第十七章 特殊三角形章末重点题型复习-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（冀教版）

第十七章 特殊三角形章末重点题型复习 题型一 根据三线合一证明 题型二 根据等角对等边证明等腰三角形 题型三 根据等角对等边证明边相等 题型四 等腰三角形尺规作图问题 题型五 格点图中画等腰三角形 题型六 含30度角的直角三角形 题型七 斜边的中线等于斜边的一半 题型八 勾股定理与折叠问题 题型九 以弦图为背景的计算题 题型十 勾股定理的证明方法 题型十一 勾股定理的逆定理综合应用 题型十二 勾股定理的应用 题型十三 最短路径的综合应用 题型十四 直角三角形全等的判定 题型十五 等边三角形的判定和性质综合 题型十六 等腰三角形的性质和判定 题型一 根据三线合一证明 1．如图，在中，，D是的中点，E是边上一点，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据等腰三角形三线合一的性质得到，，根据三角形内角和得到，再根据等边对等角及三角形内角和得到，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D 2．如图，在四边形中，平分，于点E，，有下列结论：①；③；③；④．其中正确的是（   ）    A．② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一，需要熟练掌握全等三角形的判定与性质，此外找出线段之间的和差关系是解决本题的关键． 在上截取，连接，根据“平分”和“”证明出，故选项①正确；由①可知，，再根据线段间的和差关系可得：，由三角形面积公式及等量代换可得，故选项②④正确． 【详解】在上截取，连接，    ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； 根据已知条件无法证明，故③错误； ∵， ∴， ∴， 即，故④正确． 其中正确的是①②④． 故选：C． 3．如图，，是的垂直平分线，则的度数为 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一，解题的关键是掌握以上知识点． 先求出，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据等腰三角形的三线合一即可得． 【详解】解：∵， ， ∵是的垂直平分线， ， ， 故答案为：． 4．若和均为等腰三角形，且，当和互余时，称与互为“底余等腰三角形”，的边上的高叫做的“余高”．如图，与互为“底余等腰三角形”．当时，若的“余高”，则 ． 【答案】6 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识与方法，理解新定义是解题的关键． 当时，则和都是等腰直角三角形，先证明，再证明，则，于是得到问题的答案； 【详解】解：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 5．如图，在中，，D、E、F分别在三边上，且，，G为的中点． (1)若，求的度数； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定及其性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据等边对等角证明，运用三角形的内角和定理即可解决问题． （2）连接、；证明，得到，运用等腰三角形的性质证明，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）证明：如图，连接、； 在与中， ， ∴， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴垂直平分． 6．如图，已知是等腰三角形，，． 问题初探    （1）如图①，分别以，为边作等边和等边，与相交于点，则和的数量关系为_______，和的数量关系为_______． 引导发现 （2）如图②，连接并延长，交于点，求证：． 拓展延伸 （3）如图③，作射线交的延长线于点，请直接写出的度数． 【答案】【小问1】， 【小问2】见解析 【小问3】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，等式性质解答即可． （2）根据线段垂直平分线的判定和性质证明即可． （3）利用等腰三角形的三线合一性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解答即可． 【详解】（1）解：依题得：等边和等边， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：；． （2）证明：由（1）得，， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∵点在的延长线上， ∴是线段的垂直平分线， ∴． （3）解：如图，设，，， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵等边， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ．    【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，线段的垂直平分线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 题型二 根据等角对等边证明等腰三角形 7．如图，在中，，，是边上的高，的平分线分别交，于点，，则图中的等腰三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、根据在中，，利用三角形内角和定理求得，然后可得等腰三角形． 【详解】解：∵是高， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵是平分线， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即是等腰三角形， 在中，， ∵， ∴， ∴， 即是等腰三角形， ∴等腰三角形有，，； 故答案为：3． 8．如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交于F，交于E，过点O作于D，下列四个结论： ①；②；③当时，E，F分别是，的中点：④若，，则．其中正确的是（    ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形三边关系、平行线的性质，根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判断②；根据三角形三边关系判断③；根据角平分线的性质定理判断④． 【详解】解：∵在中，和的平分线相交于点O， ∴，， ∴ ，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴，故②正确； 当时，， ∴、不是、的中点，故③错误； 作于， ， ∵和的平分线相交于点O， ∴点在的平分线上， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的是①②④， 故选：C． 9．（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，，为，的中点，，，则的长为 ．    【答案】2 【分析】本题考查等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解答的关键．先证明得到，，再根据等角对等边得到，，设，由结合已知列方程求解x值即可． 【详解】解： 为，的中点， ，， 又， ，， ， ， ，， 设， ，， ，， ， 解得， ， 故答案为：2． 10．如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作，交于点D，交于点E．若，，则是 三角形，线段的长为 ． 【答案】 等腰 3 【分析】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定； 先根据角平分线的定义和平行线的性质得到，，再根据等角对等边得到是等腰三角形，，，进而计算即可． 【详解】解：∵和的平分线相交于点F， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴是等腰三角形，，， ∴． 故答案为：等腰，3． 11．如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）证明，得到，再根据三角形内角和定理即可求解； 本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 12．综合与探究 【问题情境】 数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动．如图，在中，，于点D，平分交于点F，交于点E． 【初步分析】 （1）智慧小组的同学发现是等腰三角形，请你证明这一结论． （2）博学小组的同学发现给添加一个条件，可使成为等边三角形．添加的条件可以是_______．（写出一种即可） 【操作探究】 （3）创新小组的同学从图形平移的角度进行了如下探究：将沿射线的方向平移，使点F的对应点恰好落在线段上． ①请在图中画出平移后的； ②判断此时线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）（答案不唯一）；（3）①见解析，②，理由见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平移的性质，等边三角形的判定，等边对等角． （1）由角平分线的定义和余角的性质可得，可得，可得结论； （2）添加，由，可证成为等边三角形； （3）①根据题意画出即可； ②由可证，可得； 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：添加，可使成为等边三角形，理由如下： ∵平分，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 又∵， ∴是等边三角形； 故答案为：； （3）解：①如图，即为所求； ②，理由如下： ∵将沿射线的方向平移， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 题型三 根据等角对等边证明边相等 13．如图，在中，是斜边上的高，角平分线交于，于，则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和定理和同角的余角相等可判断选项A；根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定可判断选项C；证明可判断选项B、D，进而可得答案． 【详解】解：∵在中，是斜边上的高，， ∴， ∴， ∴，故选项A结论正确，不符合题意； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故选项C结论正确，不符合题意； ∵， ∴，又， ∴， ∴，，故选项D结论正确，不符合题意； 由图得， ∴，故选项B结论错误，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理及外角性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、余角性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 14．如图，四边形中，，，，，以点A为圆心，以长为半径作弧，与相交于点E，连接．以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，与相交于点F，则的长为（　）（用含a的代数式表示）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图，平行线的性质和角平分线的定义．利用基本作图得到，平分，接着证明得到，然后利用求解． 【详解】解：由作图步骤可得，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 15．如图，在，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．先证明，进而可依据判定，则，证明是等边三角形，进而证明是等边三角形，则，再求出，即可得出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 16．如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F． 若，，，则的周长是 ． 【答案】20 【分析】本题考查平行线的性质、角平线的定义、等角对等边；综合运用平行线性质及角平线定义可得，，由等角对等边可得，，于是，由此可解． 【详解】解：，的平分线交于点D， ，， ， ，， ，， ，， ， 即的周长是20， 故答案为：20． 17．如图，在中，，的平分线交于，为上一点，，连接． (1)求证：； (2)已知，，求长． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质及等角对等边，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先由角平分线的定义得出，再根据证明即可； （2）先由全等三角形的性质得出，再根据题意及三角形外角的性质即可得出，然后再依据等角对等边进行证明即可． 【详解】（1）证明：∵的平分线交边于点， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴． 18．课本再现：（）如图，是等边三角形，，分别交于点．求证：是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗?” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，①______， ∴②______③______， ∴，（④______） ∴是等腰三角形． 又∵，∴是等边三角形． （）如图，等边三角形的两条角平分线相交于点，延长至点，使得，求证：是等边三角形． 【答案】（），，，等角对等边；（）证明见解析 【分析】（）根据等边三角形的性质得出，，根据平行线的性质，可得，，进而等量代换得到，根据等角对等边即可得证； （）根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形外角的性质得出，进而即可求证． 【详解】（）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，（等角对等边） ∴是等腰三角形． 又∵， ∴是等边三角形． 故答案为：，，，等角对等边； （）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵和分别为和的平分线， ∴，， ∵为的外角， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，等边三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 题型四 等腰三角形尺规作图问题 19．下列尺规作图中，一定能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握4种基本作图（作一条线段等于已知线段；作已知角的角平分线；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线）．利用基本作图，逐一判断推导，从而得到只有选项C可以得到． 【详解】解：A．根据尺规作图，可知作一条线段等于已知线段，，故选项不符合题意； B．根据尺规作图，可知作已知角的角平分线，得不到，故选项不符合题意； C．根据尺规作图，可知作一个角等于已知角，可得，即，故选项符合题意； D．根据尺规作图，可知作已知线段的垂直平分线，可得，得不到，故选项不符合题意． 故选：C． 20．如图（1），锐角中，，要用尺规作图的方法在边上找一点D，使为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（    ）    A．甲、乙、丙都正确 B．甲、丙正确，乙错误 C．甲、乙正确，丙错误 D．只有甲正确 【答案】A 【分析】根据圆、线段垂直平分线、角的尺规作图进行分析即可． 【详解】解：甲图：以点A为圆心，为半径作弧，交于点D， ∴， ∴为等腰三角形， 乙图：作的垂直平分线，交于点D， ∴， ∴为等腰三角形， 丙图：∵所作的， ∴， ∴是等腰三角形， ∴甲、乙、丙都正确， 故选A． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义、尺规作图−圆、角、垂直平分线，熟练掌握等腰三角形的判定与圆、角和线段垂直平分线的基本作图的方法是解题的关键． 21．如图，，是已知圆上两点，用直尺和圆规求作以AB为一边的圆的内接等腰三角形，（保留作图痕迹），这样的三角形能作______个． 【答案】 【分析】①求作以为一腰的圆内接等腰三角形的个数；②可以分别以、为圆心,以为半径画弧,与圆相交,分别连结、与其交点,即可得到三角形. 【详解】①当以为一腰时，有两个等腰三角形可以作：分别以、两点为圆心，长为半径画弧交圆于、两点，如图： 和就是所求作的三角形. ②当以为底边时，有两个等腰三角形可以作：作的垂直平分线交圆于、两点，如图： 和就是所求作的三角形. ∴这样的三角形能作个. 故答案是： 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的作法.这类题目是一些基本作图的综合应用.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作. 22．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点，点，点均落在格点上．    （1） ． （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以为底边的等腰，使该三角形的面积等于的面积，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 3 取格点，连接，与网格线交于点．与网格线交于点，连接．取格点，连接，交于点．连接，．即为所求． 【分析】（1）直接利用三角形的面积公式计算即可； （2）如图取格点E、F，连接EF，与网格线交于点G，AB与网格线交于H，连接GH，取格点I，连接CI交GH于点P，连接PA、PB，△PAB即为所求． 【详解】解：（1）； 故答案为：3； （2）如图，取格点，连接，与网格线交于点．与网格线交于点，连接．取格点，连接，交于点．连接，．即为所求．    故答案为：取格点，连接，与网格线交于点．与网格线交于点，连接．取格点，连接，交于点．连接，．即为所求． 【点睛】本题考查作图——应用与设计，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活应用线段的垂直平分线的性质，平行线的判定和性质解决问题． 23．如图，在中，．小星、小红两人想在上取一点P，连接，使得，其作法如下： 请选择一种作法将图形补全，并判断正误，说明理由． 【答案】见详解 【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 根据题意作出图形判断即可． 【详解】解：小星的作法如图所示，方法正确． 理由：∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴； 小红的作法如图所示，方法错误． 理由：∵， 又∵， ∴， ∴． 24．已知等腰直角三角形如图所示放置，根据题目要求补全图形，并保留作图痕迹． ①作点关于线段的对称点点． ②在延长线上取得一点，连接，并以点为直角顶点，线段为直角边作等腰直角三角形． ③连接． (1)找出补全后图中与全等的三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； (2)求证：． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定方法的理解及运用，解题是注意等腰直角三角形同时具备等腰三角形和直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质，利用判定； （2）根据全等三角形的对应角相等，可得，根据，可得到，进而得出． 【详解】（1）如图所示， 解：， 证明：∵点关于线段的对称点点 ∴， ∴ ∴与均为等腰直角三角形， ，，， ， 即， 在与中， ， ； （2）证明：由（1）， 则， 又， ， ． 题型五 格点图中画等腰三角形 25．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位． (1)在图①中画出一个以为一边，面积为15的钝角三角形； (2)在图②中画出一个以为腰的等腰三角形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要几何图形的变换，理解题意，根据图形的面积公式及等腰三角形的定义即可求解，解题的关键就是对图形性质的理解． （1）根据钝角三角形的面积为，由，可先构造高为5 的钝角三角形，即可． （2）直接取格点，使或即可． 【详解】（1）解：如图1（答案不唯一） 或 （2）如图2（答案不唯一） 26．在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点，把顶点都是整点的三角形称为整点三角形．如图，已知整点、，请在所给的网格区域（含边界）内按要求画出整点三角形．    (1)在图中画出以为一条直角边的等腰直角三角形； (2)在图中画出一个，使得的面积等于，且使点在的内部． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（）根据网格特点画出三角形即可； （）根据题意画出三角形即可； 本题考查了等腰直角三角形的定义，三角形的面积，掌握网格特点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：如图所示，即为所求．    27．如图，在的方格纸中，线段的端点均在格点上，请用无刻度直尺按要求画图．    (1)如图1，画出一条线段，使．，且点C在格点上； (2)如图2，画两线段，使是等腰直角三角形，且点C在格点上； (3)如图3，画线段，使它垂直平分线段，且点E，点F都在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】题目主要考查利用网格作图及等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． （1）根据等腰三角形的定义及网格作图即可； （2）根据等腰直角三角形的定义及网格作图即可； （3）根据线段垂直平分线的性质及网格作图即可． 【详解】（1）解：如图所示点C即为所求；    （2）如图所示线段，即为所求；    （3）如图所示线段即为所求．    28．如图所示的方格纸中，每一个小正方形的边长都是，网格中有一个格点三角形． (1)以直线为对称轴，在图中直接作出的轴对称图形． (2)在直线右侧，在外部，画出以为腰的一个等腰直角三角形． (3)计算的面积，并通过面积求出的长度． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析（答案不唯一） (3) 【分析】（）根据轴对称图形的性质作图即可； （）根据网格作出等腰直角三角形即可； （）先利用割补法求出的面积，再根据三角形面积公式求出即可； 本题考查了作轴对称图形，作等腰直角三角形，三角形的面积，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：的面积， ∴， ∴． 29．图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的顶点上．    (1)在图1中，画一个，满足以下要求： ①点在小正方形的顶点上； ②与全等； ③； (2)在图2中，在的上方取点，画出以为斜边的，且，顶点E在小正方形的顶点上，并直接写出四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，四边形的面积为 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平移的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质； （1）利用网格的特点，平移和，得到和，即为所作； （2）利用网格的特点，作出等腰直角三角形，再利用割补法求得四边形的面积． 【详解】（1）解：即为所作：   ； （2）解：即为所作：   ． 四边形的面积 30．如图，用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）．    (1)如图1，过O作，交于D； (2)如图1，过A作，且； (3)如图2，过C作直线轴，在直线l上确定一点M，使最短； (4)如图3，在边上确定一点N，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】 本题考查了格点作图，平移的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质． （1）取格点，连接交于D，利用全等三角形的判定和性质得到； （2）利用平移的性质作出线段即可； （3）根据网格的特点作出直线l，作出点关于直线的对称点，连接交直线l点M，则点M即为所作； （4）在轴上取点，构造等腰直角三角形，得到，利用平移的性质作出线段，再延长交于Ｎ，此时，点N即为所作． 【详解】（1）解：如图，点D即为所作；   ； （2）解：如图，线段即为所作；    （3）解：如图，点M即为所作；   ； （4）解：如图，点N即为所作；   ． 题型六 含30度角的直角三角形 31．如图，中，，，，D为上一动点，垂直平分分别交于E、交于F，则的最大值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的特征，线段垂直平分线的性质，连接，过作交于，由直角三角形的特征得，由线段垂直平分线的性质得，，当取得最小值时，取得最大值，当时，取得最小值，即可求解；直角三角形的特征，线段垂直平分线的性质，能找出取得最大值的条件是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过作交于， ，，， ， 垂直平分， ， ， 当取得最小值时，取得最大值， ， 当时，取得最小值， 此时与重合，如图， ， ， 解得：， 故选：C． 32．如图，在中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于两点，连接，分别交于点，连接．若，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了作图-基本作图：作已知线段的垂直平分线．也考查了线段垂直平分线的性质和含30度角直角三角形的性质．利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以，求出，利用含30度角直角三角形三边的关系求，然后计算即可． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：D． 33．如图，平分，，，于点，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，过作于点，则，由角平分线的性质得，，又得，最后由角所对的直角边等于斜边的一半即可求解，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∴平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 34．如图，是边长为的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段，运动，且它们的速度都为．当点P到达点B时，P，Q两点停止运动．设点P的运动时间为．请用含t的代数式表示 ；当 s时，是直角三角形． 【答案】 或 【分析】本题考查了列代数式、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 需要分类讨论：分和两种情况根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：设时间为t，则，， ①当时， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， 解得：； ②当时， ∵， ， ∴， ∴， 解得：； ∴当或时，为直角三角形， 故答案为：；或． 35．如图，中，，是边上一点，过点作，垂足为，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边对等角得出，结合垂直和直角三角形的两锐角互余得出，，根据等角的余角相等，得出，结合对顶角相等和等角对等边即可证明； （2）结合题意和直角三角形的两锐角互余得出，根据直角三角形中角所对的边是斜边的一半得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等边对等角，直角三角形的两锐角互余，直角三角形中角所对的边是斜边的一半，等角的余角相等，等角对的等边，对顶角相等等；熟练掌握等腰三角形的判定和性质以及直角三角形的性质是解题的关键． 36．中，，，点是边中点，点是边上一点（不与点、点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、． (1)如图1，若，点刚好落在边上，，则______， ______； (2)判断、和的数量关系，从图2、图3中任选一种情况进行证明． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【分析】（1）由旋转可得：，，得到是等边三角形，推出，，根据三角形的外角性质可推出，进而得到，，得到，推出垂直平分，得到，推出，可求出，最后根据勾股定理即可求解； （2）连接，由直角三角形的斜边中线定理可得：，推出，得到，由旋转可得：，， 推出，可得，证明，得到，即可证明． 【详解】（1）解：由旋转可得：，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ，， ， 点是边中点， 垂直平分， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：，； （2），证明如下： 选择图2，连接， ，点是边中点， ， ， ， 由旋转可得：，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， 即； 选择图3，连接， ，点是边中点， ， ， ， 由旋转可得：，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，含角的直角三角形的性质，直角三角形的斜边中线定理，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识． 题型七 斜边的中线等于斜边的一半 37．在中，，，将按如图所示的方式依次折叠： 有下面四个结论：①平分；②；③；④的周长等于的长．所有正确结论的序号为（   ） A．①③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据折叠的性质得到，得到平分；于是得到故①正确；根据折叠的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，求得，得到，由，得到，故②错误；由，得到，根据三角形的外角的性质得到，故③正确；根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到的周长，故④正确． 【详解】解：∵沿着直线折叠得到， ， 平分， ∴故①正确； ∵沿着直线折叠得到， ， ， ， ， ， ， ， ∵沿着折叠得到， ， ， ， ， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵是等腰直角三角形，， ， ， ∴的周长，故④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 38．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接并延长交的延长线于点，连接，且，过点作于点交于点，过点作交的延长线于点，以下三个结论中：（1）；（2）；（3）当时，，则所有正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识点是解答本题的关键． 证明，可知，即可判断（1）；由得，由及等角的余角相等得，即可判断（2）；当时，为等腰三角形，得，由得，所以，即可判断（3）． 【详解】解：， ， ， ，， ， ，故（1）正确； ， ， ， ， ， ，故（2）正确； 当时， ， 是等腰直角三角形， ， 由（1）知：， ， ， ，故（3）错误； 综上，正确的有：（1）（2）， 故选：A． 39．将两块斜边长等于2的三角尺（与）的斜边完全叠合按图所示摆放，为中点，连接和，那么的而积等于 ． 【答案】/ 【分析】过点C作于点F，根据直角三角形的性质得出，，，证明为等边三角形，得出，求出，得出，根据三角形面积公式求出． 【详解】解：过点C作于点F，如图所示： 根据三角尺的特点可知：，，， ∵为中点， ∴，，， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含30度角的直角三角形的性质，三角形面积计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握直角三角形的性质． 40．如图，在中：，将绕点顺时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段的最大值 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，含角直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，连接，根据直角三角形斜边中线的性质求出，利用三角形的三边关系即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∵点是的中点，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴当时， 取得最大值， ∴的最大值为， 故答案为：． 41．如图，在中，，，平分． (1)若，求的长； (2)若为的中点，连接交于点，求证：垂直平分． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，斜边中线的性质． （1）利用角平分线的定义求得，推出，得到，在中，利用含30度的直角三角形的性质求解即可； （2）利用斜边中线的性质求得，推出是等边三角形，据此即可证明垂直平分． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴； （2）证明：∵，为的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵平分， ∴，， ∴垂直平分． 42．已知线段，以为斜边作和，连接，分别是线段、的中点，连接、． (1)如图1，和在线段的两侧． ①求证：； ②若，；请求出的度数； (2)如图2，和在线段的同侧，若、，则的度数为______（用含、的代数式表示） 【答案】(1)①见解析；②； (2)． 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）①根据直角三角形的性质得到，，根据等腰三角形的三线合一证明即可；②根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案． （2）根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】（1）①证明：连接， ∵，是的中点， ∴，， ∴， 又∵是的中点， ∴； ②解：∵，是的中点， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：连接， ∵，是的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵，是的中点， ∴． 题型八 勾股定理与折叠问题 43．如图，在四边形中，，E是上一点，将沿折叠，B，D两点恰好重合，则的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握折叠的性质，熟练运用勾股定理计算是解题关键． 设，由折叠的性质可得：，从而在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴由折叠的性质可得：， ∵， ， 即，解得：， ． 即的长度为， 故选：C 44．如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等，根据折叠，可知，，进一步可知，设，在中，根据勾股定理列方程，求解即可 【详解】解：根据折叠，可知 ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵ ∴ ∴ 在中，根据勾股定理，得 解得， 所以，的长为， 故选：C 45．如图，长方形中，，将其沿折叠，点分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，折叠性质，全等三角形判定及性质等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 根据题意设，，证明和全等，再利用勾股定理得，即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴，， 根据折叠性质得：，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， 故答案为：. 46．如图，在中，，，点分别为边上的点，连接，将沿着翻折，使A点落在边上的处，，则的长度为 ：的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理；掌握相关知识和作出适当的辅助线是解题的关键．根据题意设，再由勾股定理列方程，可求出，作，垂足为，可得为等腰直角三角形，再根据翻折设，，，可得，求出，根据勾股定理求出的长，即可得到的长． 【详解】解：，， ， 将沿着翻折，使A点落在边上的处， ，设，， ， ， 即， 解得， ， 如图，作，垂足为， ，，， ，， ， ， 即， ，， 设，，， ， 解得， ， ，，， ， ， 根据折叠可得， ． 故答案为：，． 47．在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是． (1)如图①，如果点和顶点重合，求的长； (2)如图②，如果点落在的中点处，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键． （1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ， 解得：， ； （2）解：∵点落在的中点， ∴； 设，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ， 解得：， 即的长为：． 48．学完了勾股定理相关知识，王老师带领大家研究长方形纸片的折叠问题．大家知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即长方形中，，，，，．   请你运用所学知识，解决下面的问题： (1)如图1，长方形纸片中，，，将纸片折叠，使落在对角线上，折痕为（点E在边上），点B落在点处，求的长度； (2)如图2，有一张长方形纸片，，，F为边上一点，，E为上一点．将纸片折叠，折痕为，使点B恰好落在线段上的点处，点A落在点处．求线段的长度． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查了长方形的性质，勾股定理与折叠的问题，等角对等边等知识． （1）由长方体形的性质可知，，由勾股定理得出，由折叠的性质可得出，，，进一步可得出，，再利用勾股定理可得出，代入求解即可得出． （2）由长方体形的性质可知，，，，，进而可得出，由折叠得，，等量代换可得出，由等角对等边可得出，由勾股定理可得出，进一步可得出，最后根据线段的和差即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，，， ∴，， ∴， 由折叠得，，， ∴，， 在中，， 即 解得： ∴的长是． （2）解：∵四边形是长方形，，，， ∴，，，，， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴的长是5． 题型九 以弦图为背景的计算题 49．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．连接、、、．若正方形的面积为，阴影部分的面积为．则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算．由阴影部分的面积为，得到，得到，根据三角形的面积公式列方程得到，求得，于是得到． 【详解】解：由题意得， ∵正方形的面积为， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴(负值已舍)， ∴， 故选：C． 50．有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是（   ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查的是正方形的性质，勾股定理，其中能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键． 根据勾股定理可知“生长”1次后，所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是；推而广之即可求出“生长”2025次后形成图形中所有正方形的面积之和． 【详解】解：如图，    由题意得，正方形A的面积为1， ∵三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形， ∴由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和等于第1次“生长”出的两个正方形面积， ∴2次后形成的图形中所有的正方形的面积和， ∴ “生长”了n次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026， 故选：C． 51．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．在一次数学活动中，小明利用如图1所示的5个连排正方形，分割后拼成如图2所示的一个大正方形，就得到了“赵爽弦图”．若图1中的小正方形边长为1，则图中的大正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的面积和边长、求算术平方根等知识，根据题意得到大正方形的面积为，利用正方形的面积和算术平方根即可求出答案． 【详解】解：根据题意可得，大正方形的面积为， ∴图中的大正方形的边长为， 故答案为： 52．如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点，若正方形的面积为，，则与的面积差是 ． 【答案】 【分析】本题考查了“赵爽弦图”，多边形的面积，勾股定理等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形全等的性质是解题的关键． 先证明，则，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设，，根据勾股定理得：，，整体代入可得结论． 【详解】解：正方形的面积为， ， 设， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ，， ， ， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， ， ， ， ，， ， ， 则的值是； 故与的面积差为； 故答案为： 53．勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)如图1，“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的面积是多少？ (2)同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？ 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理的几何背景，完全平方公式与几何图形的面积，解题的关键是数形结合． （1）设直角三角形的斜边为，利用勾股定理和完全平方公式求出的值，利用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积进行计算即可； （2）根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证． 【详解】（1）解：设斜边的长为， 由题意，得：，， ， ， 小正方形的面积为：； （2）图形的总面积可以表示为或， ， ． 54．综合与实践 长方体中蕴藏着丰富的数学知识，善思小组开展长方体中数学知识的探究．如图①底面为正方形的长方体盒子，，，．该小组把长方体的两侧面，剪下来，沿着和剪开，得到四个全等的直角三角形，拼成如图②所示的“弦图”． 【探究一】 （1）如图②，若每个直角三角形较小锐角为，小正方形的面积为16．求大正方形的面积； 【探究二】 （2）根据图②的“弦图”证明勾股定理（写出推理过程）； 【探究三】 （3）为了使长方体盒子更加美观，现准备在长方体外表面从点A到点G粘贴一条彩色条（宽度忽略不计），设所用彩色条的长度为l，探究l的最小值（用含有a，b的式子表示），该小组探究如下：将长方体盒子侧面，展开成图③所示的平面图形，连接，在中，，即l的最小值为．上述探究结果是否正确？若不正确，画图并求出l的最小值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）不正确； 【分析】本题主要考查了勾股定理的几何证明，勾股定理的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握勾股定理． （1）根据小正方形面积求出，再根据含直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出结果即可； （2）根据正方形面积公式表示出小正方形的面积为，用大正方形面积减去4个直角三角形面积表示出小正方形面积为，即可证明勾股定理； （3）将长方体盒子侧面，展开成平面图形，求出此时，然后再比较大小即可． 【详解】解：（1）∵小正方形的面积为16， ∴， ∵每个直角三角形较小锐角为， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为：． （2）∵小正方形的边长为c， ∴小正方形的面积为， ∵大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为：， ∵四个全等的直角三角形的面积为：； ∴小正方形的面积可以表示为： ， ∴； （3）不正确；理由如下： 将长方体盒子侧面，展开成平面图形，如图所示： 连接，在中， ， ∵ ， ∵， ∴， ∴， 即l的最小值为． 题型十 勾股定理的证明方法 55．勾股定理现约有500多种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一，在中国周朝的商定提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，古埃及人用“结绳法”在金字塔等建筑的拐角处作出直角；“普林顿322”的古巴比伦泥板上记载了很多勾股数；公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了勾股定理．下面图例中，不能证明勾股定理的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据勾股定理的证明方法可知一般通过面积法证明，据此分析即可求解． 【详解】解：B，C，D选项通过面积法可以证明勾股定理，A选项不能证明勾股定理， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 56．如图所示，意大利著名画家达▪芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，证明了勾股定理．若设图1中空白部分（两个正方形和两个直角三角形组成）的面积为，经过以下裁剪，翻转，拼出图2，其中空白部分的面积为，嘉琪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读㯵图象信息．根据勾股定理，直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 【详解】解：由勾股定理得：， 由题意得：， 故①，②，③，④正确， 故选：D． 57．课堂上，数学老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出了四种图形，你认为能用来证明勾股定理的图形有 ．（填序号）    【答案】 【分析】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图①可以得到，然后化简即可；根据图②，无法确定、、的关系．由图可得，，然后化简即可；由图可得，，然后化简即可． 【详解】解：由图①可得， ， 化简，得：， 故图①可以证明勾股定理； 根据图②中的条件，无法证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 故答案为：． 58．清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，和为边，按如图所示的方式作正方形，和，与交于点J，与交于点E，与交于点J，与交于点E．若四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的证明，整体思想的巧妙运用是解题的关键．可证明与全等，进而得出的面积，再将所给的面积全部相加，得出正方形和梯形的面积之和，用和的长将其表示出来即可解决问题． 【详解】解：由题知， 令， ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 又∵四边形和的面积和为5， ∴， 即， ∴， 则． 又∵四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12， 将四部分的面积相加得， ， ∴， 则． ∴， 则（舍负）， 即的值为． 故答案为：． 59．勾股定理体现了数与形的完美结合，小明在学习了教材中介绍的拼图证法以后突发灵感，发现新的拼图方法：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点在边上，顶点、重合，连接、.设、交于点．，，，．请你回答以下问题： (1)填空：______°，______（用含字母的代数式来表示）； (2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理． 【答案】(1)90， (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，列代数式，熟练掌握数形结合思想的运用是解答本题的关键． （1）根据全等的性质得到，然后利用互余的性质证明即可； （2）结合（1）小问的结论用两种面积算法证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴ ， 故答案为：90，； （2）解：方法一： ； 方法二： ． 根据上面的方法可得出， ∴． 60．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，图1中的2个全等的直角三角形可以拼成不同的图形，用来证明勾股定理． (1)把两个全等的直角和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，可得．请用a，b，c分别写出梯形，四边形，的面积，再根据这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)若图1中，，图3中方格纸中的小正方形的边长为1，请你用两种不同的方式将图1中两个全等的直角三角形放入图3的两个五边形中，并涂上阴影，则图3（1）中空白部分的面积为________，图3（2）中空白部分的面积为________，从而得到． (3)用（2）中4个全等的直角三角形（，）拼成如图4中的形状，则这个图形外围轮廓（实线）的周长为________． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析，25，25 (3)20 【分析】本题考查了勾股定理的证明和应用，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键． （1）由题意可知，，，，得到，然后代入整理求解即可； （2）根据题意画出图形，然后表示出图（1）中空白面积和图（2）中空白面积，进而求解即可； （3）首先根据勾股定理求出，然后由，得到，然后证明出，证明出，得到，设，则，根据勾股定理求出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，    ∵，， ∴图3（1）中空白面积； 图3（2）中空白面积． ∴； （3）如图所示，    ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴中，， ∴， 解得， ∴， 同理可得，， ∴这个图形外围轮廓（实线）的周长． 故答案为：20． 题型十一 勾股定理的逆定理综合应用 61．如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为（　　）． A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理及其逆定理的应用．连接，先证明是直角三角形，且，再证明是的垂直平分线，得到，设，则，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图； ，，， ，，， ， 是直角三角形，且， 由折叠的性质得：， 顶点B恰好与点A重合， ， 是的垂直平分线， ， 设，则， 在中，， ， , ， 故选：B． 62．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，连接，利用勾股定理得到，进而利用勾股定理的逆定理证明，最后根据四边形的面积的面积的面积进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积的面积的面积 故选：B． 63．如图，将绕点A顺时针旋转得到，并使C点的对应点D点落在直线上，连接．若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何变换的综合应用，涉及等腰三角形的性质与判定，勾股定理及逆定理的应用等知识，过A作于H，由绕点A顺时针旋转得到，可知，，，求出，即可得，故，而，，有，，从而，即得是等腰直角三角形，得． 【详解】解：过A作于H，如图： ∵绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 64．一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中与都应为直角，工人师傅量的这个零件各边的尺寸如图所示．    （1）这个零件 符合要求吗？（填“是”或“否”） （2）这个四边形的面积为 ． 【答案】 是 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理可求，是直角三角形，且，然后作答即可； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，是直角三角形，且， ∴这个零件符合要求， 故答案为：是； （2）解：由题意知， 故答案为：． 65．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离的长为，现要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； (2)试判断与的位置关系，并说明． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由勾股定理可得，从而得出，再由勾股定理计算即可得解； （2）由勾股定理逆定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的长为，的长为， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 66．综合与实践 (1)问题初探 如图1，在中，为边上的中线，求的取值范围．请直接写出的取值范围． (2)问题解决 如图2，P为等边三角形内一点，满足，试求的大小． (3)问题拓展 如图3，在正方形中，分别为边上的点，满足，若，求证的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了旋转的综合应用，三角形三边之间的关系，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理逆定理；解题的关键是旋转构造全等进行转换． （1）如图，将绕点D旋转，得到，连接，由旋转得到，易证四边形是平行四边形，根据三角形三边的关系得到，从而得到的取值范围； （2）如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接，由旋转可知，易证是等边三角形得，在中，运用勾股定理求解可证，求出，结合旋转可求解； （3）将绕点A顺时针旋转得到，由旋转可知，，求得易证，求即可． 【详解】（1）如图，将绕点D旋转，得到，连接， 由旋转，， ∴四边形是平行四边形， ，， 又， ， 得， 即， ； （2）如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接， 由旋转可知，， ， 是等边三角形， ， 在中， ，， ， ， ， ， （3）将绕点A顺时针旋转得到， 由旋转可知，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ，， ． 题型十二 勾股定理的应用 67．2024年11月4日，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功！为此，某校组织了一次以“指尖上的航模•蓝天下的梦想”为主题的航模飞行表演．如图，小烨控制的无人机在距离地面18米高的点D处（米），空中点A处有一只风筝，无人机上的测距仪测得米，点A与点D之间的水平距离米，已知于点E，，请你求出风筝离地面的高度． 【答案】10米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得：米， ∴米， ∴米， ∴风筝离地面的高度为10米． 68．为了美化城市，洒水车需要在一条长为的重要路段段以50米分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点C位置，洒水车由A向B移动，学校与路段上的两个路口A、B的距离分别为，经测量，发现在及以内的会受到音乐的影响． (1)求点C到路段的距离； (2)判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响． 【答案】(1) (2)会受到影响，时长4分钟 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，读懂题意，根据勾股定理知识解题是做题的关键； （1）过点C作于D，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再根据等面积法求解即可； （2）当时，正好影响C学校，根据勾股定理求出，再根据等腰三角形的性质求出，再根据速度，求出时间即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作于D， ， 是直角三角形，且， ， ， ， 答：点C到路段的距离是； （2）解：学校C会受噪声影响，理由如下： ∵在及以内的会受到音乐的影响，学校到的最小距离为， ∴学校会受到影响， 当时，正好影响C学校， ， ，， ， ， ∵洒水车的行驶速度为50米分钟， （分钟）， 影响该学校持续的时间有4分钟． 69．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题： (1)根据题意，可知________（填“”“”“”）； (2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)男孩需向右移动的距离为米 【分析】（1）由绳长始终保持不变即可求解； （2）由勾股定理求出、的长，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变， ， （2）解：连接，则点、、三点共线， 在中，（米， （米， 在中，（米， ， （米， 男孩需向右移动的距离为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出、的长是解题的关键． 70．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在的正下方物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离，物体到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】(1)绳子的总长度为 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． （2）解：由题意得，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 71．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【答案】(1)12尺 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； 即尺； 答：水池的深度为12尺； （2）证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 72．【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）新路比原路少5千米；（3） 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少5千米； （3）设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 题型十三 最短路径的综合应用 73．如图，长方体的长，宽，高，点M在上．且．一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少? 【答案】蚂蚁爬行的最短距离是 【分析】本题考查了勾股定理的应用；计算出三种情况下线段的长度，比较即可得到蚂蚁爬行的最短距离； 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图； ∵长方体的宽为，高为，点B离点C的距离是， ； 要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图： ； ； ， ∴蚂蚁爬行的最短距离是． 74．葛藤是一种“刁钻”的植物，它自己腰杆不硬，为争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路径总是沿最短路线螺旋上升.难道植物也懂数学？ (1)想一想怎样找出最短路径； (2)如图，若树干周长为，葛藤绕一圈升高，则它爬行一周的路程是多少米？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）以为切口把树干侧面展开为矩形，则对角线的长为最短路径； （）由勾股定理即可求解； 本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， 以为切口把树干侧面展开为矩形，则对角线的长为最短路径； （2）解：根据题意，得，， ∴ 答：它爬行一周的路程是． 75．有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物． (1)小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路程最短？请你画出最短路线，并用箭头标注． (2)求小虫爬行的最短路程长（不计缸壁厚度）． 【答案】(1)见解析 (2)小虫爬行的最短路线长为． 【分析】本题考查最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解． （1）作关于的对称点，连接，与交于点，此时最短； （2）为的斜边，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图， 作点关于所在直线的对称点， 连接，与交于点， 则为最短路线； （2）解：因为，， 所以． 在中，，，， 所以． 由对称性可知， 所以：． 所以：小虫爬行的最短路线长为． 76．如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． A．     B．     C．     D． (2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (3)现有一个长、宽、高分别为的无盖长方体木箱（如图3，）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计） 【答案】(1)A (2) (3)最短为，方案见解析 【分析】题目主要考查勾股定理及最短距离问题，理解题意，作出相应图形是解题关键． （1）结合图形即可得出结果； （2）根据题意得所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长，即可求解； （3）分三种情况，作出相应图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图只有选项A符合题意， 故选：A； （2）若将金属丝从点B绕四圈到达点A， 则所需金属丝最短长度是以底面周长4倍及高为直角三角形的斜边长为：， ∴最短长度是； （3）①把展开，如图此时总路程为， ②把展开，如图 此时的总路程为； ③如图所示，把展开， 此时的总路程为， 由于，所以第三种方案路程更短，最短路程为． 77．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以互相转化．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)（思想应用）已知，均为正实数，且，求的最小值．通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此直接写出的最小值为______； (2)（类比应用）已知为正实数，根据上述的方法，求代数式的最小值． 【答案】(1)①、；②5 (2)13 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，两点之间线段最短的知识， (1)利用勾股定理得到，由题图知，，利用三角形三边的关系得(当且仅当、、共线时取等号),作交的延长线于,如图，易得四边形为矩形，利用勾股定理计算出,从而得到即的最小值； (2)如图，设,则,利用勾股定理得到，根据三角形三边的关系得到(当且仅当、、共线时取等号),作交的延长线于,如图，易得四边形为矩形，利用勾股定理计算出，即可得到的最小值； 掌握勾股定理的运算，最短路径的运用，合理作出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，, 在中，， 由题图知，, ∴(当且仅当、、共线时取等号), 作交的延长线于,如图, ∵，， ∴四边形为矩形， , 在中，, 的最小值为5, 即的最小值为5； 故答案为：，5； （2）解：如图，，，，设，则， 在中，, 在中，, ∴, 由知，(当且仅当、、共线时取等号),作交的延长线于,如图，可得四边形为矩形， ,, 在中，, 的最小值为13, ∴的最小值为13. 78．项目主题：监控器最优布设方式 项目背景：台风袭来，汛期将至，某地水利部门计划新购置一批监控器，监控河岸和水流情况，以预防河流决堤，危害当地居民的生命财产安全． 已知监控器有效监测距离，最大旋转角度；如图所示，村落位于河流南侧，与河流邻接长度；监控布设线距离河流，任意两个监控器布设点之间的距离相等． 项目方案1：如图2所示，从河流南岸与村落边缘点处起，使，，即为监控器监测范围；从点处起，使，，即为监控器监测范围． （1）若按方案1进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？ 项目方案2：为了充分利用监控器的监测范围，设计了如图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时； （2）若按方案2进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？ 项目方案3：如图4所示，此时，，且，，则监控器监测范围的距离为． 反思提升：我认为方案_________是最优化方案，原因是__________． 【答案】（1）该水利部门至少需要布设个监控器；（2）该水利部门至少需要布设个监控器；项目方案3：；反思提升：2；理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）勾股定理求得的长，进而根据河流长度除以的长得出监控器的个数，即可求解； （2）过点作于点，依题意，进而勾股定理求得，设，则，在，中，勾股定理求得，同（1）求得监控器的个数； 项目方案3：根据题意得出是等腰直角三角形，即可求解； 反思提升：结合三个方案，得出监控器布置少的方案，即可求解． 【详解】解：（1）在中， ∴， ∵村落与河流邻接长度；， ∴该水利部门至少需要布设个监控器； 答：该水利部门至少需要布设个监控器； （2）解：如图所示，过点作于点，依题意， 在中， ， ∴， 设，则， 在中，， 在中， ∴ 解得：， ∴， 在中，， ∵监控器有效监测距离， ∴符合题意， ∴ ∵村落与河流邻接长度；， ∴该水利部门至少需要布设个监控器； 答：该水利部门至少需要布设个监控器； 项目方案3： ∵，且， ∴是等腰直角三角形， 如图所示，过点作于点， ∴ 即监控器监测范围的距离为 反思提升：我认为方案二是最优化方案，原因是监控器监测范围的距离最大，则水利部门布设监控器个数少． 题型十四 直角三角形全等的判定 79．如图，是的平分线，，，垂足分别是点，，且，，则的长度是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．利用全等三角形的判定推出，得到，，进而得到，得到，再利用即可求解． 【详解】解：，， ， 是的平分线， ， ，， ， 又， ， ，， 在和中， ， ， ， ． 故选：A． 80．如图，在四边形中，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，则下列结论正确的有（   ） ①；②；③；④平分； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线的性质，全等三角形的判定与性质（和）等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 连接，由、可得，进而可证得，于是可得，故结论①正确；根据已知条件不能推出，故结论②错误；延长到，使，连接，利用可证得，于是可得，，，根据角的和差关系可得，进而可证得，于是可得，故结论③正确，可得，即平分，故结论④正确；综上所述，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 在和中， ， ， ， 故结论①正确； 根据已知条件不能推出， 故结论②错误； 如图，延长到，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，故结论③正确； ，即平分，故结论④正确； 综上所述，正确的结论有，共个， 故选：． 81．如图，在和中，，，，则点，之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据证明，过点A作，根据勾股定理求出，运用等积法求出，由全等三角形的性质可得之间的距离． 【详解】解：在中， ∴； 过点A作于点， 又 ∴； 在和中， ， ∴， ∴之间的距离． 故答案为：． 82．如图，中，，平分交于点D，E为线段上一点，连接，且．若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 83．如图，在中，为的中点，于于，且． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)36 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据全等三角形的性质及等腰三角形的判定求出，根据等腰三角形的性质及三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∵D为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵为的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 84．如图，在中，，平分交于点，于点，若． (1)求证：． (2)已知，，求和的长． (3)当时，判断的周长与线段长度的关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)的周长等于线段长度，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据角平分线的性质定理得到，再根据求证全等； （2）先由勾股定理求得，可证明，设，则，则，可求，设，则，在中，由勾股定理得，即可求解； （3）可设，则，设，则，设，故，而的周长，故的周长等于线段长度． 【详解】（1）证明：∵，平分，， ∴， ∵， ； （2）解：∵， ∴， ∵ ∴， 设，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴； （3）解：的周长等于线段长度，理由如下： 证明：∵，， ∴， ∴设，则， 设，则， 设， ∴， 的周长， ∴的周长等于线段长度． 题型十五 等边三角形的判定和性质综合 85．如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P，则此时点P就是使的值最大的点，连接，根据等腰直角三角形的性质可得到，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质可推出是等边三角形，进而即可得到结论． 【详解】解：如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P，连接， ∴， ∴， ∴点P就是使的值最大的点， 已知为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 86．如图，C为线段上一点(不与点A，E重合)，在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：为等边三角形；，其中正确结论的个数是（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和判定、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．由等边三角形的性质可得，，，从而可根据得到，再证明，再证得是等边三角形，再分别依次判断即可． 【详解】解：和是等边三角形， ，，， ， 即． 在和中， ， ， ，故①正确，符合题意； ， ， 又， ，故⑤正确，符合题意； ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， 和是等边三角形， ， ， ，， 是等边三角形，故④正确，符合题意； 是等边三角形， ， ， ，故②正确，符合题意； 从现有条件，无法得出，故③错误，不符合题意； 综上所述，正确的结论有①②④⑤， 故选：C． 87．如图，中，为角平分线，若，，则的长度为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了等边三角形的判定及等腰三角形的三线合一性质，先由及三角形的内角和，得出，从而为等边三角形，再由等腰三角形的“三线合一”性质，得出，而已知，则可得答案． 【详解】解∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∵为角平分线， ∴， 故答案为：2． 88．如图，已知点、、在同一直线上，和都是等边三角形，，交于点，交于点、交于点，连接． （1）写出一对全等三角形： ； （2）①；②是等边三角形；③，④平分，以上结论正确的是： （填序号）． 【答案】 （或或） ①②④ 【分析】本题考查等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质,角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可证明，，，即可解答； （2）由（1）有，得到，从而求得，根据三角形的内角和定理求得，从而判断①正确；根据，，得到是等边三角形，从而判断②正确；过点C作于点M，作于点N，证明，得到，根据角平分线的判定得到平分，从而判断④正确． 【详解】解：（1）∵和都是等边三角形， ∴，，， ， ∵，， ∴ 在和中 ， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴． ∴ 在和中 ， ∴． 故答案为：（或或） （2）由（1）有， ∴， ∴ ， ∴．故①正确； 由（1）有， ∴， ∵， ∴是等边三角形．故②正确； 过点C作于点M，作于点N， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴平分．故④正确． 无法证明③成立，故③错误． 结论正确的是①②④． 故答案为：①②④ 89．如图，在和中，，，且，与交于点，若． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质； （1）先证明，再证明，可得，再证明，进一步可得结论； （2）由等边三角形的性质可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 90．探究与证明：已知和都是等边三角形． 【模型感知】 （1）如图1，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，当点在的延长线上时，求证：； 【类比探究】 （3）如图3，当点在线段上时，过点作于点．猜想线段，与之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），证明见解析 【分析】（1）由等边三角形的性质证明即可得到结论； （2）由等边三角形的性质证明，结合可得结论； （3）方法一：设与交于点，在上截取，证明，得出，根据等边三角形性质得出，即可证明． 方法二：证明，得出，，证明，得出即可． 【详解】证明：（1）和都是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中，， ， ； （2）和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中，， ， ， ， ； （3）线段，与之间存在的数量关系是：，证明如下： 方法一：设与交于点，在上截取，如图所示： 和都是等边三角形， ，， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 方法二：和均为等边三角形， ，，， ，即， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 题型十六 等腰三角形的性质和判定 91．如图，已知，点在上，与相交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的性质；由三角形的内角和定理得，由全等三角形的性质得，，再由三角形的外角性质，等腰三角形的性质即可求解；掌握三角形的外角性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的性质，能熟练利用三角形的内角和定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 92．如图，在中，，，直角的顶点P是的中点，两边，分别交，于点E，F，过点F作于点H．现给出以下四个结论： ①；②是等腰直角三角形；③；④当时，，上述结论中始终正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，根据等腰直角三角形的性质得出，，，求出，证，推出，，推出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵，，P是中点， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 故①②正确，符合题意； ∵， ∴， ∴， 故③正确，符合题意； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在线段上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确，符合题意； 故选：A． 93．如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在的延长线上，如果，那么的度数为 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】利用轴对称的性质得到，利用全等的性质得到，，，再通过角的等量代换求解即可． 【详解】解：∵关于的对称点恰好落在的延长线上， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在四边形中，，则， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定及性质，四边形的内角和等知识点，熟练运用轴对称的性质是解题的关键． 94．如图，在中，，，点D在边上，将沿直线翻折得到，若，则 ． 【答案】2 【分析】此题考查了折叠的性质、等角对等边等知识，根据折叠的性质和垂直得到，，即可得到，则，即可求出． 【详解】解：∵ ∴， ∵将沿直线翻折得到， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：2 95．如图，在中，，，是边上一点（点与，不重合），连接，过点作，且，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)当是等腰三角形时，请直接写出的度数； 【答案】(1)见解析 (2)的度数为或． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形三角形的判定和性质． （1）先根据得，进而可依据判定和全等； （2）依题意和都是等腰直角三角形，设，根据等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质得，，进而得，，由此得，则，因此当是等腰三角形时，有以下两种情况：①当时，②当时，即可得出答案． 【详解】（1）证明：，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∵是的一个外角， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴当是等腰三角形时，有以下两种情况： ①当时，则， ∴， 解得：， ∴， ∴； ②当时，则， ∴， 解得：， ∴； 综上所述：当是等腰三角形时的度数为或． 