第5章 一元一次方程（15大压轴题型）（专项训练）数学新教材华东师大版七年级下册

第5章 一元一次方程（15大压轴题型） 【经典例题一 方程的解】 1．（23-24七年级上·云南德宏·期末）小刚同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是请问这个被涂黑的常数是（    ） A． B．4 C． D．2 2．（23-24七年级下·河南周口·期中）如果是关于x的方程的解，那么 ． 3．（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）在练习解方程时，作业上有一个方程“”中的■没印清，小华问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与时，代数式的值相同”． (1)求当时，代数式的值； (2)求原方程中■的值． 【经典例题二 一元一次方程的定义】 4．（2024七年级上·全国·专题练习）已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；其中一元一次方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2024七年级上·全国·专题练习）已知是关于x的一元一次方程，则 ． 6．（22-23七年级上·安徽芜湖·期末）若是关于的一元一次方程. (1)求的值； (2)先化简，再求的值. 【经典例题三 等式的性质】 7．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）下列等式变形不正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）下列变形：①如果，那么；②如果，那么；③如果那么；④如果，那么．其中正确的是 ．（填序号） 9．（2024七年级上·山东·专题练习）利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题四 解一元一次方程(一)--合并同类项与移项】 10．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示 a，b两数中较大的数，例如，按照这个规定，关于x的方程的解为（   ） A． B． C．或 D． 11．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）小慧同学在计算，，，的值时，发现有三个结果恰好相同，其中a和b都是有理数，则 ． 12．（24-25七年级上·北京朝阳·期中）已知a，b，c是整数，满足，，求m的值． 【经典例题五 解一元一次方程(二)--去括号】 13．（23-24九年级下·重庆·期中）已知三个数，任取其中两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择可得到三个结果，，，称为一次操作，按照上述方法对，，再进行一次操作，可得到三个结果，，，以此类推，下列说法： ①若，，，则，，三个数中最大的数是8； ②若，，，且，，中最小值为，则或2或； ③若，则存在某一次操作的结果为，，；其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 14．（22-23七年级上·湖南邵阳·期中）k是一个整数，关于的一元一次方程有整数解，则 ． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程：． 【经典例题六 解一元一次方程(三)--去分母】 16．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）下列解方程的过程中，变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 17．（2024·重庆九龙坡·二模）任意一个个位数字不为0的四位数，都可以看作由前面三位数和最后一位数组成，交换这个数的前面三位数和最后一位数的位置，将得到一个新的四位数，记，例如：，则，，则 ；若四位数，满足，，则 ． 18．（24-25七年级上·四川成都·期末）计算：； 计算：； 解方程：； 解方程：． 【经典例题七 一元一次方程解的综合应用】 19．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）的解为（   ） A． B． C． D． 20．（22-23七年级上·浙江绍兴·期末）设，，当时，的取值范围是 ． 21．（24-25七年级上·广东韶关·期中）已知数轴上，，三点对应的数分别为、1、5，点为数轴上任意一点，其对应的数为．点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)若，则________； (2)若，求的值； (3)若点从点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，点以每秒1个单位的速度向左运动，点以每秒3个单位的速度向右运动，三点同时出发．运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？ 【经典例题八 工程问题(一元一次方程的应用) 】 22．（21-22七年级上·广东广州·期末）某中学的学生自己动手整修操场，七年级的学生说：“如果让我们单独工作，7.5小时能完成”；八年级的学生说：“如果让我们单独工作，5小时能完成．”现两个年级学生一起工作1小时，剩下的部分再让七年级单独完成需x小时，可列方程（   ） A． B． C． D． 23．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著 ．是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右 ．全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就 ．同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，其中有一个数学问题“今有垣厚一丈，两鼠对穿 ．大鼠日一尺，小鼠亦一尺 ．大鼠日自倍，小鼠日自半 ．问：何日相逢？”．译文：“有一堵一丈（旧制长度单位，1丈=10尺=100寸）厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞 ．大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺 ．大老鼠每天的打洞进度是前一天的2倍，小老鼠每天的进度是前一天的一半 ．问它们几天可以相逢？”请你用所学数学知识方法给出答案： ． 24．（24-25七年级上·全国·假期作业）名工人加工一批零件，如果工作小时后，增加名工人，则可提前小时完成任务；如果一直由名工人加工，每个人每小时比原定工作量多加工个零件，则可以提前小时完成任务，则这批零件有多少个？ 【经典例题九 销售盈亏(一元一次方程的应用) 】 25．（2024七年级上·全国·专题练习）某种衬衫因换季打折出售，如果按原价的六折出售，那么每件赔本40元；如果按原价的九折出售，那么每件盈利20元．