第十四章 实数章末重点题型复习-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（冀教版）

第十四章 实数章末重点题型复习 题型一 求平方根的计算 题型二 求立方根的计算 题型三 利用平方根、立方根解方程 题型四 实数的混合运算 题型五 实数与数轴 题型六 新定义下的实数运算 题型七 实数运算的实际应用 题型八 实数相关的规律探究题 题型九 算术平方根和立方根的综合应用 题型十 与算术平方根有关的规律探索题 题型一 求平方根的计算 1．“的平方根是”的数学表达式是（   ） A． B． C． D． 2．已知一个数的两个平方根分别是和，则这个数是（   ）． A． B． C． D． 3．已知的平方根是，的算术平方根是4，那么的值是 ． 4．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，那么的值是 5．已知． (1)求a的值． (2)求的平方根． 6．根据下表回答下列问题： x 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 x² 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 (1)在 和 之间．（填表中相邻的两个数） (2) ， (3)338.56的平方根是 ． 题型二 求立方根的计算 7．若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 8．一次数学游戏活动时，有个同学藏在大木牌后面，女同学的木牌前写的是正数，男同学的木牌前写的是负数，个木牌如下所示，则男生有（　　） A．人 B．人 C．人 D．人 9．的立方根是 的算术平方根 的平方根是 10．已知的立方根是，的算术平方根是，求的值为： ． 11．计算： (1)； (2)． 12．已知的算术平方根是的立方根是2． (1)求的平方根； (2)求的值． 题型三 利用平方根、立方根解方程 13．已知3既是的平方根，也是的立方根，则关于的方程的解是（    ）． A． B． C．或 D．或 14．按顺序排列的若干个数：，，，……，（n是正整数），从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数，即：，……，下列选项正确是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则 A．①和③ B．②和③ C．①和② D．①②③都正确 15．（1）当 时，关于的方程有增根； （2）若，则的立方根为 ． 16．如图是第十四届国际数学教育大会会微的主题图案，它包含着丰富的数学元素，展现我国古代数学的文化魅力，在其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．而八进制数3745转换成十进制数的计算方式为：，十进制数2021表示的举办年份，而十进制数2024正好是你进入初中的年份，请将十进制数2024换算成八进制数是 ，数学组设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，则的值是 ． 17．请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法，求代数式的最小值． ， ∵，∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)，则________，________； (2)求证：无论x取何值，代数式的值都是负数； (3)若代数式的最小值为3，求k的值． 18．期末复习过程中，七（1）班的张老师设计了一个数学问题，涉及本册中多个知识点和多种数学思想，请聪明的你来解答一下吧． (1)若一个数x的立方等于，请求出x的值． (2)请利用整体思想和方程思想进行解题． ①若（1）中的x的值也是关于x的一元次方程的解，那么关于y的一元一次方程的解为y= ． ②在如图所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将①中的x，y填入如图所示的位置，则的值为多少？ (3)在（2）的条件下，在数轴上标注x，y所表示的数的对应点，分别记作A，B，已知P点从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动，Q点从B点出发，以4个单位每秒的速度在A、B两点之间做往返运动，P、Q两点同时开始运动，当Q点第一次返回到B点时，两点同时停止运动，若记数轴的原点为O，则P点运动几秒后？ 题型四 实数的混合运算 19．已知：、为两个连续的整数，且，以下判断正确的是（    ） A．的整数部分与小数部分的差是 B． C．的小数部分是0.236 D． 20．对于4个字母m、n、x、y满足，先任意选择两个字母求差并添加绝对值，再把剩下的两个字母求差并添加绝对值，最后把两个绝对值作差．例如：先选择m，n得到，再得，再把两个绝对值作差得，把这种操作称之为“绝对值减法操作”，则下列说法： ①存在一种“绝对值减法操作”的结果为0；②两种“绝对值减法操作”的结果之和可能为0；所有的“绝对值减法操作”化简后可能得到一共6种的不同结果．正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 21．若，均为整数，当时，代数式的值为，则的算术平方根为 ． 22．已知实数 ，，，，，，且 ，互为倒数，，互为相反数，的绝对值为， 的算术平方根是，则 的值是 ． 23．（1）计算：； （2）解方程：． 24．（1）已知整式和，请用“+”或“”将它们连接起来，并进行计算； ①列式：___________； ②计算． （2）计算：． 小雨的解答如下： 解：原式……第一步 ……………………第二步 …………………………第三步 小雨的解答过程从第___________步开始出错，请写出正确的解答过程． 题型五 实数与数轴 25．如图，面积为S的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1．.若点E在数轴上的位置如图所示，点A分别到点E与到点B的距离相等，则S的可能值为（    ） A． B． C． D． 26．如图1，数轴上从左至右依次有B，O，M，A，N五个点，其中点B，O，A表示的数分别为，0，4．如图2，将数轴在点O的左侧部分绕点O顺时针方向旋转，将数轴在点A的右侧部分绕点A逆时针方向旋转，连接．若和全等，则点N表示的数为（　　）      A．或 B．或 C．2或 D．2或 27．数学课上，为了让同学们更加直观地理解无理数可以在数轴上表示，张老师作了如图所示的演示，把直径为个单位长度的圆沿数轴从原点无滑动地顺时针滚动一周，到达点，此时点表示的数是 ． 28．如图，正方形方格的每一方格的边长为1个单位，依次连结各边的中点、、、得正方形，则正方形的边长是 ，以顶点为圆心，长为半径画圆交数轴的负半轴于点，则数轴上点对应的无理数是 ． 29．已知代数式（，且为整数）． (1)当时，是 （有理数/无理数）； (2)当时，通过画图在数轴上找出表示的点； (3)当时，可能是偶数吗？为什么？可能是奇数吗？为什么？ 30．如图1，的网格由9个边长为1的小正方形组成． (1)图1中阴影正方形的顶点都在网络的格点上，则阴影正方形的面积是____，它的边长是_____． (2)如图2所示，点A表示的数是_____． (3)请你在的网格中画出一个面积为10的正方形．