精品解析：山东省济南市2025届高三上学期1月期末学习质量检测数学试题

山东省济南市2025届高三上学期1月期末学习质量检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合集合则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数则z的虚部为（ ） A. 2 B. 1 C. 2i D. i 3. 已知向量且则在上的投影向量为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知一个圆锥的母线长为，高为，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 若则（ ） A. B. C. D. 6. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知随机变量，且，则当时，的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数其中实数，存在使得在区间上有最大值M，在区间上有最小值m，且，则的所有可能取值构成的集合为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知变量x，y的样本数据如下表，根据最小二乘法，得经验回归方程为则（ ） x 1 2 3 4 5 y 5 9 10 11 15 附：样本相关系数，经验回归方程斜率，截距 A. B. 当时，对应样本点的残差为 C. 表中y的所有样本数据的第70百分位数是11 D. 去掉样本点后，y与x的样本相关系数不变 10. 已知函数与其导函数的定义域均为R，且为奇函数，，则（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系xOy中，给定n个点到这n个点的距离之和为定值d的点的轨迹，称为“多焦点曲线”，其轨迹方程记为已知则（ ） A. 多焦点曲线所围成图形的面积为 B. 多焦点曲线是焦点为的椭圆 C. 若存在满足方程的点则 D. 若多焦点曲线所围成图形的面积为S，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机事件A，B相互独立，且则的值为__________. 13. 写出一个同时满足下列条件①②③的圆的标准方程：__________. ①圆心在轴上；②与轴相切；③与圆相交. 14. 从数列的前100项中，选出不同的3项，使其从小到大排列后，构成等比数列，则共有__________种选法，所有符合要求的选法得到的递增等比数列的公比之和为__________. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱柱中，底面ABCD是矩形平面平面ABCD，点E，F分别为棱的中点. （1）证明：B，EF四点共面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 16. 记的内角的对边分别为，已知 （1）求A的值； （2）若边上的两条中线相交于点P，且求的正切值. 17. 已知其中. （1）若恒成立，求的取值范围； （2）判断方程解的个数，并说明理由. 18. 已知椭圆的离心率为左、右焦点分别是过的直线与C交于M，N两点的周长为 （1）求C的标准方程； （2）若记线段MN的中点为 （ⅰ）求R的坐标； （ⅱ）过R的动直线l与C交于P，Q两点，PQ，PN的中点分别是S和T，求面积的最大值. 19. 已知数列满足记为数列的前n项和.若有穷数列满足则称数列为的生成数列. （1）若求的通项公式； （2）记集合中元素的个数为 （ⅰ）若求的通项公式； （ⅱ）若且恒成立，求实数m的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网命组卷网 山东省济南市2025届高三上学期1月期末学习质量检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共0分在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知集合A={xx≤4集合B={3-2,0123}则AnB=（) A.{-2,0,1} B.{-2,01,2} c{-3,-2,0,12} D.