第十三章 全等三角形章末重点题型复习-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（冀教版）

第十三章 全等三角形章末重点题型复习 题型一 写出命题的题设与结论 题型二 写出一个命题的已知、求证及证明过程 题型三 将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 题型四 用SSS证明三角形全等（SSS）222 题型五 用SAS证明三角形全等（SAS）222 题型六 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）222 题型七 用HL证全等（HL）222 题型八 全等三角形的性质与概念222 题型九 全等三角形动点问题222 题型十 全等三角的辅助线问题 题型十一 三角形的尺规作图 题型十二 全等三角形判定综合问题 题型一 写出命题的题设与结论 1．下列命题的条件是什么？结论是什么？ (1)等角的补角相等； (2)若，，则． 2．给出命题：“如果，那么．” (1)写出命题的条件和结论并判断命题是真命题还是假命题． (2)请直接判断命题的逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例（只举例，不必详细说明理由）． 3．根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出： 已知： 求证： 4．如图，有三个论断：①；②；③．请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出已知、求证，并证明该命题的正确性． 5．已知：如图，在四边形ABCD中，给出下列论断： ①AB∥DC；②AD∥BC；③AB＝AD；④∠A＝∠C；⑤AD＝BC． 以上面论断中的两个作为题设，再从余下的论断中选一个作为结论，并用“如果……，那么……”的形式写出一个真命题． 答：_____________________________________________________________________． 6．如图，已知：点G、点D和点F分别在和上，于E．给出下面三个条件： ①；②；③． 请你在以上三个条件中选两个作为添加的已知条件，另一个作为结论，写出所有的真命题（如果不止一个，请用小括号标序号），并任选其中一个真命题证明．（解题书写格式：解：真命题：（1）如果，那么；（2）……．选（x）证明如下：……）      题型二 写出一个命题的已知、求证及证明过程 1．命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 2．如图，在和中，给出下列三个论断：①；②；③.请将其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论构成一个真命题，然后写出证明过程. 3．如图，有如下四个论断：①；②；③平分；④平分，请你选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的数学命题并证明它． 4．如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 5．大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在边AB、AC上，给出下列信息： ①BE平分∠ABC；②CD⊥AB；③∠CFE＝∠CEF． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．在保证命题正确的情况下，你选择的条件是________，结论是________．（只要填写序号）． (2)请证明（1）中你组成的命题的正确性． 题型三 将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 1．如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中AD=0.5cm，BC=1cm，则AF的长度为多少？ 2．沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．    3．如图，某校有一块正方形花坛，现要把它分成4块全等的部分，分别种植四种不同品种的花卉，图中给出了一种设计方案，请你再给出四种不同的设计方案． 4．图①，图②都是由一个正方形和一个等腰直角三角形组成的图形. （1）用实线把图①分割成六个全等图形； （2）用实线把图②分割成四个全等图形. 5．知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 6．在中，，，请将其分成三个三角形，使之符合： (1)三个三角形是全等的直角三角形． (2)三个三角形均为等腰三角形． 分别在图1、图2中画出分割线，并标出三角形的角度． 题型四 用SSS证明三角形全等（SSS） 1．如图，在四边形中，，连接，为上一点，连接，过点作交于点，则图中的全等三角形共有（    ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 2．如图，下面是利用尺规作∠AOB的平分线OC的作法： （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E； （2）分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点C； （3）画射线OC，射线OC就是∠AOB的平分线． 在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（　　） A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS 3．如图，在正方形网格内，有一个格点三角形（三个顶点都在正方形的格点上）；现需要在网格内构造一个新的格点三角形与全等，且有一条边与的一条边重合，这样的三角形可以构造出 个． 4．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是 ．                   5．如图，已知，，；求证：． 6．已知：和，D、分别为、中点，且，． (1)当时，求证：． (2)当时，求证：． 题型五 用SAS证明三角形全等（SAS） 1．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中由三角形全等可知，测量工件内槽宽，那么判定的理由是（   ） A． B． C． D． 2．如图，己知，，点A、F、C、D四点在同一直线上．要利用“”来判定，下列四个条件：①；②；③；④． 可以利用的是（   ） A．①② B．②④ C．②③ D．①④ 3．如图．中．，平分．点为上一点．则图中全等三角形有 对． 4．如图，已知线段，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走，点从点向运动，每秒走，，同时从出发，则出发 秒后，在线段上有一点，使． 5．如图，在和中，，，．与全等吗？请说明理由． 6．如图，四边形的各内角均为直角，，点M、N分别是中点．动点P从点A出发，沿折线向终点C运动，过点P作于点H，连结．设点P运动时间为t秒． (1)当点P运动到中点时，求证：． (2)若点P以每秒2个单位长度的速度运动． ①如图①，当点P在边上时， ．（用含t的代数式表示） ②如图②，当点P在边上时（点P不与点D重合），易知，若，求t的值． (3)若点P以每秒x个单位长度的速度运动，当时，恰好与全等，直接写出所有满足条件的x的值． 题型六 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 1．如图，，要使，需要添加的条件可以是下列选项中的（   ） A． B． C． D． 2．勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 3．如图，某人将一块三角形玻璃打碎成三块，带第 块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃． 4．如图，海岸上有两个观测点，点在点的正东方，海岛C在观测点A正北方，海岛C,D在观测点A,B所在海岸的同一侧，如果从观测点A看海岛D的视角与从观测点B看海岛C的视角相等，海岛C,D分别到观测点B,A的距离相等，问海岛D在观测点B的正北方吗？请说明理由：_________． 5．如图，已知，点是上一点，平分交直线于点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 6．【综合实践】 素材  两个边长不等的正方形卡纸 把两个边长不等的正方形卡纸与如图1所示摆放（点A、B、E在同一条直线上，），点H是边上一点，连接，，沿，裁剪之后，被分成①②③三块，拼接成为图2所示的一个正方形图案． (1)若，，则________； (2)试根据题意判断与是否全等？并说明理由． 题型七 用HL证全等（HL） 1．如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，E，F分别在BA，BC上，且满足DE＝DF，若∠BED＝140°，则∠BFD的度数是（　　）    A．40° B．50° C．60° D．70° 2．数学课上，老师给出了如下问题： 如图1，，是的中点，平分，求证：． 小明是这样想的：要证明，只需要在上找到一点，再试图说明，即可．如图2，经过思考，小明给出了以下3种辅助线的添加方式． ①过点作交于点； ②作，交于点； ③在上取一点，使得，连接； 上述3种辅助线的添加方式，可以证明“”的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．如图，在中，点F在边BC上，于点D，于点E，，，若，则 ． 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝ ．    5．如图，在和中，分别交于点、交于点．求证：． 6．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF分别与AB、DC交于点E和点F， 点B的对应点为B′． （1）证明：AE=CF； （2）若AD＝12，DC＝18，求DF的长． 题型八 全等三角形的性质与概念 1．如图，，点和是对应点，点和是对应点，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 2．如图，将沿折叠，的对应边恰好经过顶点，，设，，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，于C，于F，．若，，，则的长为 ． 4．如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫做格点三角形，画与只有一条公共边且全等的格点三角形，在该网格中这样的格点三角形（不与重合）最多可以画出 个． 5．如图，点，在线段上，与全等，点与点，点与点是对应顶点，与交于点． (1)表示这两个三角形全等； (2)写出对应边及对应角． 6．如图1，在中，平分，于E，于F，，， (1)求证：； (2)若的面积为9，求的面积； (3)爱动脑筋的小明同学，发现一个有趣的结论：三角形内角平分线分对边成两线段，两线段之比等于相应邻边的比（三角形角平分线定理），即．小明的证明如下： 请填空补全证明过程 证明：如图2，过点A作于点G， 由（1）得： ∴， ∵____________，又________________________． ∴． 题型九 全等三角形动点问题 1．如图，在中，已知，，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒的速度运动，连接，，设运动时间为秒．当时，的值应为（        ） A．2或5 B．5或12 C．2或10 D．5或10 2．题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ）    A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整 3．如图，在四边形中，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 4．如图， 在中， 已知，，， 直线， 动点D从点C开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒的速度运动，连接，设运动时间为t秒． （1）的长为 (用含 t 的式子表示) （2）当时， t的值应为 ． 5．如图，在四边形中，，，，动点，分别在线段，上，连接，，． (1)若，，求的度数； (2)若与全等，点与点为对应点，求的长． 6．在中，，，，，动点从点出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点停止，设运动时间为．（） (1)如图1，当时，______，当时，______． (2)如图1，当____时，的面积等于面积的一半； (3)如图2，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止；在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，求点的运动速度． 题型十 全等三角的辅助线问题 1．如图，在中，为的中点． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点P在线段AB上，作射线CP（0°＜∠ACP＜45°)，射线CP绕点C逆时针旋转45°，得到射线CQ，过点A作AD⊥CP于点D，交CQ于点E，连接BE． (1)依题意补全图形； (2)用等式表示线段AD，DE，BE之间的数量关系，并证明． 3．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）选择：由已知和作图能得到的理由是（   ） A．    B．   C．   D． （2）填空：求得的取值范围是__________． 【方法感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，已知：，，是的中线，求证：． 4．【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 5．某中学八年级学生在学习等腰三角形的相关知识时时，经历了以下学习过程： （1）【探究发现】如图1，在中，若平分，时，可以得出，为中点，请用所学知识证明此结论． （2）【学以致用】如果和等腰有一个公共的顶点，如图2，若顶点与顶点也重合，且，试探究线段和的数量关系，并证明． （3）【拓展应用】如图3，在（2）的前提下，若顶点与顶点不重合，，（2）中的结论还成立吗？证明你的结论 6．【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ∵，， ，， ， ， ∵ ， __________； ②，，则__________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________． 题型十一 三角形的尺规作图 1．下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． 上述方法通过判定≌得到，其中判定的依据是（） A． B． C． D． 2．如图是陈老师在黑板上演示的“作一个角等于已知角”尺规作图及其步骤：作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点C，D；（2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；（3）以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点；（4）作射线，则 以下是四名同学对作图过程做出的判断，四名同学说法错误的是（  ） A．小楠 B．小雅 C．小彤 D．小华 3．如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是 ． 4．如图，点在直线上，分别以线段的端点为圆心，以（小于线段）长为半径画弧，分别交直线、线段于点，再以点为圆心，以长为半径画弧交前面的弧于点，画射线．若的平分线交直线于点，，则的度数为 ．    5．如图，，被直线所截，且． (1)与平行吗？为什么？ (2)已知平分． ①若，求的度数； ②过点C作直线，交于点E． （要求：用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 6．（1）如图（1），为了引水灌溉，要从点修一条水渠到农田，怎样修水渠最短？请画出来，并说明画图依据． （2）如图（2），已知，点在边上． ①在的右侧作（要求尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）； ②与平行吗？为什么？ 题型十二 全等三角形判定综合问题 1．如图，在和中，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为6，，则的长是（　　） A．2 B．4 C．8 D．10 2．如图，在四边形中，，是的平分线，且．若，四边形的面积为，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知是上的两点，且．若，则的度数是 ． 4．如图，已知，点C、E、D、F共线，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 （写出所有正确结论的序号） 5．如图，在中，，，直线经过顶点，过、两点分别作的垂线为垂足． (1)当直线不与底边相交时， ①按题目要求补全图形； ②判断的数量关系，并证明你的结论； (2)当直线与底边交于点时，若，直接写出的长度． 6．在证明等腰三角形的性质定理1时，甲、乙、丙三位同学的方法如下图所示： 等腰三角形的性质定理1的内容：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)． 已知：如图，在中，． 求证：． 甲同学的方法： 证明：作的平分线交于点D． 乙同学的方法： 证明：作于点E． 丙同学的方法： 证明：取的中点F，连接． 请选择一种方法补全证明过程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 全等三角形章末重点题型复习 题型一 写出命题的题设与结论 题型二 写出一个命题的已知、求证及证明过程 题型三 将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 题型四 用SSS证明三角形全等（SSS）222 题型五 用SAS证明三角形全等（SAS）222 题型六 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）222 题型七 用HL证全等（HL）222 题型八 全等三角形的性质与概念222 题型九 全等三角形动点问题222 题型十 全等三角的辅助线问题 题型十一 三角形的尺规作图 题型十二 全等三角形判定综合问题 题型一 写出命题的题设与结论 1．下列命题的条件是什么？结论是什么？ (1)等角的补角相等； (2)若，，则． 【答案】(1)条件：两个角是一对等角的补角，结论：这两个角相等 (2)条件：，，结论： 【分析】本题主要考查了命题的基本性质，每个命题都有条件和结论，通过条件而得出结论，即为真命题，反之，即为假命题． 根据命题的基本性质，从题目中得出条件和结论分别是什么． 【详解】（1）原命题改写为：如果两个角是一对等角的补角，那么这两个角相等． 条件：两个角是一对等角的补角． 结论：这两个角相等． （2）条件：，． 结论：． 2．给出命题：“如果，那么．” (1)写出命题的条件和结论并判断命题是真命题还是假命题． (2)请直接判断命题的逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例（只举例，不必详细说明理由）． 【答案】(1)条件为：，结论为：；该命题是真命题； (2)逆命题是假命题，举例见解析 【分析】本题考查的真假命题的判断，逆命题的含义． （1）“如果”后面的部分为条件，“那么”后面的部分为结论； （2）交换题目中命题的结论和题设的位置并进行判断；再举出反例即可． 【详解】（1）解：命题“如果，那么．”的条件为：， 结论为：； 该命题是真命题； （2）解：此命题的逆命题为：如果，那么； 此命题的逆命题是假命题， 当为相反数时，它们的平方相等，但本身不相等， 如时，，而． 3．根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出： 已知： 求证： 【答案】已知：中，，是边上的中线．求证：平分 【分析】本题考查了命题与定理，熟练掌握命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论是解题的关键． 结合几何图形写出已知条件和结论即可． 【详解】解：由题意知，已知：中，，是边上的中线． 求证：平分． 4．如图，有三个论断：①；②；③．请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出已知、求证，并证明该命题的正确性． 【答案】见解析 【分析】此题考查命题与定理问题，证明的一般步骤：写出已知，求证，画出图形，再证明．也考查了平行线的判定和性质、对顶角相等等知识． 根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，分三种情况根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明． 【详解】解：第一种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵，， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 第二种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ 第三种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ 5．已知：如图，在四边形ABCD中，给出下列论断： ①AB∥DC；②AD∥BC；③AB＝AD；④∠A＝∠C；⑤AD＝BC． 以上面论断中的两个作为题设，再从余下的论断中选一个作为结论，并用“如果……，那么……”的形式写出一个真命题． 答：_____________________________________________________________________． 【答案】详见解析. 【详解】试题分析：命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题. 命题的概念包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子； （2）这个句子必须对某件事情做出判断 试题解析： 正确的命题例如： (1)在四边形ABCD中，如果AB∥CD，BC∥AD，那么∠A＝∠C． (2)在四边形ABCD中，如果AB∥CD，BC∥AD，那么AD＝BC (3)在四边形ABCD中，如果AD∥BC，∠A＝∠C，那么AB∥DC． 6．如图，已知：点G、点D和点F分别在和上，于E．给出下面三个条件： ①；②；③． 请你在以上三个条件中选两个作为添加的已知条件，另一个作为结论，写出所有的真命题（如果不止一个，请用小括号标序号），并任选其中一个真命题证明．（解题书写格式：解：真命题：（1）如果，那么；（2）……．选（x）证明如下：……）      【答案】命题见解析，证明见解析 【分析】由题意知，符合条件的真命题有三个：（1）如果，，，那么；（2）如果，，，那么；（3）如果，，，那么；证明（1），由，可得，，由，可得，即，进而可证． 【详解】解：由题意知，符合条件的真命题有三个： （1）如果，，，那么； （2）如果，，，那么； （3）如果，，，那么； 证明（1），过程如下： 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了真命题，平行线的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 题型二 写出一个命题的已知、求证及证明过程 1．命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查命题与证明，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理，属于中考常考题型． 写出已知，求证，根据同位角相等两直线平行即可证明． 【详解】解：已知：，， 求证：， 证明：， ． ， ， ， ． 2．如图，在和中，给出下列三个论断：①；②；③.请将其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论构成一个真命题，然后写出证明过程. 【答案】答案见解析 【分析】假设 ②∠BAC＝∠DAC；③AB＝AD，证明：①BC＝DC结论正确，我们可以先求证两个三角形全等，然后即可得出结论． 【详解】条件：②，③；结论：①. 证明：在和中，， 所以，所以.（答案不唯一） 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质这一知识点，此题的关键是明确题设和结论的含义，然后问题可解． 3．如图，有如下四个论断：①；②；③平分；④平分，请你选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的数学命题并证明它． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论． 【详解】已知：，，平分， 求证：平分． 证明：如图所示， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分． 【点睛】本题考查了命题与定理，平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 4．如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明． 你选择的条件；________，结论：_____(填序号)． 【答案】①②③；④，证明见解析 【分析】本题考查了命题，平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义； 选择①②③为条件，④为结论组成一个命题．先由①得到，则根据平行线的性质得到，，再有②得到，所以，接着由③得到，然后根据平行线的性质得到，然后利用等量代换得到． 【详解】解：选择的条件：①②③，结论：④． 证明如下：， ， ，， 平分， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：①②③；④． 5．大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 【答案】见解析 【分析】本题考查了命题、平行线的判定与性质，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．证明小明说的命题：如图1（见解析），先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据平行线的判定即可得证；小丽说的命题，通过画图举出反例即可得． 【详解】解：命题“在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行”为真命题． 已知：如图1，，， 求证：， 证明：作直线分别于直线、、相交， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直”为假命题， 如图2，，，而． 6．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在边AB、AC上，给出下列信息： ①BE平分∠ABC；②CD⊥AB；③∠CFE＝∠CEF． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．在保证命题正确的情况下，你选择的条件是________，结论是________．（只要填写序号）． (2)请证明（1）中你组成的命题的正确性． 