第十二章 三角形章末重点题型复习-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北京版）

第十二章 三角形章末重点题型复习 题型一 根据三角形中线求长度、面积 题型二 与三角形的高有关的计算问题 题型三 用SSS证明三角形全等（SSS） 题型四 用SAS证明三角形全等（SAS） 题型五 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 题型六 用HL证全等（HL） 题型七 线段垂直平分线的性质与判定 题型八 等边三角形的判定和性质 题型九 等腰三角形的性质和判定 题型十 含30度角的直角三角形 题型十一 角平分线性质的实际应用 题型十二 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型十三 折叠问题 题型十四 三角形尺规作图综合应用 题型十五 勾股定理的证明方法 题型十六 勾股定理的逆定理综合应用 题型十七 勾股定理的应用 题型十八 勾股定理的求最短路径 题型十九 三角形三边关系的应用 题型二十 三角形内角和定理的应用 题型二十一 全等三角的辅助线问题 题型二十二 全等三角形判定综合问题 题型一 根据三角形中线求长度、面积 1．如图所示，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（   ）    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．先根据三角形的中线可得，再根据三角形的周长公式求解即可得． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴与的周长之差为 ， 故选：C． 2．如图，在中，已知点，，分别是边，，上的中点，且 ，则的面积是（ ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握三角形的中线的性质是解题关键．先根据三角形的中线可得，，从而可得，再根据三角形的中线可得，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的中点， ∴，， ∴， ∵是边上的中点， ∴， 故选：C． 3．如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为 ． 【答案】22 【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握中线的定义是解题的关键； 根据中线的定义得到，然后根据的周长可得，然后计算的周长即可. 【详解】解：∵为的中线， ∴， 又∵的周长为，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：22. 4．如图，的三条中线，，交于点．若，，则图中阴影部分的面积和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的中线是连接三角形的一个顶点和这个点对边中点的线段，三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，解决本题的关键是根据高相等的两个三角形的面积比等于它们的底边的比．根据是的中线可得，根据可得，根据点、分别是、的中点可得，从而可得． 【详解】解：是的中线， ， ， ，， 又、是的中线， 点、分别是、的中点， ，， ． 故答案为： ． 5．如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知的周长，四边形的周长，，所以，则可解得长． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， ∴与的周长差：； （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 又∵△BDE的周长与四边形ACDE的周长相等，D是BC的中点， ∴，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴． 6．综合与应用 【阅读材料】小桂和小林在学习了三角形之后，两人对“已知三边长的三角形的面积问题”进行了探究．他们首先各自查找了相关问题的资料． 小桂找到的资料如下： 《数书九章》是我国南宋著名数学家秦九韶的著作，书中记载了：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则这个三角形的面积公式为： 小林找到的资料如下： 古希腊数学家海伦在他的《测地术》著作中记载了：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，则三角形的面积为： 根据以上信息，回答以下问题： 【学以致用】（1）已知一个三角形的三边长分别为3，4，5． ①若利用小林提供的资料求这个三角形的面积，请直接写出p和S的值； ②请利用小桂提供的资料求这个三角形的面积． 【拓展应用】（2）在中，，点M是中点，N是边上的一个三等分点，连接，请求的面积． 【答案】（1）①，②；（2）或 【分析】本题考查了三角形的中线求面积，二次根式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）①先求出p，再代入求出面积；②直接代入计算即可； （2）先利用求出的面积，再由三角形的中线等分面积求出，再由三等分点分类利用共高三角形面积比等于底之比求解． 【详解】解（1）①由题意得，， ∴； ② ； （2）如图，连接 ∵在中，， ∴ ∴， ∵点M是中点，N是边上的一个三等分点， ∴，或 ∴或， ∴的面积为或． 题型二 与三角形的高有关的计算问题 7．在中，已知，，是上的高，是上的高，H是和的交点，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的高等知识． 先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，再根据是上的高得出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是上的高， ∴在中，， 在中，， ∴． 故选：D． 8．点E是长方形内任意一点，连接把长方形分成4个三角形，的面积分别记为．已知长方形的面积，则一定可求出的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了与三角形高有关的面积问题．注意掌握数形结合思想的应用．设边的高为，边的高为，边的高为，边的高为，根据长方形的性质可得，，再分别表示出，逐一判断即可． 【详解】解：设边的高为，边的高为，边的高为，边的高为， 长方形中，， ， ∴， 已知长方形的面积，即已知， 不可求，故A选项不符合题意； 不可求，故B选项不符合题意； 不可求，故C选项不符合题意； 可求，故D选项符合题意； 故选：D． 9．如图中，是边的中线，是上的一点，分别是的中点，若的面积等于，则阴影部分的面积是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了中线平分面积，理解并掌握中线的性质，是等高三角形，是等高三角形是解题的关键． 根据是边的中线，的面积等于，可得， 设点到的高为，点到的高为，可得，根据分别是的中点，，，由，代入计算即可求解． 【详解】解：∵是边的中线，的面积等于， ∴， 设点到的高为，点到的高为， ∴， ∴， ∵分别是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：9 ． 10．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图1，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将沿虚线分割后拼接成长方形，如图2．若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的拼剪，长方形的性质，三角形的面积，根据图形的拼剪，求出以及边上的高即可解决问题． 【详解】解： 由题意得：，，， ， 的边上的高为，， ， 故答案为：． 11．在中，是边上的高． (1)如图1，若是边上的中线，，求的长． (2)如图2，若是的角平分线，时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的三线，三角形的面积公式，三角形的内角和定理： （1）三角形的面积求出的长，中线求出的长，线段的和差关系求出的长即可； （2）三角形的内角和定理求出的度数，的度数，角平分线求出的度数，利用角的和差关系即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴． 12．如图，中，为中线，，分别为，的中点，且，于． (1) ； (2)若，求的长； (3)若交的延长线于，求证：． 【答案】(1)20 (2) (3)见解析 【分析】此题是三角形综合题，考查三角形中线的性质和三角形面积公式，关键是根据三角形中线的性质解答． （1）根据三角形中线的性质得出面积即可； （2）根据三角形面积公式得出即可； （3）根据三角形面积公式进行证明解答． 【详解】（1）解：为中线，且， ， 故答案为：20； （2）解：为中线，，分别为，的中点，， ， ， ， ； （3）证明：为中线，，分别为，的中点， ， ，， ， ． 题型三 用SSS证明三角形全等（SSS） 13．雨伞在开合过程中某一时刻截面图如图所示，伞骨，点分别是的中点，是支架，且，在将伞打开的过程中，总有，这里得到两个三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定．证明，又由，，即可证明． 【详解】解：∵，点分别是的中点， ∴， ∵，， ∴， 故选：C 14．下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容： 则回答正确的是（    ） A．☆代表对应边 B．※代表110° C．@代表ASA D．◎代表∠DCA 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定与性质可☆代表对应角，※代表，@代表，◎代表 【详解】解：∵在和中 ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 15．如图，C是的中点，，请添加一个条件 ，使． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解决问题的关键． 要使，已知，，则可以添加一对边，从而利用来判定其全等，或添加一对夹角，从而利用来判定其全等（填一个即可，答案不唯一）． 【详解】解：∵C是的中点， ∴， ∵， ∴添加或， 可分别根据判定（填一个即可，答案不唯一）． 故答案为：或． 16．阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一角等于已知角． 已知： （图 ） 求作：，使得 , 小明解答如图 所示： 老师说：“小明作法正确．” 请回答：小明的作图依据是 ； 【答案】三边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等 【分析】根据作图痕迹知OC=OD=BE=BF，CD=EF，证△OCD≌△BEF得∠FBE=∠AOB，从而得出答案. 【详解】解：连接CD、EF， 由小明的作图知， OC=OD=BE=BF，CD=EF， 在△OCD和△BEF中， ∴△OCD≌△BEF（SSS）， ∴∠FBE=∠AOB， ∴小明的作图依据是三边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等， 故答案为三边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键． 17．如图，已知，，；求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查三角形全等的判定与性质，平行线的判定，掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键．先证得，得出，进一步求得，再证明，得出，可得出结论． 【详解】证明：在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴ 18．如图，在的边上取一点D，连接，在边的延长线上截取，点F在边下方，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，且的面积为1，则四边形的面积为 ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)4 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，平行线的判定与性质，与三角形高相关的计算． （1）根据，得到，结合，利用即可证明； （2）由（1）知，推出，即可证明； （3）根据，且的面积为1，可求出的面积为，再根据（2）知得到点到的距离与点到的距离相等，推出的面积与的面积相等，即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：， ，即， ， ； （2）证明：由（1）知， ， ； （3）解：，且的面积为1， 的面积为， 由（2）知， 点到的距离与点到的距离相等， 的面积与的面积相等， 四边形的面积为． 题型四 用SAS证明三角形全等（SAS） 19．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键； 根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； 【详解】解：如图， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 故选：B． 20．如图1，已知，D为的角平分线上面一点，连接、；如图2，已知，D、E为的角平分线上面两点，连接、、、；如图3，已知，D、E、F为的角平分线上面三点，连接、、、、、；…，依此规律，第9个图形中有全等三角形的对数是（   ） A．40 B．36 C．55 D．45 【答案】D 【分析】本题主要考查图形的变化规律，全等三角形的判定，根据图形的变化规律总结出全等三角形对数的变化规律是解题的关键． 根据条件可得图1中有1对三角形全等；图2中可证出有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，找出图形变化的规律即可得到结果． 【详解】解：如图1所示，∵D为的角平分线上面一点， ∴ 又∵， ∴ ∴图1中有1对三角形全等； 同理可证，图2中，， ∴图2中有3对三角形全等； 以此类推，图3中有6对三角形全等； ∵，，，…， ∴由规律可得第9个图中有对全等三角形． 故选：D． 21．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，CA=CD，CE平分∠ACB，交AB于点E，连接DE，若∠A=100°，∠B=45°，则∠BED= °． 【答案】55 【分析】根据SAS证明△ACE≌△DCE，根据全等三角形的性质可得∠CDE＝∠A＝100°，再根据三角形外角的性质可求∠BED． 【详解】解：∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE＝∠DCE， 在△ACE与△DCE中， ， ∴△ACE≌△DCE（SAS）， ∴∠CDE＝∠A＝100°， ∵∠B＝45°， ∴∠BED＝∠CDE﹣∠B＝100°﹣45°＝55°． 故答案为：55． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，关键是得到∠CDE＝∠A＝100° 22．如图，直线l为线段的垂直平分线，垂足为C，直线l上的两点E，F位于异侧（E，F两点不与点C重合）．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 ． 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定直接写出条件即可 【详解】证明：添加：，理由如下： ∵直线l为线段的垂直平分线 ∴AC=CB,∠ACE=∠BCF 又 ∴（SAS） 故答案为： 【点睛】本题考查全等三角形的判定，线段的垂直平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定是关键 23．如图，，，三点在同一直线上，，，． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据平行线的性质得到，由即可得证．解题的关键是掌握：两组对应边相等且夹角相等的两个三角形全等． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 24．如图，在长方形中，，点从点出发，以的速度沿向点运动(到点停止运动)，设点的运动时间为秒： (1)___________．（用含有的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的值为或 【分析】本题考查的全等三角形的判定和性质； （1）根据题意求出，列出代数式即可； （2）根据全等三角形的判定定理解答； （3）分和两种情况，根据全等三角形的性质解答． 【详解】（1）解：（1）点的速度是， 后， ， 故答案为：； （2）当时，， 当时，， 在和中， ， ； （3）， 当，时，， ，, 解得，，， 当，时，， 此时，点为的中点，点与点重合， ，， 解得，， 综上所述，当或时，与全等． 题型五 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 25．如图，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（    ） A．50 B．62 C．65 D．68 【答案】A 【分析】由，，，可以得到，而，由此可以证明，所以，；同理证得，，，故，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积． 【详解】∵且，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， 同理证得，，， 故， 故． 故选：A． 【点睛】本题考查的全等三角形的判定的相关知识点，作辅助线是本题的关键． 26．如图，抗日战争期间，为了炸毁敌人的碉堡，需要测出我军阵地与敌人碉堡的距离．我军战士想到一个办法，他先面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E上；最后，他用步测的办法量出自己与E点的距离，从而推算出我军阵地与敌人碉堡的距离，这里判定的理由可以是（        ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：∵士兵的视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B，然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E上， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴判定的理由是． 故选C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的应用，分析题意找到相等的角和边判定三角形的全等是解题的关键． 27．如图，在平行四边形中，平分交于点，过点作的垂线交于点，若，，则 ． 【答案】4 【分析】先过点E作EG//AB，根据平行四边形的性质、角平线线的性质证明出△ABE≌△AGE，得到BA=BE=GA=GE，再利用直角的性质，通过等量代换得到，最后得出结论． 【详解】解：如图所示，过点E作EG//AB， ∵四边形是平行四边形， ∴AB//DC，AD//BC， ∴∠BAE=∠AEG，∠GAE=∠BEA， ∵平分 ∴∠BAE=∠GAE， ∴∠BAE=∠AEG=∠GAE=∠BEA， ∴BA=BE，GA=GE ∵AE=AE， ∴△ABE≌△AGE（ASA） ∴BA=BE=GA=GE， ∵AE⊥EF， ∴∠AEG+∠GEF=90°，∠AEB+∠FEC=90°， ∵∠AEG=∠BEA， ∴∠GEF=∠FEC， ∵GE//DC, ∴∠GEF=∠EFC, ∴∠FEC=∠EFC, ∴, ∴AB=BE=5-1=4， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、垂直的性质，解决本题的关键是作出辅助线，利用平行的性质进行等量代换． 28．如图，两个半径相等的直角扇形的圆心C、E分别在对方的圆弧上，其中点C是的中点，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H．