第40讲 广东中考压轴解答题专练（2）——二次函数综合题-【教与学·课时导学案】2025年中考总复习数学课件PPT（广东专版）

2025 中考总复习 数学 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 第40讲 广东中考压轴解答题专练（2）——二次函数综合题 第二部分 广东中考题型专练 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 目 录 CONTENTS 01 强化训练 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 二次函数压轴题常见题型与方法总结 类型 常考问题设计 解题通用技法 母题 如图2－40－1，抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点为D(－1，－4)，与y轴相交于点C(0，－3)，与x轴相交于点A，B(点A在点B的左边)， 求抛物线的解析式．   用待定系数法将点D，C的坐标代入，从而求出b，c的值而得解析式 图2－40－1 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 解：把D，C两点的坐标代入y＝x2＋bx＋c， 得解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3．   返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 以下对于上述母题设计若干常考问题，并进行分析 类型 常考问题设计 解题通用技法 二次函数与 特殊三角形 (直角三角形) (1)如图2－40－2，连接AC，CD，AD． 试判定△ACD的形状，并说明理由．  先应用勾股定理或平面内两点间的距离公式，求出三角形各边的长，再根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状 图2－40－2 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 解：△ACD为直角三角形． 理由如下： ∵抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3， 令y＝0，得0＝x2＋2x－3．解得x1＝1，x2＝－3．∴A(－3，0)，B(1，0)． ∴AC＝＝3， CD＝， AD＝＝2． ∴AC2＋CD2＝AD2． ∴△ACD为直角三角形．   返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 续表 图2－40－3 类型 常考问题设计 解题通用技法 二次函数与 特殊三角形 (等腰三角 形与动点) 　　　　　　 　　　　　 　　　　(2)如图2－40－3，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCB是等腰三角形?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．     设点P的坐标为(－1，t)后，分三种情况，若P为三角形顶角的顶点，则PB＝PC；若B为三角形顶角的顶点，则BP＝BC；若C为三角形顶角的顶点，则CP＝CB，分别用两点间的距离公式求出或表示各线段的长度，再根据上述等式列方程求解即可 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 解：存在． ∵抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－＝－1． 设点P的坐标为(－1，t)． ∵B(1，0)，C(0，－3)， 由两点间距离公式，得 BC＝， BP＝， CP＝． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 ①当BP＝CP时，得．解得t＝－1．∴P1(－1，－1)； ②当BC＝BP时，得．解得t1＝，t2＝－． ∴P2(－1，)，P3(－1，－)； ③当BC＝CP时，得． 解得t1＝0，t2＝－6． ∴P4(－1，0)，P5(－1，－6)． 综上所述，点P的坐标为(－1，－1)或(－1，)或(－1，－)或(－1，0)或(－1，－6)． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 类型 常考问题设计 解题通用技法 二次函数与 角度 (3)如图2－40－4，若点P在抛物线上，且∠PCA＝45°，求点P的坐标．   利用直线AC的解析式、△AOC的特点，数形结合，列出有关的方程，即可求出点P的坐标 ∴点P的坐标为(－2，－3)． 解得x1＝0，x2＝－2． 得x2＋2x－3＝－3． 在y＝x2＋2x－3中，令y＝－3， ∴CP∥x轴． ∵∠OAC＝∠PCA＝45°， ∴∠OAC＝45°． OA＝OC＝3． ∴在Rt△AOC中， 解：∵A(－3，0)，C(0，－3)， 图2－40－4 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 续表 类型 常考问题设计 解题通用技法 二次函数与 相似 　　　　　　　 　　　　　 　　　　　 (4)如图2－40－5，△ACD与△COB是否相似?请说明理由．   