【答案】(1)②③，① (2)见解析 【分析】（1）根据命题的定义正确选择即可； （2）以②③为条件，在三角形CEF和BDF中通过三角形内角和及等量代换推出∠DBF=∠CBE． 【详解】（1）解：选择的条件是②③，结论是①； （2）证明：∵∠CFE=∠CEF，∠CFE=∠BFD， ∴∠CEB=∠BFD， ∵CD⊥AB， ∴∠BFD+∠DBF=90°， ∵∠CBE+∠CEB=90°， ∴∠DBF=∠CBE， ∴BE平分∠ABC． 【点睛】本题考查了命题的定义，三角形内角和，解题的关键是要读懂题意，选择正确的条件和结论． 题型三 将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 1．如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中AD=0.5cm，BC=1cm，则AF的长度为多少？ 【答案】6cm 【详解】分析：由图形知,所示的图案是由梯形ABCD和七个与它全等的梯形拼接而成,根据全等则重合的性质有AF=4AD+4BC=4×0.5+4×1=6cm. 本题解析： 由题可知，图中有8个全等的梯形，所以AF=4AD+4BC=4×0.5+4×1=6cm． 2．沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．    【答案】见解析 【分析】如图所示，按图中实线部分即可将原图形划分为4个全等的图形，且能拼成一个正方形．（答案不唯一） 【详解】    【点睛】本题考查全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 3．如图，某校有一块正方形花坛，现要把它分成4块全等的部分，分别种植四种不同品种的花卉，图中给出了一种设计方案，请你再给出四种不同的设计方案． 【答案】见解答过程． 【分析】根据正方形的性质，①两条对角线把正方形分成四个全等的三角形；②作一组对边的平行线也能把正方形分成四个全等的矩形；③连接一组对边的中点，把正方形分成两个全等的矩形，再作矩形的对角线就把每个矩形都分成两个全等的三角形，这样就分成了四个全等的三角形；④过正方形的中心做互相垂直的两条线也能把正方形分成四个全等的四边形． 【详解】解：设计方案如下： 【点睛】本题主要考查了全等图形的意义，要利用正方形及全等形的性质求解，方案多种多样，只需要满足要求即就． 4．图①，图②都是由一个正方形和一个等腰直角三角形组成的图形. （1）用实线把图①分割成六个全等图形； （2）用实线把图②分割成四个全等图形. 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【分析】设正方形的面积为2，则等腰直角三角形的面积为1， （1）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成六等腰个直角三角形即可； （2）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成四个直角梯形即可． 【详解】解：如图所示： 【点睛】本题考查复杂作图，根据面积确定出分成的每一个图形的面积是解题的关键，难度中等，但不容易考虑． 5．知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 【答案】见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等图形的概念，根据能够完全重合的图形为全等图形，在图中画出即可，熟知全等图形的概念是解题的关键． 【详解】解：如图所示： （答案不唯一）． 6．在中，，，请将其分成三个三角形，使之符合： (1)三个三角形是全等的直角三角形． (2)三个三角形均为等腰三角形． 分别在图1、图2中画出分割线，并标出三角形的角度． 【答案】(1)见解析；(2)见解析. 【分析】先将点C对折到点E，将对折后的纸片再沿DE对折.此题要理解折叠的实质是重合，根据重合可以得到BC＝BE，AD＝BD，∠DBE＝∠DAE＝30°，∠BDE＝∠ADE＝60°，∠AED＝∠BED＝90°. 【详解】(1) 如下图1 (2) 如下图2 . 【点睛】本题考查折叠问题，此题要理解折叠的实质是重合，要求学生理解折叠的实质是解题的关键. 题型四 用SSS证明三角形全等（SSS） 1．如图，在四边形中，，连接，为上一点，连接，过点作交于点，则图中的全等三角形共有（    ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】B 【分析】先利用AAS证△ABF≌△CDE，利用全等性质得出AF=EC，推出AE=FC，再利用SAS证△ADE≌△CBF,利用SSS证△ABC≌△CDA,． 【详解】解：∵在四边形中， ∴四边形是平行四边形 ∴AB=CD   ∠BAF=∠ECD ∵ ∴∠DEF=∠BFE ∴在△ABF与△CDE ∴△ABF≌△CDE（AAS） ∴AF=EC,AB=CD ∴AF-EF=EC-EF即AE=FC ∵ ∴∠DAE=∠FCB ∴在△ADE与△CBF 则△ADE≌△CBF（SAS） 在△ABC与△CDA ∴△ABC≌△CDA（SSS） 图中全等三角形有△ABF≌△CDE, △ADE≌△CBF, △ABC≌△CDA,共3对． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等． 2．如图，下面是利用尺规作∠AOB的平分线OC的作法： （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E； （2）分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点C； （3）画射线OC，射线OC就是∠AOB的平分线． 在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（　　） A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS 【答案】C 【分析】连接EC，DC，根据作图的过程证明三角形全等即可；， 【详解】 【点睛】本题主要考查了角平分线作图和全等三角形的判定，准确分析证明是解题的关键． 3．如图，在正方形网格内，有一个格点三角形（三个顶点都在正方形的格点上）；现需要在网格内构造一个新的格点三角形与全等，且有一条边与的一条边重合，这样的三角形可以构造出 个． 【答案】5 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据全等三角形的判定方法：三边分别对应相等的两个三角形全等，再依次确定第三个顶点即可． 【详解】解：如图满足条件的三角形如图所示，有5个． 故答案为：5． 4．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是 ．                   【答案】 【分析】由“SSS”可证△ABC≌△ADC，可得∠BAC=∠DAC，可证AE就是∠PRQ的平分线，即可求解． 【详解】解：在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC=∠DAC， ∴AE就是∠PRQ的平分线， 故答案为：SSS． 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键． 5．如图，已知，，；求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查三角形全等的判定与性质，平行线的判定，掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键．先证得，得出，进一步求得，再证明，得出，可得出结论． 【详解】证明：在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴ 6．已知：和，D、分别为、中点，且，． (1)当时，求证：． (2)当时，求证：． 【答案】(1)① ② ③ ④ (2)证明见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键； （1）利用、判定定理即可得以证明； （2）延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接，再利用三角形判定定理证明即可解答． 【详解】（1）解：， ， ①， D、分别为BC、中点， ②，③， ， ，， ④； ① ② ③ ④． （2）延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接， ， ， 在和中， ， ， ， 同理， ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理， ， 在和中， ， 题型五 用SAS证明三角形全等（SAS） 1．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中由三角形全等可知，测量工件内槽宽，那么判定的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等．根据测量两点之间的距离，只要符合全等三角形全等的条件之一，只需要测量易测量的边上，进而得出答案． 【详解】解：连接，，如图， 点分别是、的中点， ，， 在和中， ， ． ． 答：需要测量的长度，即为工件内槽宽． 其依据是根据证明； 故选：B． 2．如图，己知，，点A、F、C、D四点在同一直线上．要利用“”来判定，下列四个条件：①；②；③；④． 可以利用的是（   ） A．①② B．