第45讲 综合探究与综合运用-【教与学·课时导学案】2025年中考总复习数学课件PPT（广东专版）

2025 中考总复习 数学 45讲 综合探究与综合运用 第三部分 广东中考新动向 45讲 综合探究与综合运用 45讲 综合探究与综合运用 1． (2024·东营)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3． 【问题发现】(1)如图3－45－1①，将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系是 　 　，AD与BE的位置关系是　 　；  　AD⊥BE　 题型一　几何变换问题 　BE＝3AD　 图3－45－1 45讲 综合探究与综合运用 解：线段AD与BE的数量关系、位置关系与(1)中结论一致． 理由如下： 如答图3－45－1，延长DA交BE于点H．  ∵将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE， ∴AC＝DC＝1，BC＝CE＝3，∠ECB＝∠ACD．∴． ∴△BCE∽△ACD． ∴，∠CDA＝∠CEB．∴BE＝3AD． ∵在△ENH中，∠CEB＋∠ENH＝∠CDA＋∠CND＝90°，∴∠EHD＝90°． ∴AD⊥BE． 【类比探究】(2)将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系、位置关系与(1)中结论是否一致?若AD交CE于点N，请结合图3－45－1②说明理由； 答图3－45－1 图3－45－1 45讲 综合探究与综合运用 解：如答图3－45－2，过点C作CG⊥AB于点G． ∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3， ∴AB＝． ∵CG⊥AB，∴∠AGC＝∠ACB＝90°． 又∵∠A＝∠A，∴△ACG∽△ABC．∴，即．∴AG＝． ∵AC＝DC，CG⊥AB，∴AD＝2AG＝． 由(2)可知，BE＝3AD＝． 【迁移应用】(3)如图3－45－1③，将△CAB绕点C旋转一定角度得到△CDE，当点D落到AB边上时，连接BE，求线段BE的长． 答图3－45－2 图3－45－1 45讲 综合探究与综合运用 2． (2024·宿迁)在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动． 【操作判断】 操作一：如图3－45－2①，对折正方形纸片ABCD，得到折痕AC，把纸片展平； 操作二：如图3－45－2②，在边AD上选一点E，沿BE折叠，使点A落在正方形内部，对应点为点A'，得到折痕BE； 操作三：如图3－45－2③，在边CD上选一点F，沿BF折叠，使边BC与边BA重合，得到折痕BF． 把正方形纸片展平，得图3－45－2④，折痕BE，BF与AC的交点分别为G，H． 图3－45－2 45讲 综合探究与综合运用 图3－45－2 (1)根据以上操作，得∠EBF＝　 　°；  　45　 45讲 综合探究与综合运用 ∴△GBF为等腰直角三角形． 在△BGF中，∠BFG＝∠GBF＝45°，∴∠BGF＝90°． ∴B，C，F，G四点共圆．∴∠BFG＝∠BCG＝45°． 由(1)知∠GBF＝45°，即∠GBF＝∠GCF＝45°． ∵四边形ABCD是正方形，∴∠GCF＝∠BCG＝45°． 证明如下： 【探究证明】 (2)如图3－45－2⑤，连接GF，试判断△BFG的形状并证明； 解：△BFG为等腰直角三角形． 图3－45－2 45讲 综合探究与综合运用 ∴GM＝MF．∴EM＝MF． ∵∠BEF＋∠EFG＝∠EGQ＋∠FGQ＝90°，∴∠EFG＝∠FGQ． ∵∠PGB＝∠EGQ，∴∠BEF＝∠EGQ．∴EM＝GM． 由翻折可得∠AEB＝∠BEF． ∵PQ∥AD，∴∠PGB＝∠AEB． (3)如图3－45－2⑥，连接EF，过点G作CD的垂线，分别交AB，CD，EF于点P，Q，M．求证：EM＝MF； 证明：∵∠BGF＝90°，∴∠EGF＝90°． 图3－45－2 45讲 综合探究与综合运用 解：∵PQ∥BC，∴． 设AP＝a，则AB＝ak． ∵∠BAC＝45°，∠APQ＝90°，∴∠AGP＝45°．∴PG＝AP＝a． 