用两点间的距离公式分别表示两个三角形的各边之长，再用相似的判定方法进行判定，注意相似中没有指明对应边时，要进行分类讨论 图2－40－5 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 解：△ACD∽△COB． 理由如下： 由(1)知△ACD为直角三角形，CA＝3，CD＝． ∵B(1，0)，C(0，－3)， ∴OB＝1，OC＝3． ∴． ∴． 又∵∠BOC＝∠DCA＝90°， ∴△ACD∽△COB． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 类型 常考问题设计 解题通用技法 二次函数与 相似(动点、 动线) 　　　　　　　 　　　　　 　　　　(5)如图2－40－6，若Q是线段AB上的一个动点(不与点A，B重合)，QE∥AC交BC于点E，当△QCE的面积最大时，求动点Q的坐标．   图2－40－6 △QCE是三边均动的动三角形，把该三角形分割成大三角形减去小三角形的差．题中平行线的作用是有两个三角形相似，从而有对应边的比的平方等于面积的比，最后该动三角形的面积可表示为与动点Q(t，0)的坐标有关的开口向下的二次函数 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 解：∵QE∥AC，∴△QEB∽△ACB． ∴．∴S△QEB＝S△ACB·． 设Q(t，0)，则BQ＝1－t，AQ＝t＋3． ∵BA＝OA＋OB＝4，∴S△QCE＝S△ACB－S△AQC－S△QEB ＝S△ACB－S△AQC－S△ACB· ＝×4×3－×(t＋3)×3－×4×3× ＝－(t＋1)2＋(－3＜t＜1)． ∴当t＝－1时，S△QCE取得最大值，此时点Q的坐标为(－1，0)． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 续表 类型 常考问题设计 解题通用技法 二次函数与 特殊四边形 　　　　　　　 　　　　　 　　　　　 (6)如图2－40－7，若E为x轴上的一个动点，F为抛物线上的一个动点，当C，A，E，F构成平行四边形时，求点E的坐标．   图2－40－7 以其中一个已知点(如：点A)作为起点，列出所有对角线的情况(如：AC，AF，AE)，分别设出两个动点(点E，点F)，运用中点坐标公式，求出每一种情况下，两条对角线的中点坐标，注意到两个中点重合，其坐标对应相等，列出方程组，求解即可 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 解：设点E的坐标为(m，0)，点F的坐标为(n，n2＋2n－3)． ∵A(－3，0)，C(0，－3)， ①当AC为对角线时，由中点坐标公式，得 即 解得(舍去)． ∴点E的坐标为(－1，0)； 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 ②当AF为对角线时，由中点坐标公式，得 即 解得(舍去)． ∴点E的坐标为(－5，0)； 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 ③当AE为对角线时，由中点坐标公式，得 即 解得 ∴点E的坐标为(2＋，0)或(2－，0)． 综上所述，点E的坐标为(－1，0)或(－5，0)或(2＋，0)或(2－，0)． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 续表 类型 常考问题设计 解题通用技法 二次函数与 线段的和差 (最值问题) 　　　　　　　 　　　　　 　　　　　 (7)如图2－40－8，在x轴上是否存在点P，使PC＋PD最短?若存在，求出点 P的坐标，并求出最小值；若不存在，请说明理由．   图2－40－8 在两定点中任选一个点(为了简单起见，常常选择轴上的点)，求出该点关于题中的动点运动所经过的那条直线的对称点的坐标，再把此对称点与余下定点相连 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 解：存在． 如答图2－40－1，作点C关于x轴的对称点C'，连接C'D，C'D与x轴的交点即为满足条件的点P． ∴C'(0，3)． 设直线C'D的解析式为y＝kx＋b． 把C'(0，3)，D(－1，－4)两点的坐标代入， 得 ∴直线C'D的解析式为y＝7x＋3． 答图2－40－1 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 令y＝0，得7x＋3＝0．解得x＝－． ∴P． 又∵C'D＝， ∴存在点P，使PC＋PD有最小值，最小值为． 答图2－40－1 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 类型 常考问题设计 解题通用技法 二次函数与 周长 　　　　　　　 　　　　　 　　　　　 (8)如图2－40－9，在y轴上是否存在点P，使△PAD的周长最小?若存在，求出点P的坐标，并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．   图2－40－9 注意到AD是定线段，其长度是个定值，因此只需要求PA＋PD最小值，再加上定值AD即可 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 解：存在． 如答图2－40－2，作点A关于y轴的对称点A'，连接A'D，A'D与y轴的交点即为满足条件的点P，此时AP＋DP的最小值为A'D的长． ∴A'(3，0)． 同理可得A'D的解析式为y＝x－3． 令x＝0，得y＝－3．