27.2.2相似三角形的性质 课时作业2024-2025学年人教版数学 九年级下册

人教版九年级下册数学27.2.2相似三角形的性质 课时作业 一、单选题 1．如图，在锐角中，，现进行如下操作： ①分别以为圆心，大于长为半径作弧交于相异两点； ②连接两点交于，以为圆心，长为半径作； ③在上取点，点在内部，连接． 设，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间的函数关系的图象大致为（　　） A． B． C． D． 3．已知分别为的重心、内心，分别表示边上的高，用表示内切圆的半径，，则的值是（    ） A．6 B．3 C． D．其值与边长的长度有关 4．在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的变成了，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 5．如图，，若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，垂足为点，以下条件中不能推出为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，D是等边三角形ΔABC边上的点，AD＝3，BD＝5，现将ΔABC折叠，使点C与点D重合，折痕为EF，且点E点F分别在边AC和BC上，则的值为(    )     A． B． C． D． 8．如图，正方形ABCD边长为4，M，N分别是边BC，CD上的两个动点且AM⊥MN，则AN的最小值是(　　) A．4 B．5 C．2 D．4 二、填空题 9．如图，在△ABC中，D、F在BC上，且BD=DF=FC，连接AD、AF，E、G分别在AF、AC上，且ED∥AB，GF∥AB，则的值为 ． 10．如图，已知中，，，点在的延长线上，连接，点在边上，连接交于点，若，，则的长为 . 11．如图所示，n+1个直角边长为3的等腰直角三角形△AB1C1，△C1B2C2……，斜边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2面积为S2，…，△Bn+1DnCn的面积为Sn，则S1＝ ；S4＝ ． 12．已知点P为等边三角形的重心，D为一边上的中点，如果这个等边三角形的边长为2，那么 ． 13．中，，，点是的重心，则点到的中点的距离是 ． 三、解答题 14．如图，已知的边所在的直线是的切线，切点为，经过圆心并与圆相交点，，过点作直线，交的延长线于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径． 15．正方形边长为3，点是上一点，连接交于点． (1)如图1，若，求的值； (2)如图1，若，求证：点是的中点； (3)如图2，点为上一点，且满足，设，，试探究与的函数关系． 16．22．（1）【问题背景】 如图1，在等边△ABC中，点M是BC边上一点，连接AM，以AM为边作等边△AMN（A，M，N按逆时针方向排列），连接CN，求证：AC=CM+CN （2）【变式探究】 如图2，已知△ABC∽△ADE，请指出图中的另外一对相似三角形并进行证明； （3）【拓展应用】如图3，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，点D在BC边上，求的值和∠DCE的度数． 17．如图，抛物线过原点，且与轴交于点． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）已知为抛物线上一点，连接，，，求的值； （3）在第一象限的抛物线上是否存在一点，过点作轴于点，使以，，三点为顶点的三角形与相似，若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A A C B D A B 1．B 【分析】 由题中几何作图可知，①作的是的中垂线；②是以为圆心，为半径作圆；③是作．作、交于点，连接．证明，再证明，根据相似三角形的性质易证为等腰直角三角形，推出三点共线，即可得出结论． 【详解】 解：由题中几何作图可知，①作的是的中垂线；②是以为圆心，为半径作圆；③是作． 作、交于点，连接． ，， ， ． 又， ， ． ． ． 由可知， 又， ，即为等腰直角三角形． 三点共线． ， ，即，A、C、D错误， 故选：B． 【点睛】 本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理． 2．A 【详解】设身高GE=h，CF=l，AF=a， 当x≤a时， 在△OEG和△OFC中， ∠GOE=∠COF（公共角），∠AEG=∠AFC=90°， ∴△OEG∽△OFC， ∴， ∵a、h、l都是固定的常数， ∴自变量x的系数是固定值， ∴这个函数图象肯定是一次函数图象，即是直线； ∵影长将随着离灯光越来越近而越来越短，到灯下的时候，将是一个点，进而随着离灯光的越来越远而影长将变大． 故选A． 3．A 【分析】本题考查了三角形的重心的性质，三角形的内心的性质，全等三角形的性质与判定；延长交分别为，过点分别作的垂线，垂足分别为，连接，证明，得出，进而根据得出，即可求解． 【详解】如图所示，延长交分别为，过点分别作的垂线，垂足分别为，连接， ∵为的内心， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为的重心， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 4．