第24讲 与圆有关的概念及性质-【教与学·课时导学案】2025年中考总复习数学课件PPT（广东专版）

2025 中考总复习 数学 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 第六章　圆 第一部分 知 识 梳 理 第24讲 与圆有关的概念及性质 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 目 录 CONTENTS 01 考情分析 02 知识梳理 03 考点突破 04 变式诊断 05 分层训练 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 考情分析 近五年广东中考试题情况 命题点 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 圆周角定理及其推论   题7，3分   题9，3分   圆基本性质的综合     题22，12分     返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 知识梳理 1． 圆的有关概念： (1)圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 以点O为圆心的圆记作☉O，读作“圆O”． (2)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦． (3)直径：经过圆心的弦叫做直径． 在同圆或等圆中，直径等于半径的2倍． (4)弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”；大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示)，小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (5)半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． (6)等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆．容易发现：半径相等的两个圆是等圆；反之，同圆或等圆的半径相等．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． (7)圆的对称性：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形． (8)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． (9)圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 【练习】1． 下列说法中，不正确的是( ) A． 同圆中，直径是最长的弦 B． 等圆中，所有的半径都相等 C． 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 D． 长度相等的弧是等弧   D 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 2． 垂径定理及其推论： (1)垂径定理：垂直于弦的直径　 　弦，并且平分弦所对的两条弧．  (2)推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 　平分　 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 图1－24－1 【练习】2． 如图1－24－1，已知☉O的直径CD＝8，AB是☉O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM＝2，则AB的长为( ) A． 2 B． 2 C． 4 D． 4 D 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 3． 弧、弦、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别　 　，即知　 　推　 　．  　二　 　一　 　相等　 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 【练习】3． 如图1－24－2，在☉O中，．若∠A＝30°，则∠B＝　 　．  　75°　 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 4．如图1－24－3，AB为☉O的直径，C，D是上的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为( ) A． 40° B． 60° C． 80° D． 120° C 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 4． 圆周角定理及其推论： (1)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的　 　的一半．  (2)推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆(或直径)所对的圆周角 是　 　；　 　的圆周角所对的弦是直径．  　90°　 　直角　 　圆心角　 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 【练习】5． 如图1－24－4，A，B，C是☉O上的三个点，∠ABC＝26°，则∠AOC的度数是　 　．  　52°　 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 6． 如图1－24－5，AB是☉O的直径，∠D＝64°，则∠BAC＝ 　 　． 　26°　 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 5． 圆内接多边形： (1)定义：一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆． (2)圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角　 　．  　互补　 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 【练习】 7． 如图1－24－6，四边形ABCD内接于☉O，若∠A＝100°，则∠C＝ 　 　．  　80°　 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 考点一：圆周角定理及其推论 1． (2023·广东)如图1－24－7，AB是☉O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝( ) A．20° B．40° C．50° D．80° 考点突破 B 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 2． (2024·海南)如图1－24－8，AD是半圆O的直径，点B，C在半圆上，且，点P在上，若∠PCB＝130°，则∠PBA等于 ( ) A．105° B．100° C．90° D．70° 变式诊断 B 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 考点二：垂径定理及其推论 3． (2024·长沙)如图1－24－9，在☉O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则☉O的半径长为( ) A．4 B．4 C．5 D．5 B 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 4． (2020·广州)往直径为52 cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图1－24－10所示．若水面宽AB＝48 cm，则水的最大深度为( ) A．8 cm B．10 cm C．16 cm D．20 cm C 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 考点三：圆内接四边形的性质 5． (2024·广元)如图1－24－11，已知四边形ABCD是☉O的内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC＝128°，则∠CDE等于( ) A．64° B．