抓分练4 实数与二次根式-【追梦之旅·期末真题篇】2024-2025学年八年级数学上册（冀教版 河北专用）

2 x-4 -1,解得 x = 5,经检验 x = 5 是原分式方程的 解. 10. (1)x= 2　 (2)3　 【解析】(1)当 m = 4 时,原方程 即为: 3x x-1 = 4 x-1 +2,解得 x = 2,检验:当 x = 2 时,x -1≠0,∴ x= 2 是原分式方程的解;(2)方程两边 同乘(x-1),得 3x =m+2x-2,解得 x =m-2. ∵ 分 式方程无解,∴ x-1 = 0,即 x = 1,∴ m-2 = 1,解得 m= 3,∴ m= 3 时,分式方程无解. 11. 解:(1)原方程化为 x 2x-5 - 5 2x-5 = 1. 方程两边同时 乘上(2x-5)得:x-5 = 2x-5. 解得 x = 0. 经检验,x = 0 是原分式方程的解; (2)方程两边同时乘上(x2 -1)得:(x+1) 2 -(x2 - 1)= 4,解得 x= 1. 经检验,x = 1 时,x2 -1 = 0. ∴ 原 分式方程无解. 12. 解:(1)12 (2)设升级后每小时配送物品的数量为 x 万件, 则升级前每小时配送物品的数量为( x- 0. 5) 万 件,依题意得: 8 x-0. 5 = 12 x ,解得 x = 1. 5. 经检验,x = 1. 5 是方程的解,且符合题意. 答:升级后每小 时配送物品的数量是 1. 5 万件. 13. 解:(1)4x　 10 4x (2)由题意得:10 4x - 6 3x = 20 60 ,解得 x = 1. 5,经检验,x = 1. 5 是原方程的解,且符合题意,∴ 3x= 3×1. 5 = 4. 5,4x= 4×1. 5 = 6,答:甲的速度为 4. 5km / h,乙 的速度为 6km / h. 14. 解:(1)设甲种分类垃圾桶的单价是 x 元 /个,则 乙种分类垃圾桶的单价是(x+40)元 /个,根据题 意得 4800 x = 6000 x+40 ,解得 x = 160. 经检验,x = 160 是 原方程的解,且符合题意, ∴ x + 40 = 160 + 40 = 200. 答:甲种分类垃圾桶的单价是 160 元 /个,乙 种分类垃圾桶的单价是 200 元 /个; (2)设购买甲种分类垃圾桶 y 个,则购买乙种分 类垃圾桶(20-y)个,依题意得 200(20-y) +160y ≤3600,解得 y≥10. ∵ y 为正整数,∴ y 的最小值 为 10. 答:最少需要购买甲种分类垃圾桶 10 个. 基础知识抓分练 3　 全等三角形 1. C　 2. A　 3. C　 4. D　 5. D 6. D　 【解析】设 AC 与 DE 相交于点 O,A. ∵ △ABC ≌△ADE,∴ ∠BAC = ∠DAE,∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE-∠DAC,∴ ∠BAD = ∠CAE;B. ∵ △ABC≌ △ADE,∴ ∠C = ∠E, ∵ ∠AOE = ∠DOC, ∠E + ∠CAE+∠AOE= 180°,∠C+∠COD+∠CDE= 180°, ∴ ∠CAE = ∠CDE,∵ ∠BAD = ∠CAE,∴ ∠BAD = ∠CDE;C. ∵ △ABC≌△ADE,∴ ∠B= ∠ADE,AB = AD,∴ ∠B = ∠BDA,∴ ∠BDA = ∠ADE,∴ DA 平分 ∠BDE. 故选 D. 7. A　 【解析】分两种情况:当△APC≌△BQP 时,AP =BQ,即 20-x = 3x,解得 x = 5;当△APC≌△BPQ 时,AP=BP = 1 2 AB = 10 米,此时所用时间 x 为 10 秒,AC=BQ= 30 米,不合题意,舍去. 故选 A. 8. 三条边分别对应相等的两个三角形全等 9. 一定　 10. AC=FD(答案不唯一) 11. (1)9　 (2)18　 【解析】 (1)∵ CM 和 DM 的夹角 为 90°,∴ ∠CMA+∠BMD = 90°,∵ ∠DBA = 90°, ∴ ∠BMD+∠D = 90°,∴ ∠CMA = ∠D,在△CAM 和△MBD 中, ∠A= ∠B ∠CMA= ∠D CM=MD { ,∴ △CAM≌ △MBD (AAS),∴ AM =DB,AC =MB,∵ MB = AC = 3m,∴ DB=AM=AB-BM= 12-3 = 9(m);(2)9÷0. 