第十五章 二次根式章末重点题型复习-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（冀教版）

第十五章 二次根式章末重点题型复习 题型一 求二次根式的值 题型二 利用二次根式的性质化简 题型三 根据二次根式的性质确定参数的取值范围 题型四 最简二次根式 题型五 二次根式的混合运算 题型六 同类二次根式 题型七 比较二次根式的大小 题型八 分母有理化 题型九 与二次根式有关的化简求值 题型十 二次根式的综合应用 题型一 求二次根式的值 1．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 3．将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数，则表示的数是 4．材料阅读： 材料一：若是正整数，除以的余数为，则称是“余一数”． 例如：是正整数且，则是“余一数”． 材料二：对于任意四位正整数，的千位数字为、百位数字为、十位数字为、个位数字为，规定：．请根据以上材料，解决下列问题： （1）判断： “余一数”（填“是”或“不是”）； （2）若四位正整数是“余一数”，的千位数字与个位数字的和等于，百位数字与十位数字的和等于，千位数字与百位数字的和大于十位数字与个位数字的和，是有理数，则满足条件的为 ． 5．计算：（1）； （2）； （3）； （4）． 6．任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算． (1)用含m的代数式表示该程序的运算过程并化简； (2)当时，求输出的结果． 题型二 利用二次根式的性质化简 7．若二次根式，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．在学习二次根式过程中，对代数式定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法： ①； ②至少存在一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等； ③不存在任何“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0； ④所有可能的“新运算操作”共有5种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 9．若满足等式，则的值为 ． 10．设，则与最接近的整数是 ． 11．实数a、b、c在数轴上的对应点表示出来如图所示： (1)请化简：； (2)已知，求的值． 12．【阅读材料】小华根据学习“二次根式”及“乘法公式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究“当时，与的大小关系”． 下面是小华的深究过程： ①具体运算，发现规律：当时，特例1：若，则；特例2：若，则；特例3：若，则． ②观察、归纳，得出猜想：当时，． ③证明猜想： 当时， ∵， ∴， ∴． 当且仅当时，． 请你利用小华发现的规律解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ； (2)当时，的最小值为 ； (3)当时，求的最小值． 题型三 根据二次根式的性质确定参数的取值范围 13．若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 14．若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 15．已知有意义，如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是 ． 16．函数中自变量的取值范围是 ；分式值为零的条件 ． 17．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 18．先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题， 若和在实数范围内都有意义，求的值． 解：和在实数范围内都有意义， 且． 由得： ， ． 问题，若实数满足，求的值． 题型四 最简二次根式 19．下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 20．若，其中都是整数，则的值为（    ）． A． B．4 C．6 D．8 21．下列二次根式：①；②；③；④．其中化简后的被开方数是3的是 （填序号）． 22．观察下列二次根式的化简： ； ； ； … 则 ． 23．定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则________________； (2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值． 24．“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．它是数学的重要方法，可以解决多项式、方程的相关问题． 例如：我们可以通过“配方法”求代数式的最小值． ， ∴当时，有最小值． 请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题： (1)若，请求出a、b的值； (2)若代数式的最小值为，试求出k的值． 题型五 二次根式的混合运算 25．可以说明若“x为无理数，则也是无理数”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 26．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（   ） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 27．已知，，则的算术平方根为 ． 28．已知，则 ． 29．观察下列各式及其验证过程： ．验证：． ．验证： (1)按照上述规律，直接写出的结果是___________ (2)针对上述各式反映的规律，写出用为自然数，且表示的等式，并给出证明． 30．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：______； (2)计算：； (3)若，求的值． 题型六 同类二次根式 31．若最简二次根式与是同类二次根式，则a的平方根是（   ） A． B． C． D． 32．有下列说法：①的平方根是；②表示6的算术平方根的相反数；③是的平方根；④与是同类二次根式；⑤的绝对值是．其中，正确的说法有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 33．在，，，，，中不是的同类二次根式的有 ． 34．如果两个最简二次根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是 ． 35．定义：若两个二次根式m、n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的和谐二次根式．