精品解析：广西百色市普通高中2024-2025学年高二上学期期末教学质量调研测试数学试题

2024-2025学年广西百色市普通高中高二上学期期末教学质量调研测试数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的虚半轴长为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，三棱锥中，，，，点N为BC中点，点M满足，则（ ） A B. C. D. 4. 等差数列的前n项和为，其中，则的值是（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 4 5. 已知直线方向向量为，且过点，则点到直线的距离为（ ） A 1 B. 2 C. D. 6 6. 已知圆和圆，则（ ） A. 圆与圆相切 B. 两圆公共弦所在直线的方程为 C. 两圆的公切线段长为3 D. 有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 7. 设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与抛物交于，两点，为抛物的准线，则（ ） A. B. C. 以线段为直径的圆与轴相切 D. 为等腰三角形 8. 已知为数列的前n项和，且，若对任意正整数n恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆，则下列正确的是（ ） A. 焦点在x轴 B. 焦点在y轴 C. 焦距是 D. 焦距是2 10. 如图，已知正方体的边长为2， 分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面AEF C. 异面直线与EF所成角的余弦值为 D. 点到平面AEF的距离为2 11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．记斐波那契数列为，其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，，且与互相平行，则实数k的值为__________. 13. 已知数列通项，则其前15项的和等于_______. 14. 已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：，直线： （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 16. 已知圆． （1）若直线经过点,且与圆相切,求直线的方程； （2）设点,点在圆上,为线段的中点,求的轨迹的长度． 17. 如图，在四棱锥中，，，，，平面平面，为中点． （1）平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在一点，使∥平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值． 18. 如图，已知椭圆：（）上的点到其左焦点的最大矩离和最小距离分别为和，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点. （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线的方程； （3）当直线，均不与轴垂直时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 19. 设数列的前n项和为.若对任意正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”. （1）已知数列是等差数列，且，求证：数列是“H数列”； （2）若数列首项，且，，证明：数列不是“H数列”； （3）设是等差数列，其首项，公差若是“H数列”，求d的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广西百色市普通高中高二上学期期末教学质量调研测试数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据即可求解出斜率． 【详解】直线的斜率为， 故选：C． 2. 双曲线的虚半轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化双曲线方程为标准方程，求出的值，即可得出该双曲线的虚半轴长． 【详解】将双曲线的方程化为标准方程得，则，， 可得双曲线的虚半轴长为. 故选：D. 3. 如图，三棱锥中，，，，点N为BC中点，点M满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算求解. 【详解】因为三棱锥中，，，，且点N为BC中点，点M满足， 所以 故选：B 4. 等差数列的前n项和为，其中，则的值是（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的前n项和公式求解即可． 【详解】解：由等差数列的定义和性质可得， 再由，可得， 故 故选：A 5. 已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】用空间向量法求点到直线的距离. 【详解】因为，所以点到直线l的距离为 ， 故选：C 6. 已知圆和圆，则（ ） A. 圆与圆相切 B. 两圆公共弦所在直线的方程为 C. 两圆的公切线段长为3 D. 有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 【答案】D 【解析】 【分析】利用之间的数量关系确定判断圆与圆的位置关系可判断A；通过两圆的方程相减得公共弦所在直线的方程即判断B；由结合勾股定理求解可判断C;根据两圆位置关系结合半径大小可知公切线，由此判断D. 【详解】解：由题可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径 对于A，显然，圆与圆相交，故A错误; 对于B，易知两圆相交，将方程与相减， 得公共弦所在直线的方程为，故B错误; 对于C，因为，， 所以公切线段长为，故C错误; 对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条， 又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P， 即过点P可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确; 故选：D. 7. 设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与抛物交于，两点，为抛物的准线，则（ ） A. B. C. 以线段为直径的圆与轴相切 D. 为等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】选项A：直线与轴交点即为抛物线的焦点，可得；选项B：抛物线方程为，联立方程可得，进而可得； 选项C：根据线段的中点与半径相等，可判断；选项D：根据，可判断. 【详解】 对于A，因为过抛物线的焦点，则焦点，，A选项错误； 对于B，抛物线方程为： ，与 交于 两点， 将直线方程代入抛物线方程可得， ，所以 ， 所以 ，故B不正确； 对于C，由选项B可知，由方程可得或， 又到的距离等于到准线的距离，且准线方程为， 当时，，则圆的半径为2，又以线段为直径的圆的圆心的横坐标为， 故以线段为直径的圆与轴相切， 当时，，则圆的半径为，又以线段为直径的圆的圆心的横坐标为， 故以线段为直径的圆与轴相切， 故C正确； 对于D，由B得， ，解得 或 ， 不妨设 ，则 ， 所以 ， ， 所以 不等腰三角形，故D错误； 故选：C 8. 已知为数列的前n项和，且，若对任意正整数n恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用求出，再对给定不等式分离参数，构造数列并由单调性求出最大项即可. 详解】数列中，，当时，，即， 当时，，解得，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 因此，，依题意，对任意正整数n恒成立， 令，由，得，即数列单调递减， 则，于是，所以实数的取值范围是. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆，则下列正确的是（ ） A. 焦点在x轴 B. 焦点在y轴 C. 焦距是 D. 焦距是2 【答案】BD 【解析】 【分析】先把椭圆方程转化为标准方程，再分别判断各个选项即可. 【详解】方程可化为， 表示焦点在y轴的椭圆，A错误，B正确； 由方程可得，，， 故焦距，C错误，D正确. 故选：BD. 10. 如图，已知正方体的边长为2， 分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面AEF C. 异面直线与EF所成角的余弦值为 D. 点到平面AEF的距离为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图建系，写出相关点的坐标，根据各选项内容分别求出相关向量，利用空间向量垂直、夹角、距离等公式计算即可逐一验证判断. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，. 对于A，因， 则，故，A正确； 对于B，，， 设平面AEF的法向量为， 则故可取， 因，则，又平面AEF， 故平面AEF，故B正确； 对于C，因， 则异面直线与EF所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，，由上分析已得平面AEF的法向量为， 则点到平面AEF的距离为，D正确. 故选：ABD. 11. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．记斐波那契数列为，其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用给定定义逐个选项分析数列性质求解即可. 【详解】依题意可得，A正确； 由，B错误； ，C正确； ，累加得，D正确． 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题考查数列，解题关键是利用题目给定定义，然后结合累加法得到所证明的等量关系即可． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，，且与互相平行，则实数k的值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标计算公式列出方程，计算即得. 【详解】向量 ，，  ， 与互相平行，，  ，解得 故答案为： 13. 已知数列的通项，则其前15项的和等于_______. 【答案】 【解析】 【分析】将通过分母有理化，化简得出，再利用裂项相消法求出前15项的和. 【详解】利用分母有理化得， 设数列的前项的和为，所以前15项的和为： 即：. 故答案为：3. 【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前项的和，还运用分母有理化化简通项公式，属于基础题. 14. 已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设为右焦点，由题意，，利用椭圆和双曲线的性质有，最后用均值不等式即可求解． 【详解】设为右焦点，半焦距为，，， 为中点，线段的垂直平分线经过坐标原点，为中点，则， 由，， 则，，，所以，从而有， 故， 当且仅当，即时取等，所以的最小值为. 故答案为：． 【点睛】思路点睛： 关于离心率问题，可以根据条件得到关于a，c的齐次式，设，，利用椭圆和双曲线的性质有，，结合，得到，利用基本不等式求的最小值即可． 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：，直线： （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）（2）利用直线平行、垂直的判定列方程求参数值，对于平行情况需要验证所得参数是否符合要求. 【小问1详解】 由，则，即， 所以或， 当，，，两线重合，不合题设； 当，，，符合题设； 综上， 【小问2详解】 由，则，即， 所以，即或. 16. 已知圆． （1）若直线经过点,且与圆相切,求直线的方程； （2）设点,点在圆上,为线段的中点,求的轨迹的长度． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）易判断点A在圆,因此切线方程有两条,分直线的斜率不存在和直线斜率存在讨论即可； （2）利用相关点法求出的轨迹方程，进而可求的轨迹的长度. 【小问1详解】 圆C的标准方程为: , 点在圆外, 故过点A且与圆C相切的直线有2条， ①当直线的斜率不存在时, 圆心到直线的距离 直线与圆C相切. (2)当直线的斜率存在时,可设直线,即 圆心C到直线的距离, 由题意,解得, 此时,即, 终上所述,直线的方程为或. 【小问2详解】 设因为为的中点, 所以, 点E圆C上 , 即， 即， 所以点的轨迹是以为圆心,为半径的圆, 的轨迹的长度为. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，平面平面，为中点． （1）平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在一点，使∥平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值． 【答案】（1）证明见详解 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，再结合面面垂直的性质分析证明； （2）建系标点，求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角； （3）设，利用空间向量结合线面平行可得，即可得结果. 【小问1详解】 因为，为中点，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 以为坐标原点，分别为轴，平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得 由题意可知：平面的法向量， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 线段上是否存在一点，使平面. 设，则， 若平面，则， 可得，解得， 即，可知， 所以存在点，使平面，此时. 18. 如图，已知椭圆：（）上的点到其左焦点的最大矩离和最小距离分别为和，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点. （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线的方程； （3）当直线，均不与轴垂直时，设直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为和，由求解； （2）设直线的方程为，，，由，利用韦达定理，结合弦长公式求解； （3）利用（2）中的韦达定理，由证明. 【小问1详解】 解：由椭圆：上的点到其左焦点的最大距离和最小距离分别为和， 结合椭圆的几何性质，得， 解得，则， 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 解：设直线方程为，，. 由消去，整理得. 由，得， 则，. ， 解得或 当时，直线的方程为，此时直线过点； 当时，直线的方程为，满足题目条件. 所以直线的方程为. 【小问3详解】 证明：因为直线，均不与轴垂直， 所以直线：不经过点和，则且， 由（2）可知，， ， 为定值. 【点睛】思路点睛：本题第三问的基本思路是先建立模型，再根据点在直线上进行消元，然后利用韦达定理求解. 19. 设数列的前n项和为.若对任意正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”. （1）已知数列是等差数列，且，求证：数列是“H数列”； （2）若数列的首项，且，，证明：数列不是“H数列”； （3）设是等差数列，其首项，公差若是“H数列”，求d的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用“H数列”的定义，对于，只需取，即可证明，从而得证； （2）先由条件推出数列为等比数列，写出其通项与前项和公式，运用反证法，分与两种情况分析，导出矛盾，推翻假设即可证明； （3）由等差数列是“H数列”，可得“对任意的，都存在使得”，由此求出，分析可得“对任意的，恒成立”，又，即得 【小问1详解】 因为，设公差为，， 令，则，于是， 即对任意正自然数n，存在正自然数m，使得， 故数列是“H数列”； 【小问2详解】 因，，则， 故是以1为首项，2为公比的等比数列， 从而，， 假设数列是“H数列”， 则对任意正整数n，总存在正整数m，使得， 当时，有，则； 当时，有，左边为奇数，右边为偶数，该方程无解， 所以对任意正整数，不存在正整数m，使得， 所以数列不是“H数列”； 【小问3详解】 依题意，，， 若是“H数列”， 则对任意的，都存在使得， 即， 解得， 又因为，而， 故对任意的，需使恒成立，因， 所以 【点睛】关键点点睛：本题对数列作出了新的定义，根据数列的通项公式和数列前项和公式以及数列新的定义，建立等量关系是本题的关键.当方程有解时，则数列是“H数列”；当方程无解时，则数列不是“H数列”；当数列是“H数列”时，则方程必有解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $