学期望． 附：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】（1）预测第6季度血压明显降低（或治愈）的大约有人. （2）分布列见解析，期望 【解析】 分析】（1）首先计算和，再代入参考公式，求回归方程，代入，即可求解； （2）首先确定，再根据随机变量的意义，结合独立事件概率公式，即可求分布列，最后代入期望公式，即可求解. 【小问1详解】 由条件可知，，， ， ， 所以回归方程， 当时，， 所以预测第6季度血压明显降低（或治愈）的大约有人. 【小问2详解】 由题知，的所有可能值为0,1,2， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 期望. 16. 记的内角的对边分别为，已知 ． （1）求； （2）若是边上靠近的三等分点，且，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，利用和角的正弦公式求解即得； （2）利用正弦定理用表示，再用余弦定理列出方程求解. 【小问1详解】 由，可得, 则， 整理得， ，， 因此，又， 所以. 【小问2详解】 因为是上靠近的三等分点，且， 则，，， 在中，由正弦定理得， 在中，由余弦定理可得， 即，即， 故. 17. 已知函数 ． （1）求函数 在 上的最大值和最小值； （2）若不等式 有解，求实数 的取值范围. 【答案】（1）最大值为 ，最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用导数可得函数 在 上单调递增，在上单调递减，从而可求函数 在 上的最大值和最小值； （2）不等式 可化为 ，记 ，则原不等式有解可转化为 ，再利用导数求函数的最大值，即可求实数 的取值范围. 【小问1详解】 因为函数 ， 所以 ， 令 ，则 或 (舍去). 当 时， ，当 时， ， 所以函数 在 上单调递增，在上单调递减， 所以当 时， 取得最大值，最大值为 ， 又 ， ， 所以 ，所以当 时， 取得最小值，最小值为 ， 故 在 上的最大值为 ，最小值为 . 【小问2详解】 易知 的定义域为 ， 故不等式 可化为 . 记 ，则原不等式有解可转化为 . 易得 ，时，，时，， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 故 ，所以 ， 解得 . 所以实数 的取值范围为 . 18. 如图， 是以 为直径的圆上一点，，等腰梯形 的顶点C,D在底面的射影落到圆周上，且 ，异面直线 和 所成的角的正切值为 ． （1）求 ； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值． 【答案】（1）2 （2）． 【解析】 【分析】（1）取弧中点，以为原点 ，以分别为轴，过与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，确定的坐标，确定在底面上的投影到的距离，设，由异面直线所成角的向量法求得值，然后根据棱锥体积公式计算体积； （2）由二面角的向量法计算． 【小问1详解】 取弧中点，以为原点 ，以分别为轴，过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图， 设分别是在底面上的射影，它们落在圆周上， 因为，平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面， 所以，从而， 又，，所以， 是圆的直径，则等腰梯形中都是等边三角形， 所以到直线的距离为， ，则，是等边三角形， 设，则， ， 记异面直线和所成的角为，则，从而（由直角三角形三角函数定义得）， 所以，解得（负值舍去）， 所以到平面的距离为， 又， 所以； 【小问2详解】 由（1）得，， ， 设平面的一个法向量是， 则，取，得， 设平面 的一个法向量是， 则，取，得， ， 所以平面与平面所成二面角的余弦值为． 19. 已知椭圆的一个焦点为，且过点 ． （1）求椭圆的方程； （2）若是平行于轴的动弦，直线与轴交于点，点，直线与直线交于点． （i）求证：点恒椭圆上； （ii）求 面积的最大值． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而得解； （2）（i）依题意可得，设，则，表示出，的方程，从而得到点坐标，代入椭圆方程计算可得； （ii）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，求出的最大值，即可得解。 【小问1详解】 依题意可得，解得，所以椭圆方程为； 【小问2详解】 （i）根据题意可得， 设（），则，可得，即， 因为，的方程分别为和， 所以满足，解得， 由于 ， 所以点恒在椭圆上． （ii）依题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立，得， 设，， 可得，， 所以， 可得， 令，则， 所以， 因为在上单调递增，所以当时，， 所以， 当且仅当，时，取得最大值，此时经过点， 因为面积， 当时，直线恰好过点时，面积的最大值为． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛二中 2024－2025 学年第一学期期末考试 高三数学试题 命题人：薛海涛 周贝妮 刘士哲 审核人：孙云涛 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后；用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上的无效. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合 ，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数的共轭复数（其中为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 椭圆上一点 在运动过程中，总满足关系式 ，那么该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 5. 设 ，若 ，则（ ） A. B. C. D. 6. 在数列 中，，则 （ ） A 5 B. C. 4 D. 7. “立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布 ，且 ，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记 在 的人数为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知一个圆台母线长为3，侧面展开图是一个面积为的半圆形扇环（如图所示），在该圆台内能放入一个可以自由转动的正方体（圆台表面厚度忽略不计），则该正方体体积的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得． 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分． 9. 已知空间四点 ，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 点到直线的距离为 D. ，，， 四点共面 10. 已知抛物线的焦点为上一点到和到轴的距离分别为12和10，且点位于第一象限，以线段为直径的圆记为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 圆与准线相切 C. 圆的标准方程为 D. 由直线上的点向圆引切线（为切点），则的最小值为 11. 已知函数，记的最小值为，则（ ） A. B. ，的图象关于直线对称 C. D. 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知双曲线，则该双曲线的实轴长为__________． 13. 的展开式中常数项为______． 14. 设，，，函数（是自然对数的底数， ），从有序实数对中随机抽取一对，使得恰有两个零点的概率为_______． 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步㵵． 15. 高血压是血液在流动时对血管壁造成的压力值持续高于正常范围的现象.改善生活方式和药物治疗是最常用的治疗方式，同时适当锻炼可以使血压水平下降，高血压发病率降低，控制高血压的发展.某社区为鼓励和引导辖区居民积极参加体育健身活动，开展“低碳万步走，健康在脚下”徒步走活动.下表为开展活动后近 5 个季度社区高血压患者的血压情况统计. 季度 1 2 3 4 5 血压明显降低（或治愈）人数 320 270 210 150 100 （1）若血压明显降低（或治愈）人数与季度变量（季度变量依次为1,2,3,4,5,…）具有线性相关关系，请预测第 6 季度血压明显降低（或治愈）的大约有多少人？ （2）社区将参加徒步走活动的队员分成了甲，乙，丙三组进行挑战，其规则为：挑战权在任何一组，该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为，若甲组挑战某组，则下次挑战权在该组.若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为 ；若挑战权在丙组，则挑战甲组、乙组的概率分别为，，经过3次挑战，求挑战权在乙组的次数的分布列与数学期望． 附：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 16. 记的内角的对边分别为，已知 ． （1）求； （2）若是边上靠近的三等分点，且，求的长． 17. 已知函数 ． （1）求函数 在 上最大值和最小值； （2）若不等式 有解，求实数 的取值范围. 18. 如图， 是以 为直径的圆上一点，，等腰梯形 的顶点C,D在底面的射影落到圆周上，且 ，异面直线 和 所成的角的正切值为 ． （1）求 ； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值． 19. 已知椭圆的一个焦点为，且过点 ． （1）求椭圆的方程； （2）若是平行于轴动弦，直线与轴交于点，点，直线与直线交于点． （i）求证：点恒在椭圆上； （ii）求 面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $