专题02 相交线和平行线中的几何综合 （压轴题常考题型专练） 2024-2025学年人教版（2024）数学七年级下册

专题02 相交线和平行线中的几何综合 （压轴题常考题型专练） 【知识考点 相交线与平行线】 【题型梳理】 【题型1】 相交线中的角度综合 【题型2】 平行线中的角度综合计算 【题型3】 利用平行线的判定和性质判断多结论问题 【题型4】 平行线的判定和性质的综合 【题型1】 相交线中的角度综合 1．（2023-2024七年级下·广东东莞·期中）如图，直线，相交于点，． （1）的邻补角为 ； （2）若，判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，求的度数． 2．（2023-2024七年级下·江西南昌·期中）平面内两条直线 ，相交于点，，恰好平分． （1）如图①，若，求 的度数； （2）在图①中，若，请求出 的度数用含有的式子表示，并写出 和 的数量关系； （3）如图②，当， 在直线 的同侧时其他条件不变，请直接写出和 之间的数量关系． 3．（2023-2024七年级下·浙江金华·阶段练习）如图 1，点 O 在直线上，，将一个含有角的直角三角尺的直角顶点放在点O处，较长的直角边在射线上，较短的直角边在直线的下方． 【操作一】：将图1中的三角尺绕着点O 以每秒的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为秒． （1）图1中与互补的角有 ． （2）当，求旋转的时间． 【操作二】：如图 2 将一把直尺的一端点也放在点O处，另一端点E在射线上．如图 3，在三角尺绕着点O 以每秒度的速度按顺时针方向旋转的同时，直尺也绕着点O 以每秒度的速度按顺时针方向旋转，当一方完成旋转一周时停止，另一方也停止旋转． 试探索：在三角尺与直尺旋转的整个过程中，是否存在某个时刻，使得与这两个角中，其中一个角是另一个角的一半？若存在，请直接写出所有满足题意时的度数；若不存在，请说明理由．你的答案是： ． 4．（2023-2024七年级下·湖南邵阳·期末）如图1，点，，依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度转动，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度转动，直线保持不动，如图2，设转动时间为（，单位：秒） （1）当时，求的度数； （2）在转动过程中，当第二次达到时，求的值； （3）在转动过程中是否存在这样的，使得射线与射线垂直？如果存在，请求出的值：如果不存在，请说明理由． 5．（2023-2024七年级·天津南开·期末）如图1，已知，点O为直线上一点；在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点C处，三角板一边在射线上，另一边ON在直线的下方． （1）在图1的时刻，的度数为 ，的度数为 ； （2）如图2，当三角板绕点O旋转至一边恰好平分时，的度数为 ； （3）如图3，当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，的度数 为 ； （4）在三角板绕点O旋转一周的过程中，与的关系为 ． 【题型2】 平行线中的角度综合计算 6.（2023-2024七年级·全国·期末）如图，已知点在上，点G在上，于点A，于点D，若，求的度数． 解：∵（  ）， ∴ （  ）， ∴ （  ）， ∴（（  ）， 又∵已知， ∴（  ）， ∴ （  ）， ∴ （  ）， ∵（已知）， ∴ ． 7.（2023-2024七年级·宁夏石嘴山·期中）如图，已知，点，分别是射线，上的点，，，分别平分和． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 8.（2023-2024七年级·北京西城·期中）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，． (1)请对说明理由； (2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 9.（2023-2024七年级·辽宁铁岭·期末）已知直线，点在、之间，点、分别在直线、上，连接、． (1)如图1，直接写出之间的数量关系； (2)如图2，平分，平分，当时，求出的度数； (3)如图3，若点在的下方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数． 10.（2023-2024七年级·全国·期末）如图，已知，，，点E、F为、之间的两点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由； (3)如图3，已知平分，平分，反向延长交于点P，求的度数． 【题型3】 利用平行线的判定和性质判断多结论问题 11.（2024七年级·北京·专题练习）如图，在中，的平分线相交于F，过点F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的是（ ） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①③ D．①②③ 12.（2023-2024七年级·河北沧州·期中）如图，已知，，，．则下列结论：①；②平分；③；④． 正确的是（   ） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 13.（2023-2024七年级下·湖北武汉·期中）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC．则下列结论：①；②GK平分∠AGC；③；④∠MGK＝16°．其中正确结论的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 14.（2023-2024七年级·福建泉州·期末）如图，∠C=90°，∠CAB=30°，AD∥BE，∠DAE=120°．给出以下结论：①∠2=∠EAB；②CA平分∠DAB；③∠1+∠2=90°；④BC∥AE． 其中正确的结论有 ．（写出所有正确结论的序号） 15.（2023-2024七年级·福建福州·阶段练习）如图，已知平分交于B，，点E在上，且，那么，下列判断中①平分；②；③；④，正确的是 ． 【题型4】 平行线的判定和性质的综合 16.（2023-2024七年级下·江苏镇江·期末）已知：如图，∠BAP+∠APD =180°，∠1 =∠2.求证：AE∥PF． 17.（2023-2024七年级下·广东江门·期末）如图，已知，，三点在同一直线上，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 18.（2023-2024七年级下·安徽六安·期末）如图1，已知点B和点C分别是和上的点，，． (1)试说明：； (2)如图2，连接，已知，． ①当时，，求的度数； ②若，则__________．（用含m的代数式表示） 19.（2023-2024七年级·山西吕梁·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 台球中的数学 如图1是台球桌面实物图，图2是抽象出的数学图形，已知长方形桌面中，，一个球在桌面上的点处滚向桌边，碰到上的点后反弹，再碰到边上的点后，再次反弹进入底袋点．在球碰到桌边反弹的过程中，击出线与桌边的夹角等于反弹线与桌边的夹角，同理． 任务一：如图2，求证：； 任务二：如图3，若球在桌面的点处，经过两次反弹后碰到边上的点处，若，请你判断与的位置关系，并说明理由． 20.（2023-2024七年级·黑龙江哈尔滨·期中）点在射线上，点、为射线上两个动点，满足，，平分． (1)如图，当点在右侧时，求证：； (2)如图，当点在左侧时，求证：； (3)如图，在的条件下，为延长线上一点，平分，交于点，平分，交于点，连接，若，，则的度数是多少． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 相交线和平行线中的几何综合 （压轴题常考题型专练） 【知识考点 相交线与平行线】 【题型梳理】 【题型1】 相交线中的角度综合 【题型2】 平行线中的角度综合计算 【题型3】 利用平行线的判定和性质判断多结论问题 【题型4】 平行线的判定和性质的综合 【题型1】 相交线中的角度综合 1．（2023-2024七年级下·广东东莞·期中）如图，直线，相交于点，． （1）的邻补角为 ； （2）若，判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，求的度数． 【答案】（1）； （2）垂直 （3）150度 【分析】（1）根据邻补角的定义进行解答即可； （2）由，，可得即可证明； （3）根据，，，可求出，从而求出，即可求解． 【解答】（1）解：由邻补角的定义可知，的邻补角有：． 故答案为：； （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ， ； （3）解：， ， ，， 又, , ． ，， ， ， ． 2．（2023-2024七年级下·江西南昌·期中）平面内两条直线 ，相交于点，，恰好平分． （1）如图①，若，求 的度数； （2）在图①中，若，请求出 的度数用含有的式子表示，并写出 和 的数量关系； （3）如图②，当， 在直线 的同侧时其他条件不变，请直接写出和 之间的数量关系． 【答案】（1）20度； （2） （3）不变， 【分析】（1）根据邻补角的定义和角平分线的定义解答即可； （2）根据垂线的定义、邻补角的定义和角平分线的定义解答即可； （3）根据（1）（2）解答即可． 【解答】（1）， ， 平分， ， ， ， ； （2）， ， 平分， ， ， ， ； ； （3）不变， 设， ， 平分， ， ， ， ； ． 3．（2023-2024七年级下·浙江金华·阶段练习）如图 1，点 O 在直线上，，将一个含有角的直角三角尺的直角顶点放在点O处，较长的直角边在射线上，较短的直角边在直线的下方． 【操作一】：将图1中的三角尺绕着点O 以每秒的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为秒． （1）图1中与互补的角有 ． （2）当，求旋转的时间． 【操作二】：如图 2 将一把直尺的一端点也放在点O处，另一端点E在射线上．如图 3，在三角尺绕着点O 以每秒度的速度按顺时针方向旋转的同时，直尺也绕着点O 以每秒度的速度按顺时针方向旋转，当一方完成旋转一周时停止，另一方也停止旋转． 试探索：在三角尺与直尺旋转的整个过程中，是否存在某个时刻，使得与这两个角中，其中一个角是另一个角的一半？若存在，请直接写出所有满足题意时的度数；若不存在，请说明理由．你的答案是： ． 【答案】（1）和；（2）或，【操作二】存在． ，，，． 【分析】操作一：（1）利用补角的定义解答即可； （2）根据垂直的定义建立方程求解即可； 操作二：分三种情况：①；②；③，分别建立方程求解即可． 【解答】（1）解：∵，， ∴， 由题意可知， ∴， ∴图1中与互补的角为和． 故答案为：和； （2）解：∵将图1中的三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转t秒， ∴三角尺旋转角度为度， 若，则需顺时针旋转或， ∴或， 解得：或， 答：旋转的时间秒或秒． 【操作二】存在． ∵的旋转速度是旋转速度的3倍， ∴， 设，则， ∵， ∴， 分三种情况讨论， ①当时，， 若， 则， ∴，不符合题意，舍去， 若， 则， ∴，不符合题意，舍去， ②当时，，， 若， 则， ∴， 则， 若， 则， ∴， 则， ③当时，，， 若， ， ∴， 则， 若， 则， ∴， 则， 故答案为：，，，． 4．（2023-2024七年级下·湖南邵阳·期末）如图1，点，，依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度转动，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度转动，直线保持不动，如图2，设转动时间为（，单位：秒） （1）当时，求的度数； （2）在转动过程中，当第二次达到时，求的值； （3）在转动过程中是否存在这样的，使得射线与射线垂直？如果存在，请求出的值：如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）130度； （2）24； （3）当或27或45时，射线与射线垂直． 【分析】（1）根据题意，求出和的度数，即可得到的度数； （2）由题意可知，，，当第二次达到时，，据此即可求出的值； （3）分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时，分别求解，即可得到的值． 【解答】（1）解：当时，，， ； （2）解：由题意可知，，， 如图，当第二次达到时，此时， ， 解得：， 即时，第二次达到； （3）解：．由题意可知，，， ， ①如图，当时，此时，， ， 解得：； ②如图，当时，此时， ， 解得：； ③如图，当时，此时，， ， 解得：， 综上可知，当或27或45时，射线与射线垂直． 5．（2023-2024七年级·天津南开·期末）如图1，已知，点O为直线上一点；在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点C处，三角板一边在射线上，另一边ON在直线的下方． （1）在图1的时刻，的度数为 ，的度数为 ； （2）如图2，当三角板绕点O旋转至一边恰好平分时，的度数为 ； （3）如图3，当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，的度数 为 ； （4）在三角板绕点O旋转一周的过程中，与的关系为 ． 【答案】（1）120，150；（2）30；（3）30；（4）：或，或，或． 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，认真审题并仔细观察图形，熟记角平分线的定义，找到各个角之间的关系是解题的关键． （1）由平角的定义可求和的度数，进而可求的度数； （2）由角平分线的定义求出，再根据角的和差关系解答即可； （3）由，，可得，然后作差即可； （4）分两种情况：当三角板绕点O旋转至一边在的内部时；当三角板绕点O旋转至一边不在的内部时，分别根据对顶角相等和周角的定义计算即可． 【解答】（1）解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：120，150； （2）解：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴； 故答案为：30； （3）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， 即； 故答案为：30； （4）解：分两种情况： 当三角板绕点O旋转至一边在的内部时， 如图，设的延长线为，则， ∵， ∴， ∵， ∴． 当三角板绕点O旋转至一边不在的内部时， 如图： ∵，， ∴； 都在内时，； 都在的对顶角内时，． 综上所述，∠COM与∠AON的关系为：或，或，或． 故答案为：或，或，或． 【题型2】 平行线中的角度综合计算 6.（2023-2024七年级·全国·期末）如图，已知点在上，点G在上，于点A，于点D，若，求的度数． 解：∵（  ）， ∴ （  ）， ∴ （  ）， ∴（（  ）， 又∵已知， ∴（  ）， ∴ （  ）， ∴ （  ）， ∵（已知）， ∴ ． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定定理和性质定理，进行作答即可． 【解答】解：解：∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又∵已知， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∵（已知）， ∴． 7.（2023-2024七年级·宁夏石嘴山·期中）如图，已知，点，分别是射线，上的点，，，分别平分和． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）先由平行线的性质得到，再由角平分线的定义得到，据此可得； （2）先证明，得到，则，再证明，得到，则，可得． 【解答】（1）解：∵， ∴， ∵，分别平分和， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8.（2023-2024七年级·北京西城·期中）如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，． (1)请对说明理由； (2)若平分，，求扶手与靠背的夹角的度数． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（）结合题意，根据对顶角相等推出，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解； （）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可； 本题主要考查了平行线的判定与性质的运用，角平分线的定义，平行公理推论，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【解答】（1）解：理由如下：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵与底座都平行于地面， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 9.（2023-2024七年级·辽宁铁岭·期末）已知直线，点在、之间，点、分别在直线、上，连接、． (1)如图1，直接写出之间的数量关系； (2)如图2，平分，平分，当时，求出的度数； (3)如图3，若点在的下方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题． （1）如图，过点作，根据平行线的性质得到，，等量代换即可得到结论； （2）如图，过点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，得到，作，于是得到结论； （3）如图，过点作，设，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，根据角平分线的定义得到，作，于是得到结论． 【解答】（1）解：，理由如下： 如图，过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作， 同理可得，， ，， ， 平分，平分， ，， ， 作，同理可得，； （3）解：如图，过点作， 设， ， 平分， ， ， ，， ， ， 平分， ， 作，同理可得，． 10.（2023-2024七年级·全国·期末）如图，已知，，，点E、F为、之间的两点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由； (3)如图3，已知平分，平分，反向延长交于点P，求的度数． 【答案】(1)； (2)的度数是定值； (3)． 【分析】（1）如图，过作，过作，证明，证明，，从而可得答案； （2）如图，过作，过作，证明，可得，，，再利用角的和差运算可得结论； （3）如图，∵平分，平分，可得，，由三角形的内角和定理可得 ，结合（2）得：，从而可得． 【解答】（1）解：如图，过作，过作， ∵， ∴，而，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，是定值，理由如下： 如图，过作，过作， ∵， ∴，而，， ∴，，， ∴； （3）解：如图，∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∵由（2）得：， ∴， ∴． 【点评】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，熟练的构建平行线，利用平行线的性质解决问题是解本题的关键． 【题型3】 利用平行线的判定和性质判断多结论问题 11.（2024七年级·北京·专题练习）如图，在中，的平分线相交于F，过点F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的是（ ） ①；②；③；④． A．①② B．③④ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质．根据三角形内角和定理对①进行判断；根据角平分线定义和三角形内角和定理得到，则可对②进行判断；根据平行线的性质对③进行判断；先根据角平分线的性质得到，然后根据平行线的性质对④进行判断． 【解答】∵， ∴，所以①正确； ∵的平分线相交于F，， ∴ ∴，所以②错误； ∵， ∴，所以③正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴，所以④错误． 答案：C． 12.（2023-2024七年级·河北沧州·期中）如图，已知，，，．则下列结论：①；②平分；③；④． 正确的是（   ） A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，同角（等角）的余角相等，平行线的判定等知识，根据得到，判断①正确；根据，，得到③正确；根据， 证明，进行角的代换证明，得到④正确；证明，判断②不正确． 【解答】解： ， ，， 故①正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ， ③正确； ， ， ， ， ， ④正确； ， ，不能判断平分； ②不正确； 故正确的是①③④ 故选：A． 13.（2023-2024七年级下·湖北武汉·期中）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC．则下列结论：①；②GK平分∠AGC；③；④∠MGK＝16°．其中正确结论的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理得到，故①正确；由平行线的性质得到∠AGK=∠CKG，等量代换得到∠AGK=∠CGK，求得GK平分∠AGC；故②正确；根据平行线同旁内角互补得，再根据题目已知∠CKG＝∠CGK，得，又根据，得，但根据现有条件无法证明GD=GC，故③错误；设∠AGM=α，∠MGK=β，得到∠AGK=α+β，根据角平分线的性质即可得到结论． 【解答】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D， ∴∠EAD=∠B， ∴，故①正确； ∴∠AGK=∠CKG， ∵∠CKG=∠CGK， ∴∠AGK=∠CGK， ∴GK平分∠AGC；故②正确； ∵， ∴， ∵∠CKG＝∠CGK， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 要使，就要使且， ∴就要GD=GC， 但题目没给出这个条件且利用现有条件也无法证明GD=GC， ∴故③错误； 设∠AGM=α，∠MGK=β， ∴∠AGK=α+β， ∵GK平分∠AGC， ∴∠CGK=∠AGK=α+β， ∵GM平分∠FGC， ∴∠FGM=∠CGM， ∴∠FGA+∠AGM=∠MGK+∠CGK， ∴37°+α=β+α+β， ∴β=18.5°， ∴∠MGK=18.5°，故④错误， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，对顶角性质，正确的识别图形是解题的关键． 14.（2023-2024七年级·福建泉州·期末）如图，∠C=90°，∠CAB=30°，AD∥BE，∠DAE=120°．给出以下结论：①∠2=∠EAB；②CA平分∠DAB；③∠1+∠2=90°；④BC∥AE． 其中正确的结论有 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③/③① 【分析】先由∠BAC=30°、∠C=90°得到∠ABC=60°，从而得到∠ABE+∠2=120°，再利用平行线的性质得到∠2=∠EAB；再结合∠BAC=30°、∠DAE=120°得到∠EAB+∠1=90°，进而得到∠1+∠2=90°；由∠1+∠EAB=90°得到∠1=90°-∠EAB，然后由∠EAB的度数不固定得到∠1不一定等于30°，即∠1=∠BAC不一定成立，进而得到CA不一定平分∠DAB；同理可知∠2=60°不一定成立． 【解答】解：∵∠BAC=30°，∠C=90°， ∴∠ABC=60°， ∴∠ABE+∠2=180°-∠ABC=180°-60°=120°， ∵AD∥BE， ∴∠ABE=∠BAD， ∵∠DAE=120°， ∴∠BAD+∠EAB=120°，即∠ABE+∠EAB=120°， ∴∠2=∠EAB，故①正确，符合题意； ∵∠BAC=30°，∠DAE=120°， ∴∠EAB+∠1=90°， ∵∠EAB=∠2， ∴∠1+∠2=90°，故③正确，符合题意； ∵∠1+∠EAB=90°， ∴∠1=90°-∠EAB， ∴∠1的大小随∠EAB的大小变化而变化， ∵∠EAB的度数不固定， ∴∠1=30°不一定成立，即∠1=∠BAC不一定成立， ∴AC不一定平分∠DAB，故②错误，不符合题意； 同理可知，∠2=60°不一定成立， ∴BC∥AE不一定成立，故④错误，不符合题意． 故答案为：①③． 【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟知平行线的性质． 15.（2023-2024七年级·福建福州·阶段练习）如图，已知平分交于B，，点E在上，且，那么，下列判断中①平分；②；③；④，正确的是 ． 【答案】①②③ 【分析】利用，，可以推出；利用平行线性质和角平分线的定义，可以推出，可证；利用三角形内角和定理和可证；现有条件无法推出． 【解答】解：， ， ， ， ， ， 平分，，①正确； 平分， ， ， ， ， ，②正确； ， ，③正确； 根据已知条件无法推出，④错误； 故答案为：①②③． 【点评】本题考查平行线的性质和判定，垂直的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识点，根据已知条件综合运用上述知识进行推理是解题的关键． 【题型4】 平行线的判定和性质的综合 16.（2023-2024七年级下·江苏镇江·期末）已知：如图，∠BAP+∠APD =180°，∠1 =∠2.求证：AE∥PF． 【答案】见解析 【分析】由∠BAP+∠APD =180°可得AB∥CD，进而得到∠BAP=∠CPA,然后根据角的和差可得∠EAP=∠FPA运用内错角相等、两直线平行证明即可. 【解答】证明：∵∠BAP+∠APD =180° ∴AB∥CD ∴∠BAP=∠CPA ∵∠1 =∠2 ∴∠BAP-∠1=∠CPA-∠2，即∠EAP=∠FPA ∴AE∥PF 【点评】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是灵活应用平行线的性质定理和判定定理. 17.（2023-2024七年级下·广东江门·期末）如图，已知，，三点在同一直线上，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质，先求得，进而可得到，问题得证． （2）根据平行线的性质，可求得的度数，根据三角形内角和定理，可求得的度数，进而可求得答案． 【解答】（1）∵， ∴． ∴． 又， ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∴． 又， ∴． 【点评】本题主要考查平行线的性质及判定，牢记平行线的性质及判定定理是解题的关键． 18.（2023-2024七年级下·安徽六安·期末）如图1，已知点B和点C分别是和上的点，，． (1)试说明：； (2)如图2，连接，已知，． ①当时，，求的度数； ②若，则__________．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）先根据证明，得到，进而可证，根据同旁内角互补两直线平行可证； （2）①由可得，由可得，进而求出，结合可求出； ②由可求得，进而求出，，然后根据两直线平行同位角相等可求的度数． 【解答】（1）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （2）①∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ②∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为： 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． 19.（2023-2024七年级·山西吕梁·期末）阅读下列材料，完成相应任务． 台球中的数学 如图1是台球桌面实物图，图2是抽象出的数学图形，已知长方形桌面中，，一个球在桌面上的点处滚向桌边，碰到上的点后反弹，再碰到边上的点后，再次反弹进入底袋点．在球碰到桌边反弹的过程中，击出线与桌边的夹角等于反弹线与桌边的夹角，同理． 任务一：如图2，求证：； 任务二：如图3，若球在桌面的点处，经过两次反弹后碰到边上的点处，若，请你判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】任务一：见解析，任务二：，理由见解析 【分析】任务一：由，可得∠2=∠3，再利用平角的定义可得，则； 任务二：由任务一同理可说明结论． 【解答】任务一： 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 任务二：由题意可知，， ∵， ∴， ∵，， ∴ ， ∴． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，生活中的轴对称现象等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 20.（2023-2024七年级·黑龙江哈尔滨·期中）点在射线上，点、为射线上两个动点，满足，，平分． (1)如图，当点在右侧时，求证：； (2)如图，当点在左侧时，求证：； (3)如图，在的条件下，为延长线上一点，平分，交于点，平分，交于点，连接，若，，则的度数是多少． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）通过证明∠DBF=∠EFG，利用同位角相等，两直线平行即可得出结论； （2）过点E作GH∥BD，交AD于点H，利用（1）的结论和平行线的性质即可得出结论； （3）设∠BDM=∠MDG=α，则∠BDG=∠EDG=∠DGB=2α，∠PDE=180°-4α，∠PDM=180°-α；利用已知条件用含α的式子表示∠PDN，∠EDN，∠GDN，∠DNG，再利用∠DBF-∠DNG=∠EDN，得到关于α的方程，解方程求得α的值，则∠B=180°-4α，结论可求． 【解答】（1）证明：平分， ， 又， ， ， ， ， ， ； （2）证明：过点作，交于点，如图， 由（1）可知：， ， ，， ， ； （3）解：设， 则，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，利用平行线的性质和角平分线的定义得出角度的关系式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$