第十二章 三角形 知识归纳与题型突破（12类题型60道） -2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（北京专用，北京版）

第12章 三角形 知识归纳与题型突破（12类题型60道） 01 思维导图 02 知识速记 一 三角形及相关概念 1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“Δ”表示。 2、顶点是A、B、C的三角形，记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”。 3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边，即边AB、BC、AC，有时也用a，b，c来表示，顶点A所对的边BC用a表示，边AC、AB分别用b，c来表示； 4、∠A、∠B、∠C为ΔABC的三个内角。 二 三角形中三边的关系 1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c>a；a-b<c,a-c<b,b-c<a。 2、判断三条线段a,b,c能否组成三角形： （1）当a+b>c,a+c>b,b+c>a同时成立时，能组成三角形； （2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。 3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即. 三 三角形中三角的关系 1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。n边行内角和公式（n-2） 2、三角形按内角的大小可分为三类： （1）锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形； （2）直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。 （3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。 3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。 4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。 四 三角形的三条重要线段 1、三角形的角平分线： （1）三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。（内心） 2、三角形的中线： （1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。 （2）三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点。（重心） （3）三角形的中线把这个三角形分成面积相等的两个三角形 3、三角形的高线：（1）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高。（2）任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。（垂心）（3）注意等底等高知识的考试 五 全等图形 1、两个能够重合的图形称为全等图形。 2、全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相同。 六 全等三角形 1、能够重合的两个三角形是全等三角形，用符号“≌”连接，读作“全等于”。 2、用“≌”连接的两个全等三角形，表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 七 全等三角形的判定 1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。 2、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。 3、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。 4、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。 八 等腰三角形 1等腰三角形：等腰三角形是轴对称图形,有一条对称轴（等边三角形除外）,其底边上的高或顶角的平分线,或底边上的中线所在的直线都是它的对称轴； 2三线合一：等腰三角形底边上的高,底边上的中线,顶角的平分线互相重合,简称为“三线合一”； 3等腰三角形的两个底角相等,简写成“等边对等角”； 4等边三角形：等边三角形是指三边都相等的三角形,又称正三角形，等边三角形有三条对称轴,三角形的高、角平分线和中线所在的直线都是它的对称轴； 5等边三角形的三边都相等,三个内角都是600。 6等腰三角形与等边三角形的区别与联系 图形 定义 性质 等腰三角形 有两边相等的三角形 1、两腰相等,两底角相等。 2、顶角=1800-2×底角。底角=（1800-顶角）/2。 3、顶角的平分线、底边上的中线和高“三线合一”。 4、轴对称图形,有一条对称轴。 等边三角形（又叫正三角形） 三边都相等的三角形 1、三边都相等,三内角相等,且每个内角都等于600。 2、具有等腰三角形的所有性质。 3、轴对称图形,有三条对称轴。 九 轴对称 1 轴对称图形 （1）如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴。 （2）线段、角、长方形、正方形、等腰三角形、圆都是轴对称图形； （3）对称轴是直线而不是线段； 2 轴对称 （1） 轴对称：对于两个图形,如果沿一条直线对折后,它们能互相重合,那么称这两个图形成轴对称,这条直线就是对称轴。可以说成：这两个图形关于某条直线对称。 （2） 轴对称与轴对称图形的区别与联系： 轴对称图形 轴对称 区别 是一个图形自身的对称特性 是两个图形之间的对称关系 对称轴可能不止一条 对称轴只有一条 共同点 沿某条直线对折后都能够互相重合 如果轴对称的两个图形看作一个整体,那么它就是一个轴对称图形； 如果把轴对称图形分成两部分（两个图形）,那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。 3角平分线的性质 （1）角平分线所在的直线是该角的对称轴。 （2）性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（距离强调垂直） 4 线段的垂直平分线 （1）线段的垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,又叫线段的中垂线。 （2）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。 5 轴对称的性质 （1）轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分（2）那么对应线段（3）对应角都相等。 （2）全等的图形不一定轴对称,但轴对称的图形一定全等。 十 勾股定理 1.勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 2.勾股定理逆定理 如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 03 题型归纳 题型一　等腰三角形求边长或周长 例题 1．等腰三角形的两边长分别是2和7，则它的第三边长是（    ） A．2 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论． 分第三边是7和第三边是2两种情况，再根据三角形任意两边之和大于第三边讨论求解即可． 【详解】解：①若第三边是7，三角形的三边分别为2、7、7， 能组成三角形， 所以，第三边为7； ②若第三边是2，三角形的三边分别为2、2、7， ∵， ∴不能组成三角形， 综上所述，第三边为7． 故选：B． 巩固训练 2．已知的三边长分别为，5，6，当为等腰三角形时，a的值为（     ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，分类讨论是解答的关键．根据等腰三角形的定义，分、两种情况，结合三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：根据题意，当即时，的三边长分别为5，5，6，满足，能构成等腰三角形； 当即时，的三边长分别为5，6，6，满足，能构成等腰三角形， 综上，当为等腰三角形时，a的值为4或5， 故选：C． 3．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若一边长是，则腰长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分类讨论是解题的关键． 根据等腰三角形的定义以及构成三角形的条件分类讨论，分析即可求解． 【详解】解：依题意，若长的边为腰，则三角形的底边长为，三边分别为，而，不能构成等腰三角形， 若长的边为底，则三角形的腰长为，三边分别为，而，能构成等腰三角形， ∴三角形的腰长为 故选：B． 4．等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个三角形的周长为（　　） A．16 B．20 C．12 D．16或20 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分腰长为4和腰长为8两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当腰长为4时，，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为8时，三角形的周长为：； 故选B． 5．已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长是 (　　) A．7 B．9 C．12 D．10或12 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义．根据和可分别作等腰三角形的腰，结合三角形的三边关系，分别讨论求解． 【详解】解：当为腰时，三边为，，，，不符合三角形的三边关系，不能构成三角形， 当为腰时，三边为，，，，符合三角形的三边关系， 周长为：． 故选：C． 题型二　等腰三角形求角度 例题 6．若等腰中，，有一个内角等于，那么的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到，再运用三角形的内角和定理即可求解，注意分类讨论． 【详解】解：∵， ∴， 当顶角为，即，则， 当底角为，即， ∴的度数为或， 故选：D． 巩固训练 7．若等腰三角形的一个内角等于，则另外两个角的度数分别是（    ） A．， B．， C．， D．，或， 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义和三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 已知给出了一个内角是，没有明确是顶角还是底角，所以要分类讨论，利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：分情况讨论： （1）若等腰三角形的顶角为时，另外两个内角＝； （2）若等腰三角形的底角为时，它的另外一个底角为，顶角为． 故选：D． 8．若等腰三角形的一个内角是，则这个三角形最大的内角的度数是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对问题进行分类讨论是解答此题的关键．先知有两种情况顶角是和底角是时，然后确定出其它的角，从而确定出答案． 【详解】解：如图所示，中，． 有两种情况：顶角时，则两个底角都为：； 当底角是时， ， ， ． 综上，这个三角形最大的内角的度数是或． 故选D． 9．等腰三角形中有一内角等于，那么这个三角形的最小内角的度数为（   ）度 A．50 B．20 C．40或50 D．20或50 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理．先分情况讨论：是等腰三角形的底角或是等腰三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算． 【详解】解：当是等腰三角形的顶角时，则底角就是； 当是等腰三角形的底角时，则顶角是． ∴这个三角形的最小内角的度数为20或50， 故选：D． 10．若等腰三角形的一个角为，则它的底角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．熟练掌握等边对等角，是解题的关键．分这个角是底角和顶角，两种情况讨论求解． 【详解】解：当这个角为底角时：，满足题意； 当这个角是顶角时：它的底角的度数是； 综上：等腰三角形的底角度数为或； 故选：D． 题型三　三角形三边关系 例题 11．已知三角形的两边长分别是3和6，则这个三角形第三边长不可能是（    ） A．8 B．7 C．5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系．根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进行判断作答即可． 【详解】解：∵三角形的两边长分别是3和6， ∴第三边长， 即第三边长， 8，7，5，3中，只有3不在该范围内， 故选：D． 巩固训练 12．聪聪用三根小棒围成一个三角形，其中两根小棒的长度是4厘米和6厘米，则第三根小棒的长度可能是（　　） A．9厘米 B．10厘米 C．11厘米 D．12厘米 【答案】A 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和第三边，任意两边之差第三边． 设第三根木棒长为x厘米，根据三角形的三边关系可得，确定x的范围即可得到答案． 【详解】解：设第三根木棒长为x厘米， 由题意得：，即． ∴第三根小棒的长度可能是9厘米． 故选：A． 13．某三角形的三边长分别为3，6，，则不可能是（   ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了确定三角形第三边的取值范围．熟练掌握确定第三边的取值范围是解题的关键． 由题意知，，即，然后判断作答即可． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，6，， ∴，即， ∴不可能是， 故选：D． 14．已知三角形两边长分别为3和5，则第三边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，熟知“三角形任何一条边大于其它两边之差且小于其它两边之和”是解题的关键． 根据三角形三边之间的关系即可解答． 【详解】解：根据三角形三边的关系得：， 即， 故选：D． 15．一个三角形的两边长分别是12和5，第三边的长恰好是7的整数倍，那么第三边的长是（   ） A．7 B．14 C．21 D．14或21 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，再根据第三边的长恰好是7的整数倍，进行判断即可． 【详解】解：∵三角形的两边长分别是12和5，设第三边长为， ∴，即：， ∵第三边的长恰好是7的整数倍， ∴第三边的长是； 故选B． 题型四　三角形折叠问题 例题 16．如图，将三角形纸片沿折叠，点A落在点F处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得，，结合平角的定义，列式计算解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，折叠的意义，平角的定义，熟练掌握折叠的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 巩固训练 17．如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点、分别是边、上，将沿着折叠压平，与重合，若，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及折叠问题；根据三角形的内角和等于求出，再根据翻折变换的性质可得，然后利用平角等于列式计算即可得解． 【详解】解：， ， 沿着折叠压平，与重合， ， ． 故选：B． 18．将按如图所示沿进行翻折，若，，则的度数为（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质．由折叠的性质得，，结合平角的性质求得，，再利用三角形的外角性质求得的度数，据此求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得，，    ∵，， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 19．如图，把三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形外部时，则与、之间的数量关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质、三角形外角的性质； 根据折叠的性质可得，根据平角等于用表示出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用与表示出，然后利用三角形的内角和等于列式整理即可解答． 【详解】解：如图： 由折叠得，， 又∵，， ∴， ∴． 故选：A． 20．如图所示，在中，将点A与点B分别沿和折叠，使点A，B都与点C重合，若，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，折叠的性质是解题关键．根据折叠的性质得，，，再根据三角形内角和定理，最后由求的度数． 【详解】解：将点与点分别沿和折叠，使点、与点重合， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得 故选：B． 题型五　三角形的外角 例题 21．如图，是的外角，平分，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角的性质以及角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 根据三角形外角的性质得出，再根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴． 故选：C． 巩固训练 22．如图，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角的n等分线，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质．掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和‌是解题关键．由题意得出，，结合三角形外角的性质可求出，从而可求出，，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵的三等分线分别与的平分线交于点，， ∴，． ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选C． 23．如图，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质，根据三角形外角的定义和性质可知，代入计算即可． 【详解】解：∵是的一个外角， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 24．如图，在中，是角平分线，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是角平分线，得到，结合，计算即可． 本题考查了角的平分线，三角形外角性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵是角平分线，且， ∴， ∵，， ∴． 故选C． 25．如图，的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和，则，，据此可得答案． 【详解】解：由三角形外角的性质可得，， ∴， 故选：B． 题型六　利用中线求面积 例题 26．如图，在中，点D是的中点，，若的面积为10，则的面积是（    ） A． B．1.5 C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积得到，再由题意得到，则． 【详解】解：∵在中，点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 巩固训练 27．如图在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是8，则的面积是（　　） A．2 B．4 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，由点为的中点得出，由点为的中点得出，最后再由点为的中点即可得出答案． 【详解】解：∵点为的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴，， ∴，即， ∵点为的中点， ∴， 故选：A． 28．如图，为的中线，E为中点，，面积等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，解题的关键在于理解三角形中线能将三角形分为面积相等的两个三角形．根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形解答即可． 【详解】解： 为的中线，， ， E为中点， ． 故选：B． 29．如图，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积、三角形中线的性质，解决问题的关键是掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．根据中线的性质，得到，，进而推出，，即可解题． 【详解】解： 的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点， ， ， ， ， ， 连接， ， 的面积是， 故选：D． 30．如图，的面积为，点D在边上，E是的中点，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据E是的中点，得出，进一步可得，，最后利用计算即可． 【详解】解：∵E是的中点， ∴， ∴，， ∴， 故选；D． 题型七　轴对称图形 例题 31．在一些美术字中，有的汉字可以看成轴对称图形．下面4个汉字中，可以看成轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意； B．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故此选不项符合题意； 故选：A． 巩固训练 32．下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；依次进行判断即可． 【详解】 解：图形中是轴对称图形的是． 故选：B 33．下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解题的关键．利用轴对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，故符合题意； D、不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：C． 34．如图所示不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：选项A、B、D的图形能找到一条或多条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 选项C的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：C． 35．下列图案，既可以由平移变换得到，又可以由旋转变换得到，还可以由轴对称变换得到的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移，旋转，轴对称的基本概念，根据平移，旋转，轴对称的定义即可作出判断．解题的关键是掌握平移，旋转，轴对称的判定方法． 【详解】解：选项A的图形可以由旋转变换得到，但不能由平移变换和轴对称得到，故A不符合题意； 选项B的图形可以通过旋转变换和平移变换得到，但不能由轴对称得到，故B不符合题意； 选项C的图形可以由平移变换得到，又可以由旋转变换得到，还可以由轴对称变换得到，故C符合题意； 选项D的图形可以由旋转变换和轴对称变换得到，但不能由平移变换得到，故D不符合题意； 故选：C． 题型八　添加条件证全等 例题 36．如图所示，已知，则再添加条件 （只填一个），可证出． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据全等三角形的判定求解作答即可． 【详解】解：由题意知，添加条件为， ∵，，， ∴， 故答案为：． 巩固训练 37．已知：如图，，只需补充条件 ，就可以根据“”得到． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．根据的判定方法可得出答案． 【详解】解：补充条件． 理由：在和中， ， ， 故答案为：． 38．如图，，请补充一个条件： 使． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．根据全等三角形的判定方法，进行解答即可． 【详解】解：∵，， ∴根据，可以添加，使得； 根据，可以添加，使得； 故答案为：或． 39．如图，已知，要使，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个，不添加辅助线） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，解题的关键是熟记全等三角形的判定方法，包括：．结合已知条件，根据等三角形的判定方法添加条件即可． 【详解】解：当时， ∵， 在和中， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 40．如图，在四边形中，连接，，若要使，则可以添加条件 ．（填一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，熟记定理内容是解题关键． 【详解】解：∵，， 若添加，则可根据“”判定； 故答案为：（答案不唯一）． 题型九　角平分线的性质 例题 41．如图，是的角平分线，于点，若，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过点作于点，由角平分线的性质可知，再由三角形面积公式即可得出结论． 【详解】过点作于点， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴ 故答案为：6． 巩固训练 42．如图，在中，，平分，，，则点到的距离为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质，理解“角平分线上的点到角两边的距离相等”是解题的关键． 过点作于点，根据角平分线的性质可得，据此求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， 即点到的距离为6． 故答案为：6． 43．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为10和4，则△EDF的面积为 ． 【答案】3 【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF＝DH，再利用“HL”证明Rt△ADF和Rt△ADH全等，Rt△DEF和Rt△DGH全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点D作DH⊥AC于H， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB， ∴DF＝DH， 在Rt△ADF和Rt△ADH中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL）， ∴SRt△ADF＝SRt△ADH， 在Rt△DEF和Rt△DGH中， ， ∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL）， ∴SRt△DEF＝SRt△DGH， ∵△ADG和△AED的面积分别为10和6， ∴4＋SRt△DEF＝10−SRt△DGH， ∴SRt△DEF＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 44．如图，平分，是上一点，于点，且，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】根据角平分线的性质即可得到答案 【详解】∵平分，是上一点， ∴P到AB和BC的距离相等 ∵ ∴P到AB的距离为PM ∴点到的距离= 故答案为：5． 【点睛】本题比较基础，考查角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． 45．如图，等腰ABC中，AB＝AC，ABC的周长＝24，若∠ABC的平分线交AC于点D，且＝5：8，则底边BC的长为 ． 【答案】/ 【分析】过点D作DE⊥BC，DF⊥AB，则有DE＝DF，再由三角形的周长为24，则有AB＝12﹣BC，再利用三角形的面积公式列出分式方程，解方程即可求解． 【详解】解：过点D作DE⊥BC，DF⊥AB，如图所示： ∵∠ABC的平分线交AC于点D， ∴DE＝DF， ∵C△ABC＝24，AB＝AC， ∴AB＝（24﹣BC）＝12﹣BC， ∵S△ABD：S△CBD＝5：8， ∴， ∴， 解得：． 经检验符合题意，是原方程的解． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线性质，三角形周长与面积，分式方程，高相等两三角形面积的比等于底的比，利用面积比构造方程是解题关键． 题型十　等边三角形的性质 例题 46．如图，在中，，点，分别在边，上，与交于点，过点作线段于点．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】由全等三角形的性质推出，，判定是等边三角形，得到，由三角形外角的性质得到，由直角三角形的性质求出．本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由全等三角形的性质推出，，由三角形外角的性质得到． 【详解】解： ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 巩固训练 47．如图，在是等边三角形，D是的中点，M在延长线上，N在上，，，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造两个全等三角形是本题的难点与关键． 取的中点G，连接，则可得是等边三角形，证明得，从而即可求得结果． 【详解】取的中点G，连接，如图． ∴． ∵是等边三角形， ∴，． ∵D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴． ∴， ∴， ∴ 故答案为：9． 48．如图，在等边中，点D、E分别在和边上，以为边作等边，连接．若，．则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 过D点作于M，证明为等边三角形，再证明，结合全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵等边， ∴，， 过D点作于M， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ， ∴，    ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，． ∴． ∴． 故答案为：2． 49．如图，在中，是边上的中线，延长至点E，使得，连接．若．则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，先证明是等边三角形，由等腰三角形三线合一得到，进而求出，再根据等角对等边即可得出结果． 【详解】解：， 是等边三角形， ． 是边上的中线， ． 是等腰三角形， ， 故答案为：． 50．如图，等边三角形中，D为上一点，E为延长线上一点，交于点F，且．若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，作，交于M，得为等边三角形，再证得到；根据，，可得，由此得出，最后根据即可求得的长． 【详解】解：如图，作，交于M， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴. ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：4． 题型十一　全等三角形的性质 例题 51．如图，，其中，则的大小为 度． 【答案】25 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和等知识点，掌握全等三角形的对应角相等成为解题的关键．先根据全等三角形的性质可得，再运用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：25． 巩固训练 52．如图，，点D，E分别在边，上，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，由可得，最后根据计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 53．如图，若，且，，则 【答案】/90度 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的性质，掌握“全等三角形的对应角相等”是解本题的关键．先利用三角形的内角和定理求解，再利用全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 54．如图，，且点在边上，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形性质；根据全等三角形对应边相等可知：；，根据即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴； ∴4； 故答案为：． 55．如图，，点在线段上，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质“全等三角形的对应角相等、对应边相等”求解即可． 【详解】解：， ，， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 题型十二　勾股定理及应用 例题 56．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得，． 在中，， ∴； 故答案为： 巩固训练 57．一根旗杆在离地面6米处折断，旗杆顶部落在地面离旗杆底部8米处，旗杆高 米． 【答案】16 【分析】此题主要考查勾股定理的实际应用．根据题意列出已知条件再勾股定理求得的长，从而即可求得旗杆折断前的高度． 【详解】解：根据题意，在中，米，米，    由勾股定理得，， ∴米． ∴旗杆折断前高16米． 故答案为：16． 58．如图，长方体中，，一只蚂蚁从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，将长方体沿着它的长、宽、高分别展开，利用勾股定理求出对应的最短路径，比较即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当沿着把长方体展开时， 则， ∴， ∴此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是； 如图所示，当沿着把长方体展开时， 则， ∴， ∴此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是； 如图所示，当沿着把长方体展开时， 则， ∴， ∴此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是； ∵， ∴从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是； 故答案为：13． 59．如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质和勾股定理，由是的角平分线，，分别是和的高，得，，再由勾股定理即可求解，掌握角平分线的性质定理和勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的角平分线，，分别是和的高， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 60．如图，在中，，于，且，，则长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理，等积法的应用．熟练掌握勾股定理是解题关键．根据勾股定理可求出，再根据等积法求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 三角形 知识归纳与题型突破（12类题型60道） 01 思维导图 02 知识速记 一 三角形及相关概念 1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“Δ”表示。 2、顶点是A、B、C的三角形，记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”。 3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边，即边AB、BC、AC，有时也用a，b，c来表示，顶点A所对的边BC用a表示，边AC、AB分别用b，c来表示； 4、∠A、∠B、∠C为ΔABC的三个内角。 二 三角形中三边的关系 1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c>a；a-b<c,a-c<b,b-c<a。 2、判断三条线段a,b,c能否组成三角形： （1）当a+b>c,a+c>b,b+c>a同时成立时，能组成三角形； （2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。 3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即. 三 三角形中三角的关系 1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。n边行内角和公式（n-2） 2、三角形按内角的大小可分为三类： （1）锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形； （2）直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。 （3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。 3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。 4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。 四 三角形的三条重要线段 1、三角形的角平分线： （1）三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。（内心） 2、三角形的中线： （1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。 （2）三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点。（重心） （3）三角形的中线把这个三角形分成面积相等的两个三角形 3、三角形的高线：（1）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高。（2）任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。（垂心）（3）注意等底等高知识的考试 五 全等图形 1、两个能够重合的图形称为全等图形。 2、全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相同。 六 全等三角形 1、能够重合的两个三角形是全等三角形，用符号“≌”连接，读作“全等于”。 2、用“≌”连接的两个全等三角形，表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 七 全等三角形的判定 1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。 2、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。 3、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。 4、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。 八 等腰三角形 1等腰三角形：等腰三角形是轴对称图形,有一条对称轴（等边三角形除外）,其底边上的高或顶角的平分线,或底边上的中线所在的直线都是它的对称轴； 2三线合一：等腰三角形底边上的高,底边上的中线,顶角的平分线互相重合,简称为“三线合一”； 3等腰三角形的两个底角相等,简写成“等边对等角”； 4等边三角形：等边三角形是指三边都相等的三角形,又称正三角形，等边三角形有三条对称轴,三角形的高、角平分线和中线所在的直线都是它的对称轴； 5等边三角形的三边都相等,三个内角都是600。 6等腰三角形与等边三角形的区别与联系 图形 定义 性质 等腰三角形 有两边相等的三角形 1、两腰相等,两底角相等。 2、顶角=1800-2×底角。底角=（1800-顶角）/2。 3、顶角的平分线、底边上的中线和高“三线合一”。 4、轴对称图形,有一条对称轴。 等边三角形（又叫正三角形） 三边都相等的三角形 1、三边都相等,三内角相等,且每个内角都等于600。 2、具有等腰三角形的所有性质。 3、轴对称图形,有三条对称轴。 九 轴对称 1 轴对称图形 （1）如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴。 （2）线段、角、长方形、正方形、等腰三角形、圆都是轴对称图形； （3）对称轴是直线而不是线段； 2 轴对称 （1） 轴对称：对于两个图形,如果沿一条直线对折后,它们能互相重合,那么称这两个图形成轴对称,这条直线就是对称轴。可以说成：这两个图形关于某条直线对称。 （2） 轴对称与轴对称图形的区别与联系： 轴对称图形 轴对称 区别 是一个图形自身的对称特性 是两个图形之间的对称关系 对称轴可能不止一条 对称轴只有一条 共同点 沿某条直线对折后都能够互相重合 如果轴对称的两个图形看作一个整体,那么它就是一个轴对称图形； 如果把轴对称图形分成两部分（两个图形）,那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。 3角平分线的性质 （1）角平分线所在的直线是该角的对称轴。 （2）性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（距离强调垂直） 4 线段的垂直平分线 （1）线段的垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,又叫线段的中垂线。 （2）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。 5 轴对称的性质 （1）轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分（2）那么对应线段（3）对应角都相等。 （2）全等的图形不一定轴对称,但轴对称的图形一定全等。 十 勾股定理 1.勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 2.勾股定理逆定理 如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 03 题型归纳 题型一　等腰三角形求边长或周长 例题 1．等腰三角形的两边长分别是2和7，则它的第三边长是（    ） A．2 B．7 C．9 D．11 巩固训练 2．已知的三边长分别为，5，6，当为等腰三角形时，a的值为（     ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 3．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若一边长是，则腰长为（    ） A． B． C． D． 4．