已知最简二次根式与可以合并，请问的算术平方根与是关于4的和谐二次根式吗？并说明理由． 36．小明和小亮暑期在家做数学运算游戏，他们在一个密闭不透明的盒子里放入四张大小一样，颜色分别为白色、灰色的圆形卡片，在卡片上分别标有如图所示的数．他们要从盒子中分别摸出卡片，并制定了如下规定：若摸到白色卡片，则加上卡片上的数：若摸到灰色卡片，则减去卡片上的数． (1)（1）若小明摸到如下两张卡片，请计算出结果． （2）若小亮摸出全部的四张卡片，计算结果为x，小明认为x的值与属于同类二次根式，你认为小明的说法对吗？并说明理由． 题型七 比较二次根式的大小 37．已知，，，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 38．二次根式除法可以这样做：如果．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为； ③比较两个二次根式的大小：； ④计算； ⑤若，，且，则整数． 以上结论正确的是（　　） A．①③④ B．①②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤ 39．比较大小： （1） ； （2） ． 40．比较大小： ； ； . 41．（1）用“”或“”号填空：____________． （2）化简：______，______． （3）计算：． 42．在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方，，，则， 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，大小，　　　　（填写，或者） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 题型八 分母有理化 43．张老师在黑板上出了一道计算题：，要求同学们在“○”中填入适当的运算符号，使得计算结果是有理数，“○”中可以填的符号是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 44．先观察下列的计算，再完成习题： ；；根据你的猜想、归纳，运用规律计算：的结果为（   ） A．1 B．2014 C．2013 D． 45．已知若、是分别是整数部分和小数部分，则的值为 ． 46．阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：， （1）将分母有理化可得 ； （2）关于的方程的解是 ． 47．我们知道，是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但可以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，例如：因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分． (1)的小数部分是______；若为的小数部分，则_______． (2)已知代数式的值为有理数，其中为的小数部分，为有理数，求：该代数式的值． 48．在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ①； ②； ③； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化，还可以用以下方法化简： ④； (1)请用不同的方法化简：： a：参照③式得 ； b：参照④式得 ； (2)化简； (3)化简：（n为正整数）． 题型九 与二次根式有关的化简求值 49．设，，，……，．其中n为正整数，则的值是（    ） A． B． C． D． 50．若三个实数，，满足，且，则有：，则的值（    ） A． B． C．2023 D． 51．已知，，则代数式的值是 ； 52．按如图所示的程序计算，若开始输入n的值为，则最后输出的结果是 ．    53．先化简，再求值：，其中． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 (1)____的解答过程是错误的； (2)先化简，再求值：，其中． 54．我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当时： 又 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______，此时______； (2)若，求y的最小值． 题型十 二次根式的综合应用 55．在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)______； (2)化简：； (3)若，求的值． 56．经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离（米）和下落时间（秒）可以用公式来估计． (1)一个物体从米高的塔顶自由下落，落到地面需要几秒？ (2)一个物体从高空某处落到地面用了2秒，问物体下落前离地面高多少米？ 57．某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛即图中阴影部分，长方形花坛的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为的地砖（假设地砖没有损耗），要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 58．阅读下面的材料，解决下面的问题． 古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，则三角形的面积． 我国南宋著名的数学家秦九韶提出了利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则三角形的面积． (1)若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于______； (2)若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积． 59．在学习二次根式计算时，思思同学进行了如下思考： ． (1)填空：________；________． (2)试猜想与的大小，并说明理由． (3)请利用上述结论解决下面问题：某同学在做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 60．综合与应用 【阅读材料】小桂和小林在学习了三角形之后，两人对“已知三边长的三角形的面积问题”进行了探究．他们首先各自查找了相关问题的资料． 小桂找到的资料如下： 《数书九章》是我国南宋著名数学家秦九韶的著作，书中记载了：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则这个三角形的面积公式为： 小林找到的资料如下： 古希腊数学家海伦在他的《测地术》著作中记载了：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，则三角形的面积为： 根据以上信息，回答以下问题： 【学以致用】（1）已知一个三角形的三边长分别为3，4，5． ①若利用小林提供的资料求这个三角形的面积，请直接写出p和S的值； ②请利用小桂提供的资料求这个三角形的面积． 【拓展应用】（2）在中，，点M是中点，N是边上的一个三等分点，连接，请求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十五章 二次根式章末重点题型复习 题型一 求二次根式的值 题型二 利用二次根式的性质化简 题型三 根据二次根式的性质确定参数的取值范围 题型四 最简二次根式 题型五 二次根式的混合运算 题型六 同类二次根式 题型七 比较二次根式的大小 题型八 分母有理化 题型九 与二次根式有关的化简求值 题型十 二次根式的综合应用 题型一 求二次根式的值 1．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．观察分析下列各数：，，，，，，，根据其中的规律，则第10个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是数字规律探究题，观察题目找出规律被开方数依次增加3是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴第个数为， ∴第10个数是， 故选C． 3．将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数，则表示的数是 【答案】 【分析】根据数的排列方法可知，第一排：个数，第二排个数．第三排个数，第四排个数，…第排有个数，从第一排到排共有：…个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第排第个数到底是哪个数后再计算． 【详解】解：表示第排从左向右第个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是， ， ， 则所表示的数是， 故答案为． 【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．判断出所求的数是第几个数是解决本题的难点；得到相应的变化规律是解决本题的关键． 4．材料阅读： 材料一：若是正整数，除以的余数为，则称是“余一数”． 例如：是正整数且，则是“余一数”． 材料二：对于任意四位正整数，的千位数字为、百位数字为、十位数字为、个位数字为，规定：．请根据以上材料，解决下列问题： （1）判断： “余一数”（填“是”或“不是”）； （2）若四位正整数是“余一数”，的千位数字与个位数字的和等于，百位数字与十位数字的和等于，千位数字与百位数字的和大于十位数字与个位数字的和，是有理数，则满足条件的为 ． 【答案】 不是， ， 【分析】（1）根据材料提示计算“余一数”的方法即可求解； （2）设的千位数字为，的百位数字为，的十位数字为，的个位数字为，根据数量关系分别求出的范围，综合，是有理数，进行试根即可求解． 【详解】解：（1）， ∴不是“余一数”， 故答案为：不是； （2）四位正整数是“余一数”，的千位数字与个位数字的和等于，百位数字与十位数字的和等于，千位数字与百位数字的和大于十位数字与个位数字的和， ∴设的千位数字为，的百位数字为，的十位数字为，的个位数字为， ∴，解得，， ∴正整数表示为：，整理得，， ∵正整数是“余一数”，即个位数的差为， ∴， ∴或或或， ∴或或或， ①当时，即千位的数字为， ∴个位的数值为， ∵，且， ∴或，即百位的数字为或，则十位的数值为或， ∴正整数为或， ∵，是有理数， ∴是无理数，不符合题意，舍去；是无理数，不符合题意，舍去； ∴不符合题意，舍去； ②当时，即千位的数字为， 同理，个位的数字为，百位的数字为或或或，对应的个位的数字为或或或， ∴正整数为或或或， ∴是无理数，不符合题意，舍去；是无理数，不符合题意，舍去；是有理数，符合题意； ③当时，即千位的数字为， 同理，个位的数字为，百位的数字为或或或或或，对应的个位的数字为或或或或或， ∴正整数为或或或或或， ∴是无理数，不符合题意，舍去；是无理数，不符合题意，舍去；是有理数，符合题意；是无理数，不符合题意，舍去；是无理数，不符合题意，舍去； ④当时，即千位的数字为， ∴个位的数字为，不符合题意，舍去； 综上所述，符合题意的数字为或． 【点睛】本题主要考查定义新运算，有理数的混合运算，二次根式的性质化简，无理数的概念等知识的综合，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键． 5．计算：（1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据零指数幂和负整数指数幂的性质计算，即可得到答案； （2）根据二次根式的性质计算，即可得到答案； （3）根据整式混合运算的性质计算，即可得到答案； （4）根据平方差公式、整式乘法和加减法的性质计算，即可得到答案． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【点睛】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、二次根式、整式混合运算、平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、二次根式、整式混合运算、平方差公式的性质，从而完成求解． 6．任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算． (1)用含m的代数式表示该程序的运算过程并化简； (2)当时，求输出的结果． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了代数式求值，正确得出运算程序是解题的关键． （1）直接利用运算程序进而得出关于m的代数式； （2）把已知数据代入求出答案． 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）解：当时， ， ∴输出的结果是． 题型二 利用二次根式的性质化简 7．若二次根式，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、绝对值，解题的关键是掌握． 根据二次根式的性质得到，则有，根据绝对值的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：， 而， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 8．在学习二次根式过程中，对代数式定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法： ①； ②至少存在一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等； ③不存在任何“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0； ④所有可能的“新运算操作”共有5种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义运算“新运算操作”，正确理解“新运算操作”是解题关键．根据数轴可知，，则有，结合“新运算操作”可得，即可判断说法①；结合可得，即可判断说法②；推导，易得，可知，即可判断说法③；根据“新运算操作”可知所有可能的“新运算操作”共有5种不同运算结果，即可判断说法④． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴，故说法①正确； ∵， ∴，故说法②正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴存在“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0，说法③错误； 可能的“新运算操作”有， ， ， ， ， ， ， ∴所有可能的“新运算操作”共有5种不同运算结果，说法④正确． 故选：B． 9．若满足等式，则的值为 ． 【答案】2022 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值、一元一次方程等知识点，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到m的取值范围，再根据m的取值范围去绝对值和二次根式的性质得到一元一次方程，进而得到，即，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴． 故答案为：2022． 10．设，则与最接近的整数是 ． 【答案】2025 【分析】此题是数字规律题，主要考查了二次根式的加减法，解答此类题目要探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法． 由可化为，即可求解． 【详解】解：∵n为任意正整数， ∴ ． ． ∴与S最接近的数是2025． 故答案为：2025． 11．实数a、b、c在数轴上的对应点表示出来如图所示： (1)请化简：； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质，数轴，化简绝对值，整式的加减运算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据数轴得到，，由二次根式的性质把化为，再去绝对值即可； （2）将代入化简后的，即可求解． 【详解】（1）解：由数轴得：， 则， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ． 12．【阅读材料】小华根据学习“二次根式”及“乘法公式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究“当时，与的大小关系”． 下面是小华的深究过程： ①具体运算，发现规律：当时，特例1：若，则；特例2：若，则；特例3：若，则． ②观察、归纳，得出猜想：当时，． ③证明猜想： 当时， ∵， ∴， ∴． 当且仅当时，． 请你利用小华发现的规律解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ； (2)当时，的最小值为 ； (3)当时，求的最小值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形，不等式的性质： （1）直接由题中规律即可完成； （2）当时，，则可由题中规律完成； （3）原式变形为，由，计算出的最小值，即可求得的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 当且仅当时，即时取得最小值2. 故答案为：2； （2）解：∵， ∴， ∴， 当且仅当时，即时取得最小值. 故答案为：； （3）解： ， ∵， ∴， ∴， 当且仅当时，即时取得最小值. ∴， ∴， ∴的最小值为． 题型三 根据二次根式的性质确定参数的取值范围 13．若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即，解得， 故选：C． 14．若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【答案】D 【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 15．已知有意义，如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是 ． 【答案】． 【分析】把方程变形为，根据方程没有实数根可得，解不等式即可． 【详解】解：由得， 有意义，且， 方程没有实数根，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定的取值范围． 16．函数中自变量的取值范围是 ；分式值为零的条件 ． 【答案】 【分析】根据分式和二次根式有意义的条件即可求得自变量的取值范围；根据分式为零即分子为零求解即可； 【详解】解：根据函数得： ， 解得：； 根据分式值为零得到： ， 即：； 检验当时分式分母不为0， 所以分式值为零的条件是； 故答案为：；； 【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件以及分式为零的条件，掌握分式的分母不能为零是解题的关键． 17．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，3，3 (2)①无解，②不能，理由见解析 【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程． （1）根据题意可直接进行求解； （2）①先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； ②先设，根据题意中的方法解该方程，根据方程的解的情况即可解答． 【详解】（1）解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． （2）解：① 移项，得 去根号，两边同时平方得， 即 解得：， 检验：时，方程左边右边， ∴不是原方程的解，原方程无解； ②若代数式的值等于7，即， 移项，得， 两边同时平方，得， 化简，得， 两边同时平方，得， ∴该方程无解， ∴代数式的值不能等于7． 18．先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题， 若和在实数范围内都有意义，求的值． 解：和在实数范围内都有意义， 且． 由得： ， ． 问题，若实数满足，求的值． 【答案】5 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义得到，解得，再求出，再代入进行解答即可． 【详解】解：由题意可得，和在实数范围内都有意义， ∴且 由得到 ∴ 解得， ∴， ∴ 题型四 最简二次根式 19．下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】解：、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； 、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 20．若，其中都是整数，则的值为（    ）． A． B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，代数式求值，化最简二次根式．先根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，进而求出a、b、c的值，最后代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得： ， ∴． 故选：A． 21．下列二次根式：①；②；③；④．其中化简后的被开方数是3的是 （填序号）． 【答案】④ 【分析】本题考查了二次根式的化简，先将各二次根式化为最简二次根式，然后再找出被开方数是3的即可． 【详解】解：①； ②； ③是最简二次根式； ④． 故化简后被开方数是3的是④， 故答案为：④． 22．观察下列二次根式的化简： ； ； ； … 则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的化简，规律探究，根据规律确定，然后计算求解即可． 【详解】解：由题意知， ； ∴， 故答案为：． 23．定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则________________； (2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的计算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定义是解题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）根据题意列出式子，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 所以 解得 即m的值为． 24．“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．它是数学的重要方法，可以解决多项式、方程的相关问题． 例如：我们可以通过“配方法”求代数式的最小值． ， ∴当时，有最小值． 请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题： (1)若，请求出a、b的值； (2)若代数式的最小值为，试求出k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式将一个代数式或代数式的某一部分通过改写化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式是解题的关键． （1）把等式左边利用配方法配方得到，由此即可求出a、b的值； （2）利用配方法把配方得到，根据得到，则当时，有最小值，由此建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值， ∵代数式的最小值为， ∴， ∴， ∴． 题型五 二次根式的混合运算 25．可以说明若“x为无理数，则也是无理数”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的概念以及二次根式的运算，熟练掌握运算法则和定义是解题的关键．逐一计算每个选项的平方数，按照无理数定义验证即可解决问题． 【详解】解：A：，不是无理数，符合题意； B：，是无理数，不符合题意； C：，是无理数，不符合题意； D：，是无理数，不符合题意； 故选：A． 26．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（   ） A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的除法运算和性质是解答的关键．根据二次根式的除法法则可和性质逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴小明没有出现错误； ∵， ∴小丽出现错误； ∵， ∴小红出现错误； ∵， ∴小亮没有出现错误， 故自己负责的式子出现错误的是小丽和小红， 故选：B． 27．已知，，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件．根据，，可以求得x、y的值，然后即可求得的平方根． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴，，， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 28．已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查平方差公式的运用，代数式求值，积的乘方的逆用，二次根式的混合运算，根据题意得到当时，，当时，，再结合平方差公式进行因式分解并运算，即可解题． 【详解】解：， 当时，， 当时，， ． 故答案为：1． 29．观察下列各式及其验证过程： ．验证：． ．验证： (1)按照上述规律，直接写出的结果是___________ (2)针对上述各式反映的规律，写出用为自然数，且表示的等式，并给出证明． 【答案】(1) (2)（n为自然数，且），证明见解析 【分析】本题考查算术平方根、规律型问题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题． （1）根据规律，可得到答案． （2）根据观察等式，可发现规律，根据规律，可得到答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：（n为自然数，且）， 证明： 30．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：______； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，二次根式的加减混合，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）利用分母有理化计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）先化简a，求出，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： （3）， ， ． 题型六 同类二次根式 31．若最简二次根式与是同类二次根式，则a的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式定义，以及求一个数的平方根，根据被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式，列出方程求出，，再根据平方根概念求解，即可解题． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ，， 解得，， a的平方根是， 故选：D． 