∴P(0，－3)． ∵A'(3，0)，D(－1，－4)，A(－3，0)， ∴A'D＝＝4，AD＝＝2． ∴AP＋DP的最小值为4． ∴△PAD的周长最小值为AP＋DP＋AD＝4＋2． 答图2－40－2 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 续表 类型 常考问题设计 解题通用技法 二次函数与 面积(三角形) 　　　　　　　 　　　　　 　　　　　 (9)如图2－40－10，在直线AC下方的抛物线上是否存在点P，使△APC的面积最大?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．   图2－40－10 过点P作y轴的平行线，将△APC分割成2个同底的三角形，则S△APC＝ (y上动－y下动)· (x右定－x左定) 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 解：存在． 如答图2－40－3，过点P作PE∥y轴，交AC于点E，交x轴于点F，连接AP，PC． ∵A(－3，0)，C(0，－3)， ∴直线AC的解析式为y＝－x－3． 设P(t，t2＋2t－3)，则E(t，－t－3)． ∴PE＝(－t－3)－(t2＋2t－3)＝－t2－3t． ∴S△APC＝S△APE＋S△CPE＝PE·AF＋PE·OF ＝PE·(AF＋OF) ＝PE·OA＝(－t2－3t)＝－． ∴当t＝－时，△APC的面积最大，t2＋2t－3＝－． ∴点P的坐标为． 答图2－40－3 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 类型 常考问题设计 解题通用技法 二次函数与 面积(四边形) 　　　　　　　 　　　　　 　　　　　 (10)如图2－40－11，在直线AC下方的抛物线上是否存在点P，使四边形AOCP的面积最大?若存在，求出点P的坐标，并求出四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由．   图2－40－11 四边形AOCP是不规则图形，通常用割补法求解，则 S四边形AOCP＝ S△AOC＋S△APC或S四边形AOCP＝ S△COP＋S△AOP 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 解：存在． ∵OA＝OC＝3， ∴S△AOC＝OA·OC＝×3×3＝． ∵S四边形AOCP＝S△AOC＋S△APC， ∴当S△APC取得最大值时，S四边形AOCP就最大． 由(9)知，当点P的坐标为时， S△APC的最大值为，则S四边形AOCP的最大值为．   返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 续表 类型 常考问题设计 解题通用技法 二次函数与 距离 　　　　　　　 　　　　　 　　　　　 (11)如图2－40－12，点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，求点P到直线AC的距离的最大值及此时点P的坐标．   图2－40－12 因为AC是定线段，点P到直线AC的距离最大，也就是△ACP的面积最大 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 解：当△APC面积最大时，边AC上的高最大，即点P到边AC的距离最大． 由(9)知，当点P的坐标为 时，△APC的面积有最大值，最大值为． ∵AC＝3， ∴AC边上的高为×2÷3． ∴点P到直线AC的距离的最大值为，此时点P的坐标为． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 类型 常考问题设计 解题通用技法 二次函数与 面积(数量 关系) 　　　　　　　 　　　　　 　　　　　 (12)如图2－40－13，在抛物线上是否存在点P，使S△PBC＝2S△ACD?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．   图2－40－13 过点P作y轴的平行线，将△PBC变成2个同底的三角形的差或和，则S△PBC＝(y上动－y下动)(x右定－x左定)，再代入已求的面积等式求解即可 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 解：存在． 由(1)知，在Rt△ACD中，AC＝3，CD＝， ∴S△ACD＝AC·CD＝3． ∴S△PBC＝2S△ACD＝6． 设直线BC的解析式为y＝kx＋b． 把点B，C的坐标代入，得 ∴直线BC的解析式为y＝3x－3．  如答图2－40－4，过点P作PE∥y轴交直线BC于点E，连接PB，PC． 设P(t，t2＋2t－3)，则E(t，3t－3)． 答图2－40－4 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 ∴PE＝． ∴S△PBC＝S△PEB－S△PEC＝PE·(xB－xC)＝·(1－0) ＝＝6． 整理，得t2－t－12＝0①， 或t2－t＋12＝0②． 解①，得t1＝－3，t2＝4；方程②无解． 则P(－3，0)或P(4，21)． ∴当P(－3，0)或P(4，21)时，S△PBC＝2S△ACD． 答图2－40－4 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 强化训练 1． (2024·武汉)抛物线y＝x2＋2x－交x轴于A，B两点(点A在点B的右边)，交y轴于点C． (1)直接写出点A，B，C的坐标； 图2－40－14 解：(1)A(1，0)，B(－5，0)，C． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (2)设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)． 将A(1，0)，C代入，得 (2)如图2－40－14①，连接AC，BC，过第三象限的抛物线上的点P作直线PQ∥AC，交y轴于点Q．若BC平分线段PQ，求点P的坐标； 图2－40－14 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 ∴直线AC的解析式为y＝x－． ∵PQ∥AC，∴设直线PQ的解析式为y＝x＋b1． ∵点P在第三象限的抛物线上，∴设P(－5＜t＜0)． ∴t＋b1＝t2＋2t－．∴b1＝t2－．∴Q． 设PQ的中点为M，则M． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 由B(－5，0)，C，设直线BC的解析式为y＝k1x－． 将B(－5，0)代入，得0＝－5k1－．解得k1＝－． ∴直线BC的解析式为y＝－x－． ∵BC平分线段PQ，∴点M在直线BC上．∴－t2＋t－．解得t1＝－2，t2＝0(舍去)． 当t＝－2时，t2＋2t－＝－．∴P． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (3)如答图2－40－5，过点G作TS∥x轴， 过点E，F分别作TS的垂线，垂足分别为T，S． ∴∠T＝∠S＝∠EGF＝90°． ∴∠EGT＝90°－∠FGS＝∠GFS． ∴△ETG∽△GSF．∴， 即ET·FS＝GS·TG． 答图2－40－5 (3)如图2－40－14②，点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E，F两点(点E在x轴下方)，线段DE交抛物线于另一点G，连接FG．若∠EGF＝90°，求直线DE的解析式． 图2－40－14 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 ∵点D与原点O关于点C对称，∴D(0，－5)． 设直线EF的解析式为y1＝k2x，直线DE的解析式为y2＝k3x－5． 联立 得k2x＝x2＋2x－，即x2＋(2－k2)x－＝0． 答图2－40－5 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 联立 得k3x－5＝x2＋2x－，即x2＋(2－k3)x＋＝0． 设xE＝e，xF＝f，xG＝g． ∴ef＝－5，eg＝5，e＋g＝2k3－4． ∴f＝－g ，ET＝e2＋2e－(e＋g＋4)(e－g)， FS＝f2＋2f－(f＋g＋4)(f－g)． ∵ET·FS＝GS·TG，∴(e＋g＋4)(e－g)·(f＋g＋4)(f－g)＝(f－g)(g－e)． 将f＝－g代入，得e＋g＝－5．∴2k3－4＝－5．∴k3＝－． ∴直线DE的解析式为y＝－x－5． 答图2－40－5 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 2． (2024·济宁)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过(0，－3)，(－b，c)两点，其中a，b，c为常数，且ab>0． (1)求a，c的值； 图2－40－15 解：(1)∵y＝ax2＋bx＋c的图象经过(0，－3)， ∴c＝－3． ∴(0，－3)和(－b，c)关于对称轴x＝－对称， ∴＝－，即b(a－1)＝0． ∵ab>0，∴a≠0，b≠0．∴a－1＝0．∴a＝1． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (2)①∵a＝1，c＝－3，∴y＝x2＋bx－3． 由题意，得y最小值＝＝－4．解得b＝±2． ∵ab>0，且a>0，∴b>0．∴b＝2． ∴该二次函数的解析式为y＝x2＋2x－3． 当y＝0时，x2＋2x－3＝0．解得x1＝－3，x2＝1． ∴A(－3，0)， B(1，0)． (2)若该二次函数的最小值是－4，且它的图象与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； 图2－40－15 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (2)若该二次函数的最小值是－4，且它的图象 与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交 于点C． ②如图2－40－15，在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AC交于点E，连接PC，CB，BE．是否存在点P，使?若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 图2－40－15 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 ②存在． 设直线AC的表达式为y＝k1x＋b1． 则 ∴直线AC的表达式为y＝－x－3． 如答图2－40－6，当点P在点A的右侧时，作CF⊥PD于点F．  