②④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握利用“”来判定三角形全等是解题的关键．已知，即知，也就是已知两个三角形两边对应相等，只要添加夹角相等的相关条件即可． 【详解】， ， ，， ， ②正确； ， ， 根据②，即可判断， ④正确； 添加或，均不能满足“”， ①和③均错误； 可以利用的是②④． 故选：B． 3．如图．中．，平分．点为上一点．则图中全等三角形有 对． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是关键．首先利用角平分线定义可得，然后利用可判定，根据全等三角形的性质可得，，再判定，最后证明即可． 【详解】解：平分， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 共对全等三角形， 故答案为． 4．如图，已知线段，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走，点从点向运动，每秒走，，同时从出发，则出发 秒后，在线段上有一点，使． 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据，得到当时，，进行求解即可． 【详解】解：设当出发秒后，在线段上有一点，使， ∵于点，于， ∴， ∴当时，， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 5．如图，在和中，，，．与全等吗？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据得到，利用“”即可证明． 【详解】解：．理由如下： ∵， ∴， 即． 在和中 ， ∴． 6．如图，四边形的各内角均为直角，，点M、N分别是中点．动点P从点A出发，沿折线向终点C运动，过点P作于点H，连结．设点P运动时间为t秒． (1)当点P运动到中点时，求证：． (2)若点P以每秒2个单位长度的速度运动． ①如图①，当点P在边上时， ．（用含t的代数式表示） ②如图②，当点P在边上时（点P不与点D重合），易知，若，求t的值． (3)若点P以每秒x个单位长度的速度运动，当时，恰好与全等，直接写出所有满足条件的x的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 (3)1，3，5 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，绝对值方程等知识点，解题的关键是分类讨论，熟练掌握三角形全等的性质． （1）当点P运动到中点时，则，结合点M、N分别是中点，，可得，即可证明． （2）①根据题意即可求解． ②当点P在边上时（点P不与点D重合），得出，再根据，，列出等式求解即可． （3）根据题意分为当点P在边上时和当点P在边上时，根据全等三角形的性质列出等式求解即可． 【详解】（1）解：当点P运动到中点时，则， ∵点M、N分别是中点，， ∴， ∵， ∴； （2）解：若点P以每秒2个单位长度的速度运动． ①如图①，当点P在边上时，． 故答案为：； ②如图②，当点P在边上时（点P不与点D重合）， 则， ∴， 若， 则，解得：或． （3）解：若点P以每秒x个单位长度的速度运动，时， 当点P在边上时，与全等时， ∵， 则， ∴，解得：； 当点P在边上时，若与全等， ∵， 则， ∵， ∴，解得：或； 综上，或或． 题型六 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 1．如图，，要使，需要添加的条件可以是下列选项中的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据已知得到，，再根据选项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， 选项中只有当时，，添加其它选项都不能证明． 故选：D． 2．勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一线三垂直证明全等是突破本题的关键．利用一线三直角证明三角形全等，可得长方形的长11与宽10，计算出长方形的面积后减去三个正方形的面积即可． 【详解】解：如图延长交于M，其他字母标注如图示：根据题意，，，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可证， ∴， ∴． 空白部分的面积＝长方形面积三个正方形的面积和． 故选：B． 3．如图，某人将一块三角形玻璃打碎成三块，带第 块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃． 【答案】③ 【分析】本题主要考查学生对全等三角形的判定方法，灵活运用常见的全等三角形的判定方法成为解题的关键． 根据三角形全等的判定方法即可解答． 【详解】解：第③块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃．应带③去． 故答案为：③． 4．如图，海岸上有两个观测点，点在点的正东方，海岛C在观测点A正北方，海岛C,D在观测点A,B所在海岸的同一侧，如果从观测点A看海岛D的视角与从观测点B看海岛C的视角相等，海岛C,D分别到观测点B,A的距离相等，问海岛D在观测点B的正北方吗？请说明理由：_________． 【答案】海岛在观测点B的正北方，理由见解析． 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质等知识点，证明得出，即可得解，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】由题意得：，， ∵海岛C，D分别到观测点B，A的距离相等， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴海岛在观测点B的正北方， 故答案为：海岛在观测点B的正北方． 5．如图，已知，点是上一点，平分交直线于点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形判定的方法是解题的关键． （1）根据，，平分，推出，，运用证明； （2）根据，推出，再利用已知条件求出的长． 【详解】（1）证明： 平分， ， ， ． 在和中， （2）解：， 在和中， ， ， ． ， ． 6．【综合实践】 素材  两个边长不等的正方形卡纸 把两个边长不等的正方形卡纸与如图1所示摆放（点A、B、E在同一条直线上，），点H是边上一点，连接，，沿，裁剪之后，被分成①②③三块，拼接成为图2所示的一个正方形图案． (1)若，，则________； (2)试根据题意判断与是否全等？并说明理由． 【答案】(1)10 (2)全等；理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）根据两个小正方形的面积求出图2中正方形的面积即可； （2）根据证明即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：；理由如下： 根据拼接可知：图2为正方形， ∴，， ∵正方形和正方形中， ∴， ∴， ∴． 题型七 用HL证全等（HL） 1．如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，E，F分别在BA，BC上，且满足DE＝DF，若∠BED＝140°，则∠BFD的度数是（　　）    A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】A 【分析】作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到DH=DG，证明Rt△DEG≌Rt△DFH，得到∠DEG=∠DFH，根据互为邻补角的性质得到答案． 【详解】作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，    ∵D是∠ABC平分线上一点，DG⊥AB，DH⊥BC， ∴DH=DG， 在Rt△DEG和Rt△DFH中， ∴Rt△DEG≌Rt△DFH（HL）， ∴∠DEG=∠DFH，又∠DEG+∠BED=180°， ∴∠BFD+∠BED=180°， ∴∠BFD的度数=180°-140°=40°， 故选A． 【点睛】此题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，邻补角的性质，解题关键在于作辅助线 2．数学课上，老师给出了如下问题： 如图1，，是的中点，平分，求证：． 小明是这样想的：要证明，只需要在上找到一点，再试图说明，即可．如图2，经过思考，小明给出了以下3种辅助线的添加方式． ①过点作交于点； ②作，交于点； ③在上取一点，使得，连接； 上述3种辅助线的添加方式，可以证明“”的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】①如图1，过作EF⊥AD，垂足为点F，证明△DEF≌△DCE（AAS），由全等三角形的性质得出CE=EF，DC=DF，∠CED=∠FED，证明Rt△AFE≌Rt△ABE（HL），得出AF=AB，则得出结论；②作EF=EC，交AD于点F，不能证明结论；③在AD上取一点F，使得DF=DC，连接EF，证明△DEF≌△DCE（SAS），得出CE=EF，∠ECD=∠EFD=90°，证明Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）得出AF=AB．则可得出结论． 【详解】解：①如图1，过作，垂足为点， 可得， 则， 平分， ， 在和中， ， ； ，，， 是的中点， ， ， 在和中， ， ； ， ． ②如图2，作，交于点； ，，， 根据不能证明， 这种辅助线的添加方式不能证明结论． ③如图3，在上取一点，使得，连接， 在和中， ， ； ，， 是的中点， ， ， 在和中， ， ； ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 3．如图，在中，点F在边BC上，于点D，于点E，，，若，则 ． 【答案】 【分析】由HL可证的，可得，由平角的性质可求解； 【详解】，， ． 在和中，， ， ， ． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝ ．    【答案】3 【分析】如图，连接AD．证明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得结论． 【详解】解：如图，连接AD．    在Rt△ADF和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL）， ∴DF＝DC， ∵BD＝5，BC＝4， ∴CD＝DF＝5﹣4＝1， ∵EF＝BC＝4， ∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 5．如图，在和中，分别交于点、交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 先根据证明，得出，再根据证明，得出，最后利用线段和差关系证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中 ∵， ∴（）， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 6．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF分别与AB、DC交于点E和点F， 点B的对应点为B′． （1）证明：AE=CF； （2）若AD＝12，DC＝18，求DF的长． 【答案】（1）见解析；（2）5. 【分析】（1）根据折叠的性质以及矩形的性质，运用ASA即可判定△ADF≌△AB′E； （2）先设FA=FC=x，则DF=DC-FC=18-x，根据Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，即可得出方程122+（18-x）2=x2，解得x=13．所在DF=18-13=5. 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=∠C=∠B′=90°，AD=CB=AB′， ∵∠DAF+∠EAF=90°，∠B′AE+∠EAF=90°， ∴∠DAF=∠B′AE， 在△ADF和△AB′E中， ， ∴△ADF≌△AB′E（ASA）． ∴AE=CF； （2）解：由折叠性质得FA=FC， 设FA=FC=x，则DF=DC-FC=18-x， 在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2， ∴122+（18-x）2=x2． 解得x=13． ∴DF=18-13=5 【点睛】本题属于折叠问题，主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以的运用，解决问题的关键是：设相关线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 题型八 全等三角形的性质与概念 1．如图，，点和是对应点，点和是对应点，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，根据全等三角形的概念即可判断，正确找出对应边，对应角是解题的关键． 【详解】解：∵，点和是对应点，点和是对应点， ∴的对应角是， 故选：． 2．如图，将沿折叠，的对应边恰好经过顶点，，设，，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质和三角形内角和定理和外角的性质，根据全等三角形的性质可得，，由三角形外角的性质得，根据三角形定理可得结论． 【详解】解：∵， ∴， 由翻折得，， ∴， 而, ∴, ∴， 故选：B． 3．如图，于C，于F，．若，，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点，掌握全等三角形对应边相等是解题的关键． 由全等三角形的性质结合已知条件可得、，进行得到，最后根据即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 4．如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫做格点三角形，画与只有一条公共边且全等的格点三角形，在该网格中这样的格点三角形（不与重合）最多可以画出 个． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形、格点三角形的定义，可以以为公共边和以为公共边分别画出个三角形，以为公共边不可以画出三角形，即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图所示： ， 以为公共边可以画出、、三个三角形， 以为公共边可以画出、、三个三角形， 故可以画出个， 故答案为：． 5．如图，点，在线段上，与全等，点与点，点与点是对应顶点，与交于点． (1)表示这两个三角形全等； (2)写出对应边及对应角． 【答案】(1) (2)与，与，与；与，与，与 【分析】本题主要考查全等三角形的对应边，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据题意写出全等三角形即可； （2）根据全等三角形的表示找出对应边与对应角． 【详解】（1）解：点与点，点与点是对应顶点， ； （2）解：， 故与，与，与为对应边；与，与，与为对应角． 6．如图1，在中，平分，于E，于F，，， (1)求证：； (2)若的面积为9，求的面积； (3)爱动脑筋的小明同学，发现一个有趣的结论：三角形内角平分线分对边成两线段，两线段之比等于相应邻边的比（三角形角平分线定理），即．小明的证明如下： 请填空补全证明过程 证明：如图2，过点A作于点G， 由（1）得： ∴， ∵____________，又________________________． ∴． 【答案】(1)见解析 (2) (3)， ， 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的面积； （1）证明，，再证明即可； （2） 由，可得，由（1）知：，可得，再利用三角形的面积公式进行计算即可； （3）直接利用，结合同高的两个三角形的面积公式填空即可． 【详解】（1）证明：∵ 平分， ∴， ∵ ，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． （3）解：如图2，过点A作于点G， 由（1）得：， ∴， ∵ ，又 ， ∴． 题型九 全等三角形动点问题 1．如图，在中，已知，，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒的速度运动，连接，，设运动时间为秒．当时，的值应为（        ） A．2或5 B．5或12 C．2或10 D．5或10 【答案】C 【分析】本题是一道数学动点问题，考查了全等三角形的性质的运用，一元一次方程的运用，解答时分类讨论是重点也是难点．分两种情况讨论，如图，当点在射线上时，在上，，如图，当点在的反向延长线上时，由全等三角形的性质求出其解即可． 【详解】解：∵， ∴ 如图，当点在射线上时，在上，， ∵ ∴， ∴． 如图，当点在的反向延长线上时， ∵， ∴， ∴． 综上所述，当或时，， 故选：． 2．题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ）    A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，由题意可得，，，即得，又由可得，然后分和两种情况根据全等三角形的性质解答即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 当时，则，， ∴，， ∴， ∴此时点的速度为； 当时，则，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴此时点的速度为； 综上，动点的速度为或， 故选：． 3．如图，在四边形中，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，解二元一次方程组，设运动的时间为，动点M的速度为，则，进而得到，再分当时，当时，两种情况根据全等三角形对应边相等建立方程组求解即可． 【详解】解：设运动的时间为，动点M的速度为， 由题意得，， ∴． ∵， ∴． 当时，则， ∴， 解得， ∴， 解得． 当时，则， ∴， 解得， ∴， 解得． 综上所述，动点M的速度为或， 故答案为：或． 4．如图， 在中， 已知，，， 直线， 动点D从点C开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒的速度运动，连接，设运动时间为t秒． （1）的长为 (用含 t 的式子表示) （2）当时， t的值应为 ． 