5 = 18 (s) . 12. 证明:∵ AB∥FC,∴ ∠ADE = ∠CFE,在△AED 和 △CEF 中, ∠ADE = ∠CFE, DE = FE, ∠AED = ∠CEF,∴ △AED≌△CEF(ASA),∴ AE=CE. 13. (1)证明:∵ AD 是 BC 边上的中线,∴ BD=CD,在 △BDF 和△CDE 中, BD=CD ∠BDF= ∠CDE DF=DE { , ∴ △BDF ≌△CDE(SAS); (2)解:∵ AD⊥BC,BD =CD,∴ AC = AB,∵ ∠BAC = 130°,∴ ∠ABC= ∠C = 1 2 (180°-∠BAC) = 25°. ∵ △BDF≌△CDE,∴ ∠DBF= ∠C= 25°. 14. 解:(1)该项目学习小组能知道该片水域的宽度 AB,理由:∵ BA⊥AD,ED⊥AD,∴ ∠BAC = ∠EDC = 90°,在△ABC 和△DEC 中, ∠BAC= ∠CDE AC=CD ∠ACB= ∠DCE { , ∴ △ABC≌△DEC( ASA),∴ DE = AB = 5m,∴ 水 域的宽度为 5m; (2)我认为在实地测量时,水域两岸可能不是规 则的直线,所以测量时垂直不易把握,测量数据 有误差. (言之有理即可) 基础知识抓分练 4　 实数与二次根式 1. A　 2. D　 3. D　 4. B 5. D　 【解析】根据题意得 m +1≥0 m-2≠0{ ,解得 m≥-1 且 m≠2. 故选 D. 6. C　 【解析】 12 = 2 3 ,∵ 最简二次根式 a+1 可 以与 12 合并,∴ a+1 = 3,解得 a= 2. 故选 C. 7. B　 8. B 9. C　 【解析】由图可知,阴影部分的长为 32 - 2 = 3 2 (cm),宽为 2 cm,∴ 阴影部分的面积为 3 2 × 2 = 6(cm2) . 故选 C. 追梦之旅·初中期末真题篇·河北专版 ZBJ·八年级数学　 第 3 页 10. C 11. 5 (答案不唯一) 　 12. 5 + 3 2 　 13. (1)20　 (2)5 14. 解:(1)原式 = (8 3 - 6 6 ) ÷ 3 + 4 2 = 8 - 6 2 + 4 2 = 8-2 2 ; (2)原式= 10 10 -(5+2-2 10 )= 12 10 -7. 15. 解:(1)∵ 一个正数 x 的两个不同的平方根分别 是 2a-3 和 5-a,∴ 2a-3+5-a= 0,解得 a= -2,∴ x = (2a-3) 2 = 49; (2)将 x= 49,a = -2 代入 x+12a,得 x+12a = 49- 24 = 25. ∵ 25 的平方根为±5,∴ x+12a 的平方根 为±5. 16. 解:(1)∵ 表示 1 和 2的对应点分别为 A、B,∴ AB = 2 -1; (2)∵ 点 B 到点 A 的距离与点 C 到原点 O 的距 离相等,∴ OC= AB = 2 -1,∵ 点 C 在原点左侧, ∴ 点 C 所表示的数为:0-( 2 -1)= 1- 2 ,∴ p = 1 - 2 +1+ 2 = 2; (3)点 C 表示的数为 11- 2 . 【解析】∵ 点 D 在点 O 的左侧,且 DO= 10,∴ 点 D 表示的数为-10,∴ 以点 D 为原点,点 C 表示的数为:1- 2 -(-10)= 11- 2 . 17. 解:(1)m2 +3n2 　 2mn (2)①4　 2 ②由(1)可得,a =m2 +3n2,b = 2mn = 4,∴ mn = 2. 而 a,m,n 均为正整数,∴ m= 1,n = 2 或 m = 2,n = 1. 当 m= 1,n= 2 时,a =m2 +3n2 = 13. 当 m = 2,n = 1 时,a=m2 +3n2 = 7,∴ a= 13 或 7. 基础知识抓分练 5　 轴对称和中心对称 1. D　 2. C　 3. A　 4. D 5. A　 【解析】∵ 点 P 关于 OA 的对称点是 P1,∴ P1M =PM. ∵ 点 P 关于 OB 的对称点是 P2,∴ PN = P2N. ∵ △PMN 的周长 = PM +PN +MN = 6cm,∴ P1P2 =P1M+MN+P2N = PM+PN+MN = 6cm. 故选 A. 6. B　 【解析】连接 PC. ∵ EF 是 BC 的垂直平分线, ∴ BP=PC. ∴ PA+BP=AP+PC. ∴ 当点 A,P,C 在一 条直线上时,PA+BP 有最小值,最小值 = AC = 4. 故 选 B. 7. BC=DE 8. 15　 【解析】作 DE⊥AB 于点 E,由尺规作图可知, AD 是△ABC 的角平分线,∵ ∠C= 90°,DE⊥AB,∴ DE=DC= 3,∴ △ABD 的面积 = 1 2 ×AB×DE = 1 2 ×10 ×3 = 15. 9. (1)12　 (2) 72 5 　 【解析】 (1)∵ EM 为线段 AB 的 垂直平分线,∴ AE=EB. 同理可得 AF =FC,∴ BC = EB+EF+FC = AE+AF+EF = 12. (2) ∵ AE = EB,∴ ∠B= ∠BAE. 同理可得∠C = ∠FAC. ∵ ∠B+∠C = 45°,∴ ∠BAE+∠FAC = 45°,∠BAC = 180°-(∠B+ ∠C)= 135°,∴ ∠EAF = ∠BAC-(∠BAE+∠FAC) = 90°. ∵ AF= 4,AE+AF+EF = 12,∴ AE = 8-EF. ∵ EF2 =AE2 +AF2,∴ EF2 =(8-EF) 2 +16,∴ EF = 5,AE = 3. 过点 A 作 AD⊥BC 于点 D. ∵ S△AEF = 1 2 AE· AF = 1 2 EF·AD,∴ AD = 12 5 . ∴ S△ABC = 1 2 BC·AD = 1 2 ×12×12 5 = 72 5 . 10. 解:(1)如图 1,线段 BD 即为所求; (2)如图 2,四边形 ABEC 即为所求; (3)如图 3,△DEF 即为所求. 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 11. (1)证明:∵ AC 是 BD 的垂直平分线,∴ AB = AD, CB = CD, 在 △ABC 和 △ADC 中, AB=AD CB=CD AC=AC { , ∴ △ABC≌△ADC(SSS),∴ ∠ABC= ∠ADC; (2)解:由(1)得 AB = AD = 13,∵ DF = 6,∴ AF = AD - DF = 7, ∵ △ABC ≌ △ADC, ∴ ∠BAC = ∠DAC,∵ OE⊥AB,OF⊥AD,∴ ∠AEO = ∠AFO = 90°,在△AEO 和△AFO 中, ∠AEO= ∠AFO ∠EAO= ∠FAO AO=AO { , ∴ △AEO≌△AFO(AAS),∴ AE=AF= 7. 12. (1) 证明:∵ AE 是∠BAD 的平分线,∴ ∠BAD = 2∠BAF,∵ ∠BFE = 45°,∴ ∠FBA+∠BAF = 45°, ∴ 2∠FBA+2∠BAF= 90°,∵ AD 为 BC 边上的高, ∴ ∠EBF + ∠FBA + 2 ∠BAF = 90°, ∴ 2 ∠FBA = ∠EBF + ∠FBA, ∴ ∠EBF = ∠FBA, ∴ BF 平分 ∠ABE; (2)证明:过点 F 作 FM⊥BC 于点 M,FN⊥AB 于 点 N,∵ BF 平分∠ABE,FM⊥BC,FN⊥AB,∴ FM =FN,∵ S△ ABF =S△ CBF,即 1 2 AB·FN= 1 2 BC·FM, ∴ AB = BC, 在 △ABF 和 △CBF 中, BA=BC ∠ABF= ∠CBF BF=BF { , ∴ △ABF ≌ △CBF ( SAS ), ∴ ∠AFB= ∠CFB,∵ ∠BFE = 45°,∴ ∠AFB = 135°, ∴ ∠CFB= 135°,∴ ∠CFE= ∠CFB-∠BFE = 135° -45° = 90°,∴ ∠AFC= 90°; (3)解:∵ △ABF≌△CBF,∴ AF =FC,∵ ∠AFC = ∠ADC= 90°,∠AGF = ∠CGD,∴ ∠FAG = ∠FCE, 在△AFG 和△CFE 中, ∠AFG= ∠CFE AF=CF ∠FAG= ∠FCE { ,∴ △AFG 追梦之旅·初中期末真题篇·河北专版 ZBJ·八年级数学　 第 4 页 追梦之旅·初中期末真题篇·课本回头练 基础知识抓分练 4　 实数与二次根式 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1. 64 的立方根是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 4 B. 2 C. 8 D. -4 2. 下列四个数中,是无理数的是(　 　 ) A. 4 B. 1 2 C. 3 -8 D. π 3. 由四舍五入得到的近似数 57. 75,精确到 了(　 　 ) A. 十位 B. 百位 C. 十分位 D. 百分位 4. 如图,数轴上的点 P 表示下列四个无理数 中的一个,这个无理数是(　 　 ) A. - 2 B. 2 C. 5 D. π 5. 易错题 要使式子 m +1 m-2 有意义,则 m 的取 值范围是(　 　 ) A. m>-1 B. m≥-1 C. m>-1 且 m≠2 D. m≥-1 且 m≠2 6. 易错题 若最简二次根式 a+1 可以与 12 合并,则 a 的值可以是(　 　 ) A. 5 B. 4 C. 2 D. 1 7. 下列计算错误的是(　 　 ) A. 6 3 +2 3 = 8 3 B. 6 3 ×2 3 = 12 3 C. 6 3 -2 3 = 4 3 D. 6 3 ÷2 3 = 3 8. 6的整数部分为 2,则它的小数部分可以表 示为(　 　 ) A. 2- 6 B. 6 -2 C. -2- 6 D. 6 -1 9. 如图,在一个长方形中无重叠的放入面积 分别为 32 cm2 和 2 cm2 的两张正方形纸 片,则图中阴影部分的面积为(　 　 ) A. 3. 2 cm2 B. 6 2 cm2 C. 6 cm2 D. 12 cm2 第 9 题图 　 　 第 10 题图 10. 如图,正方形 ABCD 的边长为 1,以 A 点为 圆心、AC 长为半径在 AC 右侧画圆弧,交 数轴于点 E,则点 E 对应的数为(　 　 ) A. 2 B. 1- 2 C. -1+ 2 D. 1 二、填空题(每小题 3 分,共 9 分) 11. 新趋势·结论开放 请写一个比 2 大的无理 数　 　 　 　 . 12. 新定义 若两个代数式 M 与 N 满足 M·N = -1,则称这两个代数式为“互为友好因 式”, 则 3 - 5 的 “ 互 为 友 好 因 式 ” 是　 　 　 　 . 13. 已知实数 a,b 满足 b= 21-a . (1)当 b= 1 时,a 的值是　 　 　 　 ; (2)若 a,b 均为正整数,当 b 取得最大值 时,a= 　 　 　 　 . 三、解答题(共 36 分) 14. (本小题满分 8 分)计算: (1)(2 48 -3 24 ) ÷ 3 + 32 ; (2)2 5 ×5 2 -( 5 - 2 ) 2 . 7 河北专版·ZBJ·八年级数学上 15. (本小题满分 9 分)一个正数 x 的两个不 同的平方根分别是 2a-3 和 5-a. (1)求 a 和 x 的值; (2)求 x+12a 的平方根. 16. (本小题满分 9 分)如图,数轴上有 A、B、C 三点,表示 1 和 2的对应点分别为 A、B,点 B 到点 A 的距离与点 C 到原点 O 的距离 相等,设 A、B、C 三点表示的三个数之和为 p. (1)求 AB 的长; (2)求 p; (3)点 D 在点 O 的左侧,且 DO = 10,若以 点 D 为原点,直接写出点 C 表示的数. 17. (本小题满分 10 分)阅读材料:小华在学 习二次根式后,发现一些含根号的式子可 以写成另一个式子的平方,如 3+2 2 = (1 + 2 ) 2 . 善于思考的小华进行了以下探索: 设 a+b 2 = (m+n 2 ) 2(其中 a,b,m,n 均 为整数),则有 a+b 2 = m2 + 2n2 + 2mn 2 . ∴ a=m2 +2n2,b= 2mn. 这样小华就找到了一种类似把 a+b 2的式 子化为平方式的方法. 请你仿照小华的方法探索并解决下列问 题. (1)a,b,m,n 均为正整数,若 a+b 3 = (m+ n 3 ) 2,用含 m,n 的式子分别表示 a,b,则 a= 　 　 　 　 ,b= 　 　 　 　 ; (2)当 a,b,m,n 均为正整数时,利用(1) 中探索的结论解答下面问题: ①若 a+b 3 = (1+ 3 ) 2,则 a = 　 　 　 　 ,b = 　 　 　 　 ; ②若 a+4 3 = (m+n 3 ) 2,求正整数 a 的 值. 8