{-2,01,2,3} 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合4，利用交朱定义能求出4B 【详解】解：“集合A=xr≤4={x-2≤x≤2， B={-3,-2,01,2,3} .AnB={-2,01,2 故选：B 1+2i Z= +i, 2.已知复数2-i则z的虚部为() A.2 B.1 C.2i D.i 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【详解)】“2= +21+i-0+202+0+i-+i=2 2-i(2-i)(2+)5 第1页/共31页 6学科网列组卷网 ∴.z 的虚部为 故选：A 3.已知向量a,6,且l同=，(a+b)小ā=2，则6在a上的投影向量为() A.1 B.-1 C.a D a 【答案】D 【解析】 【分析】由(a+b)a=2求出a-6=,再利用投影向量公式求解 【详解】解：因为(a+b列a=a2+a-方=1+ai=2. 所以a6=1, a.b a=a 所以万在a上的投影向量为同a“, 故选：D 4已知一个圆锥的母线长为2 W3,高为3，则该圆锥的表面积为() B6元 C 9 D12 【答案】C 【解析】 【分析】求出底面圆半径，由圆锥的表面积公式即可求解. 【详解1因为圆谁的母线长为2,5。高为3。 所以圆锥底面圆半径为 23-32-5 则该圆锥的表面积为π×（√5+π×√5×2√3=9元】 故选：C 第2页/共31页 6学科网6组卷网 5.若(2x-少°=4+a(x-)++a,K-1i,则a=（) A.10 B.1 91 D10 【答案】D 【解析】 【分析】令f=x-1,将二项式变形为21+=4，+a1+a,++a,然后利用二顶式展开的通项 公式，即可求得a的值 【详解1因为2x-)°=4，+a(r-1)+a,(x-12+…+a,(x- 令1=-1，则x=t+1,所y(2+=a,+a1+a,++a, 又因为2r+1展开式的通项为7=Cg·(2).=2rCf(0≤r≤5，reN) 令5-1=1，解得r=4,所以4=C2=10」 故选：D 6.当x∈[-2m,2刘时，曲线y=simx与y=e-l的交点个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】 【分折】令inr=e-易知x=0是inr=e-l的-个根当xe(02m刘时，令 f()=e-l-si,x∈(0,2m:利用导数研究其单调性可判断方程根的个数：当x∈[-2r,0)时 ，sinx=l-e画出两个函数的图象判断交点个数求解 【详解】解：令sinr=e-l, 当x=0时'sin0=e°-l, 第3页/共31页 6学科网命组卷网 故x=0是sinr=e-的一个根 当x∈(0,2]时，sinr=e-1. 令(x)=e*-1-sinw,xe(0,2π]， 则f()=e*-cosr>1-cosr≥0， 所以f(0)在x∈(0,2可]上单调递增， 所以f()>f(0)=0, 所以xe(0,2x]时，e-1>sin,即方程sinx=e-在xe(0,2x列无实数根 当xe[-2r,0)时，sinr=1-e, y=1-e在x∈[2n,0)上单调递减，且y=1-e<l 如图所示： y=1-e* 2元 io衣 y=sinx y=1-e与y=sinr的图象在x∈20)上有两个交点， 所以方程sinr=e-在xe[2x,0)有两个不同的根 综上所述，曲线y=sinr与y=e-l的交点个数为3. 故选：C 1起道机变5-No).HP代传≤a-动=P5≥.则r时.日2x+的果 1,1 小值为() 第4页/共31页 6学科网列组卷网 1+√2 3+2V2 1 A.4 B.4 C.4 D.4 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态曲线关于直线x=2对称，得出a+2b=4,即a-2x+2(x-b)=4 再利用基本不等 式，即可求出结果， 【详解】由题意知，随机变量5~N(2,σ)， 所以正态曲线关于直线x=2对称， 又P(5≤a-3b)=P(52≥b) 所以a-3b+b=4,即a-2b=4, 所以a-2x+2(x-b)=4 为b<x<2,则a-2x>0,-b>0, 因为” 6e-22-明 2a 2(x-b）_a-2x 当且仅当a-2xx-b,时取等号， 1.1 3+2W2 所以a-2xx-b的最小值为4· 故选：B. 第5页/共31页 6学科网命组卷网 (x)=sin xcosco 8.已知函数 2 2其中实数0>0，存在x∈(0,2)使得f(x)在区间[0，x) 上有最大值M,在区间[，2m)上有最小值m,且M+m=L,则0的所有可能取值构成的集合为《 B. C. D ,+00) A. 【答案】B 【解析】 【分折】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数) ，再利用正弦函数的图象性质列式求解即得， 〔详解)函数∫(x)=2s1nx+ 2COS+ 1 1 2sin(ox+)+ 4 2, 由x0,2),得x+442m@+ 4 依题意，函数f(x)在[0,2π)上既有最大值，又有最小值， 20+π>3π 5 0> 因 42,解得 8,所以0的所有可能取值构成的集合为令+切) 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9己知变量x,y的样本数据如下表，根据最小二乘法，得经验回归方程为)=x+3.4则《) 0 第6页/共31页 6学科网命组卷网 -0%-列 附：样本相关系数 2-司-可 6eh$北-北-司 截距 -司 a=-i. A.6=2.3 B.当x=5时，对应样本点的残差为0.6 C.表中y的所有样本数据的第70百分位数是11 D.去掉样本点(3,10)后，y与x的样本相关系数不变 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出样本中心点，利用样本中心点在经验回归方程上求出b判断A;利用残差的概念判断B,利 用百分数的概念判断C:利用样本中心点正好是(B10)可判断D x=1+243+4+5 =3, 【详解】由表中数据可 5 万=5+9+10+11+15=10， 因为经验回归方程为5=bx+3.4,经过点(3,10) 则10=36+3.4，解得：6=2.2，故A错误 当=5时，=2.2x5+34=144 残差为15-14.4=0.6，故B正确： 因为5×70%=3.5， 第7页/共31页 6学科网6组卷网 所以表中y的所有样本数据的第70百分位数是从小到大排列的第4个数，为11，故C正确： 因为=3，刀=10，所以去掉样本点(310)后，y与的样本相关系数计算公式中的分子、分母都不发生 变化不变，所以相关系数的值不变，故D正确 故选：BCD 10.已知函数f()与其导函数8()的定义域均为R,且f(x+)为奇函数，8(+8(1-=4，则( A.f()+f(2-x)=0 B.8(x)+8(x+1)=0 c.8(-3)+8(-4)=4 D.f(x)-f(1-x)=4x 【答案】AC 【解析】 【分析】A由f(x+)为奇函数判断：BC,由(-r+)+f(x+)=0求导判断：D.由 g()+g1-)=4还原原函数判断 【详解】解：因为(+)为奇两数，所以fx+)+f(x+)=0,所以f()+2-)=0A正确： 由A可知，求导数'8()8(2-)=0，所以（四关于直线x=1对称， 又8()+g(1-=4所以82-+8(1-)=4即3()+8(x+)=4故B错误，c正确 因为8(x)+g(1-x)=4,所以[f(x)-f(1-x)]=g(x)+g(1-x)=4, 所以()-f1-)4r+CD错误 故选：AC 1在平面直角坐标系x0中，给定1个点4(4，=2，小”到这n个点的距离之和为定值d的点 第8页/共31页 6学科网命组卷网 的轨迹，称为多焦点曲线”，其轨迹方程记为(4,4,4，…，4，：)=0已知 4(-1,0),4(L0),4,(0,5)则() A多焦点曲线(4=0所围成图形的面积为元 B.多焦点曲线(4,4：2)=0是焦点为4,4的椭圆 c若存在满足方程f(4,4,4:=0的点M(x小则d≥25 D.若多焦点曲线∫(4,4，4,4)=0所围成图形的面积为S,则 3<S<4 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A,可知f(4=0表示以4(1,0)为圆心，1为半径的圆，即可判断， 对于B,推出f(4,4:2)=0表示线段44： 对于C,取点4(0，V5)以4M为边作等边△M0其中点0在a444内，得到 d=M4+M4,+MA=OA+Mg+MA≥4A'即可判断： 对于D,分别以点A、4、4为圆心，2为半径作圆弧44，、A4、A4推出满足条件的点M在三个 圆弧分别与三角形的三条边围成的三个弓形内包含点4、4、4”即可求解 【详解】对于A,f(41-0表示到点4(10)的距离=1的曲线， 是以4(1,0)为圆心，1为半径的圆， 则多焦点曲线f(4= 所围成图形的面积为π×=兀，故A正确： 第9页/共31页 6学科网列组卷网 对于B,(4,42)=0表示到点4(-1,0)和到点4（，0)的距离之和为定值2的曲线， 因为44-2所以多焦点曲线(4,4：2)=0是线段44，放B错误 对于C,存在满足方程f(4,4,4:d)=0的点M(以 即d=M4+MA+M4=V+'+2+x-+y+x2+- 取点4(0，-V),可知△444和△444均为等边三角形， 显然当点M在△444内时，d=MA+M4+M取得最小值， 如图： 以4M为边作等边△4，M0,其中点e在△44A内，则M4,=M0=4,0, 由2MA4+∠04,4=∠044+∠Q4,4=60° 可得，∠M4,4=∠04，A,又44=44，则△M4,4e04,4, 可得M4=lOA. 则d=M4+M4A,+MA,=lOAl+Mgl+M4,≥44=23 当且仅当点M为△444的中心时取等号，即d之25，枚C正确： 第10页供31页 6学科网命组卷网 对于D,设满足多焦点曲线(4,4,4：4)=0的点M(,）, 则M4+MA,+M4,|=4 若点M在△444内， 过点M作DE11A4分别交44、44于点D,B, 则△4DE为等边三角形，即4D=DE川-4， MA<4DMA<4D+DMMA<4E+EM MA+MA+MAI<4D+14D+IDM+EM+4E =44 +DE+4E=44+4E+4E =44+44=4 故△444内的点不满足MA+MA+M4=4 若点M在△444三边上时， 根据对称性，不纺设点M在边4上， 则MA+MA,+M4,=44+M4sA4+A,4=4, 当且仅当点M与点4或点4重合时取等号， 因此，当点M在△A44三边上时， 第11页/共31页 6学科网命组卷网 当且仅当点M与点4、4、4重合时满足M4+MA4+M4=4 若点M在△444外， 分别以点A、4、4为圆心，2为半径作圆弧44、A4、A4,如图： 根据对称性，不妨考虑点M在A4上的情况， 此时MA=2,MA+MA>A4=2不满足MA+MA+M4=4 当点M在三段圆弧围成的曲边三角形外时，显然不满足M4+M4,+M4,=4 故满足MA+MA4,+M4=4 的点M在三段圆弧分别与三角形的三条边围成的三个弓形内（包含点A、 A,A), 所以多焦点曲线(4,4,4：4)=0应该是经过点4，小，4而且在三段圆弧分别与三角形的三条边围成 的三个弓形内的一条封闭曲线， 4π 所以所围成图形的面积大于△A4,4,的面积V5,小于△44,4外接圆的面积3· 故多焦点曲线∫(4,4，A4)=0所围成图形的面积S满足 3<s< 3·故D正确 故选：ACD 【点睛】方法点睛：与新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理 解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的： ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办 第12页/共31页 6学科网列组卷网 事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12已知随机事件A,B相互雅立，且P(4)=1-P(B)P()-P(B)8”则P(AUB)的值为 > 【答案】8 【解析】 【分析1利用P(4UB)=P(+P(B)-P(4B)求解 【详解】解：由题意得： P(AVB)=P(4)+P(B)-P(4B)=1-1-7 88, > 故答案为：8 13.写出一个同时满足下列条件①②③的圆的标准方程： ①圆心在*轴上：②与'转相切：®与圆+少-2y-3=0相交 【答案】(K-)+广=1（答案不唯一 【解析】 【分析】设圆C的标准方程为 (x-a+y=r(>0)由②得出a=',再由®得出 r-2<Va2+P<r+2,即可求出结果 【详解】因为圆心在x轴上， 所以设圆C的标准方程为(x-a°+y2=r2(r>0). 