若直角扇形的半径为2cm，则图中阴影部分的面积等于 cm2． 【答案】/ 【分析】作CM⊥AE于M，CN⊥BE于N，证明△GCM≌△HCN，根据扇形面积公式计算． 【详解】解：作CM⊥AE于M，CN⊥BE于N， ∵点C是的中点， ∴CM＝CN＝， ∵∠MCN＝90°，∠FCD＝90°， ∴∠GCM＝∠HCN， 在△GCM和△HCN中， ， ∴△GCM≌△HCN， ∴阴影部分的面积＝2×＝2π−4（cm2）， 故答案为：2π−4． 【点睛】本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 29．如图，点E，C，D，A在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、平行线的性质等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理是解答本题的关键． 由可得、，再结合可得，然后根据即可证明结论． 【详解】证明：， ，， ． ， 在和中， ， ． 30．【探究与证明】 【问题呈现】如图①所示，已知在中，，，是的中线，过点作，垂足为，且交于点． 【问题提出】（1）小虎通过度量发现，请你帮他说明理由； 【尝试探究】（2）如图②所示，小明在图中添加了一条线段，且平分交于点，即可得，该结论正确吗？请说明理由； 【答案】（1）见解析；（2）正确，理由见解析 【分析】本题考查同角的余角相等，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定，角平分线的定义．掌握等腰直角三角形的性质和三角形全等的判定定理是解题关键． （1）结合题意，根据同角的余角相等证明即可； （2）由等腰直角三角形的性质，角平分线的定义可得出，再结合题意，利用证明即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∴； （2）正确，理由如下， ∵，， ∴． ∵平分， ∴， 又∵，， ∴． 题型六 用HL证全等（HL） 31．如图，OA是∠MON的角平分线，过A作一直线分别与∠MON的两边交于B、C两点，线段BC的垂直平分线交OA于点D，交BC于点P．若∠MON＝54°，则∠BDP＝（　　） A．54° B．63° C．66° D．72° 【答案】B 【分析】过点D作DH⊥OM于H，DG⊥ON于G，可得∠DHO=∠DGO=90°，根据四边形内角和可得∠MON+ ∠HDG =360°-∠DHO-∠DGO=360°-90°-90°=180°，由∠MON＝54°，可求∠HDG =180°-∠MON＝180°-54°=126°，证明Rt△DHB≌Rt△DGC（HL），可得∠HDB=∠GDC，可求∠BDC=∠BDG+∠GDC=∠BDG+∠HDB=∠HDG=126°，根据等腰三角形三线合一性质可得PD平分∠BDC即可． 【详解】解：过点D作DH⊥OM于H，DG⊥ON于G， ∴∠DHO=∠DGO=90°， ∵∠MON+∠DHO+∠HDG+∠DGO=360°， ∴∠MON+ ∠HDG =360°-∠DHO-∠DGO=360°-90°-90°=180°， ∵∠MON＝54°， ∴∠HDG =180°-∠MON＝180°-54°=126°， ∵OA是∠MON的角平分线，DH⊥OM于H，DG⊥ON于G， ∴DH=DG， ∵PD是线段BC的垂直平分线， ∴BD=CD， 在Rt△DHB和Rt△DGC中， ， ∴Rt△DHB≌Rt△DGC（HL）， ∴∠HDB=∠GDC， ∴∠BDC=∠BDG+∠GDC=∠BDG+∠HDB=∠HDG=126°， ∵DB=DC，DP⊥BC， ∴PD平分∠BDC， ∴∠BDP=． 故选择B． 【点睛】本题考查角平分线性质，线段垂直平分线性质，四边形内角和，等腰三角形判定与性质，直角三角形全等判定与性质，掌握角平分线性质，线段垂直平分线性质，四边形内角和，等腰三角形判定与性质，直角三角形全等判定与性质． 32．如图，在和中，，，，，三点在同一直线上，添加下列条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定的方法，即可得到答案． 【详解】解：， A、，满足的条件，能证明，不符合题意； B、，不满足证明三角形全等的条件，符合题意； C、，得到，满足，能证明，不符合题意； D、，得到，满足，能证明，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的几种方法：． 33．如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数为 ． 【答案】225° 【分析】首先判定△ABC≌△AEF，△ABD≌△AEH，可得∠5=∠BCA，∠4=∠BDA，然后可得∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°，∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°，即可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的值． 【详解】解：如图所示： 在△ABC和△AEF中， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴∠5=∠BCA， ∴∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°， 在Rt△ABD和Rt△AEH中， ∴Rt△ABD≌Rt△AEH（HL）， ∴∠4=∠BDA， ∴∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°， ∵∠3=45°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=90°+90°+45°=225°． 故答案为：225°． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的性质：全等三角形对应角相等即可求解． 34．如图，，cm，cm，点P在线段AC上，以每秒2cm的速度从点A出发向C运动，到点C停止运动，点Q在射线AM上运动，且，当点P的运动时间为 秒时，△ABC才能和△PQA全等． 【答案】2或4/4或2 【分析】据全等三角形的判定HL定理分AP=BC和AP=AC解答即可． 【详解】解：设点P的运动时间为t秒， ∵，， ∴当AP=BC=4cm，时，Rt△QPA≌Rt△ABC（HL）， ∴t=4÷2=2秒； 当AP=AC=8cm，时，Rt△PQA≌Rt△ABC（HL）， ∴t=8÷2=4秒， 综上，当点P的运动时间为2或4秒时，△ABC才能和△PQA全等． 故答案为：2或4． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握证明直角三角形全等的HL定理，利用分类讨论思想是解答的关键． 35．如图，在和中，于于与相交于点O．求证：．    【答案】见解析 【分析】由“”可证； 【详解】证明：∵， ∴， 在 和 中， ， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定和性质是本题的关键． 36．【问题提出】 满足两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形是否全等？ 【初步思考】 在和中，，，，然后对是直角、钝角、锐角进行分类． 【深入探究】    (1)当是直角时，如图1，在和中，，，，根据__________，可以知道． (2)当是钝角时，如图2，在和中，，，，求证：． (3)当是锐角时，请你用尺规在图3中作出，满足，，，但和不全等．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用斜边直角边相等来判定直角三角形全等即可； （2）过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H，利用角角边判定即可．； （3）通过边边角画出反例即可． 【详解】（1）解：∵， 在和中，， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H， ∵，且都是钝角，    ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴； （3）解：如图，在和，， 和不全等； ．   【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质，能够熟练运用全等三角形判定的原理是解题关键． 题型七 线段垂直平分线的性质与判定 37．某同学做了一个如图所示的风筝，其中，．则下列结论不一定正确的是（    ）      A． B． C．垂直平分 D．点与点关于直线对称 【答案】C 【分析】先证明，根据全等三角形的性质和线段垂直平分线的判定及性质可依次判断各选项的正确性． 【详解】解：在和中 ∴． ∴， ． 故选项A，B不符合题意． ∵，， ∴为线段的垂直平分线，即垂直平分． ∴点与点关于直线对称． 故选项C符合题意，选项D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质和线段垂直平分线的判定及性质，牢记全等三角形的判定及性质和线段垂直平分线的判定及性质是解题的关键． 38．如图，在四边形中，，P为边的中点，连接．若，，且，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质．延长和相交于点，由，P为边的中点，证明，得到，，推出是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：延长和相交于点， ∵， ∴，， ∵P为边的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即是线段的垂直平分线， ∴， 故选：C． 39．如图，在中，，垂足为D，PQ是BC边的垂直平分线，交BC于点Q，交AC于点P，．若的周长是，，则的长是 ． 【答案】/8厘米 【分析】先根据垂直平分线的性质得到，，，再求出，，即可求出． 【详解】解：∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵PQ是BC边的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的定义和性质，熟知线段垂直平分线的性质和定义，结合题意进行线段的转化是解题关键． 40．如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点P，这两条垂直平分线分别交边与点M、N．的周长为16厘米，连接，若的周长为34厘米，则的长为 ． 【答案】9厘米 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质可得，，，从而可求出厘米，然后根据的周长为厘米，即可求出的长，即可解答． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 是的垂直平分线， ，， ， 的周长为厘米， ， ， ， 的周长为厘米， ， ， ， 故答案为：厘米． 41．如图，已知，点P为的平分线上一点，，，垂足分别为E、F (1)求证∶ (2)若，求证：点P在的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过证明，即可求证； （2）连接、，通过证明，得到，即可求证． 【详解】（1）证明：∵点P为的平分线上一点 ∴ ∵， ∴ 在和中 ∴ ∴ （2）证明：连接、，如下图： 由（1）可得： 又∵， ∴ ∴ ∴点P在的垂直平分线上 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质． 42．（1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连接，这样就把，，集中在中，则中线的取值范围是______． （2）如图2，在中，D是边的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接．试判断与之间的大小关系，并说明理由． （3）如图3，在四边形ABCD中，，，，以C为顶点作，边，分别交，于点E，F，连接．试判断，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查全等三角形的综合应用，涉及三角形全等的判定及性质，三角形三边关系，线段垂直平分线的性质，添加常用辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到点使，再连接，证明，可得，再由三角形三角关系可得； （2）延长至，使，连接，证明，可得，连接，可知是等腰三角形，则，在中，利用三角形的三边关系可求解； （3）延长至使，连接，证明，可推导出，再证明，则，能推导出． 【详解】解：（1）延长到点使，再连接， ，，， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； （2）． 理由：延长至，使，连接， ，，， ， ， ，， ∴是的垂直平分线， ， 在中，，即； （3）延长至使，连接，   ，， ， ，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ． 题型八 等边三角形的判定和性质 43．如图，在中，D是上一点，于点E，的延长线与的延长线交于点F，，试判断的形状，并说明理由． 【答案】等边三角形，见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定、直角三角形的性质，由角的互余关系、等腰三角形的性质以及对顶角相等证出，再由，得出，即可得出结论． 【详解】解：是等边三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ∴是等边三角形． 44．如图，在和中，，，且，与交于点，若． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质； （1）先证明，再证明，可得，再证明，进一步可得结论； （2）由等边三角形的性质可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 45．已知为等边三角形，点从点出发，沿射线运动，速度为，同时，点从出发以与点相同的速度沿方向在射线上运动，连接，与直线相交于点． (1)如图，当点为边的中点，且的边长为时． ①求的长； ②求的长； (2)在点的运动过程中，过点作直线的垂线，垂足为，线段中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)在点的移动过程中，线段的长度保持不变，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定： （1）根据点为边的中点，运动速度相同可求得的长度，过点作交于点，利用等边三角形得到，根据全等三角形即可求出的长； （2）分类讨论即可 【详解】（1）①当点为边的中点，且的边长为时， 点与点的运动速度相同，； ②如图，过点作交于点， 为等边三角形，， ，是等边三角形． 由①知：，．． 又， ； （2）在点的移动过程中，线段的长度保持不变．理由如下：设的边长为． ①当点在线段上时， 如图，过点作交于点， 则为等边三角形． ， 同上（1）法可证：， （定值）； ②当点与点重合时，点恰好与点重合，点恰好为的中点， 同样有； ③当点在的延长线上时，如图2②，过点作交的延长线于点， 同法可得．， 当点在移动的过程中，线段的长度保持不变． 46．如图，已知：和都是等边三角形，点分别是上的点，点是线段延长线上的一点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图1，若，求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，点是线段的中点，连接并延长至使得，交于，连接，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．掌握相关的判定和性质，是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，得到，即可得证； （2）根据等边三角形的性质，得到，根据线段的和差关系，即可得出结论； （3）连接，证明，进而证明，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴； （2）∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵为等边三角形， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 47．【问题呈现】小刚在数学兴趣小组活动中遇到一个几何问题：如图1，，均为等边三角形，与交于点M，与交于点N，与交于点P，连接．探究、、之间的数量关系． 【问题分析】小刚通过截长补短法先构造等边三角形，再利用三角形全等，将线段进行转换，进而解决上述问题（注：截长补短法是把几何题化难为易的一种思路，这种方法常用于证明两条短线段之和等于第三条长线段） 【问题解决】如图2，在上取点F，使得，连接，在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： (1)求证：； (2)求证：； (3)试探究之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)．理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）由全等三角形的性质求得，再利用三角形内角和定理即可得到； （3）在上取点F．使得，连接，证明是等边三角形，再推出，得到，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵，均为等边三角形， ∴， ∴，即． 在和中， ∴； （2）证明：由（1）可知， ∴， 又∵， ∴； （3）解：．理由如下： 在上取点F．使得，连接． 由（2）可知， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 48．综合与实践 【问题初探】如图（1），直线上任取一点，在直线的上方作，且．过点作，，垂足分别为，．则线段，，之间的数量关系为___________； 【问题迁移】如图（2），点在的边上，是内部的一条射线，点是射线上的点，连接分别是的外角，且．则线段之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【问题拓展】如图（3），直线上有依次互不重合的三点，在直线上方作，且满足．点是角平分线上一点，且，连接，．请判断的形状；并说明理由． 【答案】【问题初探】；【问题迁移】，理由见解析；【问题拓展】是等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法及性质是解题的关键． [问题初探]根据垂直的定义可得，运用“角角边”可证，由全等三角形的性质可得，再根据，即可求解； [问题迁移] 根据题意可得，，运用“角角边”可证，得到，根据即可求解； [问题拓展] 根据题意可证，得到，如图所示，连接，可证是等边三角形，再证明，得到，，由此即可求解． 【详解】解：[问题初探] ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； [问题迁移]，理由如下， ∵在中，是外角， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； [问题拓展] 是等边三角形，理由如下， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 题型九 等腰三角形的性质和判定 49．如图，在等腰中，，为边上的动点（不与点，重合），过点作射线交于点，使． (1)判断与的大小关系，并说明理由； (2)当为等腰三角形时，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)，见解析 (2)或 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形的外角的性质，掌握等腰三角形的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质解答； （2）分三种情况，根据三角形外角的性质，三角形内角和定理计算． 【详解】（1）． 理由如下：∵， ． 又， ． （2）∵， ， 当时，， ， ， ，不符合题意； 当时，， ∵， ， 当时，， ． 综上所述，当为等腰三角形时， 或． 50．如图，，点D、点E分别是，的中点． (1)求证：； (2)设、相交于点F，连接，证明：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质； （1）先证明，再证明即可得到结论； （2）如图，连接．