如答图3－45－3，延长BF交PQ的延长线于点N，则．  由(3)知M为EF的中点，且PQ∥AD． ∴Q为DF的中点，即DQ＝QF＝AP＝a．∴CF＝CD－DF＝ak－2a． 答图3－45－3 【深入研究】 (4)若，请求出的值．(用含k的代数式表示) 45讲 综合探究与综合运用 ∵△FQN∽△FCB，∴．∴QN＝． ∵QG＝PQ－PG＝ak－a，∴GN＝QG＋QN＝a． ∴＋1．∴＋1． 答图3－45－3 45讲 综合探究与综合运用 题型二　几何背景动态问题 3． (2024·南充)如图3－45－3，正方形ABCD边长为6 cm，E为对角线AC上一点，CE＝2AE，点P在AB边上以1 cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BC边上以2 cm/s的速度由点C向点B运动，设运动时间为t s(0＜t≤3)． 图3－45－3 (1)求证：△AEP∽△CEQ； 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠PAE＝∠QCE＝45°． ∵CE＝2AE，AP＝t，CQ＝2t，∴． ∴△AEP∽△CEQ． 45讲 综合探究与综合运用 解：如答图3－45－4，过点E作EM⊥AB于点M， 过点E作EN⊥BC于点N．  由题意，得AE＝2，AM＝ME＝2，EN＝CN＝4， AP＝t，CQ＝2t，BQ＝6－2t，MP＝， BP＝6－t，QN＝． ∴EP2＝EM2＋MP2＝22＋(2－t)2＝t2－4t＋8， PQ2＝BP2＋BQ2＝(6－t)2＋(6－2t)2＝5t2－36t＋72， EQ2＝EN2＋NQ2＝42＋(2t－4)2＝4t2－16t＋32． (2)当△EPQ是直角三角形时，求t的值； 答图3－45－4 图3－45－3 45讲 综合探究与综合运用 ①当∠EPQ＝90°时，EQ2＝EP2＋PQ2，即4t2－16t＋32＝t2－4t＋8＋5t2－36t＋72． 整理得t2－12t＋24＝0．解得t1＝6－2，t2＝6＋2(不合题意，舍去)； ②当∠PEQ＝90°时，PQ2＝EP2＋EQ2，即5t2－36t＋72＝t2－4t＋8＋4t2－16t＋32． 整理得t－2＝0．解得t＝2； ③当∠PQE＝90°时，EP2＝PQ2＋EQ2，即t2－4t＋8＝5t2－36t＋72＋4t2－16t＋32． 整理得t2－6t＋12＝0．该方程无实数解． 综上所述，当△EPQ是直角三角形时，t的值为6－2或2． 45讲 综合探究与综合运用 (3)连接AQ，当tan∠AQE＝时，求△AEQ的面积． 答图3－45－5 解：如答图3－45－5，过点A作AF⊥AC，交CB的延长线于点F． ∵AF⊥AC，∠ACF＝45°，∴AF＝AC． 又∵CE＝2AE，∴．∴tan∠AFE＝． ∵tan∠AQE＝，∴∠AFE＝∠AQE． ∴A，F，Q，E四点共圆，直径为EF．设圆心为点O，作☉O如答图3－45－5．  ∴∠FQE＝90°． ∵∠ABF＝90°，∴AB∥EQ，△EQC是等腰直角三角形． ∴，即．∴QC＝QE＝4． ∴S△AEQ＝S△AQC－S△EQC＝QC·AB－QC·EQ＝×4×6－×4×4＝4(cm2)． 图3－45－3 45讲 综合探究与综合运用 4． (综合探究)如图3－45－4，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BC＝10 cm，AD＝8 cm，点P从点B出发，在线段BC上以每秒3 cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2 cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB，AC，AD于点E，F，H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t(t>0) s． 图3－45－4 45讲 综合探究与综合运用 ∴AE＝AF＝DE＝DF．∴四边形AEDF为菱形． ∴∠AEF＝∠AFE．∴AE＝AF． ∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C． ∵AB＝AC，AD⊥BC，AD⊥EF，∴∠B＝∠C，EF∥BC． 又∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线．∴AE＝DE，AF＝DF． 则H为AD的中点． 证明：如答图3－45－6，当t＝2时，DH＝AH＝4， 答图3－45－6 (1)当t＝2时，连接DE，DF，求证：四边形AEDF为菱形； 图3－45－4 45讲 综合探究与综合运用 (2)求△PEF的面积(用含字母t的式子表示)； 解：如答图3－45－7，由(1)知EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC．∴，即． 解得EF＝10－t．∴S△PEF＝EF·DH＝·2t＝－t2＋10t． 答图3－45－7 图3－45－4 45讲 综合探究与综合运用 答图3－45－8 (3)是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形?若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由． 解：存在． ①当∠PEF＝90°时，如答图3－45－8．  此时PE∥AD，PE＝DH＝2t，BP＝3t． ∵PE∥AD，∴，即． 解得t＝0(不合题意，舍去)．故此种情形不存在； 图3－45－4 45讲 综合探究与综合运用 答图3－45－9 ②当∠PFE＝90°时，如答图3－45－9． 此时PF∥AD，PF＝DH＝2t，BP＝3t，CP＝10－3t． ∵PF∥AD，∴，即．解得t＝； 45讲 综合探究与综合运用 ③当∠EPF＝90°时，如答图3－45－10，过点E作EM⊥BC于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则EM＝FN＝DH＝2t，EM∥FN∥AD． ∵EM∥AD，∴，即． 解得BM＝t．∴PM＝BP－BM＝3t－t＝t． 在Rt△EMP中，由勾股定理，得PE2＝EM2＋PM2＝(2t)2＋t2． ∵FN∥AD，∴，即．解得CN＝t．  ∴PN＝BC－BP－CN＝10－3t－t＝10－t． ∴EF＝MN＝PM＋PN＝t＋＝10－t． 答图3－45－10 45讲 综合探究与综合运用 在Rt△FNP中，由勾股定理，得PF2＝FN2＋PN2＝(2t)2＋t2－85t＋100． 在Rt△PEF中，由勾股定理，得EF2＝PE2＋PF2， 即＋(t2－85t＋100)． 化简，得t2－35t＝0．解得t1＝，t2＝0(不合题意，舍去)． 综上所述，当t的值为时，△PEF为直角三角形． 45讲 综合探究与综合运用 5． (综合运用)在平面直角坐标系中，O为原点，△DOE是等腰直角三角形，∠ODE＝90°，DO＝DE＝3，点D在x轴的负半轴上，点E在第二象限，矩形ABCO的顶点B(4，2)，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上．将△DOE沿x轴向右平移，得到△D'O'E'，点D，O，E的对应点分别为点D'，O'，E'． 图3－45－5 45讲 综合探究与综合运用 解：∵B(4，2)，∴OA＝BC＝2． 由平移的性质，得D'O'＝DO＝3， D'E'＝DE＝3，∠O'D'E'＝∠ODE＝90°． ∵△O'D'E'是等腰直角三角形， ∴∠E'O'D'＝45°． ∵∠O'OA＝90°， ∴△O'OA是等腰直角三角形． ∴OO'＝OA＝2． ∴OD'＝D'O'－OO'＝3－2＝1． ∴点E'的坐标为(－1，3)． (1)如图3－45－5①，当E'O'经过点A时，求点E'的坐标； 图3－45－5 45讲 综合探究与综合运用 (2)设OO'＝t，△D'O'E'与矩形ABCO重叠部分的面积为S． ①如图3－45－5②，当△D'O'E'与矩形ABCO重叠部分为五边形时，D'E'与AB相交于点M，E'O'分别与AB，BC交于点N，P，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； 图3－45－5 45讲 综合探究与综合运用 解：①由题意，得DD'＝OO'＝t，O'D'＝OD＝3，AB＝OC＝4，AO＝BC＝2，∠D'O'E'＝45°． ∴OD'＝t－3，CP＝CO'＝OO'－OC＝t－4，∠BPN＝45°，BP＝BN＝BC－ CP＝2－(t－4)＝6－t． ∴S＝S矩形ABCO－S矩形OD'MA－S△BPN＝4×2－2(t－3)－(6－t)2＝－t2＋4t－4． 如答图3－45－11，当点O'经过点C之后，再移动直至O'E'过点B之前时，重叠部分为五边形． 当点O'与点C重合时，t＝OC＝4． 当O″E″过点B时，CO″＝BC＝2． ∴t＝OO″＝6．∴当4＜t＜6时，重叠部分为五边形． 答图3－45－11 45讲 综合探究与综合运用 ②t的值为或5． 【提示】当0＜t≤2时， 此时重叠部分为等腰直角三角形，如答图3－45－12．  ∴S＝O'O2＝t2．当S＝时，t2＝．解得t＝±． ∵0＜t≤2，∴此种情况不存在；   答图3－45－12 (2)设OO'＝t，△D'O'E'与矩形ABCO重叠部分的面积为S． ②请直接写出满足S＝的所有t的值． 图3－45－5 45讲 综合探究与综合运用 答图3－45－13 当2＜t≤3时，重叠部分为直角梯形，如答图3－45－13，设O'E'分别与y轴，AB交于点H，G． ∵∠OO'H＝45°，∠HOO'＝90°，∴OH＝OO'＝t． ∵AG∥OO'，∴∠AGH＝∠OO'H＝45°．   ∴AG＝AH＝OH－OA＝t－2． ∴S＝S△OO'H－S△AGH＝t2－＝2t－2． 当S＝时，2t－2＝．解得t＝； 45讲 综合探究与综合运用 答图3－45－14 当3＜t≤4时，如答图3－45－14，设D'E'交AB于点H，E'O'交AB于点G． 此时HE'＝HG＝D'E'－D'H＝3－2＝1． ∴S＝S△D'O'E'－S△E'GH＝×3×3－×1×1＝4≠； 当4＜t＜6时，由①知S＝－t2＋4t－4． 当S＝时，－t2＋4t－4＝．解得t＝5或t＝3(不合题意，舍去)； 45讲 综合探究与综合运用 答图3－45－15 当6≤t＜7时，重叠部分为矩形D'CBH，如答图3－45－15．   此时D'C＝OC－OD'＝OC－(OO'－O'D')＝4－(t－3)＝7－t． ∴S＝2(7－t)＝14－2t． 当S＝时，14－2t＝．解得t＝(不合题意，舍去)． 综上所述，t的值为或5． 45讲 综合探究与综合运用 题型三　图形变化问题 6． 【问题初探】如图3－45－6①，四边形ABCD和BEFG都是正方形，BH⊥AE于点H，延长HB交CG于点M．通过测量发现CM＝MG．为了证明他们的发现，小亮想到了这样的证明方法：过点C作CN⊥BM于点N．他已经证明了△ABH≌△BCN，但接下来的证明过程，他有些迷茫了． 图3－45－6 45讲 综合探究与综合运用 (1)请你帮小亮将剩余的证明过程补充完整； ∴△CMN≌△GMQ(AAS)．∴CM＝MG． 又∵∠CMN＝∠QMG，∠CNM＝∠GQM＝90°， ∵△ABH≌△BCN，∴BH＝CN．∴CN＝GQ． ∴△EBH≌△BGQ(AAS)．∴BH＝GQ． ∴∠HBE＋∠QBG＝90°．∴∠QBG＝∠BEH． ∵四边形BEFG是正方形，∴BE＝BG，∠GBE＝90°． ∵BH⊥AE，∴∠GQB＝∠BHE＝90°，∠HBE＋∠BEH＝90°． 解：如答图3－45－16，过点G作GQ⊥BM于点Q．  答图3－45－16 图3－45－6 45讲 综合探究与综合运用 【深入研究】 (2)如图3－45－6②，将原题中的“正方形”改为“矩形”，且＝k(其中k>0)，求线段CM，MG的数量关系； 答图3－45－17 解： 如答图3－45－17，过点C作CN⊥BM于点N，过点G作GQ⊥BM于点Q．  ∵∠ABC＝90°，∴∠ABH＋∠CBN＝90°． ∵∠ABH＋∠BAH＝90°，∴∠CBN＝∠BAH． ∵∠AHB＝∠BNC＝90°，∴△ABH∽△BCN．∴． 同理，可得△EBH∽△BGQ．∴． ∵＝k，∴＝k．∴＝k2． ∵∠CMN＝∠GMQ，∠CNM＝∠GQM＝90°， ∴△CMN∽△GMQ．∴＝k2．∴MG＝k2CM． 图3－45－6 45讲 综合探究与综合运用 答图3－45－18 【拓展应用】 (3)在图3－45－6③中，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠AED＝30°，连接BD，CE，F为BD中点，求AF与CE的数量关系． 解： 如答图3－45－18，延长AF至点G，使AF＝FG，连接BG，DG．  ∵AF＝FG，BF＝DF，∴四边形ABGD为平行四边形． ∴AD∥BG，AD＝BG．∴∠ABG＋∠BAD＝180°． ∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠CAE＋∠BAD＝180°． ∴∠ABG＝∠CAE． ∵∠ACB＝∠AED＝30°，∴AC＝AB，AE＝AD＝BG． ∴．∴△CAE∽△ABG． ∴．∴．∴CE＝2AF． 图3－45－6 45讲 综合探究与综合运用 7． (2024·武汉)【问题背景】(1)如图3－45－7①，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE； 图3－45－7 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠EBF＝∠C＝90°． ∵E，F分别是AB，BC的中点， ∴，即．∴△BCD∽△FBE． 45讲 综合探究与综合运用 【问题探究】(2)如图3－45－7②，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG； 答图3－45－19 证明：如答图3－45－19，取BD的中点H，连接EH，HC．  ∵E是AB的中点，H是BD的中点，∴EH＝AD，EH∥AD． 又∵AD＝2CF，∴EH＝CF． ∵AD∥BC，∴EH∥FC．∴四边形EHCF是平行四边形． ∴EF∥CH．∴∠GFB＝∠HCB． 又∵∠BCD＝90°，H是BD的中点，∴HC＝BH＝BD． ∴∠HBC＝∠HCB．∴∠GBF＝∠GFB．∴BG＝FG． 图3－45－7 45讲 综合探究与综合运用 【问题拓展】(3)如图3－45－7③，在(2)的条件下，连接AG，若AD＝CD，AG＝FG，直接写出的值． 答图3－45－20 图3－45－7 解：． 【提示】如答图3－45－20，过点F作FM⊥AD于点M， 则四边形MFCD是矩形，连接AF．  ∵AD＝2CF＝CD，MD＝CF， ∴AM＝MD＝FC＝AD． 设AD＝2a，则MF＝CD＝2a，AM＝a． 在Rt△AMF中，AF＝a． ∵AG＝FG，且由(2)可知BG＝FG，∴AG＝BG． 又∵E是AB的中点，∴EF垂直平分AB． ∴AF＝BF，∠BEG＝90°．∴∠AFE＝∠BFE． 45讲 综合探究与综合运用 设∠GBF＝∠GFB＝α，则∠GAF＝∠GFA＝α． ∴∠BGE＝∠GBF＋∠GFB＝2α． 又∵AD∥BC，∴∠MAF＝∠AFB＝∠GFA＋∠GFB＝2α． ∴∠MAF＝∠EGB． 又∵∠BEG＝∠FMA＝90°， ∴△BEG∽△FMA． ∴，即． ∴． 45讲 综合探究与综合运用 题型四　函数与几何的综合问题 8． (综合运用)(2023·广东)如图3－45－8①，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上．如图3－45－8②，将正方形OABC绕点O逆时针旋转，旋转角为α(0°＜α＜45°)，AB交直线y＝x于点E，BC交y轴于点F． 图3－45－8 45讲 综合探究与综合运用 (1)当旋转角∠COF为多少度时，OE＝OF；(直接写出结果，不要求写解答过程) ∴∠AOG＝∠AOE＝22.5°，即∠COF＝22.5°． ∵AB交直线y＝x于点E，∴∠EOG＝45°． ∵∠COF＝∠AOG，∴∠AOG＝∠AOE． ∵OE＝OF，∴Rt△OAE≌Rt△OCF(HL)．∴∠AOE＝∠COF． ∵四边形OABC是正方形，∴OA＝OC，∠A＝∠C＝90°．   【提示】如答图3－45－21，设G为x轴正半轴上的一点． 解：当旋转角∠COF＝22.5°时，OE＝OF． 答图3－45－21 图3－45－8 45讲 综合探究与综合运用 (2)若点A(4，3)，求FC的长； 答图3－45－22 解：如答图3－45－22，过点A作AP⊥x轴于点P．  ∵A(4，3)，∴AP＝3，OP＝4．∴OA＝＝5． ∵四边形OABC是正方形，∴OC＝OA＝5，∠C＝90°． ∴∠C＝∠APO＝90°． ∵∠COF＝∠AOP，∴△OCF∽△OPA． ∴，即．