圆C与y轴相切，所以4=r 圆+y2-2y-3=0化为标准方程为2+(0-1=4，圆心为(0，)，半径为2， 第13页/供31页 学科网命组卷网 又圆C与圆2+y2-2y-3=0相交，所以-2<Va+1P<r+2斗， 3 则-2水2+P<+2,解得：>4 取a=1,r=l,此时圆C的标准方程为(x-°+y2=1 故答案为：(-少+)少=1（答案不唯一） 14从数列2}的前100项中，选出不同的3项，使其从小到大排列后，构成等比数列，则共有 种选法，所有符合要求的选法得到的递增等比数列的公比之和为_ 2450 252-204 【答案】 ①. 【解析】 【分析】由题意可将2∫中的项按连续取3项、间隔1项取、间隔2项取、、间隔9项取，从而计算出 所有的取法以及公比之和。 【详解】解：由题意若将{2,2，，2} 连续3项取，取到3项为： {2,22,2}{22,2,2} {28,29,2100} ”则共有98种选法，公比均为2： 若间隔1项取，取到3项为： {2.22{2,2,2{2%,2%,2} 》'共有96种选法，公比均为2； 若间隔2项取，取到3项为： 2,2,22,2,22",2”,2m}共有4种选法，公比均为2 若间隔49项取，取到3项为： {2,20,29}{22,21,20} 》”共有2种选法，公比均为2”： 2+98 则共有98+96+.2= ×49=2450 2 种选法， 所有符合要求的选法得到的递增等比数列的公比之和为，=98×2+96×2+…+2×2，① 第14页/供31页 命学科网命组卷网 则27，=98×2+96×2+.4×2+2x2,@ ①-②可得-7=98×2-2×(2+2++2)-2×20=-22+204， 所以7=22-204， 故答案为：245022-204. 四、解答题：本题共5小题，共60分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.如图，在四楼柱ABCD-4BCD中，底面ABCD是矩形'AM=AB=2AD,∠D,DC=60,平面 DCCD⊥ 平面ABCD,点E,F分别为 CC,A4的中点 D 、B1 F )证明：B,BDr四点共面； (2②)求平面BD,E与平面4B,CD夹角的余弦值 【答案】(1)取 DD中点G,连接AG,BG,则有DG1/CE,DG=CE, B 所以四边形CDGE为平行四边形，所以CDI/EG,CD=EG, 又因为AB/ICD,AB=CD,所以ABI1EG,AB=EG, 所以四边形ABEG为平行四边形，所以BE//AG,BE=AG, 第15页/供31页 命学科网命组卷网 又因为 F1D,G,AF=D,G所以四边形 AGD F 为平行四边形， 所以1G1DF所以BE1/DP所以B,,D,P四点共面 √6 (2)4 【解析】 AGDF 【分析】(1)证明四边形 为平行四边形，利用平面的基本性质得出结论： (2)建立空间直角坐标系，利用向量方法求面面角 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取DC中点O,AB中点M,连接 DO,OM 因为M4=AB,∠D,DC=60'所以侧面DCCD是菱形， 所以DO L DC, 因为平面 DCC D.Is 平面ABCD,平面 ￥面DCCD,n平面MBCD=CD,DOC平面DCCD, DOL DO⊥OM,D,O⊥OC, 所以 平面ABCD,进而有 因为底面ABCD是矩形，所以OM11OC,所以OM0C'OD两两互相垂直 如图所示建系， ZA D F D.O 由（四知D0⊥平面ABCD,所以m=(0,01)是平面4BCD的一个法向量 第16页/共31页 6学科网列组卷网 及D-周D0L10)a能g-L),万后-03-9 设=(：2)平面DBE的法向量，则iLDB,i1DE x+y-V3z=0, x-2y=0 2=0.所以 2 =3y. 取y=1则x=2,z=V5.于是i=(2,1V5)是平面D,BE的一个法向量 设平面BDE与平面ABCD夹角为&c0s日= V4+1+34 √6 即平面BD,E与平面A,B,C,D夹角的余弦值为4 c_2cosB+cosC 16.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知a2-cosA (1)求A的值： c②若CG1C边的两条中线4, N相交于点P,且2AM=2c,求∠MPN的正切值 【答案】(1)3 5 (2)2 【解析】 OsA= 【分析】(1)利用正弦定理将边化角，再利用角之间的关系消去角C,运算即可得到 2再求角即 可； (2)不妨设C=1,利用中线求出b,再利用正弦定理求解△ABN,进而在三角形ABP中求解即可. 