等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个三角形的周长为（　　） A．16 B．20 C．12 D．16或20 5．已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长是 (　　) A．7 B．9 C．12 D．10或12 题型二　等腰三角形求角度 例题 6．若等腰中，，有一个内角等于，那么的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或 巩固训练 7．若等腰三角形的一个内角等于，则另外两个角的度数分别是（    ） A．， B．， C．， D．，或， 8．若等腰三角形的一个内角是，则这个三角形最大的内角的度数是（   ） A． B． C． D．或 9．等腰三角形中有一内角等于，那么这个三角形的最小内角的度数为（   ）度 A．50 B．20 C．40或50 D．20或50 10．若等腰三角形的一个角为，则它的底角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 题型三　三角形三边关系 例题 11．已知三角形的两边长分别是3和6，则这个三角形第三边长不可能是（    ） A．8 B．7 C．5 D．3 巩固训练 12．聪聪用三根小棒围成一个三角形，其中两根小棒的长度是4厘米和6厘米，则第三根小棒的长度可能是（　　） A．9厘米 B．10厘米 C．11厘米 D．12厘米 13．某三角形的三边长分别为3，6，，则不可能是（   ） A． B．6 C． D． 14．已知三角形两边长分别为3和5，则第三边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．一个三角形的两边长分别是12和5，第三边的长恰好是7的整数倍，那么第三边的长是（   ） A．7 B．14 C．21 D．14或21 题型四　三角形折叠问题 例题 16．如图，将三角形纸片沿折叠，点A落在点F处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 17．如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点、分别是边、上，将沿着折叠压平，与重合，若，则(    ) A． B． C． D． 18．将按如图所示沿进行翻折，若，，则的度数为（   ）      A． B． C． D． 19．如图，把三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形外部时，则与、之间的数量关系是（　　） A． B． C． D． 20．如图所示，在中，将点A与点B分别沿和折叠，使点A，B都与点C重合，若，则的度数为（） A． B． C． D． 题型五　三角形的外角 例题 21．如图，是的外角，平分，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 22．如图，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 23．如图，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 24．如图，在中，是角平分线，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 25．如图，的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 题型六　利用中线求面积 例题 26．如图，在中，点D是的中点，，若的面积为10，则的面积是（    ） A． B．1.5 C． D．2 巩固训练 27．如图在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是8，则的面积是（　　） A．2 B．4 C．6 D．7 28．如图，为的中线，E为中点，，面积等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 29．如图，的面积是10，点D，E，F，G分别是，，，的中点，则的面积是（    ） A． B． C． D． 30．如图，的面积为，点D在边上，E是的中点，则的面积是（    ） A． B． C． D． 题型七　轴对称图形 例题 31．在一些美术字中，有的汉字可以看成轴对称图形．下面4个汉字中，可以看成轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 32．下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 33．下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 34．如图所示不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 35．下列图案，既可以由平移变换得到，又可以由旋转变换得到，还可以由轴对称变换得到的是（   ） A．B． C． D． 题型八　添加条件证全等 例题 36．如图所示，已知，则再添加条件 （只填一个），可证出． 巩固训练 37．已知：如图，，只需补充条件 ，就可以根据“”得到． 38．如图，，请补充一个条件： 使． 39．如图，已知，要使，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个，不添加辅助线） 40．如图，在四边形中，连接，，若要使，则可以添加条件 ．（填一个即可） 题型九　角平分线的性质 例题 41．如图，是的角平分线，于点，若，则的面积为 ． 巩固训练 42．如图，在中，，平分，，，则点到的距离为 ． 43．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为10和4，则△EDF的面积为 ． 44．如图，平分，是上一点，于点，且，则点到的距离为 ． 45．如图，等腰ABC中，AB＝AC，ABC的周长＝24，若∠ABC的平分线交AC于点D，且＝5：8，则底边BC的长为 ． 题型十　等边三角形的性质 例题 46．如图，在中，，点，分别在边，上，与交于点，过点作线段于点．若，则的度数为 ． 巩固训练 47．如图，在是等边三角形，D是的中点，M在延长线上，N在上，，，则 ． 48．如图，在等边中，点D、E分别在和边上，以为边作等边，连接．若，．则的长是 ． 49．如图，在中，是边上的中线，延长至点E，使得，连接．若．则的长为 ． 50．如图，等边三角形中，D为上一点，E为延长线上一点，交于点F，且．若，则的长为 ． 题型十一　全等三角形的性质 例题 51．如图，，其中，则的大小为 度． 巩固训练 52．如图，，点D，E分别在边，上，若，，则 ． 53．如图，若，且，，则 54．如图，，且点在边上，若，，则的长为 ． 55．如图，，点在线段上，，则的度数为 ． 题型十二　勾股定理及应用 例题 56．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为 巩固训练 57．一根旗杆在离地面6米处折断，旗杆顶部落在地面离旗杆底部8米处，旗杆高 米． 58．如图，长方体中，，一只蚂蚁从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是 ． 59．如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，，，则 ． 60．如图，在中，，于，且，，则长为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$