证明，由，可得，证明，可得，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵点D、点E分别是、的中点 ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴是等腰三角形． 51．（1）【自主学习】填空：如图1，点是的平分线上一点，点在上，用圆规在上截取，连接BC，可得___________，其理由根据是___________； （2）【理解拓展】：如图2，在中，，平分，试判断和之间的数量关系并写出证明过程． 【答案】（1），；（2），证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）利用“”证明全等即可； （2）在上取点，使得，连接，证明，得到，，由三角形外角的性质和等角对等边的性质，得出，即可得出结论． 【详解】解：（1）点是的平分线上一点， ， ，， ， 故答案为：，； （2）如图，在上取点，使得，连接， 在中，，， ， 平分， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ． 52．请根据要求完成下列试题的解答． (1)如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并证明你的结论． (2)如图2，，，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G．直接写出图中所有的等腰三角形； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2)，，， (3)2 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）由角平分线的定义得出．由平行线的性质得出，证出，则可得出结论； （2）①由等腰三角形的判定可得出结论； ②由（1）可知，，都是等腰三角形，则有，从而，则可得出答案． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴, ∴是等腰三角形； 又，且 ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵即 ∴， 又，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 综上，等腰三角形有4个：，，，； （3）解：由（2）可知，是等腰三角形， ∴， ∴； 由（2）可知，是等腰三角形， ∴． 53．综合与实践 物理情景：从大量实验研究得出结论：光反射时，反射光线，入射光线与法线在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线的两侧，反射角等于入射角．这个结论在物理学中称为光的反射定律，如图所示． 实践探究：如图，点光源发射出的一束光线在平面镜上发生反射，为入射点，反射光线与直线相交于点．若，， (1)_______（填“”，“”或“”） (2)若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，掌握光的反射定律是解答本题的关键． （1）根据入射角等于反射角，得出； （2）过点分别作轴于点，求出的长度，即可得出点坐标． 【详解】（1）解：入射角反射角， ， 故答案为：； （2）解：如图，过点分别作轴于点，作垂直于直线，垂足为点， ， ， ， ，， ， 点的坐标为． 54．数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称为“手拉手模型”． 求证：，请你完善下列过程． 证明：∵， ∴即 在和中， ∴（    ）③ (2)【模型应用】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求：的度数．小颖同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点E，使，最后使问题得到了解决．请你帮她写出解答过程． (3)【拓展延伸】如图，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点向右下方延伸．仍在射线上取点，使，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)，， (2)，过程见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解本题的关键． （1）由全等三角形的判定可得出结论； （2）在上取一点，使，证明，由全等三角形的性质得出，由三角形内角和定理可得出答案； （3）在延长线上取一点，使得，由全等三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）证明：， ，即， 在和中， ， ， 故答案为：，； （2）解：如图，在上取一点，使， ，， ，， ， ， ， ， 又，，， ， ， 设和交于点， ， ； （3）解：， 理由：如图，在延长线上取一点，使得， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 题型十 含30度角的直角三角形 55．如图，中，，，，D为上一动点，垂直平分分别交于E、交于F，则的最大值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的特征，线段垂直平分线的性质，连接，过作交于，由直角三角形的特征得，由线段垂直平分线的性质得，，当取得最小值时，取得最大值，当时，取得最小值，即可求解；直角三角形的特征，线段垂直平分线的性质，能找出取得最大值的条件是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过作交于， ，，， ， 垂直平分， ， ， 当取得最小值时，取得最大值， ， 当时，取得最小值， 此时与重合，如图， ， ， 解得：， 故选：C． 56．如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、三角形边长变化规律等知识．利用等边三角形的性质得到，结合可得，即有，利用同样的方法得到，，利用此规律得到，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的边长：， 同理可得， 的边长：， 的边长：， …， 可归纳得的边长， ∴的边长为． 故选：B． 57．如图，将等边三角形和等腰直角三角形重叠摆放，，点D，E分别在边上，且．若，则的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，先判定是等边三角形，推出，根据是等边三角形，得到，进而求出，由是等腰直角三角形，求出，过点作于，求出，即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， 过点作于， ∴， ∴， 故答案为：． 58．（1）如图，，．点C在射线上，若想通过画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．画图时选取的的长可以为 （精确到） （2）若为锐角，，点C在射线上，点B到射线的距离为d，，若的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是 ． 【答案】 1.2（答案不唯一，都行） 或 【分析】（1）可以取，画出图形即可； （2）当或时，三角形是唯一确定的； 本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，掌握“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等”． 【详解】（1）如图，选取的的长约为， 故答案是：1.2； （2）若的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是或， 故答案为：或． 59．如图，在中，，平分，交于点，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，含30度的直角三角形，证明出全等是解题关键． （1）利用“”证明全等即可； （2）由全等得到，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，即可求出的长． 【详解】（1）证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， 在中，，， ， 在中，， ． 60．综合与探究：如图，已知，中，，点D为边上一点，连接，将沿直线折叠，得到，作平分交于F． 【尝试发现】 （1）①若，则 ； ②若，则 ； ③若，则 （用含的式子表示）； 【简单应用】 （2）如图1，若，，求证：； 【拓展延伸】 （3）如图2，若，过点F作的垂线交延长线于点G，在延长线上取点H，使，，试探究，，三条线段之间的数量关系并证明． 【答案】（1）①；②；③；（2）证明过程见详解；（3），理由见解析 【分析】（1）根据折叠的性质得出与全等，进而理由全等三角形的性质解答即可 （2）证明是等腰直角三角形，利用含角的直角三角形的选择解答即可； （3）证明是等边三角形，证明与全等，进而利用全等三角形的性质和含角的直角三角形的性质解答即可， 【详解】解：①将沿直线折叠，得到， ， ，，，， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， ； ②， ， 解得：； ③， ； 故答案为：①；②；③； （2）∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 则， ∵， ∴ ∴， ∴ 在中，， ∴； （3）． 理由如下： ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 作于点， ∴， 设，，则，，， ∴， ∴， ∴， 设，，则，，， 在中，， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】此题是几何变换综合题，考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，含角的直角三角形的性质，关键是利用参数构建方程解决问题． 题型十一 角平分线性质的实际应用 61．如图，已知平分，，，，分别是线段，上的点，连接，，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，证明三角形全等，熟练掌握角平分线的性质与三角形全等是解题的关键． 根据角平分线的性质得出，由于，根据可证明，从而得以证明． 【详解】证明：∵平分，，， ∴，， ∵在和中，， ∴， ∴． 62．已知：如图，，平分,平分，交于点，于点，求证：点到与的距离相等． 【答案】见解析． 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DOC=90°，进一步得到△CDO≌△CBO(ASA)，得出DO=BO，则CE是BD的垂直平分线，根据等腰三角形的三线合一的性质得出EC平分∠BED，从而得证． 【详解】证明：∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD=180°， ∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD， ∴∠ODC+∠OCD==90°， ∴∠DOC=90°， 又CE平分∠BCD， ∴∠DCO=∠BCO， ∵CO=CO，∠COD=∠COB， ∴△CDO≌△CBO(ASA)， ∴DO=BO， ∴CE是BD的垂直平分线， ∴EB=ED，又∠DOC=90°， ∴EC平分∠BED， ∴点O到EB与ED的距离相等． 【点睛】本题考查的是平行线的性质、角平分线的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． 63．如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质定理及三角形面积的求解是解题的关键．过点O分别作于点E，于点F，根据角平分线性质定理，可证明，根据，可列出算式，并结合的周长求出面积． 【详解】如图，过点O分别作于点E，于点F， 分别平分，， ， 同理， 的周长是21， ， ． 64．如图，在中，是它的角平分线，． (1)求的值； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）作于点E，于点F，根据角平分线的性质得，则． （2）作于点G，则，所以； （3）由， ，得计算即可． 【详解】（1）作于点E，于点F， ∵是的角平分线，， 所以， 所以． ∴的值是． （2）作于点G，则， 因为， 所以． （3）因为， ， 所以． 【点睛】本题考查了角的平分线的性质定理，三角形面积的计算，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键． 65．如图1，点满足，点D是线段上一动点，过点A作于点C，延长交y轴于点E，连．    (1)点A的坐标是 ；B的坐标是 ； (2)求的度数； (3)如图2，过点D作，交的垂线于点F，当时，求的长度． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由非负数性质得到，即可得到答案； （2）过点O作于点M，作于点N，证，则，，，即可得到平分，即可得到答案； （3）过点F作于点H，则，证明，则，证明是等腰直角三角形，则，证明，则，，则，再证明，即可得到． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得， ∵点， ∴点A的坐标是；B的坐标是， 故答案为：， （2）过点O作于点M，作于点N， 则， ∵点A的坐标是；B的坐标是， ∴， ∵, ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分， ∴； （3）过点F作于点H，则，    ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 66．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图①，在中，平分，，求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.    (1)根据以上材料，任选一种方法证明：； (2)如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明. 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【分析】（1）本题考查角平分线的相关证明及三角形全等的判定与性质，根据角平分线及辅助线得到，的条件即可得到答案； （2）本题考查角平分线的相关证明及三角形全等的判定与性质，根据角平分线及辅助线得到的条件即可得到答案； 【详解】（1）证明：方法一，    ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，在上截取，使得，连接，   　　　　　　　 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，　　　　 ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 题型十二 根据成轴对称图形的特征进行求解 67．如图，在中，，P是上一定点，M、N分别是上的动点，当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点P作于点E，延长到点D，使得，过点P作于点F，延长到点G，使得，连接分别交于点M、N，连接，得到，由此解答即可．此题考查最短路径问题，根据题意首先作出对称点，连接对称点得到符合题意的三角形，再根据轴对称的性质解答，正确掌握最短路径问题的解答思路是解题的关键. 【详解】解：过点P作于点E，延长到点D，使得，过点P作于点F，延长到点G，使得，连接分别交于点M、N，连接， 由轴对称的性质可知，， ∴根据两点之间线段最短可知，的周长最小值为的长， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由对称可知：， ∴， ∴， 故选：B． 68．如图，在五边形中，，，，，在、上分别找一点、，使得的周长最小时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，，即可得出，进而得出即可得出答案． 【详解】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．作延长线， ， ， ， ，， 且，， ， 故选：D． 69．如图，在四边形中，，，M，N分别是边，上的动点，当的周长最小时， ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，两点间线段最短等知识．作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接、，则当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小，则易得的大小． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接、， 由对称性知：，， ， ∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小； ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 此时， 故答案为：． 70．如图，在中，，，，，点是上的一个动点（点与点不重合），连接，作点关于直线的对称点，当点在的下方时，连接、，则面积的最大值为 ． 【答案】16 【分析】连接交于，利用对称性质可得，根据垂线段最短，当时，最小，则最大，即点到的距离最大，此时面积最大，利用三角形的面积求解即可． 【详解】解：连接交于，如图，    ∵点B关于直线的对称点是E， ∴， 当时，最小，则最大，即点到的距离最大，此时面积最大， 由得， ∴， ∴面积的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称性质、垂线段最短、三角形的面积等知识，能得出当时面积最大是解答的关键． 71．已知三角形纸片（如图），将纸片折叠，使点A与点C重合，折痕分别与边交于点D、E，点B关于直线的对称点为点F． (1)画出直线和点F； (2)连接，如果，求的度数； (3)连接，如果，且的面积为4，求的面积． 【答案】(1)答案见详解； (2)； (3)28 【分析】（1）画出线段的垂直平分线即可，作出点B关于直线的对称点F； （2）由轴对称性的性质可知，因为，，所以； （3）设中边上的高为，根据，计算即可． 【详解】（1）解：取中点D，作，交于E，直线是求作的， 过点B作于G，在直线上截取，点F是求作的，如图所示： （2） 由轴对称性的性质可知， 因为，， 所以， 即，， 所以． （3） 由轴对称性的性质可知，，， 设中边上的高为 则， 所以， 所以， 设中边上的高为， ， 所以． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题． 72．如图，中，，，过点作，且，连接．    (1)如图1，若，则的面积为 ． (2)如图2，若，（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由； (3)如图3，将沿翻折，得到，，连接．试直接用含的式子表示的面积．（不写探究过程） 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)的面积为 【分析】（1）如图1，先证明，可得，进而由三角形的面积公式得出结论； （2）如图2，过点作，交的延长线于点，由条件可以得出，从而得到，进而由三角形的面积公式得出结论； （3）如图3，过点作，交的延长线于点，由折叠的性质可以得出，由条件可以得出，得到，由三角形的面积公式就可以得出结论． 【详解】（1）解：如图1，过点作，交的延长线于点，    ∵中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）（1）中的结论成立． 理由：如图2，过点作，交的延长线于点，    ∵中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （3）如图3，过点作，交的延长线于点， ∵中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵将沿翻折，得到， ∴，， ∴， ∴． ∴的面积为． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，直角三角形两锐角互余，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识．证明三角形全等是解题的关键． 题型十三 折叠问题 73．在中，，，，点，分别在，上，沿将翻折，使顶点的对应点落在边上，若，求的长． 【答案】2 【分析】根据直角三角形的性质得到，，由折叠的性质得到，，得到是等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】解：，， ，， 由折叠的性质可知，，， ，， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、等边三角形的判定与以性质，含30度角的直角三角形的性质等，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 74．如图，已知四边形纸片的边，是边上任意一点，沿折叠，点落在点的位置． (1)如图①．点落在四边形的内部，探索，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，点落在边的上方，设与交于点，直接写出，，之间的数量关系．不需要说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）数量关系：．理由：过点作，交于点，交于点，由平行线的性质可得，根据平行公理的推论可得，继而得到，再结合折叠的性质可得数量关系； （2）过点作，由平行线的性质可得，根据平行公理的推论可得，继而得到得，再结合折叠的性质可得数量关系． 【详解】（1）解：，，之间的数量关系：． 理由如下： 过点作，交于点，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵沿折叠，点落在点的位置， ∴， ∴， ∴，，之间的数量关系是：． （2）过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵沿折叠，点落在点的位置， ∴， ∴， 即：， ∴，，之间的数量关系是：． 【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质，平行公理的推论．掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键． 75．如图1是长方形纸带，将长方形沿折叠成图2，使点C、D分别落在点、处，再沿BF折叠成图3，使点、分别落在点、处． (1)若，求图1中的度数； (2)在（1）的条件下，求图2中的度数； (3)利用图3，说明的理由． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】 本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质： （1）由长方形的性质可得： 可得：，从而可得答案； （2）由对折的性质先求解： 再利用求解：，再利用，从而可得答案； （3）设，利用长方形的性质与对折求解：，从而可得、与的数量关系． 【详解】（1）解：∵长方形， ∴， ∴， ∵， ∵， （2）解：∵四边形折叠得到四边形， ∴， ∴， ∵长方形， ∴， ∴ ∵， ∴； （3）解：∵长方形， ∴， ∴，，， 设， ∴，， ∵四边形折叠得到四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形折叠得到四边形， ∴， ， ， ∴， ∴. 76．已知长方形纸片，点在边上，点，在边上，连接，．将对折，点落在直线上的点处，得折痕；将对折，点落在直线上的点处，得折痕．      （1）如图（1），若点与点重合，求的度数； （2）如图（2），若点在点的右侧，且，求的度数； （3）若，请直接用含的式子表示的大小． 【答案】（1）；（2）；（3）若点在点的右侧，；若点在点的左侧， 【分析】（1）由题意根据角平分线的定义，平角的定义，角的和差定义计算即可． （2）由题意根据∠MEN=∠NEF+∠FEG+∠MEG，求出∠NEF+∠MEG即可解决问题． （3）根据题意分点在点的右侧以及点在点的左侧两种情形分别求解即可． 【详解】解：（1）因为平分，平分， 所以，， 所以． 因为， 所以． （2）因为平分，平分， 所以，， 所以． 因为，， 所以， 所以． （3）因为平分，平分， 所以，， 若点在点的右侧，， ； 若点在点的左侧， ． 【点睛】本题考查角的计算，翻折变换，角平分线的定义，角的和差定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 77．阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线．    (1)如图1，若，则______； (2)折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． ①如图2，当点在上时，求的大小； ②如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由折叠得出，即可得出结论； （2）①由折叠得出，再由点B'落在上，得出，即可得出结论； ②同①的方法求出，即可得出结论． 【详解】（1）由折叠知，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）①， 理由：由折叠知，， ∴， 由折叠知，， ∴， ∵点落在， ∴， ∴， ∴，即； ②由折叠知，， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】此题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，从图形中找出角之间的关系是解本题的关键． 78．趣味探究：“折纸中的数学” AI    (1)如图1，折叠长方形纸片，使点A落在边上的点C处，折痕为，展开纸片可得到一个正方形，则的度数为__________． (2)如图2，将（1）中的正方形纸片的和分别沿和折叠，使点A落在上的点处，使点C落在上的点处，与重合．猜想的度数，并说明理由． 下面是小明同学的解答过程，请你补充完整．猜想． 理由如下：因为将沿折叠，所以， 因为将沿折叠，所以__________， 因为__________， 所以． (3)如图3，将（1）中的正方形纸片的沿折叠．使点A落在点处，将纸片展开后，再如图4将沿折叠，使点C落在点处，点与点重合．猜想的度数，并说明理由． 【答案】(1) (2)，90 (3)，见解析 【分析】本题考查折叠的性质，角的和差，掌握折叠前后的两个角相等是解题的关键． （1）根据折叠可以得到，然后利用解题即可； （2）根据折叠得到，，然后根据解题即可； （3）根据折叠得到，，然后根据解题即可． 【详解】（1）解：∵是正方形，是折痕， ∴， ∴， 故答案为：； （2）猜想． 理由如下：因为将沿折叠，所以， 因为将沿折叠，所以， 因为， 所以． 故答案为：，， （3）猜想， 理由如下：因为将沿BE折叠，所以， 因为将沿BF折叠，所以， 因为，所以． 题型十四 三角形尺规作图综合应用 79．在如图的三角形中，若，哪些能被过一个顶点的一条直线分成两个小等腰三角形？能被过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形的请作出这条直线． 【答案】①③④能被过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形，②不能，图见解析． 【分析】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，根据等腰三角形的判定对个选项逐一分析，只有不能被一条直线分成两个小等腰三角形，此题的4个选项中只有图有点难度． 【详解】解：如图所示： ①作的角平分线，则分为两个小等腰三角形； ②不能过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形； ③过点作的垂线，则分为两个小等腰三角形； ④以为顶点，为一边在三角形内部作一个度角，则分为两个小等腰三角形． 80．已知：在中，是边上的高． (1)尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作图过程）； (2)在（1）的条件下：若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图——角平分线，角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解决问题的关键是掌握角平分线的定义以及尺规作图方法． （1）根据角平分线的尺规作图方法，即可作出的平分线； （2）根据三角形内角和求出 ，根据角平分线的定义求出，根据三角形外角性质即可得到的度数，即可求解． 【详解】（1）解：如图，射线，即为所求． （2）解： ， ， ， 平分， ， ，为高， ， ． 81．如图，在中，，． (1)【实践与操作】用尺规作线段的垂直平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)【应用与计算】在（1）的条件下，连接，请解答以下问题： ①求的度数； ②填空：若，则的长为______________． 【答案】(1)见解析 (2)①；②3 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）①由题意得．由线段垂直平分线的性质可得，则，即可得； ②由①可得为的平分线，则，，可得． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：①∵，， ∴． ∵直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； ②由①可知，， ∴为的平分线， ∵直线为线段的垂直平分线，， ∴． 在中，， ∴， ∴． 故答案为：3． 82．如图，在中，按以下步骤作图： ①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和； ②作直线，分别交，于点和，连接．    (1)直线垂直平分线段吗？请说明理由． (2)若是的中点，且，求的度数． 【答案】(1)垂直平分线段，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的定义，只要证明点、点在线段的垂直平分线上即可； （2）求出，再根据等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】（1）垂直平分线段． 理由：连接、、、．    由作图可知：， 点、点在线段的垂直平分线上， 垂直平分线段． （2）垂直平分， ， ， ， ， ， ， 是中点， ， ， ． 【点睛】本题考查线段的垂直平分线的作法、线段垂直平分线的性质等、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 83．如图，在中，的平分线交于点D． (1)在上求作一点E，使，（不要求写作法，保留作图痕迹）；根据三角形全等的有关知识，作图依据是______；（提示：） (2)根据（1）中的作图，证明：； (3)已知，的周长为15，求的周长． 【答案】(1)作图见详解， (2)见详解 (3)33 【分析】本题考查作-一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）利用作一个角等于已知角的方法作即可； （2）根据三角形全等形的性质即可证明； （3）由全等三角形的对应边相等得到，然后求出周长即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所作； ∵是的角平分线， ∴， 根据作图可知， ∵，，， ∴． 根据三角形全等的有关知识，作图依据是． 故答案为：； （2）证明：∵， ∴． （3）解：∵， ， ∵的周长为15， ∴， 的周长 ． 84．数学发烧友小附在探究等腰三角形面积时，发现一个规律：如图，在中，，，以为边向下构造等边，就可以得到．请根据小附的探究思路完成下面的作图与填空： 如图，在中，， (1)用直尺和圆规，在下方作，在射线上截取，连接交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）所作的图中，求证．（请补全下面的证明过程） 证明：在中，，且， ， ， ， ， 是等边三角形． ，， ， 在和中， ， （）， ． ， ． 小附总结：顶角为的等腰三角形的面积与 的面积相等． 【答案】(1)见解析； (2)，，，边长等腰腰长的等边三角形． 【分析】本题考查了尺规作一个角等于已知角三角形内角和定理、三角形全等的判定和性质、等边三角形的判定及性质等，掌握判定方法及性质是解题的关键． （1）根据题干所给作图方法作图即可得解； （2）先证明，结合，得是等边三角形．进而证明（），得．即可得证． 【详解】（1）解：如图， （2）证明：在中，，且， ， ， ， ， 是等边三角形． ，， ， 在和中， ， （）， ∴． ， ． 小附总结：顶角为的等腰三角形的面积与边长等腰腰长的等边三角形的面积相等． 故答案为：，，，边长等腰腰长的等边三角形． 题型十五 勾股定理的证明方法 85．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（    ） A． B． C．   D． 【答案】D 【分析】对于选项的图形，可以用两种方法分别表示出大正方形的面积，然后由两种表示法的面积相等进行证明；对于选项的图形，可以用两种方法都表示中间正方形的面积，一种是直接表示正方形的面积，另一组是根据“中间正方形的面积大正方形的面积个全等的直角三角形的面积”进行表示，再由两种表示法的面积相等，结合整式的运算证明勾股定理；接下来按照同样的方法，表示出选项、中图形的面积，进而得出结论． 【详解】解：、四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， ，整理得，可以证明勾股定理，不符合题意； 、四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， ，整理得，可以证明勾股定理，不符合题意； 、三个直角三角形的面积和梯形的面积， ，整理得，可以证明勾股定理，不符合题意； 、不能证明勾股定理，故此选项符合题意， 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理计算与证明，熟练掌握勾股定理，根据图形的面积关系进行证明是解答本题的关键． 86．意大利著名画家达·芬奇用如图所示（四边形，四边形，四边形都为正方形，设图①中空白部分的面积为，图③中空白部分的面积为）的方法验证了勾股定理，步骤如下所示，则下列判断不正确的是（    ） 第一步：由图①可得； 第二步：由图③可得 第三步：由，可验证    A．★表示 B．●表示 C．◆表示= D．▲表示 【答案】B 【分析】根据图形表示出，即可求解． 【详解】解：由图①可得， ∴★表示，故A正确； 由图③可得 ，故B错误； ∴，， ∴，故C、D正确； 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，解本题的关键是明确题意，利用数形结合思想求解． 87．把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点，，在同一条直线上，利用此图的面积表示式可以得到一个关于，，的代数恒等式，则这个恒等式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．先证是等腰直角三角形，由面积和差关系可得结论． 【详解】∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 88．如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为： ； 【答案】 【分析】本题考查利用图形面积证明勾股定理，掌握图形面积的多种求法，一般利用面积公式直接求解，两种方法利用拼组图形面积和来求是解题关键． 先根据勾股定理得出大正方形的面积，再得出三角形的面积，最后根据小正方形的面积=大正方形面积4个三角形面积，即可解答． 【详解】解；大正方形的面积， 三角形的面积， ∴小正方形的面积， 故答案为：． 89．弦图（图1），在三国时期被赵爽发明，是证明勾股定理几何方法中最为重要的一种图形．2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是我国古代数学家赵爽画的“弦图”，体现了数学研究中的继承和发展．在学习了勾股定理后，小亮同学受此启发，探究后发现，若将4个直角边长为、，斜边长为的直角三角形（图2中涂色部分）拼成如图所示的五边形．通过两种方法计算它的面积可以验证勾股定理，请利用图2完成勾股定理的验证．    【答案】见解析 【分析】设直角三角形两直角边的长分别为、（），斜边的长为，做两个边长分别为、的正方形，把它们拼成如图所示形状，使、、三点在一条直线上，先用全等三角形判定，得出和，作，，则是一个边长为的正方形，再用全等三角形判定，得出点、、、在一条直线上，进而用全等三角形判定，最后通过图形面积转化勾股定理的线段平方关系即可完成证明． 【详解】证明：设直角三角形两直角边的长分别为、（），斜边的长为．做两个边长分别为、的正方形，把它们拼成如图所示形状，使、、三点在一条直线上．用数字表示面积的编号（如图）． 在上截取，连结、，则，   ，， ， ，，， ， ，， ，， ， 作，，则是一个边长为的正方形， ， ， 连结，在和中， ，，， ， ，， 点、、、在一条直线上， 在和中， ，， ， ，，，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明、全等三角形的性质与判定、正方形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，学会利用图形的面积转化勾股定理的线段平方关系是解题的关键，本题属于全等三角形的综合题，适合有能力解决几何难题的学生． 90．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，图1中的2个全等的直角三角形可以拼成不同的图形，用来证明勾股定理． (1)把两个全等的直角和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，可得．请用a，b，c分别写出梯形，四边形，的面积，再根据这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)若图1中，，图3中方格纸中的小正方形的边长为1，请你用两种不同的方式将图1中两个全等的直角三角形放入图3的两个五边形中，并涂上阴影，则图3（1）中空白部分的面积为________，图3（2）中空白部分的面积为________，从而得到． (3)用（2）中4个全等的直角三角形（，）拼成如图4中的形状，则这个图形外围轮廓（实线）的周长为________． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析，25，25 (3)20 【分析】本题考查了勾股定理的证明和应用，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键． （1）由题意可知，，，，得到，然后代入整理求解即可； （2）根据题意画出图形，然后表示出图（1）中空白面积和图（2）中空白面积，进而求解即可； （3）首先根据勾股定理求出，然后由，得到，然后证明出，证明出，得到，设，则，根据勾股定理求出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，    ∵，， ∴图3（1）中空白面积； 图3（2）中空白面积． ∴； （3）如图所示，    ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴中，， ∴， 解得， ∴， 同理可得，， ∴这个图形外围轮廓（实线）的周长． 故答案为：20． 题型十六 勾股定理的逆定理综合应用 91．如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握定理是解题的关键． 连接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：C． 92．某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（    ） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的运算．连接，先由勾股定理求出长，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，然且由直角三角形的面积公式计算出四边形面积，然后用面积乘以单价即可． 【详解】解：连接，如图2， ∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴铺满该区域需要的费用为：（元）， 故选：A． 