【答案】 2或10 【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质： （1）由题意得，，，再根据线段的和差关系求解即可； （2）分两种情况讨论，当点在射线上时，在上，当点在的反向延长线上，在延长线上时，根据全等三角形的性质得到，据此建立方程求解即可． 【详解】解：（1）由题意得，，， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴ 如图，当点在射线上时，在上， ∵ ∴， ∴． 如图，当点在的反向延长线上时，在延长线上时， ∵， ∴， ∴． 综上所述，当或时，， 故答案为：2或10. 5．如图，在四边形中，，，，动点，分别在线段，上，连接，，． (1)若，，求的度数； (2)若与全等，点与点为对应点，求的长． 【答案】(1) (2)3或3.5 【分析】该题主要考查了三角形内角和定理以及全等三角形的性质， （1）根据三角形内角和算出，再根据平角定义算出，最后再运用三角形内角和即可求解； （2）根据和分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：，，， ， ，， ， ，， ； （2）解：当时，则， ， ， 当时，则， ， ． 综上可得：为3或3.5． 6．在中，，，，，动点从点出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点停止，设运动时间为．（） (1)如图1，当时，______，当时，______． (2)如图1，当____时，的面积等于面积的一半； (3)如图2，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止；在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，求点的运动速度． 【答案】(1)；； (2)或 (3)Q运动的速度为或或或 【分析】（1）利用速度乘时间求出路程，即可得出的长度； （2）根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答； （3）设点Q的运动速度为，然后分四种情况：当点P在上，点Q在上，时，当点P在上，点Q在上，时，当点P在上，点Q在上，时，当点P在上，点Q在上，时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴； 当时，运动路程为：，此时点P在上，则： ； （2）解：如图，当P在中点上时，的面积等于面积的一半， ∴， ∴， 当在中点上时，如图，的面积等于面积的一半， ∴， ∴， 综上：当为或时，的面积等于面积的一半； （3）解：设点Q的运动速度为， 当点P在上，点Q在上，时，， ∴； 当点P在上，点Q在上，时，， ∴； 当点P在上，点Q在上，时，， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴； 当点P在上，点Q在上，时，，    ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴； ∴Q运动的速度为或或或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键． 题型十 全等三角的辅助线问题 1．如图，在中，为的中点． (1)求证：； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的三边关系． （1）延长到，使，连接，再由为中点得到，夹角为对顶角相等，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，在三角形中，利用三角形三边关系即可得证； （2）根据与的长，利用由三角形的三边关系，求出的范围即可． 【详解】（1）证明：如图，延长至点，使，连接． 为的中点， ， 又， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ，即． 2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点P在线段AB上，作射线CP（0°＜∠ACP＜45°)，射线CP绕点C逆时针旋转45°，得到射线CQ，过点A作AD⊥CP于点D，交CQ于点E，连接BE． (1)依题意补全图形； (2)用等式表示线段AD，DE，BE之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)作图见解析． (2)结论：AD+BE=DE．证明见解析． 【分析】（1）根据要求作出图形即可． （2）结论：AD+BE=DE．延长DA至F，使DF=DE，连接CF．利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）结论：AD+BE=DE． 理由：延长DA至F，使DF=DE，连接CF． ∵AD⊥CP，DF=DE， ∴CE=CF， ∴∠DCF=∠DCE=45°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠ECB=45°， ∵∠DCA+∠ACF=∠DCF=45°， ∴∠FCA=∠ECB， 在△ACF和△BCE中， ， ∴△ACF≌△BCE（SAS）， ∴AF=BE， ∴AD+BE=DE． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 3．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）选择：由已知和作图能得到的理由是（   ） A．    B．   C．   D． （2）填空：求得的取值范围是__________． 【方法感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，已知：，，是的中线，求证：． 【答案】（1）B；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识点， （1）由证明，即可求解； （2）在中，，即，即可求解； （3）证明、，得到，即可求解； 熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． 【详解】（1）解：是中线， ， ， ， 故答案为：； （2）解：由知，， 在中， ， ， ， 故答案为：； （3）证明：延长到，使，连接，如图所示， 是中线， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， 在与中 ， ， ， . 4．【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 5．某中学八年级学生在学习等腰三角形的相关知识时时，经历了以下学习过程： （1）【探究发现】如图1，在中，若平分，时，可以得出，为中点，请用所学知识证明此结论． （2）【学以致用】如果和等腰有一个公共的顶点，如图2，若顶点与顶点也重合，且，试探究线段和的数量关系，并证明． （3）【拓展应用】如图3，在（2）的前提下，若顶点与顶点不重合，，（2）中的结论还成立吗？证明你的结论 【答案】（1）详见详解；（2）DF＝2BE，证明详见详解；（3）DF＝2BE，证明详见详解 【分析】（1）只要证明△ADB≌△ADC（ASA）即可； （2）如图2中，延长BE交CA的延长线于K，只要证明△BAK≌△CAD（ASA）即可； （3）作FK∥CA交BE的延长线于K，交AB于J，利用（2）中的结论证明即可． 【详解】解：（1）如图1中，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵DA平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC， ∵AD＝AD，∴△ADB≌△ADC（ASA）， ∴AB＝AC，BD＝DC． （2）结论：DF＝2BE． 理由：如图2中，延长BE交CA的延长线于K． ∵CE平分∠BCK，CE⊥BK， ∴由（1）中结论可知：CB＝CK，BE＝KE， ∵∠BAK＝∠CAD＝∠CEK＝90°， ∴∠ABK+∠K＝90°，∠ACE+∠K＝90°， ∴∠ABK＝∠ACD，∵AB＝AC， ∴△BAK≌△CAD（ASA），CD＝BK， ∴CD＝2BE， 即DF＝2BE． （3）如图3中，结论不变：DF＝2BE． 理由：作FK∥CA交BE的延长线于K，交AB于J． ∵FK∥AC，∴∠FJB＝∠A＝90°，∠BFK＝∠BCA， 由（2）可知Rt△ABC为等腰三角形 ∵∠JBF＝45°， ∴△BJF是等腰直角三角形， ∵∠BFE＝∠ACB，∴∠BFE＝∠BFJ， 由（2）可知：DF＝2BE． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质；等腰三角形的判定和性质性质及直角三角形的性质等知识点，在做题时正确的添加辅助线是解决问题的关键． 6．【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ∵，， ，， ， ， ∵ ， __________； ②，，则__________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________． 【答案】（1）①②；（2）结论，理由见解析；（3） 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）①根据两个三角形全等的判定定理，结合已知求证即可得到答案； ②由①中，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】解：（1）①， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； 故答案为： ②由①知， ， ∵，， ∴； 故答案为：； （2）结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：． 题型十一 三角形的尺规作图 1．下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． 上述方法通过判定≌得到，其中判定的依据是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．根据定理证明即可． 【详解】解：由作图可知，在和中， ， ， ∴． 故选：A． 2．如图是陈老师在黑板上演示的“作一个角等于已知角”尺规作图及其步骤：作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点C，D；（2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；（3）以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点；（4）作射线，则 以下是四名同学对作图过程做出的判断，四名同学说法错误的是（  ） A．小楠 B．小雅 C．小彤 D．小华 【答案】D 【分析】本题考查作图作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型． 【详解】解：由作图得，， 在和中 ， ∴， ∴． 故小华的说法错误， 故选：D． 3．如图，小明在纸上画了一个三角形，不料被墨水污染了一部分，小刚可以画出一个与小明画的一样的（全等的）三角形，则这两个三角形全等的判定依据是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了应用与设计作图，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 作出小刚画出的三角形，再利用全等三角形的判定定理得出即可． 【详解】解：已知：线段和，，求作：，使，，． 作法：（1）作； （2）在射线上截取线段； （3）以为顶点，以为一边作，交于点， 就是所求的三角形． 由作图可知：，，， ∴ 故答案为：． 4．如图，点在直线上，分别以线段的端点为圆心，以（小于线段）长为半径画弧，分别交直线、线段于点，再以点为圆心，以长为半径画弧交前面的弧于点，画射线．若的平分线交直线于点，，则的度数为 ．    【答案】/35度 【分析】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定与性质、平行线的判定及性质、角平分线的性质等知识，能看懂尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质及判定和平行线的性质及判定是解题的关键．连接，，结合尺规作图，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，可知，然后根据角平分线的定义，即可获得答案． 【详解】解：连接，，    由作图可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 5．如图，，被直线所截，且． (1)与平行吗？为什么？ (2)已知平分． ①若，求的度数； ②过点C作直线，交于点E． （要求：用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)，见解析； (2)①；②见解析． 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行线的性质； （1）证明即可； （2）①求出可得结论； ②利用内错角相等两直线平行作出图形即可. 【详解】（1）．理由如下： 因为，， 所以． 所以． （2）①解：因为， 所以． 因为平分， 所以． 因为， 所以． ②方法不唯一． 6．（1）如图（1），为了引水灌溉，要从点修一条水渠到农田，怎样修水渠最短？请画出来，并说明画图依据． （2）如图（2），已知，点在边上． ①在的右侧作（要求尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）； ②与平行吗？为什么？ 【答案】（1）见解析；垂线段最短；（2）①见解析；②，见解析 【分析】本题考查了垂线段最短、作一个角等于已知角的尺规作图、平行线的判定，熟练掌握尺规作图和平行线的判定是解题关键． （1）根据垂线段最短作图即可得； （2）①根据作一个角等于已知角的尺规作图（以点为圆心、任意长为半径画弧，交于点，交于点；再以点为圆心、长为半径画弧，交于点，以点为圆心、长为半径画弧，与前弧交于点；然后经过点作射线）即可得； ②根据同位角相等，两直线平行即可得． 【详解】解：（1）如图，过点作农田边上的垂线段，垂足为， 则即为所求．画图依据是：垂线段最短． （2）①如图，即为所求． ②，理由如下： ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）． 题型十二 全等三角形判定综合问题 1．如图，在和中，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为6，，则的长是（　　） A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识；过点作于，证，得，再证，同理，得，进而得到的长． 【详解】解：过点作于，如图所示： 在和中， ， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故选B． 2．如图，在四边形中，，是的平分线，且．若，四边形的面积为，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，延长，交于点，证，得；再证，得，可推出点到的距离等于点到的距离，设其为；根据即可求解 【详解】解：延长，交于点，如图所示： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点到的距离等于点到的距离，设其为； ∵ ， ∴， 即， ∴， 故选：C 3．如图，已知是上的两点，且．若，则的度数是 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 根据得到，，再证明，得到,再运用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴ 故答案为： ． 4．如图，已知，点C、E、D、F共线，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 （写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握角度之间的代换是解题的关键．根据得则有和，再利用角度相等即可求得正确，但无法求得正确与否． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，故①正确； 则，故②正确； ， ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； 因为无法判断，所以④选项不正确． 故答案为：①②③． 5．如图，在中，，，直线经过顶点，过、两点分别作的垂线为垂足． (1)当直线不与底边相交时， ①按题目要求补全图形； ②判断的数量关系，并证明你的结论； (2)当直线与底边交于点时，若，直接写出的长度． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析； (2)或 【分析】本题考查了三角形综合题，主要涉及到了全等三角形的判定与性质，解题关键是证明，利用全等三角形的性质得出线段之间的关系． （1）①依据题意补全图形即可；②根据，推出即可； （2）类比（1）证得对应的两个三角形全等，求出线段之间的关系，结合即可得解． 【详解】（1）①依题意，如图 ②，理由如下： 又 又 即 （2）或，理由如下 如图 ①当时， 如图①，直线， 同理可证（同为的余角）， 又直线 即， ∴， ∴， ∵， ∴； ②当时， 如图②，直线， 同理可证（同为的余角）， 又直线， 即． ∴， ∴， ∵， ∴． 若，则，即， 若，则，即 6．在证明等腰三角形的性质定理1时，甲、乙、丙三位同学的方法如下图所示： 等腰三角形的性质定理1的内容：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)． 已知：如图，在中，． 求证：． 甲同学的方法： 证明：作的平分线交于点D． 乙同学的方法： 证明：作于点E． 丙同学的方法： 证明：取的中点F，连接． 请选择一种方法补全证明过程． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 甲同学得方法中，通过作角平分线，可得，再根据，即可得出，从而证明；乙同学的方法中，通过作垂线线，可得，再根据，即可得出，从而证明；丙同学得方法中，通过作中线，可得，再根据，即可得出，从而证明． 【详解】证明：甲同学的方法： 证明：如图，作的平分线交于点D． ， 在和中， ， ， ． 乙同学的方法： 证明：如图，作于点E． ， 在和中， ， ， ． 丙同学的方法： 证明：如图，取的中点F，连接． ， 在和中， ， ， ． 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