解得FC＝． 图3－45－8 45讲 综合探究与综合运用 (3)如图3－45－8③，对角线AC交y轴于点M，交直线y＝x于点N，连接FN，将△OFN与△OCF的面积分别记为S1与S2，设S＝S1－S2，AN＝n，求S关于n的函数表达式． ∴△FON为等腰直角三角形．∴FN＝ON，∠FNO＝90°． ∴∠OFN＝∠OCN＝45°．∴∠OFN＝∠FON＝45°． ∴O，C，F，N四点共圆． ∵直线y＝x，∴∠FON＝45°．∴∠BCA＝∠FON＝45°． 解：∵四边形OABC是正方形，∴∠BCA＝∠OCA＝45°． 图3－45－8 45讲 综合探究与综合运用 如答图3－45－23，过点N作GQ⊥BC于点G，交OA于点Q．  ∵BC∥OA，∴GQ⊥OA．∴∠NGF＝∠OQN＝90°． ∵∠FNO＝90°，∴∠1＋∠2＝90°． ∵∠1＋∠3＝90°，∴∠2＝∠3． 又∵FN＝NO，∴△FGN≌△NQO(AAS)．∴GN＝OQ，FG＝NQ． ∵∠NGF＝∠FCO＝∠COQ＝90°，∴四边形COQG为矩形． ∴CG＝OQ，CO＝QG．∴CG＝GN． ∴S1＝S△OFN＝ON2＝(OQ2＋NQ2)＝(GN2＋NQ2)＝GN2＋QN2， S2＝S△OCF＝CF·CO＝(CG－FG)(GN＋NQ)＝(GN－NQ)(GN＋NQ)＝(GN2－NQ2)＝GN2－NQ2．∴S＝S1－S2＝NQ2． ∵∠OAC＝45°，∴△AQN为等腰直角三角形． ∴NQ＝AN＝n．∴S＝NQ2＝n2．∴S关于n的函数表达式为S＝n2． 答图3－45－23 45讲 综合探究与综合运用 9． (2024·广东)【问题背景】如图3－45－9①，在平面直角坐标系中，点B，D是直线y＝ax(a>0)上第一象限内的两个动点(OD>OB)，以线段BD为对角线作矩形ABCD，AD∥x轴．反比例函数y＝的图象经过点A． 图3－45－9 45讲 综合探究与综合运用 【构建联系】(1)求证：函数y＝的图象必经过点C； 解：设B(m，ma)，则A． ∵AD∥x轴，∴点D的纵坐标为． 将y＝代入y＝ax，得＝ax．∴x＝． ∴D．∴C． 将x＝代入y＝，得y＝am． ∴函数y＝的图象必经过点C． 图3－45－9 45讲 综合探究与综合运用 (2)如图3－45－9②，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为(1，2)时，求k的值； 解：∵点B(1，2)在直线y＝ax上， ∴a＝2．∴y＝2x． ∴点A的横坐标为1，点C的纵坐标为2． ∵函数y＝的图象经过点A，C，∴C，A(1，k)．∴D． ∴DC＝k－2． 由折叠，可知BE＝BC＝－1，∠BED＝∠BCD＝90°． ∴＝2． 图3－45－9 45讲 综合探究与综合运用 如答图3－45－24，过点D作DH⊥y轴于点H，过点B作BF⊥y轴于点F．  ∵AD∥x轴，∴H，A，D三点共线． ∴∠HED＋∠BEF＝90°，∠BEF＋∠EBF＝90°． ∴∠HED＝∠EBF． ∵∠DHE＝∠EFB＝90°，∴△DHE∽△EFB． ∴＝2． ∵BF＝1，DH＝，∴HE＝2，EF＝．∴HF＝2＋． 由图可知HF＝DC，∴2＋＝k－2．∴k＝． 答图3－45－24 45讲 综合探究与综合运用 【深入探究】(3)如图3－45－9③，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接AC交BD于点P．以点O为圆心，AC长为半径作☉O．若OP＝3，当☉O与△ABC的边有交点时，求k的取值范围． 图3－45－9 解： ∵把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E，且点E，A重合，∴AC⊥BD． ∵四边形ABCD为矩形，∴四边形ABCD为正方形，∠ABP＝∠DBC＝45°． ∴AB＝BC＝CD＝DA＝AP，AP＝PC＝BP＝AC，BP⊥AC． ∵BC∥x轴，∴直线y＝ax为第一、三象限的夹角平分线．∴直线的解析式为y＝x． 45讲 综合探究与综合运用 当☉O过点B时，如答图3－45－25，过点D作DH∥x轴交y轴于点H． ∵AD∥x轴，∴H，A，D三点共线． ∵以点O为圆心，AC长为半径作☉O，OP＝3， ∴OP＝OB＋BP＝AC＋BP＝2AP＋AP＝3AP＝3．