93．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为，宽为，对角线为，这个桌面 （填“合格”或“不合格”） 【答案】合格 【分析】判断以，，为边的三角形是直角三角形，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， ， ， 以，，为边的三角形是直角三角形， 桌面是长方形， 故答案为：合格． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的应用，掌握定理是解题的关键． 94．如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了是完全固定的钢架外，，，属于位置可变的定长钢架．如图1所示，，，，伸缩杆的两端分别固定在，两边上，其中，．当伸缩杆打开最大时，如图2所示，成，此时，则可变定长钢架的长度为 ．当伸缩杆完全收拢时，，则此时床高（与之间的距离）为 ． 【答案】 8 12 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，平行线间的距离，理解题意将实际问题转化为数学模型是解题的关键． 当伸缩杆打开最大时，先证明是直角三角形，由勾股定理，得，即可由求得长；当伸缩杆完全收拢时，，过点C作于H，过点D作于F，由平行线间的距离，可得，，，再由勾股定理，得，即，即可求得，即可由求解． 【详解】解：如图2， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵成， ∴是直角三角形，由勾股定理，得 ∴； 当伸缩杆完全收拢时，，过点C作于H，过点D作于F，如图， ∵，于H，过点D作于F， ∴，， ∴， ∴ 由勾股定理，得 ∴ ∴ ∴ 故答案为：8；12． 95．如图是某班的劳动实践基地，经测量，，，，． (1)求的长； (2)连接，试判断的形状． 【答案】(1) (2)直角三角形． 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求出的长， （2）根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，连接， ，，， ； （2）解：由（1）知：， ，， ， 为直角三角形． 96．学科实践 项目主题 为校园空地设计创意花坛 项目背景 “综合与实践”小组的同学为学校一块空地设计创意花坛． 实践工具 卷尺、铅笔等． 设计说明 如图，是校园里的一块空地，线段，是将该空地分割成两块区域的花栏，其中区域内种植矮牵牛，另一区域种植三色堇，并沿三角形空地外围安装一圈篱笆． 测量数据 通过测量得到：，，，，． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求所需篱笆的总长（接口处忽略不计）； (2)若种植三色堇的费用为每平方米60元，求学校按上述设计种植三色堇所需的费用． 【答案】(1)； (2)5760元 【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，解题的关键是： （1）在中，根据勾股定理求出，然后根据三角形周长公式计算即可； （2）根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，然后根据求出种植三色堇的面积，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，，由勾股定理得 ． ； 答：所需篱笆的总长是． （2）解：在中，，，， ，， ． 是直角三角形，其中． ； 元． 答：种植三色堇区域的费用总共需要5760元． 题型十七 勾股定理的应用 97．如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度，，，求滑梯的水平距离的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设的长为，由题意得，由勾股定理可得，解方程即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设的长为，由题意得， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 答：的长为． 98．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送3m，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．    (1)求秋千的长度； (2)如果将秋千往前推送4米，求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 【答案】(1)秋千的长度是； (2)此时踏板离地的垂直高度为． 【分析】本题考查勾股定理的应用等知识，数形结合，熟练运用勾股定理是解决问题的关键． （1）由题中条件，得到四边形是矩形，从而得到，设秋千的长度为，则，，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （2）设时，，构造直角三角形，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵， ∴， 设秋千的长度为，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得， 即秋千的长度是； （2）解：设时，， ∵， ∴， 由（1）可知，，， ∴， 在中，， 由勾股定理得，则， 解得， 即此时踏板离地的垂直高度为． 99．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为．    (1)求旗杆在距地面多高处折断（即求的长度）． (2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部米处是否有被砸伤的风险？ 【答案】(1) (2)有危险，见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用， （1）根据题意，，结合，代入计算即可． （2）根据，，得到，求得，根据勾股定理求出的长，比较后判断即可． 【详解】（1）根据题意，，， ∵， ∴， 解得， 故的长度为3米． （2）根据(1)得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， 且， ∴， 故有危险． 100．现代电视屏幕尺寸的设计，主要追求以下目标：一是更符合人体工程学要求（宽与长的比接近与0.618）；二是设计适当的长宽比使屏幕的面积尽可能大现行的电视机屏幕有“宽屏”和“普屏”两种制式，宽屏的长宽比为；普屏的长宽比为． （1）哪种屏幕更适合人体工程学要求？请说明理由． （2）一般地，电视屏幕的“几寸”指的是这个屏幕的长方形的对角线长有多少英寸，1英寸，小明家想买80寸的宽屏电视机（边框宽都为），并嵌入到墙中．则需要预留的长方形位置的长、宽各多少？（最后结果保留到整数，，） （3）在相同尺寸的电视机屏幕中，宽屏的屏幕面积大还是普屏的屏幕面积大？请说明理由． 【答案】（1）宽屏更适合人体工程学要求，理由见解析；（2）需要预留的长方形位置的长为178cm，宽为101cm；（3）普屏的屏幕面积大，理由见解析 【分析】（1）根据人体工程学要求求出宽与长的比与0.618比较大小即可 （2）根据勾股定理先求出80寸的宽屏电视机的长和宽，再分别加2即可 （3）分别求出宽屏的屏幕面积和普屏的屏幕面积比较大小即可 【详解】解：（1）宽屏更适合人体工程学要求，理由如下： ∵宽屏的长宽比为； ∴宽屏的宽与长的比为； ∴0.5625-0.618=-0.0555 ∵普屏的长宽比为． ∴普屏的宽与长的比为 ∴0.75-0.618=0.132 ∴宽屏更适合人体工程学要求 （2）∵宽屏的长宽比为； ∴设长为16xcm，则宽为9xcm(x>0)， ∵电视机屏幕为80寸， ∴（16x）2+（9x）2=(802， ∴ ∴， ∴长为16，宽为9x= ∴需要预留的长方形位置的长为：176+2=178cm,宽为：99+2=101cm （3）普屏的屏幕面积大，理由如下： 设相同尺寸为a寸，宽屏电视的长宽分别为16m和9m， 普屏电视的长宽分别为4n和3n ∴， ∴， ∴宽屏的屏幕面积= 普屏的屏幕面积= ∵ ∴普屏的屏幕面积大 【点睛】本题考查了勾股定理的应用以及长方形的面积，读懂题意，根据已知条件得出所需内容是解题的关键 101．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域处，在沿海城市的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过4级，则称受台风影响．（提示：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半） 试问： (1)城市是否会受到台风影响？ (2)若会受到台风影响，该城市受到台风影响的最大风力为几级？ (3)若会受到影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 【答案】(1)会受到台风的影响 (2)7级 (3)16小时 【分析】本题考查了勾股定理的应用，垂线段最短，等腰三角形三线合一，熟练掌握勾股定理，理解题意，从实际问题中抽象出直角三角形是解题的关键． （1）根据提示可得到的长度，再由题意求得受台风影响范围的半径，即可判断； （2）风力最大时，台风中心应该位于点，再由题目给出的条件判断出此时是几级台风即可； （3）由（1）可知，受台风影响范围的半径为200千米，则以为圆心，200千米为半径作交于、，然后利用勾股定理求得，从而得到，最后根据时间路程速度，即可求得答案． 【详解】（1）解：城市会受到台风的影响． 理由：在中，，（千米） （千米） 城市受到的风力超过4级，则称受台风影响 受台风影响范围的半径为（千米） 城市会受到台风的影响． （2）解：台风到达时台风中心距离城市最近，（千米） 又 则（级） 答：该城市受到台风影响的最大风力为7级． （3）解：由（1）可知，受台风影响范围的半径为200千米 则以为圆心，200千米为半径作交于、，如图 则（千米） ，（千米） （千米） 则（小时） 答：台风影响该城市的持续时间为16小时． 102．【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）新路比原路少5千米；（3） 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少5千米； （3）设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 题型十八 勾股定理的求最短路径 103．如图，图柱形木桩底面周长是，高为，在木桩底部S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的木桩另一面距顶部的点处有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了侧面展开图、勾股定理的知识；画出圆柱侧面展开图，根据两点之间线段最短确定最短路线，结合勾股定理计算出最短路线即可． 【详解】如下图，即为蜘蛛所走最短路径， 由题意得：，，， ∴， ∴， 故选：A． 104．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题的是平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：， 解得：． 故选：C． 105．如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点P在棱上，，若一只蚂蚁从A点开始沿图中3个侧面（即沿）爬行到达P点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：将长方体展开，连接A、P，如图，当点M、N在线段上时，根据“两点之间线段最短”，得最短路径为线段的长， ∵长方体的底面边长分别为和，高为，点P在棱上，且， ∴，， ∴， 即蚂蚁爬行的最短路径长为． 故答案为：5． 106．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程． 【答案】26 【分析】本题主要考查平面展开，最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理求出新矩形的对角线长即可． 【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，图形长度增加半圆周长， 原图长度增加， 则， 连接， ， 故答案为：． 107．（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图2，长方体的长为，宽为，高为．现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】（1）  （2）  （3） 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可． （2）将长方体展开，利用勾股定理解答即可； （3）将容器侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：（1）由题意得：如图，该长方体中能放入木棒的最大长度是： ； （2）①如图，， ②如图，， ③如图，， ， ∴最短路程为； （3）∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， 将容器沿侧面展开，作关于的对称点， ， 连接，则即为最短距离， ∴ 【点睛】 108．综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）17 cm；（3）B处到内壁A处所爬行的最短路程是10 cm 【分析】本题考查勾股定理最短路径问题： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）由勾股定理，得：； 故答案为：25； （2）将圆柱体展开，如图，由题意，得： ，， 由勾股定理得：； 故答案为：17 cm． （3）如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 题型十九 三角形三边关系的应用 109．已知的三边长分别为，，． (1)化简：． (2)若，，且三角形的周长为偶数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键． （1）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可； （2）由，，三角形的周长为偶数，求解即可求得答案． 【详解】（1）解：由三角形三边关系可知： ，，， ∴原式； （2）∵，， ∴， ∵三角形得周长为偶数，为奇数， ∴； 110．如图，已知中，大于其它两边，分别在上，连接．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，连接，根据大边对大角可得到，，进而可推出，从而可得到，同理可得，从而求证，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】证明：连接， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 111．【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”例如，三边为，，的三角形是“好运三角形”． (1)【概念运用】在中，，，若为“好运三角形”，求的长； (2)【变式运用】已知的周长为，，若的长为偶数，试判断是否为“好运三角形”． 【答案】(1) (2)是“好运三角形” 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握“好运三角形”的定义，是解题的关键． （1）先根据三边关系求出的范围，再根据新定义，确定的长即可； （2）设为偶数，则，根据三角形的三边关系，列出不等式组求出的取值范围，根据的长为偶数，求出的长，进而求出的长，再根据新定义进行判断即可． 【详解】（1）解：， ，即， 为“好运三角形”， 为偶数， ； （2）设为偶数，则， 解得， 为偶数， ． ， 又， 是“好运三角形”． 112．如图，用直尺在四边形内找一点（保留画图的痕迹），使点到四边形四个顶点的距离的和最小，用一段文字表达这样找点的依据．    【答案】画图见解析，理由见解析． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，连接，相交于点，在四边形内任找其他一点，连接，由三角形的三边关系得，，即得，即可得到，点到四边形四个顶点的距离的和最小，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，相交于点，点即为所求．    理由：在四边形内任找其他一点，连接， 则， 即， 同理可得，， ∴， 即点是的交点时，点到四边形四个顶点的距离的和最小． 113．某市木材市场上的木棒规格与价格如下表： 规格 价格/（元/根） 小明的爷爷要做一个三角形的支架用来养兔子，在木材市场上已经购买了两根长度分别为和的木棒，还需要购买一根． (1)有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？ (2)在能做成三角形支架的情况下，要求做成的三角形支架的周长为4的倍数，则小明的爷爷做三角形支架，买木棒一共花了多少元？ 【答案】(1)4 (2)108元 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用： （1）根据三角形三边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，确定出第三边的取值范围即可得到答案； （2）做成的三角形支架的周长为4的倍数，根据（1）中可选的结果，即可求解． 【详解】（1）解：设第三根木棒的长度为，根据三角形的三边关系可得，解得， ∵是整数， ∴或5或6或7，共4种， ∴有4种规格木棒可供选择． （2）解：设第三根木棒的长度为， ∴这个三角形支架的周长为， ∵做成的三角形支架的周长为4的倍数， ∴是4的倍数， ∴由（1）所求可知，， ∴买木棒一共花了元． 114．若一个多项式的值恒为非负数，我们则称这个多项式为“和美多项式”．例如多项式可做如下变形： ， ， ， 即的值恒为非负数，且当时，多项式有最小值，最小值是2． 根据以上阅读材料，完成下列问题： (1)下列多项式是“和美多项式”的是________； （1）；（2）；（3）． (2)试证明多项式是“和美多项式”，并求出它的最小值； (3)已知是的三边长（三边不相等），，且c是中最长边的长，则c的取值范围为____________． 【答案】(1)（1） (2)证明见解析，最小值为6； (3) 【分析】本题考查了新定义“和美多项式”，配方法，三角形的三边关系，理解“和美多项式”， 能利用配方法将多项式变形进行求解是解题的关键． （1）根据和美多项式的定义逐一化简判断即可求解； （2）将多项式化为，再根据和美多项式的定义进行判断即可求解； （3）将原式化为，求得，，再三角形三边的关系，即可求解； 【详解】（1）解：， ， （1）是和美多项式； ， ， （2）不是和美多项式； ， （3）不是和美多项式； 故答案为：（1）； （2）解： ， ，， 原式， 即原式为“和美多项式”， 当，时有最小值为6； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵c是中最长边的长， ∴，即． 故答案为：． 题型二十 三角形内角和定理的应用 115．如图，已知D为的边延长线上一点，，垂足是F，交于点E，，，求的度数．    【答案】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据和求出，然后利用对顶角相等可知，在中利用三角形内角和即可求出的度数. 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴ 116．如图，在中，比大，点D，E分别在上，连接，． (1)求的度数； (2)判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的判定，解答的关键是结合图形分析清楚各角的关系． （1）由三角形的内角和可求得解； （2）利用同位角相等，两直线平行即可判定． 【详解】（1）解：设，则． 在中，因为， 所以，解得， 所以， 所以． （2）解：． 理由：因为， 所以， 所以． 117．如图，在中，点分别在边上，，，与交于点． (1)若，，则 ； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由三角形内角和定理可得，进而可得，再根据三角形内角和定理计算即可求解； （）如图，设，，可得，，，再根据三角形外角性质可得，据此即可求证； 本题考查了三角形内角和定理及外角性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵是的外角， ∴， ∴． 118．要度量作业纸上两条相交直线所夹锐角的大小，如图发现其交点不在作业纸内，无法直接度量． (1)小明的方案：画直线与直线相交，如图1，测得，，则____（用含的代数式表示）； (2)小刚的方案：画直线与相交，交点为，作出，的平分线且相交于点，如图．若测得，则等于多少？（用含的代数式表示） (3)你还有什么方法，（作图工具不限）请在图中补全，写出必要的文字说明． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析（方法不唯一) 【分析】本题考查了作图-应用与设计作图，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （）利用三角形内角和定理求解； （）根据角平分线的定义求出，再根据三角形内角和定理求解； （）如图中，在直线上取一点，过点作于点，测量出，则； 【详解】（1）解：如图中， ∵， ∴， 故答案为: ； （2）解：如图中， ∵，的平分线且相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图中， 在直线上取一点，过点作于点， 测量出，则．（方法不唯一) 119．综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三个内角度数的一半． （1）如图1，在中，点是的内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程； 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 （2）如图2，在中，．延长至，延长至，已知的平分线与外角的平分线相交于点，外角的平分线与的延长线相交于点，求的度数； 【变式拓展】 （3）如图3，四边形的内角的平分线与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，则的度数和是__________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】此本题主要考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题关键． （1）根据三角形外角的性质及角平分线的定义，即可得到答案 （2）先推导出，又由（1）的结论可得，进而可以求解 （3）延长，交于点M，延长、交于点N，得到，则，得到，由，由三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵点E是内角的平分线与外角的平分线的交点， ∴，， ∵，，， ∴， ∴； （2）∵平分，平分， ∴； 又∵平分， ∴ ∴； （3）延长，交于点M，延长、交于点N，如图所示， ∵、分别平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 120．已知，是平面内任意一点，，，，中任意三点都不在同一直线上，连接，．设，，，． (1)如图，点在内部． ①若，，，则________； ②探究，，，之间的数量关系，并证明你得到的结论． (2)当点在外部时，请直接写出，，，之间所有可能的数量关系，并画出相应的图形． 【答案】(1)①；②，证明见解析 (2)作图见解析，①如图1，；②如图2，；③如图3，；④如图4，；⑤如图5，；⑥如图6， 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识， （1）①利用三角形的内角和定理即可解决问题； ②结论：，利用三角形内角和定理即可证明； （2）分种情形分别求解即可解决问题； 解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题． 【详解】（1）解：（1）①∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②，，，之间的数量关系． 证明：∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，即； （2）①如图1， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 即； ②如图2， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 即； ③如图3， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 即； ④如图4， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即； ⑤如图5， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即； ⑥如图6， ∵在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 即； 综上所述，，，，之间所有可能的数量关系，①如图1，；②如图2，；③如图3，；④如图4，；⑤如图5，；⑥如图6，． 题型二十一 全等三角的辅助线问题 121．如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC． 【答案】见解析 【分析】法一：因为AB＞AC，所以在AB上截取线段AE＝AC，则BE＝AB－AC，连接EM，在△BME中，显然有MB－ME＜BE，再证明ME＝MC，则结论成立． 法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG，证明△ABM≌△AGM，得到BM=GM，根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】证明：法一：在AB上截取AE＝AC，连接ME， 在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）, ∵AD是∠BAC的平分线， ∴, 在△AMC和△AME中， ∵ ∴△AMC≌△AME（SAS）， ∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）． 又∵BE＝AB－AE， ∴BE＝AB－AC， ∴MB－MC＜AB－AC． 法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG， 同理可证得△ABM≌△AGM（SAS）， ∴BM=GM， ∵在△MCG中MG-MC＜CG ∴MB－MC＜AG-AC= AB－AC 即MB－MC＜AB－AC． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系以及截长补短法，解题关键是作辅助线构造全等三角形． 122．（1）如图，，．求证：． （2）如图，，．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）过点分别作，，垂足分别为、，通过三角形全等得到，即可求解； （2）过点分别作，，垂足分别为、，通过角之间的关系得到点在的平分线上，再通过三角形全等得到，即可求解； 【详解】（1）证明：过点分别作，，垂足分别为、 ． ，即点在的平分线上， ，，垂足分别为、，． 在和中， ． ． 在和中， ． （2）证明：如图，过点分别作，，垂足分别为、 ． ，， ． 即点在的平分线上． ，，垂足分别为、， ． 在和中， ．． 在和中， ． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是根据题意构造全等的直角三角形． 123．如图，交于，交于平分平分，直线经过点并与分别交于点．    (1)如图①，求证：； (2)如图②，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 【答案】(1)见解析； (2)（1）中结论不成立，； 【分析】（1）在上截取，连，根据题意证明，得到，，再由证明，由平角定义得到，则有，再证明，得到，则； （2）延长交于点H，根据题意证明，得到，，再由平分，证明，得到，则． 【详解】（1）证明：如图，在上截取，连，    ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴，即， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． （2）（1）中的结论不成立，； 理由：延长交于点H，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及全等三角形的性质和判定，解答过程中，根据题意做出辅助线构造全等三角形是解题关键． 124．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图（1），是的中线．且．延长至点．使．连接．求证：． (2)如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义． （1）由证明三角形全等可得出答案； （2）延长至M，使，先证明，进而得出，，即可得出，再证明，即可得出答案． 【详解】（1）证明：是的中线 ， 在和中， ， ； （2）证明：延长至，使， 是的中线， ，且， ， ，， ， ， ， ， 即，且，， . ， ， ． 125．已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．    （Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想； （Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数． 【答案】（1）BM＝AN，BM⊥AN．（2）结论成立.（3）90°． 【分析】(1)根据已知条件可证△MBP≌△ANP，得出MB＝AN，∠PAN＝∠PMB，再延长MB交AN于点C，得出,因此有BM⊥AN； (2)根据所给条件可证△MPB≌△APN，得出结论BM＝AN； (3) 取PB的中点C，连接AC，AB，通过已知条件推出△APC为等边三角形，∠PAC＝∠PCA＝60°，再由CA＝CB，进一步得出∠PAB的度数. 【详解】解：（Ⅰ）结论：BM＝AN，BM⊥AN． 理由：如图1中，    ∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN， ∴△MBP≌△ANP（SAS）， ∴MB＝AN． 延长MB交AN于点C． ∵△MBP≌△ANP， ∴∠PAN＝∠PMB， ∵∠PAN+∠PNA＝90°， ∴∠PMB+∠PNA＝90°， ∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°， ∴BM⊥AN． （Ⅱ）结论成立 理由：如图2中，    ∵△APM，△BPN，都是等边三角形 ∴∠APM＝∠BPN＝60° ∴∠MPB＝∠APN＝120°， 又∵PM＝PA，PB＝PN， ∴△MPB≌△APN（SAS） ∴MB＝AN． （Ⅲ）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．    ∵△APM，△PBN都是等边三角形 ∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN ∵点C是PB的中点，且PN＝2PM， ∴2PC＝2PA＝2PM＝PB＝PN， ∵∠APC＝60°， ∴△APC为等边三角形， ∴∠PAC＝∠PCA＝60°， 又∵CA＝CB， ∴∠CAB＝∠ABC＝30°， ∴∠PAB＝∠PAC+∠CAB＝90°． 【点睛】本题是一道关于全等三角形的综合性题目，充分考查了学生对全等三角形的判定定理及其性质的应用的能力，此类题目常常需要数形结合，借助辅助线才得以解决，因此，作出合理正确的辅助线是解题的关键. 126．分层探究 （1）问题提出：如图1，点E、F别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF，解题思路：把△ABE绕点A逆时针旋转　 　度至△ADG，可使AB与AD重合．由∠FDG＝ADG+∠ADC＝180°，则知F、D、G三点共线，从而可证△AFG≌　 　（　 　），从而得EF＝BE+DF，阅读以上内容并填空． （2）类比引申：如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．探究：若∠B、∠D都不是直角，当∠B、∠D满足什么数量关系时，仍有EF＝BE+DF？ （3）联想拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，并且∠DAE＝45°．猜想BD、CE、DE的数量关系，并给出理由． 【答案】（1）90，△AFE，SAS；（2）∠B+∠D＝180°；（3）EF2＝BE2+FD2，理由见解析 【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，再证明△AFG≌△AFE进而得到EF＝FG，即可得EF＝BE+DF； （2）∠B+∠D＝180°时，EF＝BE+DF，与（1）的证法类同； （3）把△AFD绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，连接EE′，根据旋转的性质，可知△AFD≌△ABE′得到BE′＝FD，AE′＝AF，∠D＝∠ABE′，∠EAD＝∠E′AB，在Rt△ABD中的，AB＝AD，可求得∠E′BD＝90°，所以E′B2+BE2＝E′E2，证△AE′E≌△AE′F，利用FE＝EE′得到EF2＝BE2+FD2． 【详解】解：（1）∵AB＝AD， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合． ∴∠BAE＝∠DAG， ∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝45°， ∴∠EAF＝∠FAG， ∵∠ADC＝∠B＝90°， ∴∠FDG＝180°， ∴点F、D、G共线， 在△AFE和△AFG中， ， ∴△AFG≌△AFE（SAS）， ∴EF＝FG， 即EF＝BE+DF， 故答案为：90，△AFE，SAS； （2）当∠B+∠D＝180°时，EF＝BE+DF，如图2 ∵AB＝AD， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合， ∴∠BAE＝∠DAG， ∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝45°， ∴∠EAF＝∠FAG， ∵∠ADC+∠B＝180°， ∴∠FDG＝180°， ∴点F、D、G共线， 在△AFE和△AFG中， ， ∴△AFE≌△AFG（SAS）， ∴EF＝FG， 即EF＝BE+DF， 故答案为：∠B+∠D＝180°； （3）猜想：EF2＝BE2+FD2， 证明：把△AFD绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，连接EE′，如图3， ∴△AFD≌△ABE′， ∴BE′＝FD，AE′＝AF，∠D＝∠ABE′，∠EAD＝∠E′AB， ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB＝45°， ∴∠ABD+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°， ∴E′B2+BE2＝E′E2， 又∵∠FAE＝45°， ∴∠BAE+∠EAD＝45°， ∴∠E′AB+∠BAE＝45°，即∠E′AE＝45°， 在△AEE′和△AEF中， ， ∴△AEE′≌△AEF（SAS）， ∴EE′＝FE， ∴EF2＝BE2+DF2． 【点睛】本题主要考查了几何变换综合，结合全等三角形的性质与判定计算是关键． 题型二十二 全等三角形判定综合问题 127．在和中，，点D，点E分别在边，上，与交于点F．有以下四个条件：①；②；③；④．请你从中任选一个条件，使得，并说明理由． 注：如果选择多个结论分别作答，按第一个解答计分． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，先选择合适的条件，再证明两个三角形全等是关键．本题已经有条件，为公共角，再选择条件证明即可． 【详解】证明：选择①， ∵，， ∴， ∵，， ∴； 选择②，不能证明； 选择③， ∵，，， ∴； 选择④， ∵，，， ∴． 128．如图，在中，分别是的高，在上取一点P，使，在的延长线上取一点Q，使，连接与． (1)求证：； (2)判断与的位置关系并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）由同角的余角相等得到一对角相等，再由已知两对边相等，利用即可得证； （2）与垂直，理由为：根据（1）的结论得到，，利用等角的余角相等即可得证． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴， 在和中， ∴； （2），理由为： 由（1）得 ∴， 又， ∴， 则． 129．如图，点C在上，，，给出以下四个等量关系：①，②，③，④请你以其中两个为条件，另一个为结论，组成一个真命题，并证明． (1)条件：______，结论：______；（填序号） (2)写出你的证明过程． 【答案】(1)②③；① (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，命题，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质与判定组成真命题即可； （2）根据全等三角形的判定证明（1）中的命题即可． 【详解】（1）解：条件：①②或①③或①④或②③或②④或③④，结论：③或④；②或④；②或③；①或④；①或③；①或②；（答案不唯一） （2）证明： ∵， ， ， （1）条件：①②，结论：③或④时 ∵， ∴， 在和中 ， ∴． ∴③，④． （2）条件：①③，结论：②或④时 ∵， ∴， 在和中 ， ∴． ∴②，④． （3）条件：①④，结论：②或③时 ∵， ∴， 在和中 ， ∴． ∴②，③． （4）条件：②③，结论：①或④时 在和中 ， ∴． ∴，④． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴①． （5）条件：②④，结论：①或③时 在和中 ， ∴． ∴，③． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴①． （6）条件：③④，结论：①或②时 在和中 ， ∴． ∴，②． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴①． 130．如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)________．（用t的代数式表示） (2)当t为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，2或 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质，列代数式，解本题的关键是全等三角形性质的掌握． （1）根据点的运动速度可得的长； （2）根据全等三角形的性质即可得出即可； （3）此题主要分两种情况①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值． 【详解】（1）解：点从点出发，以秒的速度沿向点运动，点的运动时间为秒时，， 故答案案为：； （2）当时，， 理由：，， ， ， ， ， （3）①当时， ，， ， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：； ②当时， ， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：． 综上所述：当或时，与全等． 131．【情境再现】甲、乙两个含角的直角三角尺如图（1）放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图（2）位置．小莹用作图软件按图（2）作出示意图，并连接，如图（3）所示，交于E，交于F，通过证明，可得．（1）请你证明：． 【迁移应用】延长分别交所在直线于点，如图（4），（2）猜想并证明与的位置关系． 【答案】（1）见解析；（2）垂直，证明见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）根据得出，再由等腰三角形的性质得，并运用三角形全等的判定得出，即可证出． （2）由（1）可知，由此得出，根据相等角的转换得出，即可证出． 