第17页/共31页 命学科网命组卷网 【小问1详解】 c_2cosB+cosC sinC 2cosB+cosC 在△ABC,因为a2-cosA,由正弦定理得：sinA 2-cosA 2sinC-cosAsinC 2sinAcosB+sinAcosC, sinC=2sincos+(sinAcosC+cosAsinC). 因为sin4cosC+cos4sinC=sin(A+C), 所以2sinC=2 sinAcosB+sinB, 而sinC=sin(A+B)）=sin4cosB+cosAsinB,. 所以2 sinAcosB+2 cosAsinB=2 sinAcosB+sinB, 整理得2 cosAsinB=sinB, 因为△ABC中，sinB>0, 所以 Asπ 又A∈(0，π少所以A=3 【小问2详解】 因为M是边C的中线，所以-(AB+C), 则4-+ac+2aco写 不-M=空数-+6+ 第18页/共31页 命学科网命组卷网 即+b-20=0解得b=4或政5（含》 所以N=2 2 2 ABN中， AN AB 在 Sin∠ABN.sin/AND,即sn∠ABW sin +∠ABN 3 即sin∠ABN sin cos∠ABN+cossin∠ABN, 3 3 解得cos∠ABN=0,即∠ABN 2 所以，在RtABN中，BN=VAW2-c2=V4-I=V5, 又易知，P是4BC重心，所以：BP=BN=25 3 tan∠MPN=tan∠APB=AB-L=VS 所 BP 232 3 B M 17.已知f(x)=h,8()=r+a其中aeR (4)若f()≤8()恒成立，求a的取值范围， (2)判断方程旷(x+)=8(解的个数，并说明理由 【答案】(1)【~l,+∞) 第19页/供31页 6学科网命组卷网 （2)当Q≤1或a=2时，方程时(x+1)=8()只有一个解，当1<a<2或a>2时，方程 a时(x+1)=g()有两个解 【解析】 【分析】(1)不等式等价于a≥mr-x,利用导数求得()=lnr-x的最大值即可得到a的取值范国 (2)令F()=a时(x+l)-8()=a(x+1)h(x+-r-ar,则F'(=al血(x+)-2x,令 m()=a血(c+)-2,则m'()=a-2x+ x+1一，当a≤0时，由F(x)的单调性即可得到方程解的个 数：当a>0时，令m国-0用，告合m怕华用在，日用 r=f-=a号a+2.令co)=a咖ga+2. 则 G(a)=I 2,则 G()m=G(2)=0,则F'()≥0，再就a的范围分类讨论后可得解的个数 【小问1详解】 由腿f(四的定义线为0，+o）,f(sg()即hx≤2+a,即a≥lnr-x恒成立， 今A)=r-,则-=士1 则当r∈切)时，()<0，h(单调递减；当t∈(0，)时h()>0,h()单调选指。 故h()在(0，+∞)上有最大值h0)=-1 所以a≥，即“的取值范围是【P1,+∞) 第20页/供31页 6学科网列组卷网 【小问2详解】 方程时(x+)=8()即(c+l)l血(+1)=r2+am. 令F(x)=a(x+l)n(x+)--ar,(x>-),则F'(x)=a血(x+)-2x 令m(四=血(+）-2x,则m()=4-2=a-2x+) x+1 x+1, ①当a≤0时m()<0,m()在(-l+∞)上单调递减，即F'()在1，+)上单调递减。 又F'o)=0,所以当∈(-1,0)时F'()>0.F(x)单调道道，当x∈(O,+o时F()0.F()单 调递减， 放F(x)在x=0处取得最大值，即F(xx=F(O)=0,所以F(四只有一个零点，即原方程只有一个 解： 2当a>0时.◇m(6)-0餐得-号1 当1<x<号-1时m)>0,m)在-分上单词灌地， 即F(闪在号上单湖适游： 当>号时m)<0,ma经-1+ 上单调递减， 的F闪号+上诚.时以F因在-号-处袁用大也， F=r8小-号g-小咖号a*2 2 第21页/供31页 6学科网列组卷网 者a=2.期F经小-0.数Fs0不恒)，放F国在1L减数 而F(O)=0,故所以F()只有一个零点，即原方程只有一个解 若0<a<2,令c(a)-h号a+2.G(a)=lhg<0 ，则 做G(o)在Q,2上为城数百Ga>G2)=0F号小0 时210.面F0-0,当>0.F<0, x,时.F国，版5（号-上在在-个零5 且当x∈(-L)时，F'(<0,当xe(G,0)时，F()>0, 当>0时，F'()<0 故F()在1)为减函数，在G,0)上为增函数，在0，+切)上为减函数。 