C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解答，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：因为复印出来的图形与原图形是相似图形，其相似比为，故其面积比为， 所以复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的倍， 故选：． 5．B 【分析】先根据相似三角形的性质得出，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和三角形的内角定理，熟知相似三角形的对应角相等是解答的关键． 6．D 【分析】此题根据直角三角形的定义和相似三角形的判定方法判断即可． 【详解】A. 因为    ，，所以，即为直角三角形，故A正确． B. 因为，而且，所以，那么，因为，所以，即为直角三角形，故B正确． C. 因为，而且，所以，那么，即为直角三角形，故C正确． D. ，而且，所以，因为，所以两三角形全等，只能说明为等腰三角形，无法说明是直角三角形，故D错误． 故选：D 【点睛】此题考查相似三角形，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 7．A 【分析】根据等边三角形的性质、相似三角形的性质得到∠AED=∠BDF，根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=3+5=8， 由折叠的性质可知，∠EDF=∠C=60°，EC=ED，FC=FD， ∴∠AED=∠BDF， ∴△AED∽△BDF， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、翻转变换的性质是解题的关键． 8．B 【分析】在Rt△ADN，，而AD=4为定值，所以当DN取最小值时，AN也取最小值．于是设BM=x，利用△ABM∽△MCN，求出CN的长，即可表示出DN的长，根据二次函数的最值求法即可得到正确结果． 【详解】解：∵AM⊥MN ∴∠AMB+∠CMN＝90° 而∠AMB+∠MAB＝90° ∴∠MAB＝∠NMC 又∵∠B＝∠C＝90° ∴△ABM∽△MCN ∴ 若设BM＝x，则CM＝4﹣x 于是有 ∴CN＝x(4﹣x) ∴DN＝4﹣CN＝x2﹣x+4 ＝ (x﹣2)2+3 即：当BM＝2时，DN取最小值为3， 而AN＝，而AD＝4为定值，所以当DN取最小值时，AN也取最小值 此时AN＝＝5 即当DN取最小值3时，AN也取最小值5． 故选B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质应用与二次函数求最值的结合，把代数与几何问题进行了相互渗透，本题中运用二次函数求线段的最值是解题的关键． 9． 【分析】由BD=DF=FC知=、=，证△ABF∽△EDF得DE=AB，证△ABC∽△GFC得GF=AB，从而得出答案． 【详解】解：∵BD=DF=FC， ∴=、=， ∵ED∥AB， ∴△ABF∽△EDF， 则==2， ∴DE=AB， ∵GF∥AB， ∴△ABC∽△GFC， ∴==3， ∴GF=AB， 则==， 故答案为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 10． 【分析】过作交于，利用等边对等角得出，，结合三角形外角的性质可得出，利用平行线的性质，三角形外角的性质可得出，证明，得出，证明，求出，即可求解． 【详解】解：如图，过作交于， ，， ，， 又，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质，平行线的性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 11． 【分析】连接B1、B2、B3、B4、B5，则B1B5∥AC5，通过三角形相似依次表示出S1、S2、S3、S4． 【详解】解：连接B1、B2、B3、B4、B5，如图所示： ∵n+1个直角边长为3的等腰直角三角形斜边在同一直线上，B1、B2、B3、B4、B5的连线与直线AC5平行， ∵等腰直角三角形的直角边长为3， ∴＝×3×3＝ ， 由题意可知，△B1C1B2为直角边为3的等腰直角三角形， ∴△AC1D1∽△B2B1D1 ∴＝＝1， S1＝ ， 同理可得△B2D2B3∽△C2D2A， ∴＝＝， ∴S2＝, 同理可得：△B3D3B4∽△C3D3A， ∴＝＝， S3＝, ∴S4＝． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解题的关键． 12． 【分析】本题主要考查了重心的概念，等边三角形的性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．延长交于点，根据重心的概念得到，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：延长交于点， 等边， ， D为一边上的中点， ， ， 点P为等边三角形的重心， ． 故答案为：． 13．1 【分析】此题考查了重心的性质，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意画出图形，首先根据重心的性质得到是边上的中线，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到，然后根据重心的性质求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵点是的重心， ∴是边上的中线 ∵，， ∴ ∵点是的重心， ∴ ∴． 