第44讲 综合与实践-【教与学·课时导学案】2025年中考总复习数学课件PPT（广东专版）

2025 中考总复习 数学 44讲 综合与实践 第三部分 广东中考新动向 44讲 综合与实践 44讲 综合与实践 题型一　方程与不等式问题 1． 图3－44－1是某月的日历．“X”型框中有5个数，设这5个数中间的数为x． 图3－44－1 44讲 综合与实践 故淇淇的说法不正确． 所以不存在“X”型框中的5个数的和是60． 而12在日历中最后一列，所以不符合题意． 嘉嘉所列方程为5x＝60．解得x＝12． (1)图中“X”型框中x＝15，则这5个数的和为　 　；  (2)淇淇说：“我画出的‘X’型框中的5个数的和是60．”嘉嘉根据她的说法列出了方程：5x＝60．请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确； 解：淇淇的说法不正确． 　75　 44讲 综合与实践 ∴x可能取的值为9，10，11． 二行的第1，2，3个数， ∵5个数中间的数不能是第一行，第一列和最后一列的数，也不能是第 (3)如果“X”型框中的5个数的和小于60，试求x的可能取的值． 解：由题意，得5x≤60． ∴x≤12． 44讲 综合与实践 (1)小明以折扣价购买门票是第　 　次参观；  2． 小明分三次和家人、朋友一起参观某科技馆，只有一次恰逢科技馆成人票和学生票都打折，其余两次均按标准票价购买门票(无任何优惠)．三次参观科技馆时，购买成人票和学生票的数量和费用如表所示： 　三　   购买门票的数量/张 购买总费用/元 成人票 学生票 第一次参观 5 2 380 第二次参观 3 4 340 第三次参观 7 5 310 44讲 综合与实践 (2)求出每张成人票和每张学生票的标准票价； 解：设每张成人票的标准票价为x元，每张学生票的标准票价为y元． 由题意，得 答：每张成人票的标准票价为60元，每张学生票的标准票价为40元． 44讲 综合与实践 (3)如果成人票和学生票的折扣相同，问：当购买成人票和学生票共15张，并且享受同样的折扣，购票总费用不超过320元时，有几种购票方案?(要求必须购买成人票) 解：设每张成人票和学生票都打m折．由题意，得(7×60＋5×40)×＝310．解得m＝5． ∴每张成人票和学生票都打五折． 设购买成人票a张，则购买学生票(15－a)张． 由题意，得[60a＋40(15－a)]×≤320． 解得a≤2． ∵必须购买成人票，∴a＝1或a＝2． 答：有2种购票方案：①购买成人票1张，学生票14张；②购买成人票2张，学生票13张． 44讲 综合与实践 题型二　函数问题 3． 图3－44－2①是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，小杰组装了如图3－44－2②所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端L1＝1 m，距右端L2＝0.4 m，在杠杆左端悬挂重力为80 N的物体A．(杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，即FA·L1＝FB·L2) 图3－44－2 44讲 综合与实践 x/N … 10 20 30 40 50 … y/cm … 8 　 2 … 4 　  ②完成下表： (1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为 　 　N；  (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，L2的长度随之变化．设重物B的质量为x N，L2的长度为y cm．则 ①y关于x的函数解析式是　 　；  　200　 y＝ 图3－44－2 44讲 综合与实践 ③在如图3－44－3所示的直角坐标系中画出该函数的图象； 图3－44－3 解：函数图象如答图3－44－1． 答图3－44－1 44讲 综合与实践 (3)在(2)的条件下，将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图象组成一个新的函数图象，记为L．若点A的坐标为(2，0)，在L上存在点Q，使得S△OAQ＝9．请直接写出所有满足条件的点Q的坐标． 解：点Q的坐标为． 【提示】∵点A的坐标为(2，0)，∴OA＝2． ∵S△OAQ＝9，∴OA·yQ＝9．∴yQ＝9． 在y＝中，当y＝9时，x＝． 44讲 综合与实践 ∴在函数y＝上满足题意的点Q的坐标为． ∵将函数y＝图象向右平移4个单位长度，与原来的图象组成一个新的函数图象，记为L， ∴点，即也在L上，即满足题意的点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为． 44讲 综合与实践 4． (2023·台州)【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀(控制水的流速大小)的软管制作简易计时装置(如图3－44－4)． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30 cm，开始放水后每隔10 min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm(观察值) 30 29 28.1 27 25.8 44讲 综合与实践 任务一：(1)分别计算表中每隔10 min水面高度观察值的变化量； 解：变化量分别为29－30＝－1(cm)，28.1－29＝－0.9(cm)，27－28.1＝－1.1(cm)，25.8－27＝－1.2(cm)． 44讲 综合与实践 【建立模型】 图3－44－4 小组讨论发现：“t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 任务二：(2)利用t＝0时，h＝30；t＝10时，h＝29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式； 解：设h＝at＋b． ∵当t＝0时，h＝30；当t＝10时，h＝29， ∴ ∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为h＝－0.1t＋30． 44讲 综合与实践 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务二中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务三：(3)计算任务二得到的函数解析式的w值； 解：当t＝0时，h＝－0.1t＋30＝30， 当t＝10时，h＝－0.1t＋30＝29， 当t＝20时，h＝－0.1t＋30＝28， 当t＝30时，h＝－0.1t＋30＝27， 当t＝40时，h＝－0.1t＋30＝26， ∴w＝(30－30)2＋(29－29)2＋(28－28.1)2＋(27－27)2＋(26－25.8)2＝0.05． 44讲 综合与实践 任务四：(4)请确定经过(0，30)的一次函数解析式，使得w的值最小； 解：设h＝kt＋30，则 w＝(30－30)2＋(10k＋30－29)2＋(20k＋30－28.1)2＋(30k＋30－27)2＋(40k＋30－25.8)2＝(10k＋1)2＋(20k＋1.9)2＋(30k＋3)2＋(40k＋4.2)2 ＝3 000k2＋612k＋12＋1.92＋32＋4.22． 当k＝－＝－0.102时，w最小． ∴优化后的函数解析式为h＝－0.102t＋30． 44讲 综合与实践 ③每0.102 cm表示1 min(1 cm表示时间约为9.8 min)． ②刻度从上向下均匀变大； ①时间刻度的0刻度在水位最高处； 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务五：(5)请你简要写出时间刻度的设计方案． 解：时间刻度设计方案的要点： 44讲 综合与实践 题型三　图形的变化问题 5． 有一张长28 cm，宽16 cm的矩形纸片． (1)如图3－44－5①，如果在纸片的四个角裁去四个边长相等的小正方形(阴影部分)后，将其折成无盖长方体盒子．若折成的盒子的底面积为220 cm2，求裁去的小正方形的边长； 图3－44－5 答：裁去的小正方形的边长为3 cm． 解得x1＝3，x2＝19(不符合题意，舍去)． 由题意，得(28－2x)(16－2x)＝220． 长为(28－2x)cm，宽为(16－2x)cm． 解：设裁去的小正方形的边长为x cm，则折成的无盖长方体盒子的底面 44讲 综合与实践 (2)若需要制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，小颖设计了如图3－44－5②的裁剪方案(阴影部分为裁剪下来的边角料)，其中左侧的两个阴影部分为正方形，右侧的两个阴影部分为矩形，问能否折出底面积为144 cm2的有盖盒子(接缝忽略不计)?如果能，请求出盒子的体积；如果不能，请说明理由． 图3－44－5 44讲 综合与实践 解：设裁去的小正方形的边长为y cm，则折成的有盖长方体盒子的底面长为＝(14－y)cm，宽为(16－2y)cm． 由题意，得(14－y)(16－2y)＝144． 解得y1＝2，y2＝20(不符合题意，舍去)． ∴144y＝144×2＝288． 答：能折出底面积为144 cm2的有盖盒子，盒子的体积为288 cm3． 44讲 综合与实践 6． 【问题情境】某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图3－44－6①所示，规格要求是杯口直径AB＝6 cm，杯底直径CD＝4 cm，杯壁母线AC＝BD＝6 cm．请你和他们一起解决下列问题： 【类比探究】小顾同学先画出了纸杯的侧面展开示意图(如图3－44－6②，忽略拼接部分)，得到图形是圆环的一部分． 