32．有下列说法：①的平方根是；②表示6的算术平方根的相反数；③是的平方根；④与是同类二次根式；⑤的绝对值是．其中，正确的说法有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查平方根，算术平方根，同类二次根式，绝对值，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：的平方根是；故①错误； 表示6的算术平方根的相反数；故②正确； 是的平方根；故③正确； 与是同类二次根式；故④正确； 的绝对值是；故⑤正确； 故选C． 33．在，，，，，中不是的同类二次根式的有 ． 【答案】， 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 将二次根式，，，，，分别化简后得到与是同类二次根式的个数． 【详解】解：二次根式，，，，，， 与不是同类二次根式是：，． 故答案为：，． 34．如果两个最简二次根式与是同类二次根式，那么使有意义的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的概念、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． 先根据同类二次根式的定义列方程求出a的值，代入，再根据二次根式的定义列出不等式求解即可． 【详解】解：∵最简根式与是同类二次根式， ∴，解得：， ∵有意义， ∴，即，解得：． 故答案为：． 35．定义：若两个二次根式m、n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的和谐二次根式．已知最简二次根式与可以合并，请问的算术平方根与是关于4的和谐二次根式吗？并说明理由． 【答案】的算术平方根与是关于4的和谐二次根式，理由见解析 【分析】本题主要考查了最简二次根式、算术平方根、二次根式的乘法运算等知识点，理解和谐二次根式的定义是解题的关键． 先根据最简二次根式的定义求得a的值，然后求得a的算术平方根，最后根据和谐二次根式的定义判断即可． 【详解】解：的算术平方根与是关于4的和谐二次根式，理由如下： ∵最简二次根式与可以合并， ∴，即， ∴的算术平方根为， ∵， ∴的算术平方根与是关于4的和谐二次根式． 36．小明和小亮暑期在家做数学运算游戏，他们在一个密闭不透明的盒子里放入四张大小一样，颜色分别为白色、灰色的圆形卡片，在卡片上分别标有如图所示的数．他们要从盒子中分别摸出卡片，并制定了如下规定：若摸到白色卡片，则加上卡片上的数：若摸到灰色卡片，则减去卡片上的数． (1)（1）若小明摸到如下两张卡片，请计算出结果． （2）若小亮摸出全部的四张卡片，计算结果为x，小明认为x的值与属于同类二次根式，你认为小明的说法对吗？并说明理由． 【答案】(1) (2)小明的说法对，理由见解析 【分析】本题主要考查二次根式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的计算法则进行计算即可； （2）四张卡片均与是同类二次根式，只需判断与是否是同类二次根式即可得到答案． 【详解】（1）解：依题意，得； （2）解：小明的说法对． 理由：依题意，得． ， 与是同类二次根式， x的值与属于同类二次根式， 故小明的说法对． 题型七 比较二次根式的大小 37．已知，，，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把化为再结合从而可得答案． 【详解】解：∵， ， ， 而 ∴ 故选A． 【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键． 38．二次根式除法可以这样做：如果．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为； ③比较两个二次根式的大小：； ④计算； ⑤若，，且，则整数． 以上结论正确的是（　　） A．①③④ B．①②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤ 【答案】D 【分析】①类比示例，利用分式的基本性质进行分母有理化； ②估计无理数的整数部分，求出小数部分，进而分母有理化进行化简； ③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小； ④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值； ⑤与y可以利用分母有理化化简，可得出x与y互为倒数，故，然后观察方程特点，求得n的值． 【详解】解：，故将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以，故①正确； ∵a是的小数部分， ∴， ∴，故②错误； ∵，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵ ，故④正确； ⑤∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， 即， 解得，故⑤正确． 故选：D． 【点睛】本题考查利用分式的基本性质、平方差公式进行分母有理化，解决二次根式的化简、比较大小和运算的问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 39．比较大小： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式比较大小，分母有理化： （1）分母有理数后比较大小即可； （2）比较两数的倒数，进而得出两数的大小关系即可． 【详解】解：（1）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 40．比较大小： ； ； . 【答案】 【分析】根据二次根式性质比较大小即可得到结论． 【详解】解：①， ； ②， ； ③， ， ， ，即； 故答案为：；；． 【点睛】本题考查二次根式比较大小，熟练掌握二次根式性质是解决问题的关键． 41．（1）用“”或“”号填空：____________． （2）化简：______，______． （3）计算：． 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，绝对值，二次根式的大小比较，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式比较大小的方法求解即可； （2）根据（1）所求结合实数的性质求解即可； （3）根据（2）先去绝对值，然后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：， （2）．； 故答案为：， （3）原式 ． 42．