96．探究题： (1)问题发现：如图1，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接．填空：①的度数为______（直接写出结论，不用证明）． ②线段、之间的数量关系是______（直接写出结论，不用证明）． (2)拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接．请判断的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由． (3)解决问题：在（2）问的条件下，若，，试求四边形的面积．（用，表示） 【答案】(1)①；② (2)； (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质，可证，再根据全等三角形的性质，可得，最后根据八字模型导角可证；由，可得； （2）根据等腰直角三角形的性质，可证，再根据全等三角形的性质，可得，根据八字模型导角可证；由，可得，再根据等腰三角形三线合一可证，进而可证； （3）根据全等三角形的性质，可得，，，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：①∵和等边三角形， ∴，，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴． 故答案为：； ②∵， ∴． 故答案为：； （2）∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵为等腰中边上的高， ∴， ∴， ∴， 综上所述：，； （3）由（2）可知，，，， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三线合一，三角形面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 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10．如图，在中，和的平分线相交于点F，过F作，交于点D，交于点E．若，，则是 三角形，线段的长为 ． 11．如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的度数． 12．综合与探究 【问题情境】 数学课上，同学们以直角三角形纸片为背景进行探究性活动．如图，在中，，于点D，平分交于点F，交于点E． 【初步分析】 （1）智慧小组的同学发现是等腰三角形，请你证明这一结论． （2）博学小组的同学发现给添加一个条件，可使成为等边三角形．添加的条件可以是_______．（写出一种即可） 【操作探究】 （3）创新小组的同学从图形平移的角度进行了如下探究：将沿射线的方向平移，使点F的对应点恰好落在线段上． ①请在图中画出平移后的； ②判断此时线段与之间的数量关系，并说明理由． 题型三 根据等角对等边证明边相等 13．如图，在中，是斜边上的高，角平分线交于，于，则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C． D． 14．如图，四边形中，，，，，以点A为圆心，以长为半径作弧，与相交于点E，连接．以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线，与相交于点F，则的长为（　）（用含a的代数式表示）． A． B． C． D． 15．如图，在，，D为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接、，交于点，若，则的度数为 ． 16．如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F． 若，，，则的周长是 ． 17．如图，在中，，的平分线交于，为上一点，，连接． (1)求证：； (2)已知，，求长． 18．课本再现：（）如图，是等边三角形，，分别交于点．求证：是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗?” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，①______， ∴②______③______， ∴，（④______） ∴是等腰三角形． 又∵，∴是等边三角形． （）如图，等边三角形的两条角平分线相交于点，延长至点，使得，求证：是等边三角形． 题型四 等腰三角形尺规作图问题 19．下列尺规作图中，一定能得到的是（   ） A． B． C． D． 20．如图（1），锐角中，，要用尺规作图的方法在边上找一点D，使为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（    ）    A．甲、乙、丙都正确 B．甲、丙正确，乙错误 C．甲、乙正确，丙错误 D．只有甲正确 21．如图，，是已知圆上两点，用直尺和圆规求作以AB为一边的圆的内接等腰三角形，（保留作图痕迹），这样的三角形能作______个． 22．如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点，点，点均落在格点上．    （1） ． （2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以为底边的等腰，使该三角形的面积等于的面积，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 23．如图，在中，．小星、小红两人想在上取一点P，连接，使得，其作法如下： 请选择一种作法将图形补全，并判断正误，说明理由． 24．已知等腰直角三角形如图所示放置，根据题目要求补全图形，并保留作图痕迹． ①作点关于线段的对称点点． ②在延长线上取得一点，连接，并以点为直角顶点，线段为直角边作等腰直角三角形． ③连接． (1)找出补全后图中与全等的三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； (2)求证：． 题型五 格点图中画等腰三角形 25．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位． (1)在图①中画出一个以为一边，面积为15的钝角三角形； (2)在图②中画出一个以为腰的等腰三角形． 26．在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点，把顶点都是整点的三角形称为整点三角形．如图，已知整点、，请在所给的网格区域（含边界）内按要求画出整点三角形．    (1)在图中画出以为一条直角边的等腰直角三角形； (2)在图中画出一个，使得的面积等于，且使点在的内部．   27．如图，在的方格纸中，线段的端点均在格点上，请用无刻度直尺按要求画图．    (1)如图1，画出一条线段，使．，且点C在格点上； (2)如图2，画两线段，使是等腰直角三角形，且点C在格点上； (3)如图3，画线段，使它垂直平分线段，且点E，点F都在格点上． 28．如图所示的方格纸中，每一个小正方形的边长都是，网格中有一个格点三角形． (1)以直线为对称轴，在图中直接作出的轴对称图形． (2)在直线右侧，在外部，画出以为腰的一个等腰直角三角形． (3)计算的面积，并通过面积求出的长度． 29．图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的顶点上．    (1)在图1中，画一个，满足以下要求： ①点在小正方形的顶点上； ②与全等； ③； (2)在图2中，在的上方取点，画出以为斜边的，且，顶点E在小正方形的顶点上，并直接写出四边形的面积． 30．如图，用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）．    (1)如图1，过O作，交于D； (2)如图1，过A作，且； (3)如图2，过C作直线轴，在直线l上确定一点M，使最短； (4)如图3，在边上确定一点N，使． 题型六 含30度角的直角三角形 31．如图，中，，，，D为上一动点，垂直平分分别交于E、交于F，则的最大值为（   ） A． B． C． D．2 32．如图，在中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于两点，连接，分别交于点，连接．若，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 33．如图，平分，，，于点，，则的长为 ． 34．如图，是边长为的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段，运动，且它们的速度都为．当点P到达点B时，P，Q两点停止运动．设点P的运动时间为．请用含t的代数式表示 ；当 s时，是直角三角形． 35．如图，中，，是边上一点，过点作，垂足为，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 36．中，，，点是边中点，点是边上一点（不与点、点重合），连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、． (1)如图1，若，点刚好落在边上，，则______， ______； (2)判断、和的数量关系，从图2、图3中任选一种情况进行证明． 题型七 斜边的中线等于斜边的一半 37．在中，，，将按如图所示的方式依次折叠： 有下面四个结论：①平分；②；③；④的周长等于的长．所有正确结论的序号为（   ） A．①③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 38．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接并延长交的延长线于点，连接，且，过点作于点交于点，过点作交的延长线于点，以下三个结论中：（1）；（2）；（3）当时，，则所有正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 39．将两块斜边长等于2的三角尺（与）的斜边完全叠合按图所示摆放，为中点，连接和，那么的而积等于 ． 40．如图，在中：，将绕点顺时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段的最大值 ． 41．如图，在中，，，平分． (1)若，求的长； (2)若为的中点，连接交于点，求证：垂直平分． 42．已知线段，以为斜边作和，连接，分别是线段、的中点，连接、． (1)如图1，和在线段的两侧． ①求证：； ②若，；请求出的度数； (2)如图2，和在线段的同侧，若、，则的度数为______（用含、的代数式表示） 题型八 勾股定理与折叠问题 43．如图，在四边形中，，E是上一点，将沿折叠，B，D两点恰好重合，则的长度为（   ）    A． B． C． D． 44．如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（    ） A． B． C． D． 45．如图，长方形中，，将其沿折叠，点分别落到点与点处，恰好点C在上，且，则线段的长度为 ． 46．如图，在中，，，点分别为边上的点，连接，将沿着翻折，使A点落在边上的处，，则的长度为 ：的长度为 ． 47．在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是． (1)如图①，如果点和顶点重合，求的长； (2)如图②，如果点落在的中点处，求的长． 48．学完了勾股定理相关知识，王老师带领大家研究长方形纸片的折叠问题．大家知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即长方形中，，，，，．   请你运用所学知识，解决下面的问题： (1)如图1，长方形纸片中，，，将纸片折叠，使落在对角线上，折痕为（点E在边上），点B落在点处，求的长度； (2)如图2，有一张长方形纸片，，，F为边上一点，，E为上一点．将纸片折叠，折痕为，使点B恰好落在线段上的点处，点A落在点处．求线段的长度． 题型九 以弦图为背景的计算题 49．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．连接、、、．若正方形的面积为，阴影部分的面积为．则的长度为（   ） A． B． C． D． 50．有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过1次这样的“生长”后，变成了如图1所示的图形．如果照此规律继续“生长”下去，它将变成如图2所示的“枝繁叶茂的勾股树”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有正方形的面积和是（   ）． A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 51．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．在一次数学活动中，小明利用如图1所示的5个连排正方形，分割后拼成如图2所示的一个大正方形，就得到了“赵爽弦图”．若图1中的小正方形边长为1，则图中的大正方形的边长为 ． 52．如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点，若正方形的面积为，，则与的面积差是 ． 53．勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题： (1)如图1，“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为，则小正方形的面积是多少？ (2)同学们在探索过程中发现，当把赵爽弦图里的个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？ 54．综合与实践 长方体中蕴藏着丰富的数学知识，善思小组开展长方体中数学知识的探究．如图①底面为正方形的长方体盒子，，，．该小组把长方体的两侧面，剪下来，沿着和剪开，得到四个全等的直角三角形，拼成如图②所示的“弦图”． 【探究一】 （1）如图②，若每个直角三角形较小锐角为，小正方形的面积为16．