第十三章 全等三角形 期末证明题专项练习 2024-2025学年冀教版数学八年级上册

第十三章 全等三角形 期末证明题专项练习 一、解答题 1．已知如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AB∥CD，AB=CD,,求证：． 2．如图，在中，交于点F，求证：． 3．如图，与中，与交于点，且．求证∶．请将下列证明过程补充完整∶ 证明∶在和中， （________） _______=_______（对顶角相等） =（________）（已知） （________） （_______________） 4．如图，已知AD是△ABC的高，E为AC上的一点，BE交AD于点F，且有BD=AD，FD=CD，求证：BE⊥AC． 5．已知：如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，直线l经过点C（点A、B都在直线l的同侧），AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：△ADC≌△CEB． 6．如图，在中，，于点E，于点D，与交于点F，，求证： (1)； (2)． 7．如图，AB=AD，CB⊥AB，CD⊥AD，E、F分别是BC、DC的中点．求证：AE=AF. 8．如图，在中，点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于点F，连接BE，DF，求证：BE=DF. 9．如图，已知，，AC与BD交于点O，求证： ≌． 垂直平分AB．    10．如图，在中，分别是的高，在上取一点P，使，在的延长线上取一点Q，使，连接与． (1)求证：； (2)判断与的位置关系并证明你的结论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．见解析 【分析】首先利用SAS证明△ABF≌△DCF，根据全等三角形，对应边相等，可得到结论BF=DE． 【详解】证明：∵AB∥CD, ∴∠A=∠C, ∵AE=CF， ∴AE+EF=FC+EF． 即AF=CE． 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE． ∴BF=DE． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质；考查线段相等，可以通过全等三角形来证明，这是一种经常用、很重要的方法，要注意掌握． 2．证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，垂线的定义，先由垂线的定义得到，再由三角形内角和定理证明，进而证明，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 3．（已知），（对顶角相等），（已知），（AAS），（全等三角形的对应边相等） 【分析】根据AAS证明，即可得答案． 【详解】解：在中， （已知） （对顶角相等） （已知） （AAS） （全等三角形的对应边相等）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明． 4．见解析 【分析】由题中条件可得Rt△BDF≌Rt△ADC，得出对应角相等，再通过角之间的转化，进而可得出结论． 【详解】证明：∵AD⊥BC， ∴， 在Rt△BDF和Rt△ADC中 ， ∴Rt△BDF≌Rt△ADC（SAS）， ∴∠C=∠BFD， ∵∠DBF+∠BFD=90°， ∴∠C+∠DBF=90°， ∵∠C+∠DBF+∠BEC=180°， ∴∠BEC=90°， 即BE⊥AC． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．根据条件恰当的选择判定三角形全等的方法是正确解决本题的关键． 5．见解析 【分析】先证明，根据证． 【详解】∵∠DAC+∠DCA＝∠ECB+∠DCA＝90°， ∴∠DAC＝∠ECB， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 6．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先判定出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明即可； （2）根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而得证． 【详解】（1）∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）由（1）可知：， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理的应用，以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 7．证明见解析 【分析】连接AC，先利用HL证明Rt△ABC≌Rt△ADC，从而可得BC＝DC，再根据中点得到BE＝DF，然后再利用SAS证明△ABE≌△ADF即可得. 【详解】连接AC ∵CB⊥AB，CD⊥AD ∴∠B=∠D=90° 在Rt△ABC和Rt△ADC中 ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL） ∴BC=DC ∵点E、F分别是BC、CD的中点 ∴BE=BC，DF=CD ， ∴BE=DF， 在△ABE和△ADF中 ， ∴△ABE≌△ADF(SAS) ∴AE=AF. 【点睛】本题主要考查三角形全等, 证明△ABE≌△ADF本题主是解题的关键. 8．见解析 【分析】通过证△ABE ≌△CDF（SAS）得到结论 【详解】证明：在 ABCD中， AB=CD， ∠A=∠C． 由题意可知： AE=CF 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE ≌△CDF（SAS） ∴BE=DF 【点睛】本题考查全等的证明，关键在于寻找需要证明全等的三角形中的3组相等量 9．（1）见解析；（2）见解析. 【分析】根据SSS定理推出即可； 根据全等三角形的性质得出，在证明与全等，根据全等三角形的性质得出即可． 【详解】证明：在与中 ， ≌， ≌， ， 在与中 ， ≌， ，， 垂直平分AB． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，能求出≌是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 10．(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）由同角的余角相等得到一对角相等，再由已知两对边相等，利用即可得证； （2）与垂直，理由为：根据（1）的结论得到，，利用等角的余角相等即可得证． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴， 在和中， ∴； （2），理由为： 由（1）得 ∴， 又， ∴， 则． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$