这种衬衫的原价是（   ） A．160元 B．180元 C．200元 D．220元 26．（23-24七年级上·重庆渝中·期中）为了方便大家采购水果，各大超市开通了送货到家的便民服务．新世纪百货超市推出了适宜大多数家庭需求的甲、乙两种水果礼盒供市民直接选购（两种礼盒均由、、三种水果混合搭配）．其中，甲种水果礼盒每盒装有1千克，3千克，1千克；乙种水果礼盒每盒装有2千克，1千克，2千克．甲、乙两种水果礼盒每盒成本价分别为盒中，，三种水果的成本之和．已知种水果每千克成本价为4.5元，甲种水果礼盒每盒售价为39元，利润率为：乙种水果礼盒的利润率为．若这两种水果礼盒的总销售利润率达到，则该超市销售的甲、乙两种水果礼盒的数量之比是 ．（商品的利润率） 27．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）W商场10月份用72000元同时购进A、B两款服装共350件，其中A款服装每件进价180元，B款服装每件进价240元． (1)求商场10月份分别购进A，B两款服装各多少件； (2)商场决定将A、B两款服装按的价格售出，销售一段时间后A款服装售出了，B款服装售出了，剩下的A，B两款服装恰好数量相等，为尽快售完，商场将B款服装的售价提高50%，同时推出买一送一活动，即买一件B款服装送一件A款服装，直至两款服装全部售完，经结算10月份售出A，B两款服装共获利40%．那么B款服装的原售价是多少元？ (3)由于“双十一购物狂欢节”，京东，天猫等电商平台推出了预售，满减，送券，领红包等优惠活动，11月份该商场所有商品销量均减少．为吸引顾客，11月份商场对全场打折促销．店长根据市场调查推出两种促销方案如下（两种方案不能叠加享受）： 方案一：顾客所购商品的原价总和每满300元送60元的现金券，无论用券与否原总价打九折；若有券，折后可用券抵扣． 例如：某人购物总和为620元，则他实际付款为（元）． 方案二： 原价总和 优惠标准 不超过300元的部分 九折优惠 超过300元但不超过600元的部分 七折优惠 超过600元但不超过900元的部分 六折优惠 超过900元的部分 五折优惠 例如：某人购物原价总和1000元，则他实际付款： （元）． 已知小依选择方案一购物，小钟选择方案二购物，他们所购物品原价总和为1500元，且小钟所购物品的原总价高于小依．店员建议他们两人组合，一次性购买所有物品，并且选择最优惠的购买方案，这样比两人各自购物实际付款总额少84元．那么小依与小钟各自所购物品的原总价分别是多少元？ 【经典例题十 数字问题(一元一次方程的应用) 】 28．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．其中洛书（如图1）可以用三阶幻方表示（如图2），就是将已知9个数填入的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有与图2相同的数字之和的规律，给定、、、中一个字母的值不能补全图3的是（   ） A． B． C． D． 29．（24-25七年级上·重庆·期末）一个四位正整数M，如果千位数字与十位数字之和的两倍等于百位数字与个位数字之和，则称M为“共进退数”，并规定等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之和，等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之差，如果，那么M各数位上的数字之和为 ；有一个四位正整数（，，，且为整数）是一个“共进退数”，且是一个平方数，是一个整数，则满足条件的数N是 ． 30．（2024七年级·全国·竞赛）有一个六位数，个位数字是1，它除以3后仍是六位数，只是个位上的数字1移到了首位，其余的5个数字及排列顺序不变，求这个六位数． 【经典例题十一 几何问题(一元一次方程的应用) 】 31．（21-22七年级上·全国·课后作业）如图，甲､乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环形，乙按逆时针方向环行，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AD边上，请问它们第2019次相遇在哪条边上?（    ） A．AD B．DC C．BC D．AB 32．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，长方形中，，P，Q两动点同时出发，分别沿着长方形的边长运动，P点从B点出发，顺时针旋转一圈，到达B点后停止运动，Q点的运动路线为，P，Q点的运动速度分别为/秒，/秒，当一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动．设两动点运动的时间为t秒，要使和的面积相等，请写出所有满足条件的t值的 ． 33．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，分别在射线上，连结的平分线与的平分线交于点． (1)当时，求的度数； (2)试猜想与的数量关系，并说明理由； (3)过点作，交的延长线于，将直线绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应直线为，同时，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次与直线重合时，整个运动停止．在（1）的条件下，若，经过秒后，直线恰好与的一条边平行，请直接写出所有满足条件的的值． 【经典例题十二 和差倍分问题(一元一次方程的应用) 】 34．（2024七年级上·全国·专题练习）父子二人今年年龄之和为40岁，已知两年前父亲年龄是儿子的8倍，那么两年前父亲（    ）岁． A．28 B．30 C．32 D．35 35．（22-23九年级下·重庆渝中·阶段练习）过完清明小长假后即将迎来“五一”劳动节，劳动使人快乐，艾霸舒同学决定让自己劳动起来，思来想去发现刷数学题是一种劳逸结合的劳动方式，于是针对自己的短板决定五一节前刷满足够的题．艾霸舒同学准备刷几何证明、二次函数、阅读理解三种题型：第一次刷题时几何题和二次函数平均每道题得分分别为3分和5分，且几何题和二次函数题得分占总得分的，几何证明题和阅读理解题得分占总得分的；第二次刷题，艾霸舒发现自己每道题得分情况都增长了，其中几何题和阅读理解每道题平均得分提高了x%，二次函数题每道题平均得分提高50%，第二次刷题时几何证明、二次函数、阅读理解的数量分别是第一次的2倍、1.2倍、1倍，且刷题总分比第一次刷题时提升了40%，则x＝ ． 36．（23-24七年级上·北京西城·阶段练习）定义：点M、N是数轴上不重合的两点，当数轴上的点P满足，则称点P是点M和点N的“双倍点”. 已知：点O、A、B在数轴上表示的数分别为0、a、b，回答下面的问题： (1)当，时，点A和点B的“双倍点”所表示的数为：______； (2)当且时，如果O、A、B中恰有一点是另外两个点的“双倍点”，则______； (3)若，，点C、D在数轴上表示的数分别为、，线段和点B同时沿数轴正方向移动，点B的速度是每秒3个单位长度，线段的速度是每秒8个单位长度，设运动的时间为t秒，当线段上存在点A和点B的“双倍点”时，求t的取值范围． 