设P(m，m2＋2m－3)(－3＜m＜0)，则E(m，－m－3)，D(m，0)． 则PE＝(－m－3)－(m2＋2m－3)＝－m2－3m，CF＝0－m＝－m． ∴S△PCE＝PE·CF＝(－m2－3m)(－m)＝m(m2＋3m)． ∵AB＝1－(－3)＝4，OC＝3，DE＝－(－m－3)＝m＋3， 答图2－40－6 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 ∴S△CBE＝S△ABC－S△ABE＝AB·OC－AB·DE ＝×4×3－×4×(m＋3)＝－2m． ∵，∴． 解得m1＝，m2＝．∴点P的横坐标为； 答图2－40－6 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 如答图2－40－7，当点P在点A的左侧时，作CF⊥PD于点F． 设P(m，m2＋2m－3)(m＜－3)，则E(m，－m－3)，D(m，0)． 则PE＝(m2＋2m－3)－(－m－3)＝m2＋3m，CF＝0－m＝－m． ∴S△PCE＝PE·CF＝(m2＋3m)(－m)＝－m(m2＋3m)． ∵DE＝－m－3， ∴S△CBE＝S△ABC＋S△ABE＝AB·OC＋AB·DE＝×4×3＋×4×(－m－3)＝－2m． ∵，∴． 解得m1＝，m2＝(舍去)．∴点P的横坐标为． 综上所述，点P的横坐标为． 答图2－40－7 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (1)解：∵该抛物线的顶点为M(2，d)， 即该抛物线的对称轴为x＝2， ∴x＝－＝－＝2．∴b＝8． 将A(1，0)代入解析式y＝－2x2＋8x＋c，则0＝－2＋8＋c． 解得c＝－6． ∴抛物线的函数表达式为y＝－2x2＋8x－6． 3． (2024·包头)如图2－40－16，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－2x2＋bx＋c与x轴相交于A(1，0)，B两点(点A在点B的左侧)，顶点为M(2，d)，连接AM． (1)求该抛物线的函数表达式； 图2－40－16 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (2)如图2－40－16①，若C是y轴正半轴上一点， 连接AC，CM．当点C的坐标为时，求证：∠ACM＝∠BAM； 图2－40－16 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (2)证明：如答图2－40－8，延长MC交x轴于点D． 由(1)知，抛物线的函数表达式为y＝－2x2＋8x－6，则 d＝－2×22＋8×2－6＝2． ∴M(2，2)． 设直线MC的解析式为y＝kx＋e(k≠0)． 将点M，C的坐标代入，得 ∴直线MC的解析式为y＝x＋，则0＝xD＋．∴xD＝－．∴D． ∵A(1，0)，∴AD＝． 答图2－40－8 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 ∴DM＝， CD＝． ∵，∴． 又∵∠ADM＝∠ADM，∴△ACD∽△MAD．∴∠ACD＝∠MAD． ∵∠ACD＋∠ACM＝∠MAD＋∠BAM＝180°，∴∠ACM＝∠BAM． 答图2－40－8 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (3)如图2－40－16②，连接BM，将△ABM沿x轴折叠，折叠后点M落在第四象限的点M'处，过点B的直线与线段AM'相交于点D，与y轴负半轴相交于点E．当时，3S△ABD与2S△M'BD是否相等?请说明理由． 图2－40－16 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (3)解：相等． 理由如下：如答图2－40－9，过点D作DG⊥x轴，交x轴于点G．  令－2x2＋8x－6＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3． ∴B(3，0)．∴OB＝3，AB＝2． ∵DG⊥x轴，OE⊥x轴，∴OE∥DG． ∴△BDG∽△BEO．∴． ∵，∴．∴BG＝OB＝． ∴OG＝．∴点D的横坐标为． 由折叠的性质，得M'(2，－2)． 答图2－40－9 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 设直线AM'的解析式为y＝mx＋n(m≠0)． 将点A，M'的坐标代入，得 ∴直线AM'的解析式为y＝－2x＋2．∴yD＝－2×＋2＝－． ∴D． ∴DG＝．∴S△ABD＝AB·DG＝． ∴S△M'BD＝S△ABM'－S△ABD＝AB·． ∴3S△ABD＝3×，2S△M'BD＝2×． ∴3S△ABD＝2S△M'BD． 答图2－40－9 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 4． (2023·郴州)已知抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴相交于点A(1，0)，B(4，0)，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； 图2－40－17 解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴相交于点A(1，0)，B(4，0)， ∴ ∴抛物线的表达式为y＝x2－5x＋4． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (2)如图2－40－17①，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的 周长最小时，求的值； 图2－40－17 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (2)∵y＝x2－5x＋4，当x＝0时，y＝4， ∴C(0，4)，抛物线的对称轴为直线x＝． ∵△PAC的周长等于PA＋PC＋AC，AC为定长，∴当PA＋PC的值最小时，△PAC的周长最小． ∵A，B关于对称轴对称，∴PA＋PC＝PB＋PC≥BC． 如答图2－40－10，当P，B，C三点共线时，PA＋PC的值最小， 为BC的长，此时点P为直线BC与对称轴的交点．  设直线BC的解析式为y＝mx＋n，则 答图2－40－10 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 ∴直线BC的解析式为y＝－x＋4． 当x＝时，y＝－＋4＝，∴P． ∵A(1，0)，C(0，4)， ∴PA＝，PC＝．∴． 答图2－40－10 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (3)如图2－40－17②，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB＝?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 图2－40－17 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (3)存在． ∵D为OC的中点，∴D(0，2)．∴OD＝2． ∵B(4，0)，∴OB＝4．∴在Rt△BOD中，tan∠OBD＝． ∵tan∠QDB＝＝tan∠OBD，∴∠QDB＝∠OBD． ①当点Q在点D上方时，如答图2－40－11，过点D作DQ∥OB， 交抛物线与点Q，则∠QDB＝∠OBD，此时点Q的纵坐标为2．  设点Q的横坐标为t，则t2－5t＋4＝2．解得t＝． ∴Q或Q； 答图2－40－11 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 ②当点Q在点D下方时，如答图2－40－12，设DQ与x轴交于点E，则DE＝BE． 设E(p，0)，则DE2＝OE2＋OD2＝p2＋4，BE2＝(4－p)2． ∴p2＋4＝．解得p＝．∴E． 设DE的解析式为y＝kx＋q，  则∴直线DE的解析式为y＝－x＋2． 答图2－40－12 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 联立 ∴Q(3，－2)或Q． 综上所述，点Q的坐标为或(3，－2)或． 答图2－40－12 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 5. （2021·广东）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点，且对于任意实数x，都有4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6. （1）求该二次函数的解析式； 解：（1）令4x-12=2x2-8x+6.解得x1=x2=3. 当x=3时，4x-12=2x2-8x+6=0， ∴y=ax2+bx+c的图象必定经过（3，0）. 又∵y=ax2+bx+c的图象经过（-1，0），∴ ∴y=ax2-2ax-3a，即4x-12≤ax2-2ax-3a. 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 可看成二次函数y=ax2-2ax-3a的图象与一次函数y=4x-12的图象仅有一个交点，且整体位于直线y=4x-12的上方. ∴a>0，且4x-12=ax2-2ax-3a有两个相等的实数根. ∴Δ=0.∴（2a+4）2-4a（12-3a）=0. ∴（a-1）2=0.∴a=1. ∴b=-2，c=-3.∴y=x2-2x-3. 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 （2）存在. 由（1）可知A（3，0），C（0，-3），设M，N（n，0）. ①当AC为对角线时， ∴解得m1=0（舍去），m2=2. ∴n=1，即N（1，0）； （2）若（1）中二次函数图象与x轴正半轴的交点为A，与y轴的交点为C，M是（1）中二次函数图象上的动点.在x轴上是否存在点N，使得以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由. 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 ②当AM为对角线时， ∴解得m3=0（舍去），m4=2. ∴n=5，即N（5，0）； ③当AN为对角线时， ∴解得m5=1+，m6=1-. ∴n=-2或n=-2-. ∴N（-2，0）或N（-2-，0）. 综上所述，点N的坐标为（1，0）或（5，0）或（-2，0）或（-2-，0）. 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 谢 谢 ! 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 $$