（请用2B铅笔作图） 题型六 新定义下的实数运算 31．设四位数满足，则这样的四位数的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 32．对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：，则方程解的情况是（    ） A． B． C． D．无解 33．对于实数a，b，定义运算“#”： 例如，因为，所以． 若x， y满足方程组，则 34．我们规定：一个四位数（，，，，、、、均为整数），若其千位数字与十位数字之和是6的倍数，且个位数字与百位数字之差为6，则称这个数为“顺顺利利数”．若一个“顺顺利利数”的各个数位上的数字之和为22，则的值为 ，若设，，且，则所有满足条件的“顺顺利利数”的和为 ． 35．已知a，b均为不等于0的实数，我们定义新运算“※”：．例如：． (1)验证新运算“※”是否满足乘法交换律？若满足，请写出推导过程；若不满足，请举反例说明． (2)计算：． (3)当时，若，尝试求出x的值． 36．我们把形如（，不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，； 再如为十字分式方程，可化为，∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则________，________． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 题型七 实数运算的实际应用 37．中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（    ） A．10 B．89 C．165 D．294 38．如图，正方形中，点E、F在上，点E是的中点，以为边长向正方形形内作正方形，以、为长和宽向正方形形内作长方形，已知正方形的面积为70，正方形的面积为40，则长方形的面积为（   ） A．5 B．7.5 C．10 D．12.5 39．在比例尺为的地图上，某经济开发区的面积为，那么，该经济开发区的实际面积为 ． 40．如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为 ． 41．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 42．根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 题型八 与算术平方根有关的规律探索题 43．观察下列算式：，，，…，它有一定的规律性，把第个算式的结果记为，则的值是（     ） A． B． C． D． 44．按顺序排列的一列数：，，，，是正整数，从第二个数开始，每一个数都等于与它前一个数的倒数之差，即：，，，则下列说法：当且且时，；若，则；代数式的值恒为负；若，则其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 45．已知，则 ． 46．如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是 ．（用含的代数式表示） 47．先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 48．方明是一位勤于思考、勇于创新的同学．在学了平方根的有关知识后，他知道负数没有平方根．例如：因为没有一个数的平方等于，所以没有平方根．有一天，方明产生了这样的想法：假设存在一个数，使，那么，因此就有两个平方根和了．进一步方明想到：，的平方根是；，的平方根是．请你根据上面提供的情景解答下列问题： (1)求，，的平方根； (2)求，，，，，的值，你发现了什么规律？将你发现的规律用文字表达出来． 题型九 算术平方根和立方根的综合应用 49．已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 50．现将体积是125的正方体木块锯成8块同样大小的小正方体木块，准备从中选取n个小正方体木块，排放在一块长方形的木板上，已知此长方形木板的长是宽的4倍，面积是36，若只排放一层，n的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 51．已知的算术平方根是3，的立方根是，则 ． 52．已知、、在数轴上的位置如图，化简： ． 53．某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间（）可以用公式：来估计，其中d（km）是雷雨区域的直径．（参考数据：，，，） (1)如果雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果精确到） (2)如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到） 54．完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． … … … … … … (1)表格中的______，______． (2)从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：_________． (3)若，求的值． （参考数据：） 题型十 实数相关的规律探究题 55．设，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 56．下面是一个按某种规律排列的数表，那么第7行的第2个数是：（   ） 第1行 1 第2行     2 第3行           第4行           … … A． B． C． D． 57．计算四个式子的值：；；；，观察计算结果，发现规律得出：的值为 ． 58．下列各个图形中，“●”的个数用a表示，“○”的个数用b表示，如时，，；时，，；……根据图形的变化规律，当时，的值为 ． 59．观察下列一组算式的特征，并探索规律： ①； ②； ③； ④； ⑤． 根据以上算式的规律，解答下列问题： (1)_______； (2)简便计算：． 60．观察表格并回答下列问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 实数章末重点题型复习 题型一 求平方根的计算 题型二 求立方根的计算 题型三 利用平方根、立方根解方程 题型四 实数的混合运算 题型五 实数与数轴 题型六 新定义下的实数运算 题型七 实数运算的实际应用 题型八 实数相关的规律探究题 题型九 算术平方根和立方根的综合应用 题型十 与算术平方根有关的规律探索题 题型一 求平方根的计算 1．“的平方根是”的数学表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可． 【详解】解：“的平方根是”的数学表达式是， 故选：A． 2．已知一个数的两个平方根分别是和，则这个数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根，根据一个数的平方根互为相反数，列式求解可得的值，进而可得平方根，再根据平方根，可得这个数，掌握一个数的平方根互为相反数是解题的关键． 【详解】解：∵一个数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， ∴这个数为， 故选：． 3．已知的平方根是，的算术平方根是4，那么的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了算术平方根与平方根的定义，熟练掌握平方根及算术平方根的性质和定义是解决本题的关键．根据平方根的概念及算术平方根的概念求出a和b的值，然后再代入中求解即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的算术平方根是4， ∴，将代入， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 4．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，那么的值是 【答案】3 【分析】本题考查了算术平方根以及算术平方根的估算，首先计算三角形的面积为，在估算的范围，可得，从而可得答案． 【详解】解：由题意得，， ， ，介于整数和之间， ， 故答案为：3． 5．已知． (1)求a的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，求一个数的平方根． （1）依据算术平方根的被开方数是非负数，即可得到a的值； （2）先求得b的值，进而得出的平方根． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：由可得， ∴， ∴， ∴的平方根是． 6．根据下表回答下列问题： x 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 x² 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 (1)在 和 之间．（填表中相邻的两个数） (2) ， (3)338.56的平方根是 ． 【答案】(1)18.6,18.8 (2)18.6，1.89 (3) 【分析】（1）结合表格中数据可得，，即可求解； （2）先根据表中数据得出在18.6和18.7之间，再利用四舍五入求解即可，再根据算术平方根的定义求解即可； （3）根据平方根的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵ ，，， ∴在18.7和18.8之间， 故答案为：18.7,18.8； （2）解：∵，， ∴在18.6和18.7之间， ∴， ∵， ∴， 故答案为：18.6，1.89； （3）解：∵, ∴338.56的平方根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查平方根和算术平方根的定义，正确利用平方根和算术平方根的定义是解题的关键． 题型二 求立方根的计算 7．若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、x、y的值，再找出关系即可． 【详解】解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69， ∴a=297.5625，b=-656.234909． ∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9， ∴x=2.975625，y=656234.909， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了对平方根、算术平方根和立方根的运用．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义． 8．一次数学游戏活动时，有个同学藏在大木牌后面，女同学的木牌前写的是正数，男同学的木牌前写的是负数，个木牌如下所示，则男生有（　　） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】C 【分析】本题考查了实数的运算，先根据有理数的乘方、相反数、立方根、绝对值、有理数的乘法法则分别计算，再根据正数和负数的定义判断即可得出答案，熟练掌握有理数的乘方、相反数、立方根、绝对值、有理数的乘法法则以及正负数的定义是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴结果是负数的有个，即男同学有人， 故选：． 9．的立方根是 的算术平方根 的平方根是 【答案】 【分析】本题考查立方根、算术平方根及平方根，解题的关键是理解和掌握立方根、算术平方根及平方根的定义．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是：； ∵， ∴的算术平方根是：； ∵， ∴的平方根是：． 故答案为：；；． 10．已知的立方根是，的算术平方根是，求的值为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根和算术平方根定义，解题的关键是根据立方根定义和算术平方根定义求出，．根据立方根定义和算术平方根定义求出，，然后求出结果即可． 【详解】解：∵的立方根是， ∴， 解得：， 又∵的算术平方根是， ∴， 又∵， 解得， ∴． 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用有理数乘法分配律进行简便运算即可； （2）先计算乘方，算术平方根，立方根和化简绝对值，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】此题考查了实数的混合运算．熟练掌握乘法分配律，求算术平方根、立方根，化简绝对值的运算，乘除法加减法的运算法则，是解题的关键． 12．已知的算术平方根是的立方根是2． (1)求的平方根； (2)求的值． 【答案】(1)的平方根为 (2) 【分析】本题考查立方根和算术平方的综合问题，解二元一次方程组，整式的混合运算，掌握相关解法和运算法则是解题的关键． （1）根据的算术平方根是的立方根是2，列出二元一次方程组求解出m、n的值，再代入即可； （2）先化简，再整体代入求值即可． 【详解】（1）由题知， 解得， ， 的平方根为， （2）原式 ， ， 原式． 题型三 利用平方根、立方根解方程 13．已知3既是的平方根，也是的立方根，则关于的方程的解是（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据平方根和立方根的概念可得，，求解可得，，然后带入原方程，利用平方根解方程即可． 【详解】解：根据题意，3既是的平方根，也是的立方根， 可得，， 解得，， 则关于的方程即为， ∴， ∴， 解得 或． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的知识，熟练掌握相关概念是解题关键． 14．按顺序排列的若干个数：，，，……，（n是正整数），从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数，即：，……，下列选项正确是（    ） ①若，则；②若，则；③若，则 A．①和③ B．②和③ C．①和② D．①②③都正确 【答案】C 【分析】利用题干的规定设，求出，，，，然后总结出规律，①求出，再根据求出即可；②求出，然后根据，利用规律求解即可；③求出，然后根据题意列式求出a的值即可． 【详解】解：设， 则，，，，……， ∴，，，……，，（是正整数）中，以a，， 为一个循环组依次循环， ①∵， ∴， 若，则， ∴， ∴，①正确； ②若，则，， ∴， ∵， ∴，②正确； ③∵， ∴， ∵，，，， ∴， 解得， 经检验，a的值是方程的解， ∴，③错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了规律型—数字的变化类，分式的运算，解分式方程，利用平方根解方程，根据题干的规定找出式子的规律是解题的关键． 15．（1）当 时，关于的方程有增根； （2）若，则的立方根为 ． 【答案】 或6 1 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数的值、分式的混合运算、立方根的定义，熟练掌握以上知识点，准确进行计算是解此题的关键． （1）先将分式方程化为整式方程，得出，再求出方程的增根，代入整式方程即可求出的值； （2）先将等式右边通分得到，再根据等式左右两边相等得出，求出的值，再根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， 方程有增根， ， ， 当时，代入，中得：， 解得：， 当时，代入，中得：， 解得：， 当或6时，关于的方程有增根； （2）由于， ， ， ， 解得：， ， 的立方根为1， 故答案为：1． 16．如图是第十四届国际数学教育大会会微的主题图案，它包含着丰富的数学元素，展现我国古代数学的文化魅力，在其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．而八进制数3745转换成十进制数的计算方式为：，十进制数2021表示的举办年份，而十进制数2024正好是你进入初中的年份，请将十进制数2024换算成八进制数是 ，数学组设计了一个进制数143，换算成十进制数是120，则的值是 ． 【答案】 3750 9 【分析】本题考查了有理数的运算以及利用平方根解方程等知识，根据题意列出关于n的方程是解答本题的关键． 根据十进制换算成八进制的方法即可作答；根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的方程，解方程即可求解． 【详解】解：因为8的4次方就是4096，3次方是512， 所以2024写成8进制就是4位数，且首位是3，其值为3乘以8的3次方， 然后剩下， 而， ， 十进制数2024换算成八进制数是3750 根据题意有：， 整理得：， 解得，（负值舍去）， 故n的值为9． 故答案为：3750，9． 17．请阅读下列材料： 我们可以通过以下方法，求代数式的最小值． ， ∵，∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)，则________，________； (2)求证：无论x取何值，代数式的值都是负数； (3)若代数式的最小值为3，求k的值． 【答案】(1)3，1 (2)见解析 (3)2或 【分析】本题考查了完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）利用完全平方公式进行配方即可得； （2）先利用完全平方公式进行配方可得，再根据偶次方的非负性即可得证； （3）先利用完全平方公式进行配方可得，再根据最小值可得，利用平方根解方程即可得． 【详解】（1）解： ， 所以， 故答案为：3，1． （2）证明： ， ∵， ∴， ∴， 即无论取何值，代数式的值都是负数． （3）解： ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为， 又∵代数式的最小值为3， ∴， 解得或． 18．期末复习过程中，七（1）班的张老师设计了一个数学问题，涉及本册中多个知识点和多种数学思想，请聪明的你来解答一下吧． (1)若一个数x的立方等于，请求出x的值． (2)请利用整体思想和方程思想进行解题． ①若（1）中的x的值也是关于x的一元次方程的解，那么关于y的一元一次方程的解为y= ． ②在如图所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将①中的x，y填入如图所示的位置，则的值为多少？ (3)在（2）的条件下，在数轴上标注x，y所表示的数的对应点，分别记作A，B，已知P点从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动，Q点从B点出发，以4个单位每秒的速度在A、B两点之间做往返运动，P、Q两点同时开始运动，当Q点第一次返回到B点时，两点同时停止运动，若记数轴的原点为O，则P点运动几秒后？ 【答案】(1)x的值为-2 (2)①6；②(a-b)+(d-c)的值为16 (3)当P点运动1秒或秒或秒或3秒时，OQ=2OP． 【分析】（1）利用立方根的意义即可求解； （2）①代入相关数据解一元一次方程即可求解； ②根据题意列出代数式，利用整式的加减运算即可求解； （3）分四种情况，分别列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵一个数x的立方等于，即， ∴x=-2； ∴x的值为-2； （2）①∵x=-2是关于x的一元次方程的解， 即， 解得：p=6； 解方程得：y=6； 故答案为：6； ②∵x=-2，y=6， ∴中间正方形四个顶点上的数字之和为m+n+6-2=m+n+4， 根据题意得：d+n-2= m+n+4，即d=m+6， c+n+6= m+n+4，即c=m-2，b+m+6= m+n+4，即b=n-2， a+m-2= m+n+4，即a=n+6， ∴(a-b)+(d-c)=8+8=16， ∴(a-b)+(d-c)的值为16； （3）解：∵x=-2，y=6，P点表示的数为(t-2)， 当点Q在线段OB上，即t1.5时， Q点表示的数为(6-4t)，则OP=2-t，OQ=6-4t， 依题意得：6-4t=2(2-t)， 解得：t=1； 当点P、Q都在线段OA上，即1.5<t2时， Q点表示的数为(6-4t)，则OP=2-t，OQ=4t-6， 依题意得：4t-6=2(2-t)， 解得：t=； 当点Q在线段OA上，点P在线段OB上，即2<t2.5时， Q点表示的数为(4t-10)，则OP=t-2，OQ=10-4t， 依题意得：10-4t=2(t-2)， 解得：t=； 当点P、Q都在线段OB上，即2.5<t4时， Q点表示的数为(4t-10)，则OP=t-2，OQ=4t-10， 依题意得：4t-10=2(t-2)， 解得：t=3； 综上，当P点运动1秒或秒或秒或3秒时，OQ=2OP． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，立方根的性质，整式加减的应用，数轴上两点之间的距离，理解题意并灵活运用是本题的关键． 题型四 实数的混合运算 19．已知：、为两个连续的整数，且，以下判断正确的是（    ） A．的整数部分与小数部分的差是 B． C．的小数部分是0.236 D． 【答案】A 【分析】根据无理数的估算、实数的运算即可得． 【详解】， ，即， 的整数部分为2，小数部分为，则选项C错误； 的整数部分与小数部分的差是，则选项A正确； 又、为两个连续的整数，且， ，则选项B错误； ，则选项D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了无理数的估算、实数的运算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． 20．对于4个字母m、n、x、y满足，先任意选择两个字母求差并添加绝对值，再把剩下的两个字母求差并添加绝对值，最后把两个绝对值作差．例如：先选择m，n得到，再得，再把两个绝对值作差得，把这种操作称之为“绝对值减法操作”，则下列说法： ①存在一种“绝对值减法操作”的结果为0；②两种“绝对值减法操作”的结果之和可能为0；所有的“绝对值减法操作”化简后可能得到一共6种的不同结果．正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了实数的运算，绝对值，由题意可知，的结果可能是，，，，，，，共七种，即可判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，的结果可能是，，，，，，，共七种， 故符合题意，不符合题意， 故选：C． 21．若，均为整数，当时，代数式的值为，则的算术平方根为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的运算；根据题意把代入，根据均为整数，得出即可求解； 【详解】解：把代入，得，， 均为整数， ， 即 ， ． ∴的算术平方根为； 故答案为：． 22．已知实数 ，，，，，，且 ，互为倒数，，互为相反数，的绝对值为， 的算术平方根是，则 的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了倒数、相反数，绝对值，算术平方根，立方根的性质及计算，根据题意可得，，代入式子即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， ∴ ， 故答案为： ． 23．（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的运算、解分式方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据零指数幂、负整数指数幂、去绝对值的运算法则即可得出答案； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得出的值，经检验得出分式方程的解． 【详解】解：（1） ； （2） 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 将系数化为1，得 检验，当时，， 是原方程的解． 24．（1）已知整式和，请用“+”或“”将它们连接起来，并进行计算； ①列式：___________； ②计算． （2）计算：． 小雨的解答如下： 解：原式……第一步 ……………………第二步 …………………………第三步 小雨的解答过程从第___________步开始出错，请写出正确的解答过程． 【答案】（1）①或或；②或或；（2）第一步，见解析 【分析】本题考查了负整数指数幂、实数的混合运算和整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则及运算顺序是解此题的关键． （1）分为或或分别计算即可． （2）先计算负整数指数幂、乘方、绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解：（1）①列式：． ②解： ． 或①列式： ②解： ． 或①列式： ②解： ． （2）小雨的解答过程从第一步开始出错． 解：原式 ． 题型五 实数与数轴 25．如图，面积为S的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1．.若点E在数轴上的位置如图所示，点A分别到点E与到点B的距离相等，则S的可能值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴、数轴上两点之间的距离，由数轴得到点A分别到点B的距离是解题关键． 由数轴得到，因此，于是，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵面积为S的正方形的顶点A在数轴上， ∴， ∴， 故选：C． 26．如图1，数轴上从左至右依次有B，O，M，A，N五个点，其中点B，O，A表示的数分别为，0，4．如图2，将数轴在点O的左侧部分绕点O顺时针方向旋转，将数轴在点A的右侧部分绕点A逆时针方向旋转，连接．若和全等，则点N表示的数为（　　）      A．或 B．或 C．2或 D．2或 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质以及实数与数轴，根据全等三角形的性质得出或，进而结合数轴即可求解． 【详解】解：依题意，，， ∵和全等， ∴或， ∴或 ∴或， ∴点N表示的数为：或， 故选：A． 27．数学课上，为了让同学们更加直观地理解无理数可以在数轴上表示，张老师作了如图所示的演示，把直径为个单位长度的圆沿数轴从原点无滑动地顺时针滚动一周，到达点，此时点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查用数轴上的点表示实数，数轴上两点间的距离，根据题意，直径为单位的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点，则的长为圆的周长，求圆的周长即可．明确长度的实际意义是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵直径为单位的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点， ∴， ∴点表示的数是． 故答案为：． 28．如图，正方形方格的每一方格的边长为1个单位，依次连结各边的中点、、、得正方形，则正方形的边长是 ，以顶点为圆心，长为半径画圆交数轴的负半轴于点，则数轴上点对应的无理数是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的应用，求得的长是解题的关键．根据网格的特点求得对应的数为1，求得正方形的面积为，进而求得的长度，根据题意，可得点对应的无理数． 【详解】解：依题意，每一方格的边长为个单位． ∴对应的数是， ∵四边形的面积等于4个小正方形的面积的一半， ∴正方形的面积为， ∴， ∴正方形的边长为， 以顶点C为圆心．长为半径画圆交数轴于点， ∴， ∴点对应的无理数是． 故答案为：． 29．已知代数式（，且为整数）． (1)当时，是 （有理数/无理数）； (2)当时，通过画图在数轴上找出表示的点； (3)当时，可能是偶数吗？为什么？可能是奇数吗？为什么？ 【答案】(1)有理数 (2)数轴见解析 (3)不是偶数，不是奇数，理由见解析 【分析】（）把代入计算得出结果即可判断求解； （）把代入计算得出结果，再利用勾股定理把所得数在数轴上表示出来即可； （）利用反证法证明即可； 本题考查了无理数的定义，在数轴上表示无理数，反证法，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，，是有理数， 故答案为：有理数； （2）解：当时，， 数轴表示如下： （3）解：当时，不是偶数，理由如下： 若是偶数，则是偶数， 即是偶数①， ∵是偶数，是奇数， ∴是奇数②， ∴①和②矛盾， ∴不是偶数； 当时，不是奇数，理由如下： 假设是奇数，不妨设(的整数)， ∴， 整理得，， ∵为偶数，为奇数， ∴为奇数， ∵为偶数， ∴不成立， ∴不是奇数． 30．如图1，的网格由9个边长为1的小正方形组成． (1)图1中阴影正方形的顶点都在网络的格点上，则阴影正方形的面积是____，它的边长是_____． (2)如图2所示，点A表示的数是_____． (3)请你在的网格中画出一个面积为10的正方形．（请用2B铅笔作图） 【答案】(1)5， (2) (3)图见解析 【分析】本题考查利用网格求面积，实数与数轴，算术平方根的应用： （1）利用分割法求出正方形的面积，利用算术平方根的定义求出正方形的边长； （2）根据两点间的距离公式进行求解即可； （3）在网格中画出一个边长为的正方形即可． 【详解】（1）解：由图可知：正方形的面积为：； ∴正方形的边长为：， 故答案为：5，； （2）由（1）知：正方形的边长为：， ∴点表示的数为：； （3）由题意，画出一个边长为的正方形即可，如图即为所求． 或 题型六 新定义下的实数运算 31．设四位数满足，则这样的四位数的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】此题考查了数字的表示方法与有关性质．首先根据题意确定a，b，c，d的取值范围，再分类讨论求解即可． 【详解】解：根据题意可得：a，b，c，d是小于10的自然数， ∵， ∴可得是两位数， ∴a，b，c，d均为小于5的自然数， ∴如果，，则，，此时这个四位数为2010， 如果，，则，，此时这个四位数为2011， 如果，，则，，此时这个四位数为1112， 如果，找不到符合要求的数， 如果，，则，，此时这个四位数为1130， 如果，，则，，此时这个四位数为1131， 如果，则，不符合题意， 故此四位数可能为：2010或2011或1112或1130或1131． 故选：C． 32．对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：，则方程解的情况是（    ） A． B． C． D．无解 【答案】D 【分析】本题考查了实数的新定义运算，解分式方程；根据新定义可得，，从而可得分式方程，再解分式方程即可求解． 【详解】解：由题意可得，， ∵， ∴， 去分母得， 解得：， 把代入得，， ∴原方程无解， 故选；D． 33．对于实数a，b，定义运算“#”： 例如，因为，所以． 若x， y满足方程组，则 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、新定义运算等知识点，理解新定义运算是解题的关键． 先解方程组求得x、y的值，然后根据新定义运算法则计算即可． 【详解】解：解不等式组，得：， ∵， ∴． 故答案为：． 34．我们规定：一个四位数（，，，，、、、均为整数），若其千位数字与十位数字之和是6的倍数，且个位数字与百位数字之差为6，则称这个数为“顺顺利利数”．若一个“顺顺利利数”的各个数位上的数字之和为22，则的值为 ，若设，，且，则所有满足条件的“顺顺利利数”的和为 ． 【答案】 2 8516 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，实数的新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出（为正整数），，再结合，进行分类讨论，则；先得出，再根据，且，，进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：依题意，（为正整数），， ∴， ∵一个“顺顺利利数”的各个数位上的数字之和为22， ∴， 当时，，则， ∵， ∴解得，（舍去）； 当时，，则， ∵， ∴解得，； 当时，，则， ∵， ∴解得（舍去）， 综上：， ∵设，，且， ∴， ∵，且，， ∴当则 则， ∵且为正整数， ∴无解， ∴当则 则， 即， ∵且为正整数， ∴解得， ∵（为正整数）， ∴当时，则， 此时这个“顺顺利利数”为， ∴当时，则， 此时这个“顺顺利利数”为， 当则 则， ∴ ∵且为正整数， ∴无解， ∴， 故答案为：． 35．已知a，b均为不等于0的实数，我们定义新运算“※”：．例如：． (1)验证新运算“※”是否满足乘法交换律？若满足，请写出推导过程；若不满足，请举反例说明． (2)计算：． (3)当时，若，尝试求出x的值． 【答案】(1)满足，推导过程见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了异分母分式加减法，新定义下的实数运算，解分式方程等知识点，弄清题中的新定义是解题的关键． （1）根据定义的新运算“※”，计算出和，即可得出结论； （2）根据定义的新运算“※”，直接列式计算即可得出答案； （3）根据定义的新运算“※”，得出关于的分式方程，解之并检验即可． 【详解】（1）解：新运算“※”满足乘法交换律，理由如下： ， ， ； （2）解： ； （3）解：， 当时，， 即：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 的值为． 36．我们把形如（，不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，； 再如为十字分式方程，可化为，∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则________，________． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)3；1 (2) (3)2024 【分析】本题考查了新定义运算，利用完全平方公式求值、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键． （1）将方程改写成，再根据“十字分式方程”的定义作答即可； （2）先根据十字分式方程的定义求出，，再化简得，最后代入计算求解即可； （3）先根据十字分式方程的定义以及、、的取值范围求出，，即，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵方程是十字分式方程，可化为， ∴， 故答案为：3，1． （2）解：十字分式方程的两个解分别为，， ∴，， ∴ ． （3）解：方程是十字分式方程，可化为， ∴，， ∵，， ∴，， 即，， ∴． 题型七 实数运算的实际应用 37．中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（    ） A．10 B．89 C．165 D．294 【答案】D 【分析】类比十进制“满十进一”，可以表示满5进1的数从左到右依次为：2×5×5×5，1×5×5，3×5，4，然后把它们相加即可． 【详解】依题意，还在自出生后的天数是： 2×5×5×5+1×5×5+3×5+4=250+25+15+4=294， 故选：D． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解答的关键是运用类比的方法找出满5进1的规律列式计算． 38．如图，正方形中，点E、F在上，点E是的中点，以为边长向正方形形内作正方形，以、为长和宽向正方形形内作长方形，已知正方形的面积为70，正方形的面积为40，则长方形的面积为（   ） A．5 B．7.5 C．10 D．12.5 【答案】B 【分析】本题主要考查实数混合运算的应用，解答的关键是求得长方形的长与宽，理解图示，掌握乘法公式，实数的混合运算是解题的关键． 由正方形的面积可求得，的长度，可求得，再由点是的中点，则有，表示出长方形的长与宽，再利用长方形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：正方形的面积为，正方形的面积为， ，，解得：，， ， 点是的中点， ， ， ， ． 故选：． 39．在比例尺为的地图上，某经济开发区的面积为，那么，该经济开发区的实际面积为 ． 【答案】3.2 【分析】结合题意，根据乘方的性质，首先计算得该经济开发区的实际面积，在根据实数的性质计算，即可得到答案. 【详解】根据题意，该经济开发区的实际面积 ∵， ∴该经济开发区的实际面积． 故答案为：3.2. 【点睛】本题考查了实数的知识；解题的关键是熟练掌握实数运算的性质，从而完成求解. 40．如图，四边形均为正方形，其中正方形面积为．图中阴影部分面积为，正方形面积为 ． 【答案】18 【分析】先设出正方形边长，再分别求出它们的边长，即可求解． 【详解】设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b， ∴， ∵， ∴， ∴阴影面积为， ∵ ∴， ∴， 故答案为：18． 【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解题关键是正确求出正方形的边长并且表示出阴影面积． 41．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆的周长较小 【分析】本题考查扇形面积的计算，实数的运算，掌握圆周长，面积的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可； （2）求出两种形状的扇子的周长即可． 【详解】（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为， 由题意得，，， ，， 故答案为：，； （2）解：圆形扇的周长为：， 正方形扇的周长为：，， ∴圆的周长较小． 42．根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若 ，其中 ， 为有理数， 是无理数，则 ，． 证明：， 为有理数， 是有理数． 为有理数，是无理数， ． ． ． (1)若 ，其中 ， 为有理数，则 ， ； (2)若 ，其中 ，，， 为有理数， 是无理数，求证：，； (3)已知的整数部分为，小数部分为，， 为有理数，，，，满足 ，求 ， 的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是读懂材料内容． （1）将式子化为的形式，结合， 为有理数，即可求解； （2）将式子化为的形式，结合，，， 为有理数，即可证明； （3）先根据无理数的估算求出、的值，再将所给的等式化简为，然后根据题意列出方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 为有理数， ，， ，， 故答案为：，； （2）证明：， ， ，，， 为有理数， ，都是有理数， ，， ，； （3）解：， 的整数部分，小数部分， ， ， ， ， 为有理数， ， 解得：， ，． 题型八 与算术平方根有关的规律探索题 43．观察下列算式：，，，…，它有一定的规律性，把第个算式的结果记为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，通过观察可知，据此可得，再把所求式子裂项相消即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴， ∴， ∴原式 ， 故选：C． 44．按顺序排列的一列数：，，，，是正整数，从第二个数开始，每一个数都等于与它前一个数的倒数之差，即：，，，则下列说法：当且且时，；若，则；代数式的值恒为负；若，则其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的性质，实数运算的规律，实数的运算，根据题意逐项即可，利用题干的规定找出数字的规律是解题的关键． 【详解】设，则， ， ， ，，，可以发现每四个次循环， 则，故正确； 若，则可得，，，，，可见每四个次循环，从而 ， ，故正确； 由题意得，，，， 故， ∵对于任意实数都有， ∴为非正数，当时为，故错误； 由题意得：，， ∴， ∴， ∴，故正确； 综上正确， 故选：． 45．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律实数运算，根据题意计算，得到即可求解，找到规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， ， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 46．如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了实数的规律探究．根据题意推导规律是解题的关键．由题意知，每一个数都是连续正整数的算术平方根，且前行的数据个数为，则第（是整数，且）行从左向右数第个数为，整理作答即可． 【详解】解：由题意知，每一个数都是连续正整数的算术平方根， 前行的数据个数为， ∴第（是整数，且）行从左向右数第个数为， 故答案为：． 47．先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，； （2）由，可求当一个等式的最右边的值是的等式； （3）由题意可推导一般性规律为，第n个等式为，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， …… ∴第七个等式为； （2）解：∵， ∴当一个等式的最右边的值是，这个等式为； （3）解：由题意可推导一般性规律为，第n个等式为， ∴第n个等式为． 48．方明是一位勤于思考、勇于创新的同学．在学了平方根的有关知识后，他知道负数没有平方根．例如：因为没有一个数的平方等于，所以没有平方根．有一天，方明产生了这样的想法：假设存在一个数，使，那么，因此就有两个平方根和了．进一步方明想到：，的平方根是；，的平方根是．请你根据上面提供的情景解答下列问题： (1)求，，的平方根； (2)求，，，，，的值，你发现了什么规律？将你发现的规律用文字表达出来． 【答案】(1)；； (2)见详解 【分析】本题属于探究规律的题目，理解材料中的定义是解题的关键； （1）根据定义可得，，，据此不难求出、、的平方根； （2）根据定义分别求出，，，，，的值，从中寻找出规律即可使问题得解． 【详解】（1）解：∵， ∴的平方根是． ， ∴的平方根是． ， ∴的平方根是． （2）解：∵， ， ， ， ， ， 规律：i每四个相邻次方为一个循环，若指数是4的整数倍，值为1； 若指数除以4余1，值为； 若指数除以4余2，值为； 若指数除以4余3，值为． 题型九 算术平方根和立方根的综合应用 49．已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键． 50．现将体积是125的正方体木块锯成8块同样大小的小正方体木块，准备从中选取n个小正方体木块，排放在一块长方形的木板上，已知此长方形木板的长是宽的4倍，面积是36，若只排放一层，n的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先计算出每个小正方体的棱长，再计算出木板的长度，后建立不等式求不等式的整数解即可． 