【经典例题十三 日历问题(一元一次方程的应用) 】 37．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）2025年1月的月历如下表，表中用阴影框住了9个数，若将阴影框上下左右移动，按照同样的方式可框住九个数，则框住的九个数的和不可能得到的数是（    ） A．88 B．97 C．133 D．205 38．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17）．照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为40，则这5个数中的最大数为 ． 39．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图是2024年10月的月历，观察月历，回答问题： (1)小艳国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小艳是星期几出发的？ (2)“十型”阴影图形覆盖其中五个方格，设“十型”阴影覆盖的最小数字为x，五个数字之和为S，已知2024年是建国75周年，S的值能否等于75？若能求出x值；若不能，请说明理由． 【经典例题十四 古代问题(一元一次方程的应用) 】 40．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个问题．大意为：今有墙高9尺， 瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸；葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺，问经过几天两蔓相遇？（1尺寸）若设经过x 天两蔓相遇，可列方程为（    ） A． B． C． D． 41．（22-23七年级上·广西柳州·开学考试）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道数学趣题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”翻译成现代汉语就是鸡和兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，则鸡有 只，兔有 只． 42．（24-25七年级上·北京朝阳·期末）列方程解答下面的问题． 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作之一．《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？” 译文：“今有人坐一辆车，有辆车是空的；人坐一辆车，有个人需要步行．问人与车各多少？” 【经典例题十五 其他问题(一元一次方程的应用) 】 43．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）某班级劳动时，将全班同学分成小组，若每小组7人，则余下3人；若每小组8人，则有一组少4人．按下列哪个选项重新分组，能使每组人数相同？（   ） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 44．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）遵义市出租车收费方案如下表所示： 里程（千米） 2.5千米及以内 超过2.5千米但不超过5千米的部分 超过5千米的部分 收费标准（元） 7元 每0.5千米0.8元 每0.5千米1.2元 备注 注：不足0.5千米时，按0.5千米计算． 小霖从家坐出租车到遵义会议会址，行程为k千米（k为整数）共花费15.8元，则k的值为 45．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）过年了，武汉某两商场、为庆贺新年，全场商品按如下方式优惠： 商场 不超过元的部分 九折 超过元但不超过元的部分 八折 超过元的部分 五折 商场 全场消费每满减 （如消费就只用付，依此类推） (1)芳姐去商场置办年货，打折后需付款元，则她购买商品的原价是_____________． (2)芳姐又在商场看中了一套元的衣服，服装类商品按原价先打折，再按打折后的价格参加优惠．芳姐正准备付款，却发现该衣服打折后反而比不打折直接参加优惠贵了元，试求该衣服打了几折． (3)过了几天，芳姐和老贾先后去商场给学生购买新年礼物，已知礼物一份单价元，两人共购买了份，一共花了元，已知芳姐买的比老贾多，问两人分别买了多少份礼物？ 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 一元一次方程（15大压轴题型） 【经典例题一 方程的解】 1．（23-24七年级上·云南德宏·期末）小刚同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是请问这个被涂黑的常数是（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了方程的解，将代入求解即可． 【详解】解：将代入， 得：， 解得：， 故选：C． 2．（23-24七年级下·河南周口·期中）如果是关于x的方程的解，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元一次方程的解，整体代入是解题的关键． 由题意知，，整理得，，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， 整理得，， ∴， 故答案为：． 3．（22-23七年级下·河南新乡·阶段练习）在练习解方程时，作业上有一个方程“”中的■没印清，小华问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与时，代数式的值相同”． (1)求当时，代数式的值； (2)求原方程中■的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）先把所求代数式去括号，然后合并同类项化简，再把代入求值即可； （2）根据（1）所求得到，把带入方程中进行求解即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解：由题意得，方程的解为， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，一元一次方程的解，正确计算出（1）中代数式的值是解题的关键． 【经典例题二 一元一次方程的定义】 4．（2024七年级上·全国·专题练习）已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；其中一元一次方程的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，据此解答即可． 【详解】解：①分母中含有未知数，不是整式，故①不符合题意； ②，符合一元一次方程的定义．