第十二章 分式和分式方程章末重点题型复习-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（冀教版）

第十二章 分式和分式方程章末重点题型复习 题型一 分式的求值 题型二 分式有（无）意义的条件求值 题型三 分式值的正、负确定字母的取值范围 题型四 分式化简求值 题型五 分式加减乘除混合运算 题型六 分式方程无解问题 题型七 分式方程增根问题 题型八 分式的规律性问题 题型九 分式方程新定义运算 题型十 分式在探究问题中的综合应用 题型十一 分式方程的实际应用 题型一 分式的求值 1．下面是佳佳将分式A做出的正确的变形运算过程：，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．A为整数值时， 【答案】C 【分析】根据分式的性质逐项求解即可． 【详解】解：A、当时，，故选项错误，不符合题意； B、当时，即，无解，故选项错误，不符合题意； C、当时， ∴，故选项正确，符合题意； D、A为整数值时，为整数值， ∴为整数值， ∴或或3或 ∴解得或0或4或，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】题目主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题关键． 2．如图，若x为大于1的正整数，则表示分式的值落在（        ）    A．段①处 B．段②处 C．段③处 D．段④处 【答案】B 【分析】先化简分式，再确定分式值的范围即可． 【详解】解：， ∵x为大于1正整数， ∴x的最小值为2， ∴当时，， ∴， ∴分式的值落在段②处， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的化简，解题关键是能够运用分式的基本性质进行化简并确定分式值的范围． 3．已知：（均不为零），则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的求值，设，可得，，，再代入分式计算即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：设， ∴，，， ∴， 故答案为：． 4．若，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 已知等式整理得到关系式，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：等式整理得：，即， 则． 故答案为：． 5．阅读材料题： 已知：，求分式的值． 解：设，则，，，所以． 参照上述材料解题： (1)已知，求分式的值． (2)已知，其中，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质，设法是分式运算中较为重要的方法，需要熟练掌握． （1）按照例子解题即可； （2）设，，，，三式相加得：，求得，代入计算即可． 【详解】（1）解：设，则，，， ； （2）解：设， ，，， 三式相加得：， ， ， ． 6．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴4即 ∴，∴ 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求x的值． (3)若，，，，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是利用倒数法求解分式的值，灵活的运用倒数法是解本题的关键． （1）由，可得，从而可得答案； （2）由，可得，再进一步可得答案； （3）由条件结合题干信息可得，，再代入，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 代入， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴； 题型二 分式有（无）意义的条件求值 1．若（m为正整数），且、互为相反数，、互为倒数，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据分母不为的原则可知为奇数，即可求得、、的值，分别代入即可求得其值． 【详解】解：根据分母不为的原则可知为奇数，， 、互为相反数，、互为倒数， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式成立的条件，互为相反数、互为负倒数的定义，有理数的乘方运算，代数式求值问题，熟练掌握和运用分式成立的条件，互为相反数、互为负倒数的关系是解决本题的关键． 2．如表描述了分式的部分信息： 的值 … 0 … 的值 … 无意义 … 其中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的性质与不等式的性质，掌握分式的性质，不等式的性质是解题的关键．根据当时，该分式总有意义，当时，分式无意义，可以判定n的大小，当时，该分式的值为负数，可以判定，为异号，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，该分式总有意义，当时，分式无意义， ∴， ∵当时，该分式的值为负数， ∴， ∴，异号， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．若分式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查分式的性质，解题的关键是熟知分式的分母不为零． 根据分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：； 故答案为： 4．已知分式，当时，该分式没有意义；当时，该分式的值为0，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义以及分式值为零的条件； 根据分式没有意义，分母为零；分式值为零，分子为零，分母不为零列式求出，，然后计算即可． 【详解】解：∵当时，该分式没有意义， ∴， ∴， ∵当时，该分式的值为0， ∴，此时， ∴， ∴， 故答案为：． 5．当时，分式的值不存在，则当时，求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件：分母等于0、分式代入求值，掌握知识点并正确计算是解题的关键．根据分式无意义的条件列出关于m的等式，求出m的值，再把代入分式计算即可． 【详解】解：根据题意可知，当时，， ， ， 把代入，得． 6．已知无论x取何实数，分式总有意义，求m的取值范围． 小明对此题刚写了如下的部分过程，便有事离开． 解： (1)请将小明对此题的解题过程补充完整； (2)利用小明的思路，解决下列问题：无论x取何实数，分式都有意义，求m的取值范围． 【答案】(1)补全过程见分析 (2) 【分析】（1）根据分式有意义的条件可知，分式总有意义，就是分母不为零，即只需要即可，根据求解即可得到结论； （2）根据（1）的解题过程即可同理求解得到无论x取何实数，分式都有意义时m的取值范围． 【详解】（1）解： 根据无论x取何实数，分式总有意义， ∴只要当，即可满足题意 ∴ （2）解：由（1）可知 ， 根据无论x取何实数，分式总有意义 ∴只要当，即可满足题意 ∴． 【点睛】本题考查分式有意义条件的综合应用，涉及到完全平方公式及不等式的性质，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． 题型三 分式值的正、负确定字母的取值范围 1．已知分式的值是非负数，那么x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查分式值的正负性问题，也考查了解一元一次不等式．根据的值是非负数得到且，进而能求出x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴且， ∴且． 故选：D． 2由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】将c=−3和0分别代入A中计算求值即可判断出选项A，B的对错；当c<−3和c<0时计算的正负，即可判断出选项C，D的对错． 【详解】解：A选项，当c=−3时，分式无意义，故该选项不符合题意； B选项，当c=0时，，故该选项不符合题意； C选项， ∵c<−3， ∴3+c<0，c<0， ∴3(3+c)<0， ∴， ∴，故该选项符合题意； D选项，当c<0时， ∵3(3+c)的正负无法确定， ∴A与的大小就无法确定，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的求值，分式的加减法，通过作差法比较大小是解题的关键． 3．若分式的值为负数，则x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据题意可得，要使分式的值为负数，即分母且，然后解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴分式的值为负数，即分母且，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的值，熟练掌握分式值的计算方法进行求解是解决本题的关键． 4．已知分式的值为正数，写出一个符合条件的的正整数值： ． 【答案】4（答案不唯一，填写1，2，3，4四个数中的任何一个都对） 【分析】本题主要考查了分式的值，根据除法的符号法则可知分子与分母同号，又分子，故分母， 从而求出的取值范围，熟练掌握分子与分母同号，分式的值大于0，分子与分母异号，分式的值小于0是解决此题的关键． 【详解】解：∵分式的值为正数， ， 又 ， ， ， 故当时，分式的值为正数， ∴的正整数值可为4（答案不唯一，填写1，2，3，4四个数中的任何一个都对）， 故答案为：4（答案不唯一，填写1，2，3，4四个数中的任何一个都对）． 5．我们可以将一些只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如： 参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式：________________； (2)若变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数的值； (3)将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为______________． 【答案】(1) (2)，或 (3) 【分析】本题主要考查了分式的性质： （1）把原式先变形为，再约分化简即可得到答案； （2）把原式先变形为，进一步变形得到，再约分化简即可；根据题意可得的值为整数，则为整数，即可得到，解方程即可得到答案； （3）利用完全平方公式把原式变形为，进一步变形得到，再约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， ∵的值为整数， ∴的值为整数， ∴为整数， ∴， ∴或； （3）解： ， 故答案为：． 6．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 【答案】(1)真分式； (2)，，，，， (3) 【分析】本题考查分式的化简求值、新定义． （1）根据假分式和真分式的定义判断分式是真分式还是假分式；根据题目中的例子，可以将假分式化为带分式； （2）先将分式化为带分式，从而可以求得x取什么整数时，该式的值为整数； （3）先将分式化为带分式得，再由推出，进而得，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式， ， 故答案为：真分式；； （2）解：∵， ∴或或， ∴当或5或4或2或1或时，的值为整数； （3）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴即， 故答案为：． 题型四 分式化简求值 1．若，互为倒数，且，则分式的值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了同分母分式的减法，分式的化简求值，倒数的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据分式的减法进行计算，再化简，结合倒数的定义，最后求得答案． 【详解】，互为倒数， 故选：D． 2．已知时，代数式的值为（    ） A．6 B．－2 C．6或－2 D．0 【答案】B 【分析】本题考查分式化简求值．先化简分式，再把代入计算即可． 【详解】解： ∵ ∴ ∵ ∴ 当时，原式． 故选：B． 3．若，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的化简式求值问题，将原式化为即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴原式， 故答案为：． 4．一项工作，甲独做小时完成，乙独做小时完成，则甲、乙两人合作完成的时间为 小时． 【答案】 【分析】本题主要考查根据题意写代数式并化简，理清题意写出代数式是解答本题的关键． 根据“工作量工作效率工作时间”得甲的工作效率是，乙的工作效率是，则可求得两人合作需要的时间． 【详解】解：甲的工作效率是，乙的工作效率是， 两人合作需要的时间是：． 故答案为： 5．已知． (1)化简． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简方法是解题的关键，先将中带括号的部分进行通分，再把分解成，然后再将化成的形式，进行约分，即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， ． 6．如图，嘉淇的作业本上有这样一道填空题，其中(    )部分记为代数式． 化简：的结果为________ 若该题化简的结果为． (1)求代数式A； (2)从，，，中选择一个合适的数代替，求原式的值． 【答案】(1) (2)时，原式值为 【分析】本题考查了分式的化简求值； （1）根据分式的除法进行计算即可求解； （2）根据分式有意义的条件，将代入到该题化简的结果中，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴           ∴ （2）解：依题意， 将代入到中     ∴原式 题型五 分式加减乘除混合运算 1．分式运算“x”中的符号被墨迹覆盖，则墨迹覆盖住的符号是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减乘除，熟练掌握分式的加减乘除的运算法则是解答的关键．分别添加“”计算，即可得出结论． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C． 2．小明在化简分式时，发现最终结果是整式，则表示的式子可以是（   ） A． B． C．m D． 【答案】A 【分析】设里的式子为，然后代入进行计算，最后根据整式的定义结合选项，确定和的值即可． 【详解】解：设里的式子为 ∴ 令为整式，则有，即 令，则 ∴里的式子为 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的运算和整式的定义，设里的式子为，根据整式的定义结合选项确定和的值是解答本题的关键． 3．已知，，计算 ．若的值为正整数，则满足条件的所有整数a的和为 ． 【答案】 16 【分析】本题考查的是分式的混合运算，分式的值为整数，根据分式的混合运算法则求得，再根据的值为正整数，可得或2或3或6，即可求解．理解分式的值为整数时对分式的分子与分母的要求是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， ∵的值为正整数，为整数 ∴或2或3或6， ∴符合题意的，3，4，7， ∴满足条件的所有整数a的和为， 故答案为：，16． 4．（新考法）试卷上一个正确的式子★，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算．首先根据被除数除以商等于除数可得★，根据除以一个不为的数等于乘以这个数的倒数把除法转化为乘法，再利用乘法分配律可得原式，再根据异分母分式的加法法则进行计算即可． 【详解】解：★， ★ ， ． 故答案为： ． 5．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ＝________（要写出变形过程）； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3) 【分析】对于（1），由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； 对于（2），由原式，再整理可得； 对于（3），根据和谐分式的定义整理为，再讨论得出答案． 【详解】（1）①，是和谐分式； ②不是分式，不是和谐分式； ③，是和谐分式； ④，是和谐分式. 故答案为：①③④． （2）， 故答案为:. （3）（3）原式 ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又∵分式有意义时、1、、， ∴． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解． 6．聪聪计算机课上利用软件编写了相关联的程序和，如图，在程序中△处输入一个正整数则程序自动在□处填补出一个比△处大1的数字并显示计算结果，同时程序会复制程序中相应位置的数值完成程序的计算并显示计算结果．例：△处输入1，则程序完成运算，程序完成运算． 