∴AP＝． ∴AB＝AD＝AP＝2，BD＝BO＝AC＝2AP＝2． ∵AB∥y轴，∴△DHO∽△DAB．∴． ∴． ∴HO＝HD＝4．∴HA＝HD－DA＝4－2＝2．∴A(2，4)．∴k＝2×4＝8． 答图3－45－25 45讲 综合探究与综合运用 答图3－45－26 当☉O过点A时，根据点A，C关于直线OD对称，可知☉O必过点C，如答图3－45－26，连接AO，CO，过点D作DH∥x轴交y轴于点H． ∵AO＝OC＝AC，∴△AOC为等边三角形． ∵OP⊥AC，∴∠AOP＝×60°＝30°． ∴AP＝PD＝OP·tan 30°＝3，AC＝BD＝2AP＝2． ∴AB＝AD＝AP＝2，OD＝OP＋PD＝3． ∵AB∥y轴，∴△DHO∽△DAB．∴． ∴．∴HO＝HD＝3＋．∴HA＝HD－DA＝3＋－2＝3－． ∴A(3－，3＋)．∴k＝(3－)×(3＋)＝6． ∴当☉O与△ABC的边有交点时，k的取值范围为6≤k≤8． 45讲 综合探究与综合运用 10． (2023·扬州)在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上． (1)如果四个点(0，0)，(0，2)，(1，1)，(－1，1)中恰有三个点在二次函数y＝ax2(a为常数，且a≠0)的图象上． Ⅰ．a＝　 　；  　1　 45讲 综合探究与综合运用 Ⅱ．如图3－45－10①，已知菱形ABCD的顶点B，C，D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长； 图3－45－10 解：由Ⅰ知二次函数解析式为y＝x2． 设菱形的边长为p，则AD＝p，D(p，p2)． 由菱形的性质，得BC＝p，BC∥AD． ∴BC⊥y轴．∴C． ∵CD2＝AD2，∴＝p2． 解得p1＝0(舍去)，p2＝－(舍去)，p3＝． ∴菱形的边长为． 45讲 综合探究与综合运用 ∵m＋n≠0，∴n－m＝1．∴n－m是定值，这个值为1． ∵ON－OM＝AM＋BM，∴n2－m2＝n＋m，即(n－m－1)(m＋n)＝0． ∴AM＝DN＝n，ON＝n2，BM＝AN＝m，OM＝m2． 由题意，知B(m，m2)，D(n，n2)，m>0，n>0． ∴△AMB≌△DNA(AAS)．∴AM＝DN，BM＝AN． 又∵∠AMB＝∠AND＝90°，AB＝AD， ∴∠ABM＝∠NAD． ∵∠ABM＋∠MAB＝90°，∠NAD＋∠MAB＝90°， 由正方形的性质，可知AB＝AD，∠BAD＝90°． Ⅲ．如图3－45－10②，已知正方形ABCD的顶点B，D在该二次函数的图象上，点B，D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，试探究n－m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由； 解：如答图3－45－27，过点B作MN⊥y轴于点M， 过点D作DN⊥y轴于点N． 答图3－45－27 图3－45－10 45讲 综合探究与综合运用 (2)已知正方形ABCD的顶点B，D在二次函数y＝ax2(a为常数，且a>0)的图象上，点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，直接写出m，n满足的等量关系式． ∵m＋n≠0，∴a(n－m)＝1； ∵ON－OM＝AM＋BM，∴an2－am2＝n＋m，即(an－am－1)(m＋n)＝0． 同理(1)Ⅲ可得AM＝DN＝n，ON＝an2，BM＝AN＝m，OM＝am2． ∴B(m，am2)，D(n，an2)，m>0，n>0． 解：①当点B，D同在y轴右侧时，∵y＝ax2， 图3－45－10 45讲 综合探究与综合运用 综上所述，m，n满足的等量关系式为a(n－m)＝1或m＋n＝0． 由正方形和二次函数的对称性质可得m＋n＝0． ④当点B在y轴左侧，点D在y轴右侧，且BD垂直于y轴时， 同理可得a(n－m)＝1； ③当点B在y轴左侧，点D在y轴右侧，且BD不垂直于y轴时， ②当点B，D同在y轴左侧时，同理可得a(n－m)＝1； 45讲 综合探究与综合运用 谢 谢 ! 45讲 综合探究与综合运用 $$