而F(0)=0,当x→-1时，F()→a-1 若0<a≤1，则F()有1个不同的零点 若1<a<2,则F(0)有2个不同的零点： 当a>2时.Ga)在(2，+w)上为带同数，数G(o)>G2)=0即F行小>0 时号10.而F0)=0,放首-1<0所.F(e)<0, 第22页/供31页 6学科网命组卷网 当r,m,F,放F因2L布在个季有： 且当xe(H,0)时，F'(四<0，当xe(0,)时，F'()>0 当x>时，F'()<0. 故F(四)在(-1,0)为减函数，在(0，)上为增函数，在(3，+0)上为减函数， 而F(O)=0,当x→+0时，F()→，故F()有两个不同的零点： 综上，当Q≤1或Q=2时，方程时(x+1)=8()只有一个解 当1<a<2或a>2时，方程时(x+)=8(0有两个解 【点睛】本题主要考查的是不等式恒成立问题，利用导数研究函数的零点，利用导数研究函数的单调性， 利用导数求函数的最值，属于较难题 x2.y2 2 18已知椭圆C:云+京=1(a>b>0)的离心率为2'左、右焦点分别是B,R,过F,的直线与C交于 4,N两点aM 的周长为4V2. (1)求C的标准方程： (2)若OM⊥OW,记线段MN的中点为R. (i)求R的坐标： (i)过R的动直线I与C交于P,O两点，PO,PW的中点分别是S和T,求△RST面积的最大值 x2 【答案】(1)2 +y2=1 2 4V2 (2)(i) 5 5或55： (功3 10 【解析】 第23页/共31页 6学科网列组卷网 【分析】(1)由椭圆的定义可得AMN的周长为4a,求出a=V2离心率e。V=2'解得 c=1, B=a2-求出b,可得椭圆的方程： 利用 (2)()设出直线方程，与椭圆方程联立，结合数量积为0，求出直线的斜率，进而求R的坐标：(i) 4V2 不妨设点R的坐标是 5’5 ’此 时直线MN的方程可化为 r+y-万-05=S分w号m位S到直线0的E将污求出三角无的面限 1 分类讨论，求出d的最大值，即可得出结论， 【小问1详解】 由腾圆的定义可得△N的周长为a,所以4a=42所以Q=反 c-c_V2 离心率e= a√22’解得c=1,所以b2=a2-c2=1, x2 -+y2=1. 所以椭圆C的标准方程为2 F2 【小问2详解】 (①)由1)可得点B坐标L0)》易得过点乃的所有直线与椭圆一定有两个不同的交点， 由OM1ON可得OM·ON=0. 第24页/供31页 6学科网6组卷网 ①直线MN斜率不存在时，在椭圆方程中令x=I得y~tV2 2 所以0M.0N=1-1=1 ≠0，所以不成立： 22 ②直线MN斜率存在时， 设直线△W的斜率为k,则其方程为y=k(x-), 设M(,y),N(,）, y=k(x-1), 由方程组 行P1形 (2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0, 4K2 2k2-2 则有名+3=22+'6=22+1 所以有OM0N=+=+2(3-5-1)=(2+1)-2(G+5)+k2 (2+10(22-2）4k4 =2-0. 2k2+1 2k2+1 2k2+1 所以k=±V2 当数=5时+营为+%=5+名-2小5可g2-2 8 4 2 所以点R的坐标是 ’5 4√2 同理当k=-√2时，点R的坐标是 55 4V24V2 综上所述，点R的坐标是 5-5或55 第25页/供31页 命学科网命组卷网 (i)根据对称性△RST面积最大值与点R所在象限无关， 2 4V 不妨设点R的坐标是 5’5 此时直线W的方程可化为 x+y-20.S.or-5ms= 1 S.NRS =S.SNR' 2 设点S到直线W的距离为d, 因为T为PW的中点，R为N的中点，所以可得 SARST 4 4**wMd-*0Rxd=32。 1、1 20d ①直线1斜率不存在时，点S坐标为5，此时点S到直线√2x+y-√2=O的5京d-V6 15 ②直线/斜率存在时，设直线1方程为少=mx- y =mx- 由方程组 x2 +y2=1 赠去得2m+1x4m万5K+25m--20 2 5 4m(4m-V2)） 则有5+龙 5(2m2+1 -=n+)20 2m(4m-V2) 4m-V2 所以点S坐标为 5(2m2+1) 5(2m2+1) V2x2m(4m-V2）4m-V2 所以可得d= 5(2m2+1） 5(2m2+1) 2√2(m+√2)2 3 5v5(2m2+1） 第26页/供31页 6学科网列组卷网 令f(m)=m+2) 2m+1,meR令1=m+V2, 当m=V 2时，即=0此时直线P0与N重合RST 0: 面积为 12 1 y= 当 2即，。