60° C．54° D．52° A 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 6． (2024·济宁)如图1－24－12，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E＝54°41'，∠F＝43°19'，则∠A的度数为( ) A．42° B．41°20' C．41° D． 40°20' C 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 ∴△ABC是等腰直角三角形． ∴∠ACB＝∠CAB． ∠ADB＝∠ACB，∠CDB＝∠CAB， ∵∠ADB＝∠CDB， ∴∠ABC＝∠ADC＝90°． ∵AC是☉O的直径， 考点四：圆基本性质的综合 7． (2022·广东)如图1－24－13，四边形ABCD内接于☉O，AC为☉O的直径，∠ADB＝∠CDB． (1)试判断△ABC的形状，并给出证明； 解：(1)△ABC是等腰直角三角形．证明如下： 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (2)∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC＝AB＝． ∴AC＝＝2． 在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝1， ∴CD＝． (2)若AB＝，AD＝1，求CD的长度． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 8． (2024·无锡)如图1－24－14，AB是☉O的直径，△ACD内接于☉O，，AB，CD的延长线相交于点E，且DE＝AD． (1)求证：△CAD∽△CEA； (1)证明：∵， ∴∠CAD＝∠DAB． ∵DE＝AD， ∴∠DAB＝∠E． ∴∠CAD＝∠E． 又∵∠C＝∠C， ∴△CAD∽△CEA． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (2)求∠ADC的度数． (2)解：如答图1－24－1，连接BD． ∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°． 设∠CAD＝∠DAB＝α． ∴∠CAE＝2α． 由(1)知，△CAD∽△CEA， ∴∠ADC＝∠CAE＝2α． ∵四边形ABDC是圆的内接四边形， ∴∠CAB＋∠CDB＝180°， 即2α＋(2α＋90°)＝180°． 解得α＝22.5°． ∴∠ADC＝2×22.5°＝45°． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 基础巩固 9． (2024·云南)如图1－24－15，CD是☉O的直径，点A，B在☉O上．若，∠AOC＝36°，则∠D＝( ) A．9° B．18° C．36° D．45° 分层训练 B 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 10． (2024·北京)如图1－24－16，☉O的直径AB平分弦CD(不是直径)．若∠D＝35°，则∠C＝　 　．  　55°　 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 能力提升 11． (2024·通辽)如图1－24－17，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1 m，CD＝2.5 m，则拱门所在圆的半径为( ) A．1.25 m B．1.3 m C．1.4 m D．1.45 m 图1－24－17 B 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 12． (2023·温州)如图1－24－18，四边形ABCD内接于☉O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，则∠CAO的度数与BC的长分别为( ) A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°， 图1－24－18 C 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 13． (2024·浙江)如图1－24－19，在圆内接四边形ABCD中，AD<AC，∠ADC<∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连接EF，使∠AFE＝∠ADC． (1)若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数； 图1－24－19 (1)解：∵∠AFE＝∠ADC，∠AFE＝60°， ∴∠ADC＝60°． ∵CD为直径，∴∠DAC＝90°． ∴∠ACD＝90°－60°＝30°． ∵，∴∠ABD＝∠ACD＝30°． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 ∴EF∥BC． ∴∠AFE＋∠ABC＝180°． ∵∠AFE＝∠ADC， ∴∠ADC＋∠ABC＝180°． (2)求证：①EF∥BC；②EF＝BD． (2)证明：①∵四边形ABCD是圆内接四边形， 答图1－24－2 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 ②如答图1－24－2，过点D作EF的平行线交AF于点G． ∵DG∥EF， ∴∠AFE＝∠DGA，△ADG∽△AEF． ∵∠AFE＝∠ADC，∴∠DGA＝∠ADC． 又∵∠ABD＝∠ACD， ∴△CDA∽△BGD．∴． ∵△ADG∽△AEF，∴． ∴．∴． ∵AE＝AC，∴EF＝BD． 答图1－24－2 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 拓展延伸 14． (综合与实践)(2024·通辽)【实际情境】 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 图1－24－20 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 【模型建立】 (1)如图1－24－20①，从花折伞中抽象出“伞形图”，AM＝AN，DM＝DN．求证：∠AMD＝∠AND； (1)解：在△ADM和△ADN中， ∴△ADM≌△ADN(SSS)．∴∠AMD＝∠AND． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 【模型应用】 (2)如图1－24－20②，在△AMC中，∠MAC的平分线AD交MC于点D．请你从以下两个条件：①∠AMD＝2∠C；②AC＝AM＋MD中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程；(注：只需选择一种情况作答) 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (2)解：选择②为条件，①为结论． 证明如下：如答图1－24－3，在AC上取点N，使AN＝AM，连接DN． ∵AD平分∠MAC，∴∠DAM＝∠DAN． 在△ADM和△ADN中， ∴△ADM≌△ADN(SAS)．∴DM＝DN，∠AMD＝∠AND． ∵AC＝AM＋MD，AC＝AN＋NC，∴DM＝CN．∴DN＝CN． ∴∠C＝∠CDN．∴∠AMD＝∠AND＝∠CDN＋∠C＝2∠C． (答案不唯一) 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 【拓展提升】 (3)如图1－24－20③，AC为☉O的直径，，∠BAC的平分线AD交BC于点E，交☉O于点D，连接CD．求证：AE＝2CD． 答图1－24－4 (3)如答图1－24－4，连接BD，取AE的中点F，连接BF． ∴AF＝EF． ∵AD是∠BAC的平分线，∴． ∴BD＝CD．∴∠BCD＝∠CBD． ∵AC为☉O的直径，∴∠ABC＝90°． ∴AE＝2BF＝2AF．∴∠ABF＝∠BAF． ∵∠BAF＝∠BCD，∴∠ABF＝∠CBD． ∵，∴AB＝BC． ∴△ABF≌△CBD(ASA)．∴AF＝BF＝BD＝CD． ∴AE＝AF＋EF＝2CD． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 谢 谢 ! 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 　答图1－24－1 图1－24－16 $$