图3－44－6 44讲 综合与实践 (1)图3－44－6②中的长为　 　cm，的长为　 　cm，ME＝NF＝　 　cm；  (2)要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定所在圆的圆心O，如图3－44－6③所示．小顾同学发现若将近似地看作线段，类比相似三角形的性质可得，请你帮她证明这一结论； 　6　 　4π　 　6π　 证明：设所对的圆心角度数为n°，则． ∴． 图3－44－6 44讲 综合与实践 (3)根据(2)中的结论，求所在圆的半径及它所对的圆心角的度数； 解：由题意，得OF＝ON＋NF＝ON＋6． 由(2)得，即．解得ON＝12． ∴＝4π．解得n＝60． ∴所在圆的半径为12 cm，它所对的圆心角的度数为60°． 图3－44－6 44讲 综合与实践 【操作实践】(4)小顾同学计划利用矩形、正方形纸各一张，分别按如图3－44－6④⑤所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求矩形纸片的长和宽以及正方形纸片的边长． 解：如答图3－44－2，延长EM交FN的 延长线于点O，连接EF． ∵∠MON＝60°，∴△MON和△EOF是等边三角形． ∴EF＝OE＝OF．∴矩形的长＝EF＝12＋6＝18(cm)． 答图3－44－2 如答图3－44－2，设RS与交于点P，连接OP，OP交ZX于点Q． ∴OQ⊥MN，MQ＝QN，∠QON＝∠MON＝30°． 在Rt△OQN中，∠QON＝30°，OQ＝ON·cos 30°＝6． ∴矩形的宽＝PQ＝OP－OQ＝(18－6)cm． 图3－44－6 44讲 综合与实践 如答图3－44－3，连接EF． ∵△EFB是等腰直角三角形，EF＝18 cm，∴BE＝BF＝9 cm． 设正方形边长为x cm． 在Rt△AOE中，AO2＋AE2＝OE2，即x2＋＝182． 解得x1＝)，x2＝)(不符合题意，舍去)． ∴正方形边长为)cm． ∴矩形纸片的长为18 cm，宽为(18－6)cm，正方形纸片的边长为)cm． 答图3－44－3 44讲 综合与实践 题型四　图形与坐标问题 7． 有一段关于古代藏宝图的记载(如图3－44－7)：“从赤石向一颗杉树笔直走去，恰好在其连线中点处向右转90°前进，到达唐伽山山脚的一个洞穴，宝物就在洞穴中．”若赤石标记为点A，杉树标记为点B，洞穴标记为点C． (1)根据这段记载，应用数学知识描述点C与线段AB间的位置关系； 图3－44－7 解：由题意，可知点C在线段AB的垂直平分线上． 44讲 综合与实践 解：如答图3－44－4，设线段AB的垂直平分线与线段AB相交于点D，连接AC，则DC＝4． ∵点A，B的坐标分别为(3，1)，(3，7)， ∴AB＝7－1＝6． ∴DA＝DB＝AB＝×6＝3，∠ADC＝90°． ∴AC＝＝5． ∴洞穴到赤石的距离为5个单位长度． (2)若在藏宝图上建立适当的直角坐标系，点A，B的坐标分别为(3，1)，(3，7)，点C到线段AB的距离为4个单位长度，求出洞穴到赤石的距离． 答图3－44－4 44讲 综合与实践 图3－44－8 8． 图3－44－8是某台阶的一部分，并且每级台阶的宽等于高．点C的坐标为(－1，0)，点D的坐标为(0，1)． (1)①根据点C和点D坐标在图中建立适当的平面直角坐标系； ②点A的坐标为　 　，点E关于原点对称的点的坐标为 　 　；  　(－1，－2)　 　(－2，－2)　 解：①建立的平面直角坐标系如答图3－44－5． 答图3－44－5 44讲 综合与实践 (2)如果台阶有10级(第1级为点B，第2级为点C，…，以此类推，第10级用点K表示)，请你求出该台阶的高度和线段AK的长度； 解：第1级点B的高度是1，第2级点C的高度是2，…，第10级点K的高度是10，即该台阶的高度为10． 由题意，可知AK是直角边分别为9，10的直角三角形的斜边． ∴AK＝． 图3－44－8 (3)给出如下定义：点P到x轴与y轴距离中的较小值称为点P的“短距”．若台阶中一点的“短距”为1，则这一点为　 　(用图中的字母表示)．  　B或E　 44讲 综合与实践 【概念理解】 (1)在平面直角坐标系中，已知点A(0，0)，设点P的“Ai点”为点Q．若点Q(2，1)，则点P的坐标为　 　；  图3－44－9 　(1，－2)　 9． 我们定义：若点M绕点A逆时针方向旋转90°，得到的对应点设为N，则称点N为点M的“Ai点”． 44讲 综合与实践 【问题探究】 (2)如图3－44－9①，已知点C(1，0)，点D在直线y＝x＋1上，若点D的“Ci点”在坐标轴上，求点D的坐标； 解：①若点D的“Ci点”在x轴上， 如答图3－44－6，则CD⊥OC．∴xD＝1． 代入直线y＝x＋1，得yD＝．∴D； 答图3－44－6 44讲 综合与实践 ②若点D的“Ci点”在y轴上， 如答图3－44－7，则点E为点D的“Ci点”，过点D作DH⊥x轴于点H．   ∵∠DCH＋∠HDC＝90°，∠OCE＋∠DCH＝90°， ∴∠HDC＝∠OCE． ∵∠DHC＝∠COE＝90°，DC＝EC，∴△DHC≌△COE(AAS)． ∴DH＝OC＝1，即yD＝1．∴xD＝0．∴D(0，1)． 综上所述，点D的坐标为或(0，1)． 答图3－44－7 44讲 综合与实践 【应用拓展】 (3)如图3－44－9②，已知线段EF的端点为E(0，－2)和F(1，0)，边长为6的正方形ABCD以点O为中心，各边分别与坐标轴平行．点M在线段EF上，点N在正方形ABCD边上，若存在点T(0，t)，使得点M的“Ti点”为点N，请直接写出t的取值范围． 解： 设线段EF所在直线的表达式为 y＝kx＋b． ∴ ∴线段EF所在直线的表达式为y＝2x－2． 44讲 综合与实践 设点M(m，2m－2)，其中0≤m≤1． ①当点T在x轴上方时，如答图3－44－8，分别过点M，N作y轴的垂线，垂足分别为H'，G'． 易证△NG'T≌△TH'M(AAS)．∴G'N＝TH'＝t－2m＋2，G'T＝H'M＝m． ∴N(t－2m＋2，t＋m)． a．若点N落在CD上，则t－2m＋2＝3且t＋m≤3． 而0≤m≤1，则1≤t≤； b．若点N落在AD上，则t－2m＋2≤3且t＋m＝3． 而0≤m≤1，则2≤t≤；∴1≤t≤； 　答图3－44－8 44讲 综合与实践 答图3－44－9 ②当点T在x轴下方时，如答图3－44－9．  同理可得N(t－2m＋2，t＋m)． c．若点N落在AB上，则t－2m＋2＝－3且t＋m≥－3． 而0≤m≤1，则－≤t≤－3； d．若点N落在BC上，则t－2m＋2≥－3且t＋m＝－3． 而0≤m≤1，则－≤t≤－3． 综上所述，t的取值范围是1≤t≤或－≤t≤－3． 44讲 综合与实践 题型五　统计数据分析问题 10． (2024·青海)为了解学生物理实验操作情况，随机抽取小青和小海两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下： ①操作规范性(如图3－44－10)： 图3－44－10 44讲 综合与实践 ②书写准确性： 小青：1　1　2　2　2　3　1　3　2　1 小海：1　2　2　3　3　3　2　1　2　1 操作规范性和书写准确性的得分统计表： 项目统计量学生 操作规范性 书写准确性 平均数 方差 平均数 中位数 小青 4 1.8 a 小海 4 b 2 44讲 综合与实践 根据以上信息，回答下列问题： (1)表格中的a＝　 　，比较的大小： 　 ；  (2)计算表格中b的值；   　2　 解：小海书写准确性的平均数为b＝＝2．   44讲 综合与实践 (3)综合上表的统计量，请你对两名同学的得分进行评价并说明理由； 解：从操作规范性来分析，小青和小海的平均分相同，但小海的方差小于小青的方差， 所以小海在物理实验操作中发挥稳定； 从书写准确性来分析，小海的平均得分比小青的平均得分高，所以小海在物理实验中书写更准确． 从两个方面综合分析，小海的操作更稳定，并且书写的准确性更高，所以小海的综合成绩更好． 44讲 综合与实践 (4)为了取得更好的成绩，你认为在实验过程中还应该注意哪些方面?(写出一点即可) 解：熟悉实验方案和操作流程；或注意仔细观察实验现象和结果；或平衡心态，沉着应对．(答案不唯一，合理即可) 44讲 综合与实践 11． (2023·淮安)为了调动员工的积极性，商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标，对完成目标的员工进行奖励．家电部对20名员工当月的销售额进行统计和分析． 数据收集(单位：万元)： 5.0　9.9　6.0　5.2　8.2　6.2　7.6　9.4　8.2　7.8 5.1　7.5　6.1　6.3　6.7　7.9　8.2　8.5　9.2　9.8 数据整理： 销售额/万元 5≤x＜6 6≤x＜7 7≤x＜8 8≤x＜9 9≤x＜10 频数 3 5 a 4 4 44讲 综合与实践 问题解决： (1)填空：a＝　 　，b＝　 　；  (2)若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有　 　名员工获得奖励；  　12　 　7.7　 数据分析： 　4　 平均数 众数 中位数 7.44 8.2 b 44讲 综合与实践 (3)经理对数据分析以后，最终对一半的员工进行了奖励．员工甲找到经理说：“我这个月的销售额是7.5万元，比平均数7.44万元高，所以我的销售额超过一半员工，为什么我没拿到奖励?”假如你是经理，请你给出合理解释． 解：由(1)可知，20名员工的销售额的中位数为7.7万元， ∴20名员工的销售额有一半的人，即10人超过7.7万元，公司对一半的员工进行了奖励，说明销售额在7.7万元及以上的人才能获得． 而员工甲的销售额是7.5万元，低于7.7万元， ∴员工甲不能拿到奖励． 44讲 综合与实践 谢 谢 ! 44讲 综合与实践 $$