探究  若△处输入数字2，则程序的结果为________，程序的结果为________；若△处输入数字5，则程序的结果为________，程序的结果为________；若△处输入数字100，设程序的结果为，则________（填“>”“<”或“=”）． 应用  请利用“探究”中发现的结论证明． 【答案】，，，，，证明见解析 【分析】本题考查的是运算类规律探究，分式的混合运算； 探究：按照程序的含义列出运算式并计算即可； 应用：当若△处输入数字，则程序的结果为，程序的结果为，再利用规律结合分式的运算法则证明即可． 【详解】解：探究：若△处输入数字2，则程序的结果为， 程序的结果为； 若△处输入数字5，则程序的结果为， 程序的结果为； 若△处输入数字100，设程序的结果为， ∴， ∵， ∴； 应用：当若△处输入数字，则程序的结果为， 程序的结果为； ∴， 同理：， ∴ ； ∴成立． 题型六 分式方程无解问题 1．已知关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可． 【详解】解：去分母得，， 整理得，， 当时，方程无解， 当时，令， 解得， 所以关于x的分式方程无解时，或． 故选：A． 2．已知关于的分式方程无解，求的值． 甲同学的结果：． 乙同学的结果：． 关于甲、乙两位同学计算的结果，下列说法正确的是（    ） A．甲同学的结果正确 B．乙同学的结果正确 C．甲、乙同学的结果合在一起正确 D．甲、乙同学的结果合在一起也不正确 【答案】D 【分析】解分式方程，用含m的代数式表示出x，当分式方程无解时，求出的x的值无意义或为增根，由此可解． 【详解】解：， 去分母，得， 解得， 关于的分式方程无解， 无意义或使为增根， 当无意义时，， 解得， 当为增根时， 或 解得或， 综上可知，或或， 因此甲、乙同学的结果合在一起也不正确， 故选：D． 【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求值，解题的关键是掌握分式方程无解的条件． 3．若关于x的分式方程无解，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查分式方程无解的问题，熟练掌握分式方程无解产生的原因是解题的关键． 将分式方程去分母转化为整式方程，根据原方程无解得，即可求解． 【详解】解： 去分母，得：， 解得：， ∵关于x的分式方程无解， ∴， ∴． 故答案为：3． 4．已知关于x的分式方程． （1）若分式方程的根是，则的值为 ； （2）若分式方程无解，则的值为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了解分式方程； （1）把代入方程计算，即可求出的值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由整式方程无解和分式方程无解求的值即可． 【详解】解：（1）分式方程的根是， ， 解得， 的值为； （2）①去分母得：， 当时，方程无解， ， ②当分式方程有增根， 或， 当时，， 当时，， ， 的值为； ， 若分式方程无解，的值为或． 5．计算题 (1)解不等式组． (2)把下列各式因式分解： ①； ②． (3)先化简，再求值：，其中． (4)当m为何值时，关于x的方程无解． 【答案】(1) (2)①；② (3)，4 (4) 【分析】（1）分别求出每个不等式的解集，继而得到不等式组的解集； （2）①先提公因式，再利用完全平方公式分解；②先利用平方差公式变形，再利用完全平方公式分解； （3）先通分，计算括号内的减法，将分子分母因式分解，将除法转化为乘法，约分得到最简结果，再将代入计算即可； （4）去分母，求出解，再根据方程无解，得到解为增根，即，解之即可． 【详解】（1）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：； （2）① ； ② ； （3） ， 当时，原式； （4）， 去分母得：， 解得：， ∵方程无解， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，因式分解，分式的化简求值，分式方程无解问题，解题的关键是掌握相应的运算法则，注意要细心计算． 6．嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚． (1)他把“◆”猜成5，请你解方程：； (2)老师说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程利用了转化的思想． （1）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）设原题中“◆”是a，分式方程变形后去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到，代入整式方程计算即可求出a的值． 【详解】（1）解：， 去分母得： 解得， 检验：当时，， ∴分式方程的解为； （2）解：设原题中“◆”是a， 方程变形得：， 去分母得：， 由分式方程无解，得到， 把代入整式方程得：． 题型七 分式方程增根问题 1．若关于x的方程产生增根，则m的值是（   ） A． B． C．2 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程有增根的情况下求参数，理解分式方程的增根情况是解题关键．先去分母化简，然后根据题意得出，将其代入方程求解即可． 【详解】解： 方程两边同乘以，得 ∵原方程有增根， ∴，即， 把代入，得， 故选：B． 2．“若关于x的方程无解，求a的值.”尖尖和丹丹的做法如下（如图1和图2）： 尖尖： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得： ， 原方程无解， ， . 丹丹： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 原方程无解，为增根， ，解得， ，解得.     图1    图2 下列说法正确的是（    ） A．尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对 C．两人都错 D．两人的答案合起来才对 【答案】D 【分析】先化简分式方程为，根据题意可得为增根或，分别求出对应的的值即可． 【详解】解：去分母得：， 移项得：， 合并同类项得： ， ∴为增根或， 当，解得，此时，解得； 当，解得； 综上所述：的值为3或4， 故选：D． 【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程无解的时候满足的条件是解题的关键． 3．若关于的分式方程 有增根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了增根的概念，利用增根的意义即可求解，正确理解增根的含义是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∵关于的分式方程有增根， ∴， 解得：， 故答案为：． 4．已知关于x的分式方程． （1）若原分式方程有增根，则 ； （2）若原分式方程的解为非负数，则m的取值范围为 ． 【答案】 且 【分析】（1）先化简，得，化简，将代入，即可求解； （2）先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可． 此题主要考查了解分式方程，增根问题，及不等式的解法；掌握解分式方程要进行检验及分式方程有解且解为非负数的条件是解题关键． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∵原分式方程有增根， ∴， 把代入， 得， ， 故答案为：； （2）由（1）得原分式方程，去分母化简得：， 解得：， 由分式方程有解且解为非负数，且， 即：且 即：且 故答案为：且． 5．已知关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若方程有增根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入方程中，根据解分式方程的步骤，两边同时乘以最简公分母，转化为整式方程，解出整式方程的解后要检验是否是分式方程的解； （2）方程两边同乘最简公分母，转化为整式方程，求解整式方程的解，由于原分式方程有增根，故整式方程的解让最简公分母等于0，代入即可求出k的值． 【详解】（1）当时，原方程为：， 方程两边同乘，得， 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． （2） 方程两边同乘，得， 解得：， ∵方程有增根， ∴当时，，即， 解得：． 6．（1）已知关于x的分式方程． ①当时，求方程的解． ②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值． （2）关于x的方程有整数解，求此时整数m的值． 【答案】（1）①；②a的值为3；（2）m的值为3或0或4 【分析】（1）①把代入分式方程后解方程并检验即可；②解分式方程得到，求出增根，则，即可求得a的值； （2）解方程得到，根据分式方程有整数解得到或且，进一步求解即可得到整数m的值． 【详解】解：（1）①当时，分式方程为：， 去分母得到， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的根； ②， 去分母得到， 解得：， 由题意得：， 解得：， ∴， 解得：， ∴a的值为3； （2）， 去分母得到， 解得， ∵方程有整数解， ∴或且， 解得：或3或0或4且， ∴或0或4， ∴此时整数m的值为3或0或4． 【点睛】此题考查了分式方程的解法、增根问题、整数解问题等知识，熟练掌握分式方程的解法和增根问题是解题的关键． 题型八 分式的规律性问题 1．按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的变化规律，分别根据分子，分母所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键．通过观察可得规律：第n个分式的分子是，第n个分式的分母是，即可得到第n个分式． 【详解】解：第1个分式的分子是， 第2个分式的分子是， 第3个分式的分子是， ； 第n个分式的分子是； 第1个分式的分母是， 第2个分式的分母是， 第3个分式的分母是， ； 第n个分式的分母是， 第n个分式是， 故选：B． 2．若，则我们把称为的“和负倒数”，如：的“和负倒数”为，的“和负倒数”为，若，是的“和负倒数”，是的“和负倒数”，，依次类推，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式运算的规律问题； 分别计算出，，，得出，，，...，以，，为一个循环组依次循环，然后可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ...， ∴，，，...，以，，为一个循环组依次循环， ∵， ∴的值是， 故选：A． 3．一组按规律排列的式子：，则第的个式子是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式规律问题，解题的关键是得到代数式的一般规律；由题意易得奇数项为负数，偶数项为正数，分母符合，分子的指数则符合，进而问题可求解． 【详解】解：由可知： ， ∴第n个式子是； 故答案为：． 4．对于分式，我们把分式叫做P的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的定义，规律问题．根据伴随分式的定义依次求出每个分式的伴随分式，然后发现每4个为一循环，再让，根据结果即可确定． 【详解】解：， ， ， ， ， ，，， 个一循环， ， ， 故答案为：． 5．已知，，，，，， 当为大于的奇数时，； 当为大于的偶数时，； (1)求；（用含的式子表示） (2)_____；（用含的式子表示） (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出的值，每个一循环是解题的关键． （1）根据，即可求解； （2）根据题意可得规律：每个一循环，即可求解； （3）求出，由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 每个一循环， ， ， 故答案为：； （3） ， ． 6．阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务： 材料1：为了研究分式与分母的关系，小明制作了表格，并得到如下数据． … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 0.5 0.25 … 从表格数据观察，当时，随着的值的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的值的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：． 任务： (1)当时，随着的值的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）；当时，随着的值的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）． (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 【答案】(1)减小；减小 (2)3 【分析】（1）根据题中材料所给变化情况即可得到变化情况； （2）按照材料中的恒等变形方式将表示为，令，则，根据题中材料所给变化情况即可得到答案． 【详解】（1）解：由题中材料可知，对于： 当时，随着的值的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的值的增大，的值也随之减小； 中值的变化只与值的变化有关， 当时，随着的值的增大，的值随之减小；当时，随着的值的增大，的值随之减小； 故答案为：减小；减小； （2）解：， 令，则， 当时，即，随着的值的增大，值也增大，则值随之减小，并无限接近0，则的值随之减小，并无限接近0， 的值无限接近3． 【点睛】本题考查规律探究，涉及阅读理解、分式定义、分式的化简等知识，读懂材料中的方法是解决问题的关键． 题型九 分式方程新定义运算 1．定义一种新运算：，例如：，若，则（  ） A．-2 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据新定义运算得到一个分式方程，求解即可. 【详解】根据题意得， ， 则， 经检验，是方程的解， 故选B. 【点睛】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键． 2．对于实数、，定义一种新运算“⊗”为：，这里等式右边是通常的四则运算．若，则x的值为（　　） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用题中的新定义变形已知等式，然后解方程即可． 【详解】根据题中的新定义化简得：，去分母得：12﹣6x=27+9x，解得：x=﹣1，经检验x=﹣1是分式方程的解． 故选B． 【点睛】本题考查了新定义和解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 3．定义一种新运算：，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据题中所给新定义运算可分类进行求解． 【详解】解：由题意可知：当时，则， 解得：， 经检验当时，， ∴是原方程的解； 当时，则， 解得：， 经检验当时，， ∵， ∴不是原方程的解； 故答案为． 【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 4．对于任意的实数，，规定新运算：． (1)计算： ； (2)若，则的值为 ． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据新运算的定义列出运算式子，根据分式的加法与除法法则计算即可得； （2）根据新运算的定义列出运算式子，解分式方程即可得． 【详解】（1）解： ， 故答案为：． （2）解： ， ， ， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是所列分式方程的解， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了分式的加减法与除法、解分式方程，熟练掌握分式的运算法则和分式方程的解法是解题关键． 5．定义一种新运算“”，规则如下：，，这里等式右边是实数运算，例如：．求中的值． 【答案】x的值为5． 【分析】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：，即， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 分式方程的解为． 【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 6．新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”（若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”．） ①（   ）； ②（   ）． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①×；②√ (2) (3)或 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义计算即可． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程为：分式方程，解得：， ∵ 故①的答案为：×， 当，时， 分式方程为：分式方程，方程的解为：， ∵， 故②的答案为：√； （2）解：∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， 解得：； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， ∴， 化简得：， 解得：， ∵关于x的方程有整数解， ∴或， 解得：或或1或， ∵， ∴或． 题型十 分式在探究问题中的综合应用 1．探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题： (1)计算：若n为正整数，猜想 ； (2)化简 （x为正整数） (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了非负数的性质、有理数的混合运算、分式的加法，弄清题中的拆项法则是解本题的关键． （1）根据已知等式得到一般性规律，写出即可； （2）利用（1）中得到的规律，变形后，进行计算即可； （3）利用非负数的性质求出与的值，代入原式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）解： （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ 2．如果一个式子由两个或两个以上的分式用“+”连接而成，且任意两个分式的分母位置互换后对式子的值没有影响，则称这类式子为“均衡分式串”，例中交换，的位置可得，两个式子值相同，则是“均衡分式串”． 概念理解：（1）下列3个式子中是“均衡分式串”的是________．（填序号） ①；②；③． 深入探究：（2）“均衡分式串”是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 拓展应用：（3）若，求“均衡分式串”的值． 【答案】（1）①（2）是，0（3）2 【分析】本题考查分式的运算，理解“均衡分式串”的定义，分式的运算法则，是解题的关键： （1）根据“均衡分式串”的定义，进行判断即可； （2）根据分式的加法法则，进行计算即可； （3）根据，得到，代入分式，进行计算即可． 【详解】解：（1），故①是“均衡分式串”， ，故②不是“均衡分式串”， ，故③不是“均衡分式串”， 故答案为：①； （2）是，理由：； （3）∵， ∴， ∴ ． 3．阅读材料：我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：， 当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，； 假分式也可以化为带分式，即整式与真分式和的形式，如： ． (1)思考：分式是______分式（填“真”或“假”）． (2)探究：将假分式化为带分式______． (3)拓展：先化简，并求x取何整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)真 (2) (3)， 【分析】本题考查了分式的混合运算，读懂题目信息，理解真分式，假分式的定义及分式混合运算法则正确计算是解题的关键． （1）根据真假分式的定义判断即可； （2）仿照例题计算即可； （3）先化简，再根据要求确定x的值． 【详解】（1）解：∵分子的次数小于分母的次数， ∴是真分式， 故答案为：真． （2）解：， 故答案为：． （3）解： ∵该式的值为整数，且，0，1， ∴． 4．小普在化简一个分式的时候，书写过程如下：        ①        ②        ③ (1)小普在检查时发现，这道题解错了．现请你指出：小普从第_____步开始出现错误；（填入表示解题步骤的序号①②③即可） (2)小普对这道题进行了探究，发现虽然自己的解题过程出现了错误，但当，时，按照上述错误的化简方法所求得的值与的值相等，他将满足这一情况的数对，称为“巧数对”，小普发现，这样的“巧数对”不止一对，请再写出一对“巧数对”：_____，______． (3)小普与同学一起运用所学的数学知识对“巧数对”进行进一步探究，找到了确定“巧数对”的方法．请写出确定“巧数对”的方法，并说明理由． 【答案】(1)① (2)，2（答案不唯一） (3)当，或时，可以找到“巧数对”． 【分析】本题考查了约分，解决本题的关键是将分式进行化简． （1）根据立方差公式，可以发现小普从第①步开始出现错误； （2）只要符合即可，a、b的值不止一组，比如，； （3）将化简，可得，化简得，即或，即当，或时，可以找到“巧数对”． 【详解】（1）解：因为， 所以小普从第①步开始出现错误． 故答案为：①； （2）解：将，代入可得： ， ， 即， 所以，． 故答案为：，2．（答案不唯一） （3）解：∵， 即， 即， 得， ， 即或， 得或， 即当，或时，可以找到“巧数对”． 5．“探究比例的性质” 【描述定义】如果两个数与的比等于另外两个数与的比，则称这四个数，，，成比例．记作，或．其中与称为比例的外项，与称为比例的内项． 【活动目的】通过具体数的计算到式的计算，让学生体会两者之间的联系；由特殊到一般得出比例的性质的猜想，再进行有关的验证．培养学生的逻辑思维能力和转化能力： 【理论支撑】等式的性质，分式的运算． 【进程跟踪】在小学，学生已学过比例的基本性质，此性质是在具体的数的基础上得出的．提出问题如何进行证明? （1）已知：．求证：． 【证明】， 等式两边同乘得，． （2）由等比式得出等积式，由等积式能得出等比式吗?你能得出几种式子? 除了外还有 ①反比性质：在比例式中，把比的前项和后项交换后的比例式仍然成立．若，则． ②更比性质：在比例式中，更换两个内项和外项，比例式仍然成立．若，则，． （3）除了上述结论还有哪些结论? ③合比性质：已知：．求证：． 【证明】设，则，， ，， ． 请用上面的证明方法证明下面三个结论： ①分比性质：． ②和分比性质：． ③等比性质：若， 则． 实践应用 已知，则___________． 【答案】（3）见解析；【实践应用】 【分析】根据等式的性质及材料提供的方法即可． 【详解】（3）④设，则，， ，， ． ⑤设，则，， ，，． （6）设， 则，，…，， ， ． 【实践应用】解：， 设， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等式的性质，分式的运算，熟练运用等式的性质是本题的关键． 6．小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为． 利用此净水装置，小明进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． (1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为_______； (2)小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案 编号 第一次过滤 用净水材料的单位量 第一次过滤后 水中杂质含量 第二次过滤 用净水材料的单位量 第二次过滤后 水中杂质含量 A 6a B 5a a C 4a 2a ①请将表格中方案C的数据填写完整； ②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？ (3)当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为________________（用含a的式子表示）． 【答案】(1) (2)①，②方案C (3) 【分析】本题主要考查了分式的应用，涉及分式的混合运算， （1）根据水中的杂质含量为计算即可； （2）①根据（1）中的方法，列式即可作答；②利用分式的简化运算比较两个分数的大小即可作答； （3）设第一次使用x单位的净水材料，则第二次使用个单位，即第一次净水后，杂质含量为：，第二次净水后，杂质含量为：，即有，问题随之得解． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）① 根据题意：第一次过滤后水中杂质含量为：， 第二次过滤后水中杂质含量为：， 故答案为：，； ② 解：=． ∵， ∴，． ∴． ∴． 同理，可得． ∴． ∴方案C的最终过滤效果最好． （3）设第一次使用x单位的净水材料，则第二次使用个单位， ∴第一次净水后，杂质含量为：， ∴第二次净水后，杂质含量为：， ∵ ， ∵， ∴， 当，即时，有最大值为， ∴此时分数有最小值， 即第一次使用单位的净水材料，第二次使用个单位时，两次过滤后水中的杂质含量最少， 故答案为：． 题型十一 分式方程的实际应用 1．某某电力公司有，两种型号的高压线智能巡检机器人，型机器人比型机器人每小时多巡检，型机器人巡检所用时间与型机器人巡检所用时间相等，型机器人每小时巡检线路多少千米？ 【答案】型机器人每小时巡检线路． 【分析】本题考查了分式方程的应用，设型机器人每小时巡检线路，则B型机器人每小时巡检线路，根据型机器人巡检所用时间与型机器人巡检所用时间相等，列出分式方程，解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设型机器人每小时巡检线路，则B型机器人每小时巡检线路， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：型机器人每小时巡检线路． 2．师大附中团委组织八年级部分同学到长沙县“慢天使”之家给脑瘫儿童送新春慰问．在准备礼品时发现，购买一件甲礼品的费用是购买乙礼品的1.5倍，并且花费600元购买甲礼品比花费600元购买乙礼品的数量少4件． (1)求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？ (2)学校准备购买30件礼品送给“慢天使”们，正逢商店新年促销，甲礼品打八折，乙礼品打九折，要求购买礼品的总费用不超过1500元，那么最多购买多少件甲礼品？ 【答案】(1)甲礼品的单价为75元，乙礼品的单价为50元 (2)最多购买10件甲礼品 【分析】本题考查了分式方程的实际应用和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设乙礼品的单价为元，则甲礼品的单价为元，分别表示数量，根据费600元购买甲礼品比花费600元购买乙礼品的数量少4件建立方程，求解即可； （2）设购买件甲礼品，则购买件乙礼品，分别表示甲乙礼品折扣后的费用，再根据费用和不超过1500元建立不等式求解． 【详解】（1）解：设乙礼品的单价为元，则甲礼品的单价为元， 由题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴甲礼品的单价为：元， 答：甲礼品的单价为75元，乙礼品的单价为50元； （2）解：设购买件甲礼品，则购买件乙礼品， 由题意得，， 解得：， 答：最多购买10件甲礼品． 3．小明和同学相约到离家2400米的电影院看电影，到电影院后，发现电影票忘带了，此时离电影开始还有25分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回电影院，已知小明骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍． (1)求小明跑步的平均速度； (2)如果小明在家取票和寻找“共享单车”共用了6分钟，直接写出他能否在电影开始前赶到电影院？ 【答案】(1)小明跑步的平均速度为200米／分钟 (2)小明不能在电影开始前赶到电影院 【分析】本题考查了分式方程的应用，这样的问题中，一般有两个等量关系，一个等量关系用来确定题中的两个未知数之间的关系，一个等量关系用来列方程求解．注意解分式方程的应用题一定要检验求得的解是否是原分式方程的解且是否符合题意． （1）设小明跑步的平均速度为米／分钟，用含的式子表示骑车的时间和跑步的时间，根据骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟列方程求解即可； （2）计算出骑车的时间，跑步的时间及找票的时间的和，与25分钟作比较即可解答． 【详解】（1）解：设小明跑步的平均速度为米／分钟，则骑车的平均速度为米／分钟， 依题意得， 解得：， 经检验，是原方程的根， 答：小明跑步的平均速度为200米／分钟． （2）解：跑步的时间：分钟， 骑车的时间：分钟， ， ∴小明不能在电影开始前赶到电影院． 4．荷花文化节前夕，某市对观光路工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，甲、乙施工一天的工程费用分别为万元和万元，市政局根据甲乙两队的投标书测算，应有三种施工方案： ①甲队单独做这项工程刚好如期完成． ②乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天． ③若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．求： (1)甲乙单独完成这项工程各需多少天？ (2)在确保如期完成的情况下，你认为哪种方案最节省工程款，通过计算说明理由． 【答案】(1)甲队单独完成需要20天，，乙队单独完成需要25天； (2)方案③最省钱 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，有理数乘法的实际应用： （1）设工程期为x天，则甲队单独完成用x天，乙队单独完成用天，把工作总量看做单位1，根据甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成列出方程求解即可； （2）根据（1）所求分别求出对应方案的费用，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：设工程期为x天，则甲队单独完成用x天，乙队单独完成用天， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲队单独完成需要20天，乙队单独完成需要25天； （2）解：方案①的费用为万元， 方案②的费用为万元，但是此种方案耽误工期，不符合题意； 方案③的费用为万元， ∵， ∴方案③最省钱． 5．山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%． (1)今年A型车每辆售价多少元？ (2)该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，要使这批车获利不少于33000元，A型车至多进多少辆？A，B两种型号车的进货和销售价格如表： A型车 B型车 进货价格（元） 1100 1400 销售价格（元） 今年的销售价格 2000 【答案】(1)1600 (2)30 【分析】本题考查一次函数的应用，列分式方程解应用题，读懂题目，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键． （1）设今年A款车的每辆售价x元，则去年每辆售价为元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可； （2）设今年新进型车辆，则B型车辆，获利不少于33000元，由条件表示出33000与之间的关系式，进而得出答案． 【详解】（1）解：设今年A型车每辆售价x元，则去年每辆售价元，由题意得： ， 解得， 经检验符合题意且是所列方程的根． 答：今年A型车每辆售价为1600元． （2）解：设购进型车辆，则购进型车辆，依题意可得 ， 解得． 型车至多购进30辆． 6．“”即“城市漫步”是当代年轻人中流行的一种城市微旅游方式．嘉嘉和淇淇环湖进行城市漫步，欣赏沿途的风光，环湖公路全长，两人从同一地点同时向相反方向出发，相遇时嘉嘉运动手环显示走过的路程为，速度比淇淇运动手环显示的速度快．设嘉嘉的速度为，根据以上信息完成下列问题： 嘉嘉 淇淇 路程 6 ______________ 速度 x ______________ (1)补全表格信息． (2)求嘉嘉的速度． 【答案】(1)4， (2) 【分析】考查了代数式和分式方程在实际问题中的应用，准确通过代数式来表示问题中的数量关系，并列出方程是解题的关键； （1）根据公路全长和两人出发的方向，即可得出琪琪走过的路程，根据嘉嘉速度比淇淇运动手环显示的速度快，即可表示出淇淇运动的速度； （2）根据题意，找出等量关系，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：环湖公路全长，两人从同一地点同时向相反方向出发，相遇时嘉嘉运动手环显示走过的路程为， ∴淇淇走过的路程为， ∵嘉嘉速度比淇淇运动手环显示的速度快，设嘉嘉的速度为， ∴淇淇运动手环显示的速度为， 补全表格如下： 嘉嘉 淇淇 路程 6 4 速度 x 故答案为：4，； （2）由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解． 答：嘉嘉的速度为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 分式和分式方程章末重点题型复习 题型一 分式的求值 题型二 分式有（无）意义的条件求值 题型三 分式值的正、负确定字母的取值范围 题型四 分式化简求值 题型五 分式加减乘除混合运算 题型六 分式方程无解问题 题型七 分式方程增根问题 题型八 分式的规律性问题 题型九 分式方程新定义运算 题型十 分式在探究问题中的综合应用 题型十一 分式方程的实际应用 题型一 分式的求值 1．