故②符合题意； ③，符合一元一次方程的定义．故③符合题意； ④的未知数的最高次数是2，不符合一元一次方程的定义．故④不符合题意； ⑤，符合一元一次方程的定义．故⑤符合题意； ⑥中含有2个未知数，不符合一元一次方程的定义．故⑥不符合题意． 综上所述，一元一次方程的个数是3个． 故选：B． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）已知是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】1 【详解】根据题意，得， 解得或． 因为，所以． 综上可知，． 6．（22-23七年级上·安徽芜湖·期末）若是关于的一元一次方程. (1)求的值； (2)先化简，再求的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是次的整式方程；由此解答即可； （2）根据整式的加减运算法则将原式化简，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）原式， 当时，原式． 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，整式的加减－化简求值，熟练掌握相关定义以及运算法则是解本题的关键． 【经典例题三 等式的性质】 7．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）下列等式变形不正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】本题考查等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 利用等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：A、若，两边同时加上1，得，∴A正确； B、若，当时，，∴B不正确, C、若，两边同时乘c，得，∴C正确； D、若，两边同时加上a，得，∴D正确； 故选：B． 8．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）下列变形：①如果，那么；②如果，那么；③如果那么；④如果，那么．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：①如果，那么当时，，故①不正确； ②如果，那么，故②正确； ③如果那么，故③正确； ④如果，那么，故④正确． 故答案为：②③④． 9．（2024七年级上·山东·专题练习）利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查等式的基本性质， （1）先在等式的两边同时加，然后在两边同时除以即可得出结论； （2）先在等式的两边同时加，然后在两边同时乘以即可得出结论； （3）先在等式的两边同时减，然后在两边同时除以即可得出结论； （4）先在等式的两边同时加，然后在两边同时除以即可得出结论； 解题的关键是掌握等式的个基本性质：性质：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等． 【详解】（1）解：两边同时加，得：， 两边同时除以，得：； （2）两边同时加，得：， 两边同时乘，得：； （3）两边同时减去，得：， 即：， 两边同时除以，得：； （4）两边同时加，得：， 即：， 两边同时除以，得：． 【经典例题四 解一元一次方程(一)--合并同类项与移项】 10．（24-25七年级上·山东菏泽·期末）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号表示 a，b两数中较大的数，例如，按照这个规定，关于x的方程的解为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，理解新定义运算规则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： 当时，， ， 解得， ∵， ∴符合题意； 当时， ， 解得， ∵， ∴不符合题意． ∴方程的解为． 故选：A． 11．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）小慧同学在计算，，，的值时，发现有三个结果恰好相同，其中a和b都是有理数，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，解一元一次方程，代数式求值等知识点，根据已知条件推出与的值是解题的关键． 根据有意义，可得，进而推出，依据题意可得，于是可得或，然后分类讨论求出与的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 依据题意，可得：， ∴或， 当时，， ∵， ∴，，不符合题意， ∴； 当时，，，，不符合题意； 当时，，，， 当时， 解得：， 当时， 解得：， ∴，， ∴或， 故答案为：或． 12．（24-25七年级上·北京朝阳·期中）已知a，b，c是整数，满足，，求m的值． 【答案】或或． 【分析】本题主要考查绝对值的非负性及一元一次方程的解法，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键；由题意可分①当时和当时，然后分类进行求解即可． 【详解】解：由且a，b，c是整数，可分： ①当时，即，， ∵， ∴， 则有，即， ∴， 当时， ∴， 解得：或4（都不符合题意，舍去）； 当时， ∴， 解得：或； ②当时，则有， ∴， ∴或，， 当时，则有，化简得：， 又分当时，则，解得：， 当时，则，所以此种情况不成立； 当时，则有，化简得：， 由可得，解得：； 综上所述：或或． 【经典例题五 解一元一次方程(二)--去括号】 13．（23-24九年级下·重庆·期中）已知三个数，任取其中两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择可得到三个结果，，，称为一次操作，按照上述方法对，，再进行一次操作，可得到三个结果，，，以此类推，下列说法： ①若，，，则，，三个数中最大的数是8； ②若，，，且，，中最小值为，则或2或； ③若，则存在某一次操作的结果为，，；其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字的变化类和单项式乘多项式，解题关键是理解已知条件中的新定义，列出正确的算式和方程． ①根据已知条件，列出算式，进行计算，然后比较即可； ②根据已知条件，列出方程，解方程，进行解答即可； ③根据第一次和第二次操作的结果，找出规律，然后解答即可． 【详解】解：①，，，故最大数为8正确，故①符合题意； ②由题意知， 一次操作得到的结果为，，， ∵， ∴当最小时，，， 解得，，； 当最小时，，， 解得，，； 综上所述，或；故②不符合题意； ③， ∴； ∴ ∴； 同理可求：； ， 发现，而某一次操作的结果为，，，满足和为，故③符合题意． 故选：C． 14．（22-23七年级上·湖南邵阳·期中）k是一个整数，关于的一元一次方程有整数解，则 ． 【答案】 【分析】先求得一元一次方程的解，然后根据一元一次方程有整数解的情况确定的取值即可 . 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程有整数解， ∴，则， ∴或或或， 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了根据一元一次方程的解的情况求字母的值，理解一元一次方程整数解的意义是解题的关键． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程：． 【答案】 【详解】本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的解法．难易适中．根据绝对值的性质分几种情况进行简化方程解答即可． 【分析】解：当时， 原方程可化为：， 解得：，不符合题意，舍去； 当时， 原方程可化为：， 解得：，不符合题意，舍去， 当时， 原方程可化为：， 解得：x取的实数； 当时， 原方程可化为：， 解得：．不符合题意，舍去， 综上：． 【经典例题六 解一元一次方程(三)--去分母】 16．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）下列解方程的过程中，变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查了用等式性质变形一元一次方程，熟练掌握等式性质是解题的关键．根据等式性质，即知变形是否正确． 【详解】解：A、由，得，所以选项A错误，不符合题意； B、由，得，所以选项B错误，不符合题意； C、由，得，所以选项C错误，不符合题意； D、由去分母，得，所以选项D正确，符合题意． 故选：D． 17．（2024·重庆九龙坡·二模）任意一个个位数字不为0的四位数，都可以看作由前面三位数和最后一位数组成，交换这个数的前面三位数和最后一位数的位置，将得到一个新的四位数，记，例如：，则，，则 ；若四位数，满足，，则 ． 【答案】 231 1986 【分析】本题考查整式的加减运算，解一元一次方程，根据新定义的法则，列出算式以及方程进行计算即可． 【详解】解：当时，则：， ∴； 当时，则：， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：231，1986． 18．（24-25七年级上·四川成都·期末）计算：； 计算：； 解方程：； 解方程：． 【答案】； ； ； ． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算和一元一次方程的解法．有理数混合运算的顺序是先算乘方、再算乘除、最后算加减，如果有括号先算括号里面的；解一元一次方程的步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为． 根据有理数的加法法则进行计算即可； 根据乘方的定义和有理数乘法法则进行计算，可得：原式，然后再根据有理数的加法法则进行计算； 首先去括号得到：，然后再移项、合并同类项可得：，最后系数化为即可； 首先把方程两边同时乘以分母的最小公倍数，去掉分母可得：，然后再去括号、移项、合并同类项、系数化为即可求出方程的解． 【详解】解： ； 解： ； 解：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 系数化为：； 解： 去分母：， 去括号：， 移项得：， 合并同类项：， 系数化为：． 【经典例题七 一元一次方程解的综合应用】 19．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，先利用乘法分配律的逆运算把提出来，再利用拆项法即可化简求解，掌握拆项法进行化简是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 20．（22-23七年级上·浙江绍兴·期末）设，，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到，即，由绝对值的代数意义分情况讨论去掉绝对值，解方程即可得到答案． 【详解】解：，，当时， ，即， 当时，，则，即，解得； 当时，，则恒成立，即； 当时，，则，即，解得； 综上所述，当时，的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查含绝对值方程的解法，熟记绝对值的代数意义去绝对值是解决问题的关键． 21．（24-25七年级上·广东韶关·期中）已知数轴上，，三点对应的数分别为、1、5，点为数轴上任意一点，其对应的数为．点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)若，则________； (2)若，求的值； (3)若点从点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，点以每秒1个单位的速度向左运动，点以每秒3个单位的速度向右运动，三点同时出发．运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？ 【答案】(1) (2)的值为或 (3)这时点、、表示的数各是，，或13，，13 【分析】本题考查了数轴在有理数加减运算中的简单应用，数形结合及分类讨论是解题的关键． （1）可得点为的中点，即可解答； （2）分三种情况，点在点左侧，点在点右侧，点在点、之间，列方程即可解答； （3）分三种情况，，点在左侧；，点、相遇；，点追上点，在点右侧，列方程即可解答． 【详解】（1）解：当时，可得点为的中点， 可得， 故答案为：； （2）解：∵ 分3种情况 ①若点在点左侧 ∵ ∴， ∴， ②若点在点右侧 ∵ ∴， ∴ ③若点在点、之间 ∵ ∴ 这与题目条件矛盾 ∴综上所述的值为或． （3）解：设移动的时间为秒， 则动点，，对应的数分别为，，， 分三种情况： ①，点在左侧 ∴， ∴， 此时，点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为． ②，点、相遇 ∴， ∴， 此时，点表示的数为：， 点表示的数为：， 点表示的数为：． ③，点追上点，在点右侧 ∴（舍去）； 综上所述，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时点、、表示的数各是，，或13，，13． 【经典例题八 工程问题(一元一次方程的应用) 】 22．（21-22七年级上·广东广州·期末）某中学的学生自己动手整修操场，七年级的学生说：“如果让我们单独工作，7.5小时能完成”；八年级的学生说：“如果让我们单独工作，5小时能完成．”现两个年级学生一起工作1小时，剩下的部分再让七年级单独完成需x小时，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．利用七年级完成的工作量八年级完成的工作量总工作量，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：， 即． 故选：． 23．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著 ．是《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右 ．全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就 ．同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，其中有一个数学问题“今有垣厚一丈，两鼠对穿 ．大鼠日一尺，小鼠亦一尺 ．大鼠日自倍，小鼠日自半 ．问：何日相逢？”．译文：“有一堵一丈（旧制长度单位，1丈=10尺=100寸）厚的墙，两只老鼠从两边向中间打洞 ．大老鼠第一天打一尺，小老鼠也是一尺 ．大老鼠每天的打洞进度是前一天的2倍，小老鼠每天的进度是前一天的一半 ．问它们几天可以相逢？”请你用所学数学知识方法给出答案： ． 【答案】天 【分析】算出前四天累计所打的墙厚，得出相逢时间在第四天，设第四天，大老鼠打x尺，小老鼠打尺，得出方程，解出x，从而得出第四天内进行的天数，再加上前3天的时间，即可得出结果. 【详解】解：根据题意可得：∵墙厚：1丈=10尺， 第一天：大老鼠打1尺，小老鼠打1尺，累计共2尺， 第二天：大老鼠打2尺，小老鼠打尺，累计共尺， 第三天：大老鼠打4尺，小老鼠打尺，累计共尺， 第四天：大老鼠打8尺，小老鼠打尺，累计共尺， 故在第四天相逢， 设第四天，大老鼠打x尺，小老鼠打尺， 则， 解得：x=， 故第四天进行了天， ∴天， 答：它们天可以相逢. 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题时要理解情景中的意思，仔细算出每一步的量，最后不要忘记加上前三天的时间. 24．（24-25七年级上·全国·假期作业）名工人加工一批零件，如果工作小时后，增加名工人，则可提前小时完成任务；如果一直由名工人加工，每个人每小时比原定工作量多加工个零件，则可以提前小时完成任务，则这批零件有多少个？ 【答案】个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设原计划小时完成任务，每个人每小时的原定工作量是个，利用工作总量人数工作效率时间，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再结合“如果一直由名工人加工，每个人每小时比原定工作量多加工个零件，则可以提前小时完成任务”，可求出个人小时按原定工作量可加工的零件数量，再结合原计划完成任务所需的时间，即可求出这批零件的数量，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设原计划小时完成任务，每个人每小时的原定工作量是个， 根据题意得，， 即， 解得， 又如果一直由名工人加工，每个人每小时比原定工作量多加工个零件，则可以提前小时完成任务， 个人小时按原定工作量可加工零件个， 这批零件共有个， 答：这批零件有个． 【经典例题九 销售盈亏(一元一次方程的应用) 】 25．（2024七年级上·全国·专题练习）某种衬衫因换季打折出售，如果按原价的六折出售，那么每件赔本40元；如果按原价的九折出售，那么每件盈利20元．这种衬衫的原价是（   ） A．160元 B．180元 C．200元 D．220元 【答案】C 【解析】设这种衬衫的原价是x元．依题意，得，解得． 26．（23-24七年级上·重庆渝中·期中）为了方便大家采购水果，各大超市开通了送货到家的便民服务．新世纪百货超市推出了适宜大多数家庭需求的甲、乙两种水果礼盒供市民直接选购（两种礼盒均由、、三种水果混合搭配）．其中，甲种水果礼盒每盒装有1千克，3千克，1千克；乙种水果礼盒每盒装有2千克，1千克，2千克．甲、乙两种水果礼盒每盒成本价分别为盒中，，三种水果的成本之和．已知种水果每千克成本价为4.5元，甲种水果礼盒每盒售价为39元，利润率为：乙种水果礼盒的利润率为．若这两种水果礼盒的总销售利润率达到，则该超市销售的甲、乙两种水果礼盒的数量之比是 ．（商品的利润率） 【答案】/ 【分析】本题考查一次方程的应用．设销售甲种水果礼盒的数量为，乙种水果礼盒的数量为，先求出1千克和1千克的成本价之和，进而求出乙种水果礼盒每盒的成本价，再根据两种礼盒的总销售利润率达到，列出方程求解即可．本题的难度较大，属于填空题中的压轴题，解题的关键是求出1千克和1千克的成本价之和，找准等量关系，列出方程． 【详解】解：∵种水果每千克成本价为4.5元，甲种水果礼盒每盒售价为39元，利润率为， ∴1千克和1千克的成本价之和为元， ∴甲种水果礼盒每盒的成本价为：元，乙种水果礼盒每盒的成本价为：元， 设销售甲种水果礼盒的数量为，乙种水果礼盒的数量为， 由题意，得：， ∴， ∴； 故答案为：． 27．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）W商场10月份用72000元同时购进A、B两款服装共350件，其中A款服装每件进价180元，B款服装每件进价240元． (1)求商场10月份分别购进A，B两款服装各多少件； (2)商场决定将A、B两款服装按的价格售出，销售一段时间后A款服装售出了，B款服装售出了，剩下的A，B两款服装恰好数量相等，为尽快售完，商场将B款服装的售价提高50%，同时推出买一送一活动，即买一件B款服装送一件A款服装，直至两款服装全部售完，经结算10月份售出A，B两款服装共获利40%．那么B款服装的原售价是多少元？ (3)由于“双十一购物狂欢节”，京东，天猫等电商平台推出了预售，满减，送券，领红包等优惠活动，11月份该商场所有商品销量均减少．为吸引顾客，11月份商场对全场打折促销．店长根据市场调查推出两种促销方案如下（两种方案不能叠加享受）： 方案一：顾客所购商品的原价总和每满300元送60元的现金券，无论用券与否原总价打九折；若有券，折后可用券抵扣． 例如：某人购物总和为620元，则他实际付款为（元）． 方案二： 原价总和 优惠标准 不超过300元的部分 九折优惠 超过300元但不超过600元的部分 七折优惠 超过600元但不超过900元的部分 六折优惠 超过900元的部分 五折优惠 例如：某人购物原价总和1000元，则他实际付款： （元）． 已知小依选择方案一购物，小钟选择方案二购物，他们所购物品原价总和为1500元，且小钟所购物品的原总价高于小依．店员建议他们两人组合，一次性购买所有物品，并且选择最优惠的购买方案，这样比两人各自购物实际付款总额少84元．那么小依与小钟各自所购物品的原总价分别是多少元？ 【答案】(1)购进A，B两款服装分别为200件、150件 (2)B款服装的原售价是378元 (3)小依与小钟各自所购物品的原总价分别是360元、1140元或210元、1290元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键． （1）设购进A款服装x件，则购进B款服装件，根据用72000元同时购进A、B两款服装共350件，列出方程进行求解即可； （2）设A、B两款服装的原售价分别为元，元，根据10月份售出A，B两款服装共获利40%，列出方程进行求解即可； （3）设小依所购物品的原总价是m元，则小钟所购物品的原总价是元，分，，三种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：设购进A款服装x件，则购进B款服装件， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：购进A，B两款服装分别为200件，150件； （2）解：设A、B两款服装的原售价分别为元，元， 由题意得：， 解得：， ∴（元），（元）， 答：B款服装的原售价是378元． （3）解：设小依所购物品的原总价是m元，则小钟所购物品的原总价是元， 两人组合，一次性购买所有物品， 按照方案二实际付款为：（元）． ∵， ∴两人各自购物实际付款总额为：（元）， ∵小钟所购物品的原总价高于小依， ∴， ∴， ①当时，， 解得：，与矛盾； ②当时，， 解得：（元），符合题意； 此时，（元）； ③当时，， 解得：（元），符合题意； 此时，（元）； 答：小依与小钟各自所购物品的原总价分别是360元、1140元或210元，1290元． 【经典例题十 数字问题(一元一次方程的应用) 】 28．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．其中洛书（如图1）可以用三阶幻方表示（如图2），就是将已知9个数填入的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有与图2相同的数字之和的规律，给定、、、中一个字母的值不能补全图3的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，一元一次方程的应用，分别给定、、、中一个字母的值，利用方程分别求解图3中未知的数据，从而可得答案． 【详解】解：如图，当， ， ∴②， ∴每一行的和， ∵， ∴，， ∵， ∴③， ∴， ∴，， ∴每一行的和为：， ∴，①， 如图， ∴A不符合题意； 如图，当时，则②， ∴②， ∵， ∴， ∵②， ∴②， ∴每一行的和为：， ∴，， ∴①， ③， 如图， ∴C不符合题意； 如图，当时，则， ∴， ∵， ∴， ∴每一行的和为：， ∴， ①， ③， ， ②， 如图， ∴D不符合题意； 如图，当时，则每一行的和为：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴给定的值不能补全图3． 故选：B 29．（24-25七年级上·重庆·期末）一个四位正整数M，如果千位数字与十位数字之和的两倍等于百位数字与个位数字之和，则称M为“共进退数”，并规定等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之和，等于M的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之差，如果，那么M各数位上的数字之和为 ；有一个四位正整数（，，，且为整数）是一个“共进退数”，且是一个平方数，是一个整数，则满足条件的数N是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，一元一次方程的应用，读懂题意，推导出与是解题的关键． 由四位正整数M为“共进退数”推出，由推出，从而解得，，继而得解；由推出N的各位数字，继而表示出与，由N是一个“共进退数”推出，利用是一个平方数推出，从而得到z的值和，从而利用是整数求出x，从而得解． 【详解】解：设M的千位数字是a，百位数字是b，十位数字是c，个位数字是d，则， ∵四位正整数M为“共进退数”， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴，即M各数位上的数字之和为12． ∵， 即N的千位数字是，百位数字是1，十位数字是y，个位数字是， ∴， ， 又∵N是一个“共进退数”， ∴， 化简得：， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 又∵是一个平方数，， ∴，即， ∴，， ∵，， ∴，， 解得：， ∴， ∴， 又∵是整数， ∴是7的倍数， ∴，， ∴． 故答案为：12；1125． 30．（2024七年级·全国·竞赛）有一个六位数，个位数字是1，它除以3后仍是六位数，只是个位上的数字1移到了首位，其余的5个数字及排列顺序不变，求这个六位数． 【答案】428571 【分析】设这个六位数为，根据这个六位数除以3后仍是六位数，个位上的数字1移到了首位，其余的5个数字及排列顺序不变，得到新六位数为，，列方程计算即得． 本题主要考查了一元一次方程的应用——数字问题．熟练掌握列多位数表达式，列方程，是解决问题的关键． 【详解】设这个六位数为， 则， 解得． 答：这个六位数是428571． 【经典例题十一 几何问题(一元一次方程的应用) 】 31．（21-22七年级上·全国·课后作业）如图，甲､乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲按顺时针方向环形，乙按逆时针方向环行，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在AD边上，请问它们第2019次相遇在哪条边上?（    ） A．AD B．DC C．BC D．AB 【答案】C 【分析】设出正方形的边长，甲的速度是乙的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，第二次相遇地点，第三次相遇地点，第四册相遇地点，找出规律，发现四次一循环即可解答． 【详解】解：设正方形的边长为a，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知： ①第一次相遇甲乙行的路程和为2a，乙行的路程为，甲行的路程为，在AD边的中点相遇； ②第二次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在CD边的中点相遇； ③第三次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在BC边的中点相遇； ④第四次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在AB边的中点相遇； ⑤第五次相遇甲乙行的路程和为4a，乙行的路程为，甲行的路程为，在AD边的中点相遇； …… 四次一个循环，因为，所以它们第2019次相遇在边BC中点上． 故选择C． 【点睛】本题主要考查图形行程中的相遇问题应用题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题． 32．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，长方形中，，P，Q两动点同时出发，分别沿着长方形的边长运动，P点从B点出发，顺时针旋转一圈，到达B点后停止运动，Q点的运动路线为，P，Q点的运动速度分别为/秒，/秒，当一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动．设两动点运动的时间为t秒，要使和的面积相等，请写出所有满足条件的t值的 ． 【答案】2.4或或8或 【分析】本题考查了旋转的性质和三角形的面积，矩形的性质，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键，注意：需要分类讨论．