在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方，，，则， 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，大小，　　　　（填写，或者） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键： （1）利用平方法比较大小即可； （2）利用平方法进行比较即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：猜想，理由如下： ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 题型八 分母有理化 43．张老师在黑板上出了一道计算题：，要求同学们在“○”中填入适当的运算符号，使得计算结果是有理数，“○”中可以填的符号是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，分别填入加减乘除在圆圈里面，根据二次根式的相关计算法则求出对应的结果即可得到答案． 【详解】解：； ； ； ； ∴“○”中可以填的符号是或， 故选：C． 44．先观察下列的计算，再完成习题： ；；根据你的猜想、归纳，运用规律计算：的结果为（   ） A．1 B．2014 C．2013 D． 【答案】C 【分析】此题考查了分母有理化，由题意得出规律，再根据得出的规律将原式化简即可得到结果． 【详解】解：∵；；， ∴得出规律， ∴ ， 故选：C． 45．已知若、是分别是整数部分和小数部分，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了无理数的估算、求代数式的值以及无理数整数部分的有关计算，先得即，从而求得，，代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ∵ ∴， ∴即， ∵、是分别是整数部分和小数部分， ∴， ∴ ， 故答案为：． 46．阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：， （1）将分母有理化可得 ； （2）关于的方程的解是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查二次根式分母有理化，及其规律探索，解方程，掌握二次根式分母有理化，发现规律，解方程方法，找到有理化分母是解题关键． （1）根据材料进行分母有理化即可． （2）先分母有理化，再根据式子的规律化简，解方程即可求解． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 47．我们知道，是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但可以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，例如：因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分． (1)的小数部分是______；若为的小数部分，则_______． (2)已知代数式的值为有理数，其中为的小数部分，为有理数，求：该代数式的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，分母有理化； （1）根据算术平方根的定义估算和的大小，得出小数部分，进而代入代数式求得代数式的值； （2）估算的大小，确定的值，进而根据代数式的值为有理数，得出的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴的小数部分是 ∵为的小数部分， ∴ ∴ 故答案为：，． （2）解：∵，即， ∴ ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， ∴， ∵的值为有理数，为有理数， ∴， ∴ ∴． 48．在进行二次根式运算时，我们有时会碰到形如，，的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ①； ②； ③； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化，还可以用以下方法化简： ④； (1)请用不同的方法化简：： a：参照③式得 ； b：参照④式得 ； (2)化简； (3)化简：（n为正整数）． 【答案】(1)a：；b： (2) (3) 【分析】（1）参照③式，④式，进行计算即可解答； （2）利用分母有理化先化简各式，然后再进行计算即可解答； （3）利用分母有理化先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：a：参照③式得， 故答案为：； b：参照④式得， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． 题型九 与二次根式有关的化简求值 49．设，，，……，．其中n为正整数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先求出，然后把代数式进行化简，再进行计算，即可得到答案． 【详解】解：∵n为正整数， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝； ∴ ＝（1+）+（1+）+（1+）+…+（1+） ＝2021+1﹣ ＝2021+1﹣ ＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是用裂项法将分数化成，再化简，寻找抵消规律求和． 50．若三个实数，，满足，且，则有：，则的值（    ） A． B． C．2023 D． 【答案】B 【分析】结合所给的条件，把所求的式子进行化简，再求值即可． 【详解】解：三个实数，，满足，且， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，数字的变化规律，分式的加减法，解答的关键是理解清楚所给的条件． 51．已知，，则代数式的值是 ； 【答案】 【分析】根据题中条件，利用二次根式性质化简，代入求值即可得到答案． 【详解】解：，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握二次根式性质及运算法则是解决问题的关键． 52．按如图所示的程序计算，若开始输入n的值为，则最后输出的结果是 ．    【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的乘法运算，无理数的估算．先把代入代数式得代数式的值为，再判断与11的大小，直到计算结果大于11再输出结果，从而可得答案． 【详解】解：当时，， 由，所以不能输出， 当时，， 由， ∴输出的结果是， 故答案为：． 53．先化简，再求值：，其中． 小亮： 解：原式 小芳： 解：原式 (1)____的解答过程是错误的； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2)， 【分析】本题主要考查二次根式化简求值，掌握二次根式化简以及化去绝对值的方法是解题的关键． （1）先说明，再根据二次根式的性质化简原式可得，然后根据的符号去绝对值即可判断小亮解法错误； （2）先说明，再根据二次根式的性质化简原式可得，然后根据的符号去绝对值，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：小亮的解答过程是错误的，正确解答如下： ， ． ． 