下面是佳佳将分式A做出的正确的变形运算过程：，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．A为整数值时， 2．如图，若x为大于1的正整数，则表示分式的值落在（        ）    A．段①处 B．段②处 C．段③处 D．段④处 3．已知：（均不为零），则 ． 4．若，则分式的值为 ． 5．阅读材料题： 已知：，求分式的值． 解：设，则，，，所以． 参照上述材料解题： (1)已知，求分式的值． (2)已知，其中，求的值． 6．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴4即 ∴，∴ 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求x的值． (3)若，，，，且，求的值． 题型二 分式有（无）意义的条件求值 1．若（m为正整数），且、互为相反数，、互为倒数，则的值为（   ） A． B． C． D．或 2．如表描述了分式的部分信息： 的值 … 0 … 的值 … 无意义 … 其中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若分式有意义，则实数的取值范围是 ． 4．已知分式，当时，该分式没有意义；当时，该分式的值为0，则 ． 5．当时，分式的值不存在，则当时，求分式的值． 6．已知无论x取何实数，分式总有意义，求m的取值范围． 小明对此题刚写了如下的部分过程，便有事离开． 解： (1)请将小明对此题的解题过程补充完整； (2)利用小明的思路，解决下列问题：无论x取何实数，分式都有意义，求m的取值范围． 题型三 分式值的正、负确定字母的取值范围 1．已知分式的值是非负数，那么x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 2由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 3．若分式的值为负数，则x的取值范围是 ． 4．已知分式的值为正数，写出一个符合条件的的正整数值： ． 5．我们可以将一些只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如： 参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式：________________； (2)若变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数的值； (3)将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为______________． 6．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 题型四 分式化简求值 1．若，互为倒数，且，则分式的值为（    ） A．0 B． C． D．1 2．已知时，代数式的值为（    ） A．6 B．－2 C．6或－2 D．0 3．若，则代数式的值为 ． 4．一项工作，甲独做小时完成，乙独做小时完成，则甲、乙两人合作完成的时间为 小时． 5．已知． (1)化简． (2)若，求的值． 6．如图，嘉淇的作业本上有这样一道填空题，其中(    )部分记为代数式． 化简：的结果为________ 若该题化简的结果为． (1)求代数式A； (2)从，，，中选择一个合适的数代替，求原式的值．     题型五 分式加减乘除混合运算 1．分式运算“x”中的符号被墨迹覆盖，则墨迹覆盖住的符号是（    ） A． B． C． D． 2．小明在化简分式时，发现最终结果是整式，则表示的式子可以是（   ） A． B． C．m D． 3．已知，，计算 ．若的值为正整数，则满足条件的所有整数a的和为 ． 4．（新考法）试卷上一个正确的式子★，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为 ． 5．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ＝________（要写出变形过程）； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 6．聪聪计算机课上利用软件编写了相关联的程序和，如图，在程序中△处输入一个正整数则程序自动在□处填补出一个比△处大1的数字并显示计算结果，同时程序会复制程序中相应位置的数值完成程序的计算并显示计算结果．例：△处输入1，则程序完成运算，程序完成运算． 探究  若△处输入数字2，则程序的结果为________，程序的结果为________；若△处输入数字5，则程序的结果为________，程序的结果为________；若△处输入数字100，设程序的结果为，则________（填“>”“<”或“=”）． 应用  请利用“探究”中发现的结论证明． 题型六 分式方程无解问题 1．已知关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 2．已知关于的分式方程无解，求的值． 甲同学的结果：． 乙同学的结果：． 关于甲、乙两位同学计算的结果，下列说法正确的是（    ） A．甲同学的结果正确 B．乙同学的结果正确 C．甲、乙同学的结果合在一起正确 D．甲、乙同学的结果合在一起也不正确 3．若关于x的分式方程无解，则m的值为 ． 4．已知关于x的分式方程． （1）若分式方程的根是，则的值为 ； （2）若分式方程无解，则的值为 ． 5．计算题 (1)解不等式组． (2)把下列各式因式分解： ①； ②． (3)先化简，再求值：，其中． (4)当m为何值时，关于x的方程无解． 6．嘉淇准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚． (1)他把“◆”猜成5，请你解方程：； (2)老师说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？ 题型七 分式方程增根问题 1．若关于x的方程产生增根，则m的值是（   ） A． B． C．2 D．0 2．“若关于x的方程无解，求a的值.”尖尖和丹丹的做法如下（如图1和图2）： 尖尖： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得： ， 原方程无解， ， . 丹丹： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 原方程无解，为增根， ，解得， ，解得.     图1    图2 下列说法正确的是（    ） A．尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对 C．两人都错 D．两人的答案合起来才对 3．若关于的分式方程 有增根，则的值为 ． 4．已知关于x的分式方程． （1）若原分式方程有增根，则 ； （2）若原分式方程的解为非负数，则m的取值范围为 ． 5．已知关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若方程有增根，求的值． 6．（1）已知关于x的分式方程． ①当时，求方程的解． ②若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值． （2）关于x的方程有整数解，求此时整数m的值． 题型八 分式的规律性问题 1．按一定规律排列的分式：，…．第n个分式是（    ） A． B． C． D． 2．若，则我们把称为的“和负倒数”，如：的“和负倒数”为，的“和负倒数”为，若，是的“和负倒数”，是的“和负倒数”，，依次类推，的值是（   ） A． B． C． D． 3．一组按规律排列的式子：，则第的个式子是 ． 4．对于分式，我们把分式叫做P的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于 ． 5．已知，，，，，， 当为大于的奇数时，； 当为大于的偶数时，； (1)求；（用含的式子表示） (2)_____；（用含的式子表示） (3)计算． 6．阅读与思考 阅读下列材料，完成后面任务： 材料1：为了研究分式与分母的关系，小明制作了表格，并得到如下数据． … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 0.5 0.25 … 从表格数据观察，当时，随着的值的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的值的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：． 