【详解】（1）证明：由题意可知， ， ， ， ， 即． 在和中， ， ， ． （2）猜想：，证明如下： 由（1）知，， ， ， ， ， ， ， ， ． 132．问题解决： （1）如图1，中，为边上的中线，则． （2）如图2，，，分别为，，的中点，则___________． （3）如图3，，，分别为，，的中点，若，则___________． 问题探究： （1）如图4，，是的中线，，交于点，与相等吗？ 解：中，由问题解决的结论可得，，． ． ． 即． （2）如图5，中，是上的一点，，是的中线，且，试求的值． 问题拓展： 如图6，中，平分，，则___________． 【答案】问题解决：（2）；（3）；问题探究：（2）；问题拓展： 【分析】问题解决：（1）根据等底等高的三角形面积相等即可得三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形； （2）根据三角形中线的性质，先求得的面积，再求得的面积，即可求得的面积； （3）根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形用表示出、、，的面积，然后表示出的面积，再表示出的面积，即可得解； 问题探究：（2）先求出，再结合即可解答； 问题拓展：延长交于，由“”可证，可得，由面积关系可求解． 【详解】解：问题解决：（1）如图1，中， ∵为边上的中线， ∴； （2）如图2，∵为的中点， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （3）如图3，连接， ∵点、分别为、的中点， ∴，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴； 故答案为：8； 问题探究：（2）如图5， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴； 问题拓展：，理由如下： 如图6，延长交于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！177 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 三角形章末重点题型复习 题型一 根据三角形中线求长度、面积 题型二 与三角形的高有关的计算问题 题型三 用SSS证明三角形全等（SSS） 题型四 用SAS证明三角形全等（SAS） 题型五 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 题型六 用HL证全等（HL） 题型七 线段垂直平分线的性质与判定 题型八 等边三角形的判定和性质 题型九 等腰三角形的性质和判定 题型十 含30度角的直角三角形 题型十一 角平分线性质的实际应用 题型十二 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型十三 折叠问题 题型十四 三角形尺规作图综合应用 题型十五 勾股定理的证明方法 题型十六 勾股定理的逆定理综合应用 题型十七 勾股定理的应用 题型十八 勾股定理的求最短路径 题型十九 三角形三边关系的应用 题型二十 三角形内角和定理的应用 题型二十一 全等三角的辅助线问题 题型二十二 全等三角形判定综合问题 题型一 根据三角形中线求长度、面积 1．如图所示，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（   ）    A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，在中，已知点，，分别是边，，上的中点，且 ，则的面积是（ ） A．3 B．2 C．1 D． 3．如图，已知为的中线，，，的周长为，则的周长为 ． 4．如图，的三条中线，，交于点．若，，则图中阴影部分的面积和为 ． 5．如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 6．综合与应用 【阅读材料】小桂和小林在学习了三角形之后，两人对“已知三边长的三角形的面积问题”进行了探究．他们首先各自查找了相关问题的资料． 小桂找到的资料如下： 《数书九章》是我国南宋著名数学家秦九韶的著作，书中记载了：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则这个三角形的面积公式为： 小林找到的资料如下： 古希腊数学家海伦在他的《测地术》著作中记载了：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，则三角形的面积为： 根据以上信息，回答以下问题： 【学以致用】（1）已知一个三角形的三边长分别为3，4，5． ①若利用小林提供的资料求这个三角形的面积，请直接写出p和S的值； ②请利用小桂提供的资料求这个三角形的面积． 【拓展应用】（2）在中，，点M是中点，N是边上的一个三等分点，连接，请求的面积． 题型二 与三角形的高有关的计算问题 7．在中，已知，，是上的高，是上的高，H是和的交点，的度数是（    ） A． B． C． D． 8．点E是长方形内任意一点，连接把长方形分成4个三角形，的面积分别记为．已知长方形的面积，则一定可求出的值是（    ） A． B． C． D． 9．如图中，是边的中线，是上的一点，分别是的中点，若的面积等于，则阴影部分的面积是 ． 10．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图1，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将沿虚线分割后拼接成长方形，如图2．若，，则的面积是 ． 11．在中，是边上的高． (1)如图1，若是边上的中线，，求的长． (2)如图2，若是的角平分线，时，求的度数． 12．如图，中，为中线，，分别为，的中点，且，于． (1) ； (2)若，求的长； (3)若交的延长线于，求证：． 题型三 用SSS证明三角形全等（SSS） 13．雨伞在开合过程中某一时刻截面图如图所示，伞骨，点分别是的中点，是支架，且，在将伞打开的过程中，总有，这里得到两个三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 14．下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容： 则回答正确的是（    ） A．☆代表对应边 B．※代表110° C．@代表ASA D．◎代表∠DCA 15．如图，C是的中点，，请添加一个条件 ，使． 16．阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一角等于已知角． 已知： （图 ） 求作：，使得 , 小明解答如图 所示： 老师说：“小明作法正确．” 请回答：小明的作图依据是 ； 17．如图，已知，，；求证：． 18．如图，在的边上取一点D，连接，在边的延长线上截取，点F在边下方，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，且的面积为1，则四边形的面积为 ． 题型四 用SAS证明三角形全等（SAS） 19．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 20．如图1，已知，D为的角平分线上面一点，连接、；如图2，已知，D、E为的角平分线上面两点，连接、、、；如图3，已知，D、E、F为的角平分线上面三点，连接、、、、、；…，依此规律，第9个图形中有全等三角形的对数是（   ） A．40 B．36 C．55 D．45 21．如图，在△ABC中，D是BC上的一点，CA=CD，CE平分∠ACB，交AB于点E，连接DE，若∠A=100°，∠B=45°，则∠BED= °． 22．如图，直线l为线段的垂直平分线，垂足为C，直线l上的两点E，F位于异侧（E，F两点不与点C重合）．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 ． 23．如图，，，三点在同一直线上，，，． 求证：． 24．如图，在长方形中，，点从点出发，以的速度沿向点运动(到点停止运动)，设点的运动时间为秒： (1)___________．（用含有的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 题型五 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 25．如图，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（    ） A．50 B．62 C．65 D．68 26．如图，抗日战争期间，为了炸毁敌人的碉堡，需要测出我军阵地与敌人碉堡的距离．我军战士想到一个办法，他先面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E上；最后，他用步测的办法量出自己与E点的距离，从而推算出我军阵地与敌人碉堡的距离，这里判定的理由可以是（        ）    A． B． C． D． 27．如图，在平行四边形中，平分交于点，过点作的垂线交于点，若，，则 ． 28．如图，两个半径相等的直角扇形的圆心C、E分别在对方的圆弧上，其中点C是的中点，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H．若直角扇形的半径为2cm，则图中阴影部分的面积等于 cm2． 29．如图，点E，C，D，A在同一条直线上，，，．求证：． 30．【探究与证明】 【问题呈现】如图①所示，已知在中，，，是的中线，过点作，垂足为，且交于点． 【问题提出】（1）小虎通过度量发现，请你帮他说明理由； 【尝试探究】（2）如图②所示，小明在图中添加了一条线段，且平分交于点，即可得，该结论正确吗？请说明理由； 题型六 用HL证全等（HL） 31．如图，OA是∠MON的角平分线，过A作一直线分别与∠MON的两边交于B、C两点，线段BC的垂直平分线交OA于点D，交BC于点P．若∠MON＝54°，则∠BDP＝（　　） A．54° B．63° C．66° D．72° 32．如图，在和中，，，，，三点在同一直线上，添加下列条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 33．如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数为 ． 34．如图，，cm，cm，点P在线段AC上，以每秒2cm的速度从点A出发向C运动，到点C停止运动，点Q在射线AM上运动，且，当点P的运动时间为 秒时，△ABC才能和△PQA全等． 35．如图，在和中，于于与相交于点O．求证：．    36．【问题提出】 满足两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形是否全等？ 【初步思考】 在和中，，，，然后对是直角、钝角、锐角进行分类． 【深入探究】    (1)当是直角时，如图1，在和中，，，，根据__________，可以知道． (2)当是钝角时，如图2，在和中，，，，求证：． (3)当是锐角时，请你用尺规在图3中作出，满足，，，但和不全等．（不写作法，保留作图痕迹） 题型七 线段垂直平分线的性质与判定 37．某同学做了一个如图所示的风筝，其中，．则下列结论不一定正确的是（    ）      A． B． C．垂直平分 D．点与点关于直线对称 38．如图，在四边形中，，P为边的中点，连接．若，，且，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 39．如图，在中，，垂足为D，PQ是BC边的垂直平分线，交BC于点Q，交AC于点P，．若的周长是，，则的长是 ． 40．如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点P，这两条垂直平分线分别交边与点M、N．的周长为16厘米，连接，若的周长为34厘米，则的长为 ． 41．如图，已知，点P为的平分线上一点，，，垂足分别为E、F (1)求证∶ (2)若，求证：点P在的垂直平分线上． 42．（1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连接，这样就把，，集中在中，则中线的取值范围是______． （2）如图2，在中，D是边的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接．试判断与之间的大小关系，并说明理由． （3）如图3，在四边形ABCD中，，，，以C为顶点作，边，分别交，于点E，F，连接．试判断，与之间的数量关系，并说明理由． 题型八 等边三角形的判定和性质 43．如图，在中，D是上一点，于点E，的延长线与的延长线交于点F，，试判断的形状，并说明理由． 44．如图，在和中，，，且，与交于点，若． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 45．已知为等边三角形，点从点出发，沿射线运动，速度为，同时，点从出发以与点相同的速度沿方向在射线上运动，连接，与直线相交于点． (1)如图，当点为边的中点，且的边长为时． ①求的长； ②求的长； (2)在点的运动过程中，过点作直线的垂线，垂足为，线段中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 46．如图，已知：和都是等边三角形，点分别是上的点，点是线段延长线上的一点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图1，若，求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，点是线段的中点，连接并延长至使得，交于，连接，求证：是等边三角形． 47．【问题呈现】小刚在数学兴趣小组活动中遇到一个几何问题：如图1，，均为等边三角形，与交于点M，与交于点N，与交于点P，连接．探究、、之间的数量关系． 【问题分析】小刚通过截长补短法先构造等边三角形，再利用三角形全等，将线段进行转换，进而解决上述问题（注：截长补短法是把几何题化难为易的一种思路，这种方法常用于证明两条短线段之和等于第三条长线段） 【问题解决】如图2，在上取点F，使得，连接，在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： (1)求证：； (2)求证：； (3)试探究之间的数量关系，并说明理由． 48．综合与实践 【问题初探】如图（1），直线上任取一点，在直线的上方作，且．过点作，，垂足分别为，．则线段，，之间的数量关系为___________； 【问题迁移】如图（2），点在的边上，是内部的一条射线，点是射线上的点，连接分别是的外角，且．则线段之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【问题拓展】如图（3），直线上有依次互不重合的三点，在直线上方作，且满足．点是角平分线上一点，且，连接，．请判断的形状；并说明理由． 题型九 等腰三角形的性质和判定 49．如图，在等腰中，，为边上的动点（不与点，重合），过点作射线交于点，使． (1)判断与的大小关系，并说明理由； (2)当为等腰三角形时，求的度数（用含的式子表示）． 50．如图，，点D、点E分别是，的中点． (1)求证：； (2)设、相交于点F，连接，证明：是等腰三角形． 51．（1）【自主学习】填空：如图1，点是的平分线上一点，点在上，用圆规在上截取，连接BC，可得___________，其理由根据是___________； （2）【理解拓展】：如图2，在中，，平分，试判断和之间的数量关系并写出证明过程． 52．请根据要求完成下列试题的解答． (1)如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并证明你的结论． (2)如图2，，，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G．直接写出图中所有的等腰三角形； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 53．综合与实践 物理情景：从大量实验研究得出结论：光反射时，反射光线，入射光线与法线在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线的两侧，反射角等于入射角．这个结论在物理学中称为光的反射定律，如图所示． 实践探究：如图，点光源发射出的一束光线在平面镜上发生反射，为入射点，反射光线与直线相交于点．若，， (1)_______（填“”，“”或“”） (2)若，求点的坐标． 54．数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称为“手拉手模型”． 求证：，请你完善下列过程． 证明：∵， ∴即 在和中， ∴（    ）③ (2)【模型应用】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点D，使，求：的度数．小颖同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点E，使，最后使问题得到了解决．请你帮她写出解答过程． (3)【拓展延伸】如图，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点向右下方延伸．仍在射线上取点，使，请直接写出与的数量关系． 题型十 含30度角的直角三角形 55．如图，中，，，，D为上一动点，垂直平分分别交于E、交于F，则的最大值为（   ） A． B． C． D．2 56．如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A． B． C． D． 57．如图，将等边三角形和等腰直角三角形重叠摆放，，点D，E分别在边上，且．若，则的面积等于 ． 58．（1）如图，，．点C在射线上，若想通过画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．画图时选取的的长可以为 （精确到） （2）若为锐角，，点C在射线上，点B到射线的距离为d，，若的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是 ． 59．如图，在中，，平分，交于点，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 60．综合与探究：如图，已知，中，，点D为边上一点，连接，将沿直线折叠，得到，作平分交于F． 【尝试发现】 （1）①若，则 ； ②若，则 ； ③若，则 （用含的式子表示）； 【简单应用】 （2）如图1，若，，求证：； 【拓展延伸】 （3）如图2，若，过点F作的垂线交延长线于点G，在延长线上取点H，使，，试探究，，三条线段之间的数量关系并证明． 题型十一 角平分线性质的实际应用 61．如图，已知平分，，，，分别是线段，上的点，连接，，且，求证：． 62．已知：如图，，平分,平分，交于点，于点，求证：点到与的距离相等． 63．如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积． 64．如图，在中，是它的角平分线，． (1)求的值； (2)求证：； (3)求的长． 65．如图1，点满足，点D是线段上一动点，过点A作于点C，延长交y轴于点E，连．    (1)点A的坐标是 ；B的坐标是 ； (2)求的度数； (3)如图2，过点D作，交的垂线于点F，当时，求的长度． 66．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图①，在中，平分，，求证：； 小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法一：如图②，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决问题； 方法二：如图③，延长到点E，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而解决问题.    (1)根据以上材料，任选一种方法证明：； (2)如图④，四边形中，E是上一点，，，，探究，，之间的数量关系，并证明. 题型十二 根据成轴对称图形的特征进行求解 67．如图，在中，，P是上一定点，M、N分别是上的动点，当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 68．如图，在五边形中，，，，，在、上分别找一点、，使得的周长最小时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 69．如图，在四边形中，，，M，N分别是边，上的动点，当的周长最小时， ． 70．如图，在中，，，，，点是上的一个动点（点与点不重合），连接，作点关于直线的对称点，当点在的下方时，连接、，则面积的最大值为 ． 71．