小亮的解答过程是错误的． （2）解：， ， ∴ ． 原式． 54．我们已经学习了二次根式和完全平方公式，请阅读下面材料： 当时： 又 当且仅当时，． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______，此时______； (2)若，求y的最小值． 【答案】(1)4， (2)y的最小值为 【分析】本题考查了二次根式和完全平方公式的应用，读懂题意，能熟练仿照示例是解题的关键． （1）根据示例，得到，即可求出x的值，得到最小值； （2）仿照示例，，得到最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 当且仅当时，， 解得， ∴当时，的最小值为4，此时， 故答案为：4，； （2）解：， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，的最小值为， ∴y的最小值为． 题型十 二次根式的综合应用 55．在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)______； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)10 (3)6 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化． （1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，然后合并二次根式即可； （3）先分母有理化得到，移项后平方得到，再把原式变形为，接着利用整体代入的方法计算得到原式，然后再运用同样方法计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：， ， ， ， ． 56．经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离（米）和下落时间（秒）可以用公式来估计． (1)一个物体从米高的塔顶自由下落，落到地面需要几秒？ (2)一个物体从高空某处落到地面用了2秒，问物体下落前离地面高多少米？ 【答案】(1)5秒 (2)米 【分析】本题考查有关二次根式运算的运用： （1）将代入求解即可得到答案； （2）将代入求解即可得到答案； 【详解】（1）解：当米时， 答：落到地面需要5秒； （2）解：当秒时， 解得：， 答：物体下落前离开地面米． 57．某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛即图中阴影部分，长方形花坛的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为的地砖（假设地砖没有损耗），要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查二次根式的应用； （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 【详解】（1）解：长方形的周长 答：长方形的周长是． （2）铺地砖的面积 故购买地砖的花费为(元) 答：购买地砖需要花费元． 58．阅读下面的材料，解决下面的问题． 古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，则三角形的面积． 我国南宋著名的数学家秦九韶提出了利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则三角形的面积． (1)若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于______； (2)若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用算术平方根的定义计算． （1）把的长代入公式求出，即可得解； （2）把的长代入公式求出，即可得解． 【详解】（1）解：， ． 答：这个三角形的面积等于． 故答案为：． （2）解： ． 答：这个三角形的面积是． 59．在学习二次根式计算时，思思同学进行了如下思考： ． (1)填空：________；________． (2)试猜想与的大小，并说明理由． (3)请利用上述结论解决下面问题：某同学在做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3)厘米 【分析】（1）将需要比较大小的两个数作差，其结构符合完全平方式，利用平方的非负性证明即可； （2）根据（1）中结果猜想，并利用完全平方公式及平方的非负性对猜想进行证明即可； （3）做对角线的竹条的和符合（2）中的形式，根据风筝面积求出对角线长度的积，应用（2）中的结论即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴； ∵， ， ∴； 故答案为：；． （2）猜想：． 理由：∵， ∴ ， ∴； （3）设，， ∵四边形为，， ∴ ， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴用来做对角线的竹条至少要厘米． 【点睛】本题考查平方的非负性，二次根式的大小比较，完全平方公式，二次根式的实际应用，识别出完全平方式的结构是解题的关键，同时注意已证明结论的迁移应用． 60．综合与应用 【阅读材料】小桂和小林在学习了三角形之后，两人对“已知三边长的三角形的面积问题”进行了探究．他们首先各自查找了相关问题的资料． 小桂找到的资料如下： 《数书九章》是我国南宋著名数学家秦九韶的著作，书中记载了：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则这个三角形的面积公式为： 小林找到的资料如下： 古希腊数学家海伦在他的《测地术》著作中记载了：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，则三角形的面积为： 根据以上信息，回答以下问题： 【学以致用】（1）已知一个三角形的三边长分别为3，4，5． ①若利用小林提供的资料求这个三角形的面积，请直接写出p和S的值； ②请利用小桂提供的资料求这个三角形的面积． 【拓展应用】（2）在中，，点M是中点，N是边上的一个三等分点，连接，请求的面积． 【答案】（1）①，②；（2）或 【分析】本题考查了三角形的中线求面积，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）①先求出p，再代入求出面积；②直接代入计算即可； （2）先利用求出的面积，再由三角形的中线等分面积求出，再由三等分点分类利用共高三角形面积比等于底之比求解． 【详解】解（1）①由题意得，， ∴； ② ； （2）如图，连接 ∵在中，， ∴ ∴， ∵点M是中点，N是边上的一个三等分点， ∴，或 ∴或， ∴的面积为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$