【详解】解：∵体积是125的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块， ∴每一块的棱长l＝2.5cm， ∵长方形面积是36 ，长方形木板的长是宽的4倍， 设宽为x cm，长为4x cm， x•4x＝36， 得：x＝3， ∴长为12 cm，根据题意,得2.5n≤12， ∴n≤4.8， ∵n是正整数， ∴n的最大值是4． 故选：C． 【点睛】本题考查了立方体的体积，长方形的面积，算术平方根即平方根中的正的那个，不等式的整数解，熟练求不等式的整数解是解题的关键． 51．已知的算术平方根是3，的立方根是，则 ． 【答案】5 【分析】根据算术平方根、立方根的意义求出m和n的值，然后代入即可求解． 【详解】解：的算术平方根是3， ， ， 解得． 的立方根是， ， ， 解得． ． 故答案为：5． 【点睛】本题考查算术平方根、立方根的计算，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． 52．已知、、在数轴上的位置如图，化简： ． 【答案】 【分析】先根据数轴的性质可得，从而可得，再计算算术平方根与立方根、化简绝对值，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由数轴可知，， ，，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴、算术平方根与立方根、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 53．某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间（）可以用公式：来估计，其中d（km）是雷雨区域的直径．（参考数据：，，，） (1)如果雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果精确到） (2)如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到） 【答案】(1)这场雷雨大约能持续 (2)这场雷雨区域的直径大约是 【分析】本题考查了算术平方根，立方根的应用； （1）根据，其中是雷雨区域的直径，开平方的意义，可得答案； （2）根据，其中是雷雨区域的直径，开立方的意义，可得答案． 【详解】（1）解：当时，则， 因此； 答：这场雷雨大约能持续. （2）当时，由可得（） 答：这场雷雨区域的直径大约是 54．完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． … … … … … … (1)表格中的______，______． (2)从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：_________． (3)若，求的值． （参考数据：） 【答案】(1)80； (2)被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位 (3) 【分析】（1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解． （2）仿照算术平方根的规律探索即可． （3）根据发现的规律计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故． ∵， ∴， 故 故答案为：80，． （2）发现规律如下：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． 故答案为：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． （3）根据平方根的变化规律得： ， ， ． 根据立方根的变化规律得： ， ， ， ． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键． 题型十 实数相关的规律探究题 55．设，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根及数字算式的变化规律，观察式子的结果，得出一般规律． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ∴， ． 故选：C． 56．下面是一个按某种规律排列的数表，那么第7行的第2个数是：（   ） 第1行 1 第2行     2 第3行           第4行           … … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据观察，可得规律（n-1）最后一个数是（n-1），可得第n行的第二个数的算术平方根是，可得答案． 【详解】解：第二行的第二个数是， 第三行的第二个数是， 第四行的第二个数是， …… 第n行的第二个数的算术平方根是， 第7行的第2个数是 故答案为：B． 【点睛】本题是通过算术平方根的变化探究数字变化规律，观察得出规律是解题关键． 57．计算四个式子的值：；；；，观察计算结果，发现规律得出：的值为 ． 【答案】36 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根以及数字的变化规律的应用，熟练掌握求一个数算术平方根的方法是解题关键．根据；；；，…，可得：，据此求出的值为多少即可． 【详解】解：； ； ； ，…， ∴， ∴ ． 故答案为：36． 58．下列各个图形中，“●”的个数用a表示，“○”的个数用b表示，如时，，；时，，；……根据图形的变化规律，当时，的值为 ． 【答案】4047 【分析】此题考查了与实数运算有关的规律题，解题的关键是找到变化的规律并表示出来． 【详解】解：时，，， 时，，， 时，，， …… ∴，， 当时，，， ∴， 故答案为：． 59．观察下列一组算式的特征，并探索规律： ①； ②； ③； ④； ⑤． 根据以上算式的规律，解答下列问题： (1)_______； (2)简便计算：． 【答案】(1)，21 (2) 【分析】本题考查算术平方根，数字变化类，理解算术平方根的意义，发现数字变化类所呈现的规律是解决问题的关键． （1）根据代数式所呈现的规律可得答案； （2）将原式化为题目规律中的形式，利用简便方法求出结果即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：，21； （2）解： ． 60．观察表格并回答下列问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________． (2)①已知，则________； ②已知，，求的值． 【答案】(1)0.1，10 (2)①0.245；②600 【分析】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键． （1）利用算术平方根的定义即可得出答案； （2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：0.1，10； （2）解：①由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位， ∴由可知， 故答案为：0.245； ②∵，， ∴可知0.03464的小数点向右移动了3位得到， ∴由上述表格可知被开方数小数点需要向右移动6个单位得到， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$