已知三角形纸片（如图），将纸片折叠，使点A与点C重合，折痕分别与边交于点D、E，点B关于直线的对称点为点F． (1)画出直线和点F； (2)连接，如果，求的度数； (3)连接，如果，且的面积为4，求的面积． 72．如图，中，，，过点作，且，连接．    (1)如图1，若，则的面积为 ． (2)如图2，若，（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由； (3)如图3，将沿翻折，得到，，连接．试直接用含的式子表示的面积．（不写探究过程） 题型十三 折叠问题 73．在中，，，，点，分别在，上，沿将翻折，使顶点的对应点落在边上，若，求的长． 74．如图，已知四边形纸片的边，是边上任意一点，沿折叠，点落在点的位置． (1)如图①．点落在四边形的内部，探索，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，点落在边的上方，设与交于点，直接写出，，之间的数量关系．不需要说明理由． 75．如图1是长方形纸带，将长方形沿折叠成图2，使点C、D分别落在点、处，再沿BF折叠成图3，使点、分别落在点、处． (1)若，求图1中的度数； (2)在（1）的条件下，求图2中的度数； (3)利用图3，说明的理由． 76．已知长方形纸片，点在边上，点，在边上，连接，．将对折，点落在直线上的点处，得折痕；将对折，点落在直线上的点处，得折痕．      （1）如图（1），若点与点重合，求的度数； （2）如图（2），若点在点的右侧，且，求的度数； （3）若，请直接用含的式子表示的大小． 77．阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线．    (1)如图1，若，则______； (2)折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． ①如图2，当点在上时，求的大小； ②如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 78．趣味探究：“折纸中的数学” AI    (1)如图1，折叠长方形纸片，使点A落在边上的点C处，折痕为，展开纸片可得到一个正方形，则的度数为__________． (2)如图2，将（1）中的正方形纸片的和分别沿和折叠，使点A落在上的点处，使点C落在上的点处，与重合．猜想的度数，并说明理由． 下面是小明同学的解答过程，请你补充完整．猜想． 理由如下：因为将沿折叠，所以， 因为将沿折叠，所以__________， 因为__________， 所以． (3)如图3，将（1）中的正方形纸片的沿折叠．使点A落在点处，将纸片展开后，再如图4将沿折叠，使点C落在点处，点与点重合．猜想的度数，并说明理由． 题型十四 三角形尺规作图综合应用 79．在如图的三角形中，若，哪些能被过一个顶点的一条直线分成两个小等腰三角形？能被过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形的请作出这条直线． 80．已知：在中，是边上的高． (1)尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作图过程）； (2)在（1）的条件下：若，，求的度数． 81．如图，在中，，． (1)【实践与操作】用尺规作线段的垂直平分线，交于点，交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)【应用与计算】在（1）的条件下，连接，请解答以下问题： ①求的度数； ②填空：若，则的长为______________． 82．如图，在中，按以下步骤作图： ①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和； ②作直线，分别交，于点和，连接．    (1)直线垂直平分线段吗？请说明理由． (2)若是的中点，且，求的度数． 83．如图，在中，的平分线交于点D． (1)在上求作一点E，使，（不要求写作法，保留作图痕迹）；根据三角形全等的有关知识，作图依据是______；（提示：） (2)根据（1）中的作图，证明：； (3)已知，的周长为15，求的周长． 84．数学发烧友小附在探究等腰三角形面积时，发现一个规律：如图，在中，，，以为边向下构造等边，就可以得到．请根据小附的探究思路完成下面的作图与填空： 如图，在中，， (1)用直尺和圆规，在下方作，在射线上截取，连接交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）所作的图中，求证．（请补全下面的证明过程） 证明：在中，，且， ， ， ， ， 是等边三角形． ，， ， 在和中， ， （）， ． ， ． 小附总结：顶角为的等腰三角形的面积与 的面积相等． 题型十五 勾股定理的证明方法 85．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（    ） A． B． C．   D． 86．意大利著名画家达·芬奇用如图所示（四边形，四边形，四边形都为正方形，设图①中空白部分的面积为，图③中空白部分的面积为）的方法验证了勾股定理，步骤如下所示，则下列判断不正确的是（    ） 第一步：由图①可得； 第二步：由图③可得 第三步：由，可验证    A．★表示 B．●表示 C．◆表示= D．▲表示 87．把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点，，在同一条直线上，利用此图的面积表示式可以得到一个关于，，的代数恒等式，则这个恒等式是 ． 88．如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为： ； 89．弦图（图1），在三国时期被赵爽发明，是证明勾股定理几何方法中最为重要的一种图形．2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是我国古代数学家赵爽画的“弦图”，体现了数学研究中的继承和发展．在学习了勾股定理后，小亮同学受此启发，探究后发现，若将4个直角边长为、，斜边长为的直角三角形（图2中涂色部分）拼成如图所示的五边形．通过两种方法计算它的面积可以验证勾股定理，请利用图2完成勾股定理的验证．    90．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，图1中的2个全等的直角三角形可以拼成不同的图形，用来证明勾股定理． (1)把两个全等的直角和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，可得．请用a，b，c分别写出梯形，四边形，的面积，再根据这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)若图1中，，图3中方格纸中的小正方形的边长为1，请你用两种不同的方式将图1中两个全等的直角三角形放入图3的两个五边形中，并涂上阴影，则图3（1）中空白部分的面积为________，图3（2）中空白部分的面积为________，从而得到． (3)用（2）中4个全等的直角三角形（，）拼成如图4中的形状，则这个图形外围轮廓（实线）的周长为________． 题型十六 勾股定理的逆定理综合应用 91．如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 92．某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．图1是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图，，，，，，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是（    ） A．40800元 B．91600元 C．60800元 D．48000元 93．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为，宽为，对角线为，这个桌面 （填“合格”或“不合格”） 94．如图是一个提供床底收纳支持的气压伸缩杆，除了是完全固定的钢架外，，，属于位置可变的定长钢架．如图1所示，，，，伸缩杆的两端分别固定在，两边上，其中，．当伸缩杆打开最大时，如图2所示，成，此时，则可变定长钢架的长度为 ．当伸缩杆完全收拢时，，则此时床高（与之间的距离）为 ． 95．如图是某班的劳动实践基地，经测量，，，，． (1)求的长； (2)连接，试判断的形状． 96．学科实践 项目主题 为校园空地设计创意花坛 项目背景 “综合与实践”小组的同学为学校一块空地设计创意花坛． 实践工具 卷尺、铅笔等． 设计说明 如图，是校园里的一块空地，线段，是将该空地分割成两块区域的花栏，其中区域内种植矮牵牛，另一区域种植三色堇，并沿三角形空地外围安装一圈篱笆． 测量数据 通过测量得到：，，，，． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求所需篱笆的总长（接口处忽略不计）； (2)若种植三色堇的费用为每平方米60元，求学校按上述设计种植三色堇所需的费用． 题型十七 勾股定理的应用 97．如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度，，，求滑梯的水平距离的长． 98．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送3m，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．    (1)求秋千的长度； (2)如果将秋千往前推送4米，求此时踏板离地的垂直高度为多少？ 99．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为．    (1)求旗杆在距地面多高处折断（即求的长度）． (2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部米处是否有被砸伤的风险？ 100．现代电视屏幕尺寸的设计，主要追求以下目标：一是更符合人体工程学要求（宽与长的比接近与0.618）；二是设计适当的长宽比使屏幕的面积尽可能大现行的电视机屏幕有“宽屏”和“普屏”两种制式，宽屏的长宽比为；普屏的长宽比为． （1）哪种屏幕更适合人体工程学要求？请说明理由． （2）一般地，电视屏幕的“几寸”指的是这个屏幕的长方形的对角线长有多少英寸，1英寸，小明家想买80寸的宽屏电视机（边框宽都为），并嵌入到墙中．则需要预留的长方形位置的长、宽各多少？（最后结果保留到整数，，） （3）在相同尺寸的电视机屏幕中，宽屏的屏幕面积大还是普屏的屏幕面积大？请说明理由． 101．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域处，在沿海城市的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过4级，则称受台风影响．（提示：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半） 试问： (1)城市是否会受到台风影响？ (2)若会受到台风影响，该城市受到台风影响的最大风力为几级？ (3)若会受到影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 102．【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值． 题型十八 勾股定理的求最短路径 103．如图，图柱形木桩底面周长是，高为，在木桩底部S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的木桩另一面距顶部的点处有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（   ） A． B． C． D． 104．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（　　） A． B． C． D． 105．如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点P在棱上，，若一只蚂蚁从A点开始沿图中3个侧面（即沿）爬行到达P点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 ． 106．如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间长而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面直径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 的路程． 107．（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图2，长方体的长为，宽为，高为．现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 108．综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 题型十九 三角形三边关系的应用 109．已知的三边长分别为，，． (1)化简：． (2)若，，且三角形的周长为偶数，求的值． 110．如图，已知中，大于其它两边，分别在上，连接．求证：． 111．【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”例如，三边为，，的三角形是“好运三角形”． (1)【概念运用】在中，，，若为“好运三角形”，求的长； (2)【变式运用】已知的周长为，，若的长为偶数，试判断是否为“好运三角形”． 112．如图，用直尺在四边形内找一点（保留画图的痕迹），使点到四边形四个顶点的距离的和最小，用一段文字表达这样找点的依据．    113．某市木材市场上的木棒规格与价格如下表： 规格 价格/（元/根） 小明的爷爷要做一个三角形的支架用来养兔子，在木材市场上已经购买了两根长度分别为和的木棒，还需要购买一根． (1)有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？ (2)在能做成三角形支架的情况下，要求做成的三角形支架的周长为4的倍数，则小明的爷爷做三角形支架，买木棒一共花了多少元？ 114．若一个多项式的值恒为非负数，我们则称这个多项式为“和美多项式”．例如多项式可做如下变形： ， ， ， 即的值恒为非负数，且当时，多项式有最小值，最小值是2． 根据以上阅读材料，完成下列问题： (1)下列多项式是“和美多项式”的是________； （1）；（2）；（3）． (2)试证明多项式是“和美多项式”，并求出它的最小值； (3)已知是的三边长（三边不相等），，且c是中最长边的长，则c的取值范围为____________． 题型二十 三角形内角和定理的应用 115．如图，已知D为的边延长线上一点，，垂足是F，交于点E，，，求的度数．    116．如图，在中，比大，点D，E分别在上，连接，． (1)求的度数； (2)判断与之间的位置关系，并说明理由． 117．如图，在中，点分别在边上，，，与交于点． (1)若，，则 ； (2)若，求证：． 118．要度量作业纸上两条相交直线所夹锐角的大小，如图发现其交点不在作业纸内，无法直接度量． (1)小明的方案：画直线与直线相交，如图1，测得，，则____（用含的代数式表示）； (2)小刚的方案：画直线与相交，交点为，作出，的平分线且相交于点，如图．若测得，则等于多少？（用含的代数式表示） (3)你还有什么方法，（作图工具不限）请在图中补全，写出必要的文字说明． 119．综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三个内角度数的一半． （1）如图1，在中，点是的内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程； 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 （2）如图2，在中，．延长至，延长至，已知的平分线与外角的平分线相交于点，外角的平分线与的延长线相交于点，求的度数； 【变式拓展】 （3）如图3，四边形的内角的平分线与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，则的度数和是__________． 120．已知，是平面内任意一点，，，，中任意三点都不在同一直线上，连接，．设，，，． (1)如图，点在内部． ①若，，，则________； ②探究，，，之间的数量关系，并证明你得到的结论． (2)当点在外部时，请直接写出，，，之间所有可能的数量关系，并画出相应的图形． 题型二十一 全等三角的辅助线问题 121．如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC． 122．（1）如图，，．求证：． （2）如图，，．求证：． 123．如图，交于，交于平分平分，直线经过点并与分别交于点．    (1)如图①，求证：； (2)如图②，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 124．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． (1)如图（1），是的中线．且．延长至点．使．连接．求证：． (2)如图（2），是的中线，点在的延长线上，，，求证：． 125．已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．    （Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想； （Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由． （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数． 126．分层探究 （1）问题提出：如图1，点E、F别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF，解题思路：把△ABE绕点A逆时针旋转　 　度至△ADG，可使AB与AD重合．由∠FDG＝ADG+∠ADC＝180°，则知F、D、G三点共线，从而可证△AFG≌　 　（　 　），从而得EF＝BE+DF，阅读以上内容并填空． （2）类比引申：如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．探究：若∠B、∠D都不是直角，当∠B、∠D满足什么数量关系时，仍有EF＝BE+DF？ （3）联想拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，并且∠DAE＝45°．猜想BD、CE、DE的数量关系，并给出理由． 题型二十二 全等三角形判定综合问题 127．在和中，，点D，点E分别在边，上，与交于点F．有以下四个条件：①；②；③；④．请你从中任选一个条件，使得，并说明理由． 注：如果选择多个结论分别作答，按第一个解答计分． 128．如图，在中，分别是的高，在上取一点P，使，在的延长线上取一点Q，使，连接与． (1)求证：； (2)判断与的位置关系并证明你的结论． 129．如图，点C在上，，，给出以下四个等量关系：①，②，③，④请你以其中两个为条件，另一个为结论，组成一个真命题，并证明． (1)条件：______，结论：______；（填序号） (2)写出你的证明过程． 130．如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)________．（用t的代数式表示） (2)当t为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 131．【情境再现】甲、乙两个含角的直角三角尺如图（1）放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图（2）位置．小莹用作图软件按图（2）作出示意图，并连接，如图（3）所示，交于E，交于F，通过证明，可得．（1）请你证明：． 【迁移应用】延长分别交所在直线于点，如图（4），（2）猜想并证明与的位置关系． 132．问题解决： （1）如图1，中，为边上的中线，则． （2）如图2，，，分别为，，的中点，则___________． （3）如图3，，，分别为，，的中点，若，则___________． 问题探究： （1）如图4，，是的中线，，交于点，与相等吗？ 解：中，由问题解决的结论可得，，． ． ． 即． （2）如图5，中，是上的一点，，是的中线，且，试求的值． 问题拓展： 如图6，中，平分，，则___________． 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