任务： (1)当时，随着的值的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）；当时，随着的值的增大，的值随之______（填“增大”或“减小”）． (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 题型九 分式方程新定义运算 1．定义一种新运算：，例如：，若，则（  ） A．-2 B． C．2 D． 2．对于实数、，定义一种新运算“⊗”为：，这里等式右边是通常的四则运算．若，则x的值为（　　） A．-2 B．-1 C．1 D．2 3．定义一种新运算：，若，则的值为 ． 4．对于任意的实数，，规定新运算：． (1)计算： ； (2)若，则的值为 ． 5．定义一种新运算“”，规则如下：，，这里等式右边是实数运算，例如：．求中的值． 6．新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”（若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”．） ①（   ）； ②（   ）． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 题型十 分式在探究问题中的综合应用 1．探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题： (1)计算：若n为正整数，猜想 ； (2)化简 （x为正整数） (3)若，求的值． 2．如果一个式子由两个或两个以上的分式用“+”连接而成，且任意两个分式的分母位置互换后对式子的值没有影响，则称这类式子为“均衡分式串”，例中交换，的位置可得，两个式子值相同，则是“均衡分式串”． 概念理解：（1）下列3个式子中是“均衡分式串”的是________．（填序号） ①；②；③． 深入探究：（2）“均衡分式串”是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 拓展应用：（3）若，求“均衡分式串”的值． 3．阅读材料：我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：， 当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，； 假分式也可以化为带分式，即整式与真分式和的形式，如： ． (1)思考：分式是______分式（填“真”或“假”）． (2)探究：将假分式化为带分式______． (3)拓展：先化简，并求x取何整数时，该式的值为整数． 4．小普在化简一个分式的时候，书写过程如下：        ①        ②        ③ (1)小普在检查时发现，这道题解错了．现请你指出：小普从第_____步开始出现错误；（填入表示解题步骤的序号①②③即可） (2)小普对这道题进行了探究，发现虽然自己的解题过程出现了错误，但当，时，按照上述错误的化简方法所求得的值与的值相等，他将满足这一情况的数对，称为“巧数对”，小普发现，这样的“巧数对”不止一对，请再写出一对“巧数对”：_____，______． (3)小普与同学一起运用所学的数学知识对“巧数对”进行进一步探究，找到了确定“巧数对”的方法．请写出确定“巧数对”的方法，并说明理由． 5．“探究比例的性质” 【描述定义】如果两个数与的比等于另外两个数与的比，则称这四个数，，，成比例．记作，或．其中与称为比例的外项，与称为比例的内项． 【活动目的】通过具体数的计算到式的计算，让学生体会两者之间的联系；由特殊到一般得出比例的性质的猜想，再进行有关的验证．培养学生的逻辑思维能力和转化能力： 【理论支撑】等式的性质，分式的运算． 【进程跟踪】在小学，学生已学过比例的基本性质，此性质是在具体的数的基础上得出的．提出问题如何进行证明? （1）已知：．求证：． 【证明】， 等式两边同乘得，． （2）由等比式得出等积式，由等积式能得出等比式吗?你能得出几种式子? 除了外还有 ①反比性质：在比例式中，把比的前项和后项交换后的比例式仍然成立．若，则． ②更比性质：在比例式中，更换两个内项和外项，比例式仍然成立．若，则，． （3）除了上述结论还有哪些结论? ③合比性质：已知：．求证：． 【证明】设，则，， ，， ． 请用上面的证明方法证明下面三个结论： ①分比性质：． ②和分比性质：． ③等比性质：若， 则． 实践应用 已知，则___________． 6．小明设计了一个净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为． 利用此净水装置，小明进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． (1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为_______； (2)小明共准备了6a单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案A是将6a单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案B和方案C均为将6a单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案 编号 第一次过滤 用净水材料的单位量 第一次过滤后 水中杂质含量 第二次过滤 用净水材料的单位量 第二次过滤后 水中杂质含量 A 6a B 5a a C 4a 2a ①请将表格中方案C的数据填写完整； ②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？ (3)当净水材料总量为6a单位量不变时，为了使两次过滤后水中的杂质含量最少，小明应将第一次净水材料用量定为________________（用含a的式子表示）． 题型十一 分式方程的实际应用 1．某某电力公司有，两种型号的高压线智能巡检机器人，型机器人比型机器人每小时多巡检，型机器人巡检所用时间与型机器人巡检所用时间相等，型机器人每小时巡检线路多少千米？ 2．师大附中团委组织八年级部分同学到长沙县“慢天使”之家给脑瘫儿童送新春慰问．在准备礼品时发现，购买一件甲礼品的费用是购买乙礼品的1.5倍，并且花费600元购买甲礼品比花费600元购买乙礼品的数量少4件． (1)求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？ (2)学校准备购买30件礼品送给“慢天使”们，正逢商店新年促销，甲礼品打八折，乙礼品打九折，要求购买礼品的总费用不超过1500元，那么最多购买多少件甲礼品？ 3．小明和同学相约到离家2400米的电影院看电影，到电影院后，发现电影票忘带了，此时离电影开始还有25分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回电影院，已知小明骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍． (1)求小明跑步的平均速度； (2)如果小明在家取票和寻找“共享单车”共用了6分钟，直接写出他能否在电影开始前赶到电影院？ 4．荷花文化节前夕，某市对观光路工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，甲、乙施工一天的工程费用分别为万元和万元，市政局根据甲乙两队的投标书测算，应有三种施工方案： ①甲队单独做这项工程刚好如期完成． ②乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天． ③若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．求： (1)甲乙单独完成这项工程各需多少天？ (2)在确保如期完成的情况下，你认为哪种方案最节省工程款，通过计算说明理由． 5．山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%． (1)今年A型车每辆售价多少元？ (2)该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，要使这批车获利不少于33000元，A型车至多进多少辆？A，B两种型号车的进货和销售价格如表： A型车 B型车 进货价格（元） 1100 1400 销售价格（元） 今年的销售价格 2000 6．“”即“城市漫步”是当代年轻人中流行的一种城市微旅游方式．嘉嘉和淇淇环湖进行城市漫步，欣赏沿途的风光，环湖公路全长，两人从同一地点同时向相反方向出发，相遇时嘉嘉运动手环显示走过的路程为，速度比淇淇运动手环显示的速度快．设嘉嘉的速度为，根据以上信息完成下列问题： 嘉嘉 淇淇 路程 6 ______________ 速度 x ______________ (1)补全表格信息． (2)求嘉嘉的速度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$