故答案为：1． 14．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，进而可证得，根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到即可证得结论； （2）连接，先利用圆周角定理和勾股定理求得，再证明得到，进而求得即可求解 【详解】（1）证明：连接， ∵边所在的直线是的切线， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：连接， ∵经过圆心并与圆相交点，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴即， 解得：， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，证明求解是解答的关键． 15．(1)； (2)见解析； (3)（0≤x≤3）； 【分析】（1）由勾股定理可得AC的长，再由△ECF∽△BAF便可解答； （2）过点F作FH⊥BC于H，由△CFH∽△CAB求得，再由△ECF∽△BAF便可证明； （3）由△ECF∽△BAF求得，再由△CAG∽△CBF求得 ，代入化简即可解答； 【详解】（1）解：∵ABCD是正方形，∴AB=BC=3，∠ABC=90°，AB∥CD， ∴AC=， ∴△ECF∽△BAF，∴， ∴，∴CF=； （2）证明：如图，过点F作FH⊥BC于H， ∵，BC=3，∴FH=1， ∵FH⊥BC，AB⊥BC，∴FH∥AB， ∴△CFH∽△CAB，∴， ∴， ∵AB∥CD，∴△ECF∽△BAF，∴， ∴， ∴点是的中点； （3）解：如图， ∵AB∥CD，∴△ECF∽△BAF，∴， ∴，， ∵△CAG和△CBF中：∠ACG=∠BCF，∠CAG=∠CBF， ∴△CAG∽△CBF，∴， ∵CG=3-y，∴， ∴（0≤x≤3）； 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，比例的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 16．（1）见解析；（2）△ABD∽△ACE，理由见解析；（3）=   ∠DCE=90° 【分析】（1）由△ABC与△AMN均为等边三角形  可得AB=AC ， AM=AN ，∠BAC=∠MAN=60° ，再证△BAM≌△CAN（SAS），可得BM=CN 即可； （2）△ABD∽△ACE 理由如下  由△ABC∽△ADE ， 可得，可证即可； （3）由∠BAC=∠DAE=90°， 利用30°角直角三角形的性质与勾股定理，BC=2AC，AB=， DE=2AE，AD=，可得，再证△BAD∽△CAE，即可． 【详解】（1）证明：∵△ABC与△AMN均为等边三角形 ， ∴AB=AC ，AM=AN ，∠BAC=∠MAN=60° ， ∴∠BAM+∠MAC=∠CAN+∠MAC=60°， ∴∠BAM=∠CAN  ， 在△BAM和△CAN中， ， ∴△BAM≌△CAN（SAS） ， ∴BM=CN  ， ∵BC=BM+MC =CN+MC， ∴AC=CN+MC； （2）△ABD∽△ACE 理由如下   证明：∵△ABC∽△ADE  ， ∴， ∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE， ∴  ， ∴△ABD∽△ACE； （3）解：∵∠BAC=∠DAE=90°， 在Rt△BAC中，∠ABC=30°， ∴BC=2AC，AB=， ， 在Rt△DAE中，∠ADE=30°， ∴DE=2AE,AD=， ， ∴， ∵∠BAC=∠DAE=90° ∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=90°， ∴∠BAD=∠CAE， ∴△BAD∽△CAE， ∴，∠ABD=∠ACE， ∴∠DCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠ABD=90°． 【点睛】本题考查等边三角形性质，三角形全等判定与性质，30°直角三角形性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握等边三角形性质，三角形全等判定与性质，30°直角三角形性质，勾股定理，三角形相似判定与性质是解题关键． 17．（1）抛物线的解析式为；顶点的坐标为；（2）3；（3）点的坐标为或． 【分析】（1）用待定系数法即可求出抛物线的解析式，进而即可求出顶点坐标； （2）先将点C的横坐标代入抛物线的解析式中求出纵坐标，根据B,C的坐标得出，，从而有，最后利用求解即可； （3）设为．由于，所以当以，，三点为顶点的三角形与相似时，分两种情况：或，分别建立方程计算即可． 【详解】解：（1）∵抛物线过原点，且与轴交于点， ∴，解得． ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点的坐标为． （2）∵在抛物线上， ∴．    作轴于，作轴于， 则，， ∴，． ∴． ∵，． ∴． （3）假设存在． 设点的横坐标为，则为． 由于， 所以当以，，三点为顶点的三角形与相似时， 有或 ∴ 或． 解得或． ∴存在点，使以，，三点为顶点的三角形与相似． ∴点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$