求大正方形的面积； 【探究二】 （2）根据图②的“弦图”证明勾股定理（写出推理过程）； 【探究三】 （3）为了使长方体盒子更加美观，现准备在长方体外表面从点A到点G粘贴一条彩色条（宽度忽略不计），设所用彩色条的长度为l，探究l的最小值（用含有a，b的式子表示），该小组探究如下：将长方体盒子侧面，展开成图③所示的平面图形，连接，在中，，即l的最小值为．上述探究结果是否正确？若不正确，画图并求出l的最小值． 题型十 勾股定理的证明方法 55．勾股定理现约有500多种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一，在中国周朝的商定提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，古埃及人用“结绳法”在金字塔等建筑的拐角处作出直角；“普林顿322”的古巴比伦泥板上记载了很多勾股数；公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了勾股定理．下面图例中，不能证明勾股定理的是（    ） A．   B．   C．   D．   56．如图所示，意大利著名画家达▪芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，证明了勾股定理．若设图1中空白部分（两个正方形和两个直角三角形组成）的面积为，经过以下裁剪，翻转，拼出图2，其中空白部分的面积为，嘉琪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 57．课堂上，数学老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出了四种图形，你认为能用来证明勾股定理的图形有 ．（填序号）    58．清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在中，，和为边，按如图所示的方式作正方形，和，与交于点J，与交于点E，与交于点J，与交于点E．若四边形和的面积和为5，四边形和的面积和为12，则的值为 ． 59．勾股定理体现了数与形的完美结合，小明在学习了教材中介绍的拼图证法以后突发灵感，发现新的拼图方法：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点在边上，顶点、重合，连接、.设、交于点．，，，．请你回答以下问题： (1)填空：______°，______（用含字母的代数式来表示）； (2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理． 60．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，图1中的2个全等的直角三角形可以拼成不同的图形，用来证明勾股定理． (1)把两个全等的直角和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，可得．请用a，b，c分别写出梯形，四边形，的面积，再根据这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)若图1中，，图3中方格纸中的小正方形的边长为1，请你用两种不同的方式将图1中两个全等的直角三角形放入图3的两个五边形中，并涂上阴影，则图3（1）中空白部分的面积为________，图3（2）中空白部分的面积为________，从而得到． (3)用（2）中4个全等的直角三角形（，）拼成如图4中的形状，则这个图形外围轮廓（实线）的周长为________． 题型十一 勾股定理的逆定理综合应用 61．如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为（　　）． A．4 B． C．5 D． 62．如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积的面积的面积 63．如图，将绕点A顺时针旋转得到，并使C点的对应点D点落在直线上，连接．若，，，则的长为 ． 64．一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中与都应为直角，工人师傅量的这个零件各边的尺寸如图所示．    （1）这个零件 符合要求吗？（填“是”或“否”） （2）这个四边形的面积为 ． 65．如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离的长为，现要为喷泉铺设供水管道，，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； (2)试判断与的位置关系，并说明． 66．综合与实践 (1)问题初探 如图1，在中，为边上的中线，求的取值范围．请直接写出的取值范围． (2)问题解决 如图2，P为等边三角形内一点，满足，试求的大小． (3)问题拓展 如图3，在正方形中，分别为边上的点，满足，若，求证的面积． 题型十二 勾股定理的应用 67．2024年11月4日，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十八号载人飞行任务取得圆满成功！为此，某校组织了一次以“指尖上的航模•蓝天下的梦想”为主题的航模飞行表演．如图，小烨控制的无人机在距离地面18米高的点D处（米），空中点A处有一只风筝，无人机上的测距仪测得米，点A与点D之间的水平距离米，已知于点E，，请你求出风筝离地面的高度． 68．为了美化城市，洒水车需要在一条长为的重要路段段以50米分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点C位置，洒水车由A向B移动，学校与路段上的两个路口A、B的距离分别为，经测量，发现在及以内的会受到音乐的影响． (1)求点C到路段的距离； (2)判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响． 69．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题： (1)根据题意，可知________（填“”“”“”）； (2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）． 70．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在的正下方物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离，物体到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 71．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 72．【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值． 题型十三 最短路径的综合应用 73．如图，长方体的长，宽，高，点M在上．且．一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少? 74．葛藤是一种“刁钻”的植物，它自己腰杆不硬，为争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路径总是沿最短路线螺旋上升.难道植物也懂数学？ (1)想一想怎样找出最短路径； (2)如图，若树干周长为，葛藤绕一圈升高，则它爬行一周的路程是多少米？ 75．有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物． (1)小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路程最短？请你画出最短路线，并用箭头标注． (2)求小虫爬行的最短路程长（不计缸壁厚度）． 76．如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______． A．     B．     C．     D． (2)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (3)现有一个长、宽、高分别为的无盖长方体木箱（如图3，）．现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．（木板的厚度忽略不计） 77．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以互相转化．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)（思想应用）已知，均为正实数，且，求的最小值．通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示______，用含的代数式表示______； ②据此直接写出的最小值为______； (2)（类比应用）已知为正实数，根据上述的方法，求代数式的最小值． 78．项目主题：监控器最优布设方式 项目背景：台风袭来，汛期将至，某地水利部门计划新购置一批监控器，监控河岸和水流情况，以预防河流决堤，危害当地居民的生命财产安全． 已知监控器有效监测距离，最大旋转角度；如图所示，村落位于河流南侧，与河流邻接长度；监控布设线距离河流，任意两个监控器布设点之间的距离相等． 项目方案1：如图2所示，从河流南岸与村落边缘点处起，使，，即为监控器监测范围；从点处起，使，，即为监控器监测范围． （1）若按方案1进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？ 项目方案2：为了充分利用监控器的监测范围，设计了如图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时； （2）若按方案2进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？ 项目方案3：如图4所示，此时，，且，，则监控器监测范围的距离为． 反思提升：我认为方案_________是最优化方案，原因是__________． 题型十四 直角三角形全等的判定 79．如图，是的平分线，，，垂足分别是点，，且，，则的长度是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 80．如图，在四边形中，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，则下列结论正确的有（   ） ①；②；③；④平分； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 81．如图，在和中，，，，则点，之间的距离为 ． 82．如图，中，，平分交于点D，E为线段上一点，连接，且．若，，则的长为 ． 83．如图，在中，为的中点，于于，且． (1)求证：； (2)若，求的面积． 84．如图，在中，，平分交于点，于点，若． (1)求证：． (2)已知，，求和的长． (3)当时，判断的周长与线段长度的关系，并说明理由． 题型十五 等边三角形的判定和性质综合 85．如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为（    ） A． B． C． D． 86．如图，C为线段上一点(不与点A，E重合)，在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：为等边三角形；，其中正确结论的个数是（） A．2 B．3 C．4 D．5 87．如图，中，为角平分线，若，，则的长度为 ． 88．如图，已知点、、在同一直线上，和都是等边三角形，，交于点，交于点、交于点，连接． （1）写出一对全等三角形： ； （2）①；②是等边三角形；③，④平分，以上结论正确的是： （填序号）． 89．如图，在和中，，，且，与交于点，若． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 90．探究与证明：已知和都是等边三角形． 【模型感知】 （1）如图1，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，当点在的延长线上时，求证：； 【类比探究】 （3）如图3，当点在线段上时，过点作于点．猜想线段，与之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 题型十六 等腰三角形的性质和判定 91．如图，已知，点在上，与相交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 92．如图，在中，，，直角的顶点P是的中点，两边，分别交，于点E，F，过点F作于点H．现给出以下四个结论： ①；②是等腰直角三角形；③；④当时，，上述结论中始终正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 93．如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在的延长线上，如果，那么的度数为 （用含的代数式表示）． 94．如图，在中，，，点D在边上，将沿直线翻折得到，若，则 ． 95．如图，在中，，，是边上一点（点与，不重合），连接，过点作，且，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)当是等腰三角形时，请直接写出的度数； 96．探究题： (1)问题发现：如图1，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接．填空：①的度数为______（直接写出结论，不用证明）． ②线段、之间的数量关系是______（直接写出结论，不用证明）． (2)拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接．请判断的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由． (3)解决问题：在（2）问的条件下，若，，试求四边形的面积．（用，表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$