重点拓展(二)常考的四大相似模型与证明方法-【教与学·课时导学案】2025年中考总复习数学课件PPT（广东专版）

2025 中考总复习 数学 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 第四章　三　角　形 第一部分 知 识 梳 理 重点拓展(二)常考的四大相似模型与证明方法 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 目 录 CONTENTS 01 模型图例 02 典型题目 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 模型图例 模型一：A字型 特征：有一个公共角． (1)A字型： 已知：DE∥BC， 结论：． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (2)反A字型： 已知：∠AED＝∠C， 结论：． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (3)反A字型(共边共角)： 已知：∠ABD＝∠C， 结论：①； ②AB2＝AD·AC． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (4)双垂直型(射影定理)： 已知：△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，且AD⊥BC， 结论：①AB2＝BD·BC； ②AC2＝CD·BC； ③AD2＝BD·CD． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 典型题目 1． 如图Z2－1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D是边AB上的一点，AD＝1，E是边AC上的一点(点E与端点不重合)．若以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，求AE的长． 图Z2－1 解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB＝＝5． ∵∠A＝∠A， 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 ①当∠DEA＝∠C＝90°时，△ABC∽△ADE，如答图Z2－1． 答图Z2－1 此时， 即． 解得AE＝； ②当∠E'DA＝∠C＝90°时，△ABC∽△AE'D，如答图Z2－1． 此时，即． 解得AE'＝． 综上所述，AE的长为． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 2．如图Z2－2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D． (1)求证：△ACD∽△ABC； (2)若AD＝1，DB＝4，求AC的长． 图Z2－2 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (1)证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°． 又∵∠CAD＝∠BAC， ∴△ACD∽△ABC． (2)解：∵AD＝1，DB＝4，∴AB＝AD＋DB＝5． 由(1)知△ACD∽△ABC， ∴，即． 解得AC＝(负值已舍去)． ∴AC的长为． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 模型二：X字型 特征：有一组隐含的等角，即对顶角相等． (1)X字型： 已知：AB∥CD， 结论：．   返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (2)反X字型： 已知：∠A＝∠D， 结论：． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 3． 如图Z2－3，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝9，E是AD上的一点，AE＝2DE．延长BE交CD的延长线于F，求DF的长． 图Z2－3 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 解：∵AE＝2DE， ∴． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CF．∴△ABE∽△DFE． ∴． ∴DF＝AB＝×4＝2． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 4．如图Z2－4，BD，AC相交于点P，连接AB，BC，CD，DA，∠1＝∠2． (1)求证：△ADP∽△BCP； (2)若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长． 图Z2－4 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (1)证明：∵∠1＝∠2， ∠DPA＝∠CPB， ∴△ADP∽△BCP． (2)解：∵△ADP∽△BCP， ∴． 又∵∠APB＝∠DPC， ∴△APB∽△DPC． ∴，即．解得AP＝6． ∴AP的长为6． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 模型三：旋转型 特征：有一个公共顶点的一组角相等． (1)旋转不相交型： 已知：∠BAC＝∠DAE(或∠BAD＝∠CAE)，∠B＝∠D， 结论：△ABC∽△ADE． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (2)旋转相交型： 已知：∠BAC＝∠DAE(或∠BAD＝∠CAE)，∠B＝∠D， 结论：△ABC∽△ADE． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 5．如图Z2－5，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，且△CDE∽△CAB．求证： (1)△CAD∽△CBE； (2)EB⊥AB． 图Z2－5 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 证明：(1)∵△CDE∽△CAB， ∴，∠ACB＝∠DCE． ∴∠ACB－∠DCB＝ ∠DCE－∠DCB， 即∠ACD＝∠BCE． ∴△CAD∽△CBE． (2)∵△CAD∽△CBE，∴∠CAD＝∠CBE． ∵∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠CBA＝90°． ∴∠CBE＋∠CBA＝90°，即∠EBA＝90°． ∴EB⊥AB． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 模型四：K字型(一线三等角型) 特征：有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (1)一线三等角型(锐角、钝角)： 已知：∠B＝∠ACE＝∠D＝α， 结论：①△ABC∽△CDE； ②AB·DE＝BC·CD； ③当C为BD中点时， △ABC∽△CDE∽△ACE． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (2)一线三垂直型(直角)： 已知：∠B＝∠ACE＝∠D＝90°， 结论：①△ABC∽△CDE； ②AB·DE＝BC·CD； ③当C为BD中点时， △ABC∽△CDE∽△ACE． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (3)模型常见背景图形： 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 6． 【感知】数学课上，老师给出了一个模型： 如图Z2－6①，∠BAD＝∠ACB＝∠AED＝90°，由∠1＋∠2＋∠BAD＝180°，∠2＋∠D＋∠AED＝180°，可得∠1＝∠D ；又∵∠ACB＝∠AED＝90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 【应用】学习小组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图Z2－6②，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，P是BC边上的一个动点(不与B，C重合)，D是AC边上的一个动点，且∠APD＝∠B． (1)求证：△ABP∽△PCD； (2)当P为BC中点时，求CD的长； 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 ∴△ABP∽△PCD． ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C． ∴∠BAP＝∠CPD． ＝∠B， 图Z2－6 (1)证明：∵∠APC＝∠B＋∠BAP，∠APC＝∠APD＋∠CPD，∠APD 【拓展】(3)在【应用】的条件下，当△APD为等腰三角形时，请直接写出BP的长． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (2)解：∵BC＝12，P为BC中点，∴BP＝PC＝6． ∵△ABP∽△PCD， ∴，即． 解得CD＝3.6．∴CD的长为3.6． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 (3)解：BP的长为2或． 【提示】①当PA＝PD时， ∵∠B＝∠C，∠BAP＝∠CPD， ∴△ABP≌△PCD(AAS)．∴PC＝AB＝10． ∴BP＝BC－PC＝12－10＝2； ②当AP＝AD时，∠ADP＝∠APD． ∵∠APD＝∠B＝∠C， ∴∠ADP＝∠C，不合题意． ∴AP≠AD； 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 ③当DA＝DP时，∠DAP＝∠APD＝∠B． ∵∠C＝∠C， ∴△BCA∽△ACP． ∴，即．解得CP＝． ∴BP＝BC－CP＝12－． 综上所述，当△APD为等腰三角形时， BP的长为2或 ． 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 谢 谢 ! 返回目录 教与学 课时导学案 2025 中考总复习 数学 $$