时，则有2-4V21+254W2 m≠-√2，t≠0 2 .1_22 从而当；等知m=2 4时，f(m)取得最大值2 时只=V6V6 6 3 3>15'所以dm=3'所以aRST面积最大值为10 YA 【点防】关键点点暗：解题的关键古足换元设通数了(m)=2 2m+1’再结合二次函数的性质求最值。 19已知数列a,(a.∈N)满足4=l,a,≤ar记S为数列a,的前n项和若有穷数列 亿k=b2,S)满足+r+产-(+）=1+bx+br++b.sr(∈R则称 数列也。}为{a,的生成数列 1)若b.大=1(n∈N,k=2…,S)小求{a的通项公式： (2)记类合秋1。k≠0k=2,S,}中元素的个数为 (①)若a,=3(n∈N求{}的通项公式： 第27页/共31页 6学科网6组卷网 若 b+2tsau-小&-5eN)a 1+bn1+bn2++b。s, a a> an a+la,+D*(a+la,++…+ <m a。+1)(a1+1)恒成立，求实数m的最小值 【答案】(1)a.=2(n∈N) (2)(ix=2”-1,(i)2 【解析】 【分析】(1)由题意可知+x+)(+r）1+r+r++r产(xeR令x=b得 S.=2”-即可得a,}的通项公式： 3”-1 (2)(iSn= 2 000收收g到 3+1-1 +b +(0x+bnx”+b2x24+ 3-12)2 证明袋合abk≠0，人=l2,…,S.中元素的个数为1=2x,+l构证女，+1为等比数列即可求 解： （i)对（++r“）-+)1+bx+b++6.r产两边取对数，求导，再令x=进而 得“1=S,+山从而可得a,}是以1为首项，2为公比的等比数列，利用裂项相消法即可求解 【小问1详解】 由题意可知+产+x1+）=1+x+x2+…+x心(x∈R), 第28页/供31页 6学科网列组卷网 令x=山则2”=1+S即S,=2”-1 当n≥2时'a,=S。-Sn1=(2”-1)-(2-1-1=2-; 当n=1时a=8=1=2符合上式 所以a,=2-(n∈N) 【小问2详解】 (①因为4，=3(n∈N), 则，=1+3++3=1-3”=3”-1 1-3-2 由于(1+x+)+r”)1+x） 3-1 3t22 2 而+x1+x）+“)1+xm） =1+b1Hx+b+2x2+…+bnlsr, 又3”3”1 2, 于是集合nb≠0，k=l2,,S中元素的个数为1=2x,+1. 又=x1+1=2(x,+1, 则{女，+为首项是+1=2公比为2的等比数列， 第29页/供31页 6学科网列组卷网 于是，+1=2”’则，=2”-1 ()对+“+）小(+）=1+bx+br+…+b产两边取对数得： n(1+x)+ln(1+x）…+ln(1+x)） =ln(1+bnx+bn2x2+…+bnsx3）, aiax 再对求导可得1十x2+马x% 1+xa. =b+2b2x++Sn·b.sr I+bm+ 令x=l两2a+a++a）厂2S 1 bm +2b2++ Γ1+bn1+bn2+…+b.s. ba+2b++Sbs≤a-小 又1+bn+bn2+…+b.s. ，1 由于（1+1+x）(1+x+xr）=(1+bx+b22+…+bx)1+x） =(1+bx+b22++b.sx2）+(x+buxa+bn2x2a++h.sx2) 面（+“+“）(1+x）1+x"） =1+b+b 因为戈=S和1=Sr则数列么。}和凸}的每一项均不为零，则8≠0 第30页/供31页 命学科网命组卷网 于是，1≤1+S,鄂么01=1+S 则4=1+S,=2, 当n≥2时'a.=1+Sn 则0h-a,=S。-S=a即01=2a, 又4=2a, 所以{a}是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以a,=2以 a an 设.a+1a,+可(a+a+(a.+0aa+0' 十…十 1 2 2m- 则Z+2+0+02++(12+可 品点） =11<1 =22”+121 所以实数的最小值为2 【点睛】关键点睛：本题考查数列的新定义问题，属于难题，求解的关键是利用定义将问题转化为数列 {a}(a,∈N)项与和的问题， 第31页/供31页