需分五种情况，根据运动的路径和和的面积相等列出方程，求解即可． 【详解】解：由题意进行分类讨论： ①当P点在上，Q点在上时， ， ∵与面积相等， ∴， 解得：； ②当P点在上，Q点在上时， ， 要使与面积相等，则， 即， 解得：（舍去）； ③当P点在上，Q点在上时， ， ∵与面积相等， ∴， 解得：； ④当P点在上，Q点在上时， ， 要使与面积相等，则， 即， 解得：； ⑤当P点在上，Q点在上时， ， ∵与面积相等， ∴， 解得：； 综上，满足条件的t值为或或8或， 故答案为：或或8或． 33．（24-25七年级上·四川宜宾·期末）如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，分别在射线上，连结的平分线与的平分线交于点． (1)当时，求的度数； (2)试猜想与的数量关系，并说明理由； (3)过点作，交的延长线于，将直线绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应直线为，同时，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次与直线重合时，整个运动停止．在（1）的条件下，若，经过秒后，直线恰好与的一条边平行，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，10，，，40 【分析】题目主要考查平行线的判定和性质，理解题意，根据题意分情况分析，建立方程求解是解题关键． （1）过点E作，根据平行线的判定和性质即可得出结果； （2）过点F作交于点K，根据平行线的判定和性质得出，设，，结合图形及等量关系即可得出结果； （3）由（1）得，，确定，再由角平分线得出，确定，分三种情况分析求解即可 【详解】（1）解：过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点F作交于点K， ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， 设，， ∵， ∴ 则， ∵， ∴ 则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由（1）得，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵直线绕点逆时针旋转，速度为每秒， ∴， ∵绕点顺时针旋转，速度为每秒， ∴， 当时，如图所示： ， ∴， 解得：； 当旋转到如图所示位置时， ，， 同理得：， 解得：； 当时，如图所示： ， ∴， ∴， 解得：； 当旋转到如图所示位置： 同理得：， 解得：； 当时，如图所示： 同理得：， 解得：； 当旋转到如图所示位置： 同理得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，t的值为，10，，，40． 【经典例题十二 和差倍分问题(一元一次方程的应用) 】 34．（2024七年级上·全国·专题练习）父子二人今年年龄之和为40岁，已知两年前父亲年龄是儿子的8倍，那么两年前父亲（    ）岁． A．28 B．30 C．32 D．35 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用——年龄问题．熟练掌握年龄差不变，是解题的关键． 设两年前儿子x岁，则两年前父亲岁，根据父子二人今年年龄之和为40岁，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题． 【详解】解：设两年前儿子x岁，则两年前父亲岁， 由题意得：， 解得：， ∴， 即两年前父亲32岁， 故选：C． 35．（22-23九年级下·重庆渝中·阶段练习）过完清明小长假后即将迎来“五一”劳动节，劳动使人快乐，艾霸舒同学决定让自己劳动起来，思来想去发现刷数学题是一种劳逸结合的劳动方式，于是针对自己的短板决定五一节前刷满足够的题．艾霸舒同学准备刷几何证明、二次函数、阅读理解三种题型：第一次刷题时几何题和二次函数平均每道题得分分别为3分和5分，且几何题和二次函数题得分占总得分的，几何证明题和阅读理解题得分占总得分的；第二次刷题，艾霸舒发现自己每道题得分情况都增长了，其中几何题和阅读理解每道题平均得分提高了x%，二次函数题每道题平均得分提高50%，第二次刷题时几何证明、二次函数、阅读理解的数量分别是第一次的2倍、1.2倍、1倍，且刷题总分比第一次刷题时提升了40%，则x＝ ． 【答案】6 【分析】设第一次刷几何题、二次函数、阅读题的题量依次为a，b，c，求出第一次刷题时阅读题的得分，再依据第二次刷题的题量与得分列出方程求解即可． 【详解】解：设第一次刷几何题、二次函数、阅读题的题量依次为a，b，c，第一次阅读题平均每题得y分，得分为n分， ∵几何题的得分+二次函数的得分=总得分的 几何题的得分+阅读题的得分=总得分的 ∴ ∴ 又 ∴ ∴ 第二次刷题几何题、二次函数、阅读题的题量依次为：2a，1.2b，c，几何题每道得分，二次函数每道得分，阅读题每道得分，根据题意得， 把代入上式，整理得， 解得， ∴ 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程解应用题，本题阅读量大，数量关系复杂，弄清数量关系并找到等关系是解答此题的关键． 36．（23-24七年级上·北京西城·阶段练习）定义：点M、N是数轴上不重合的两点，当数轴上的点P满足，则称点P是点M和点N的“双倍点”. 已知：点O、A、B在数轴上表示的数分别为0、a、b，回答下面的问题： (1)当，时，点A和点B的“双倍点”所表示的数为：______； (2)当且时，如果O、A、B中恰有一点是另外两个点的“双倍点”，则______； (3)若，，点C、D在数轴上表示的数分别为、，线段和点B同时沿数轴正方向移动，点B的速度是每秒3个单位长度，线段的速度是每秒8个单位长度，设运动的时间为t秒，当线段上存在点A和点B的“双倍点”时，求t的取值范围． 【答案】(1)3或11 (2)或或或或或 (3)或 【分析】本题考查了新定义，一元一次方程的应用； （1）设线段的“双倍点”为P，P表示的数为，分两种情况讨论：①点P在A、B之间；②点P在B的右边，根据列方程求解即可； （2）首先由得出，再分三种情况讨论：①点O为线段的“双倍点”；②点A为线段的“双倍点”；③点B为线段的“双倍点”，分别根据“双倍点”的定义列方程求解即可． （3）运动t秒后，点B表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为，求出点A和点B的“双倍点”为，为，然后分别求出四种临界情况：当点D到达时；当点C到达时；当点D到达时；当点C到达时；即可得到t的取值范围． 【详解】（1）解：设线段的“双倍点”为P，P表示的数为x， ①当点P在A、B之间时， ∵， ∴， 解得； ②当点P在B的右边时， ∵， ∴， 解得， 故答案为：3或11； （2）解：∵， ∴，即，，， 分三种情况： ①如果点O为点的“双倍点”，那么， 根据题意可得：或， ∴或， ∵， ∴，或，； ②如果点O为点的“双倍点”，那么， 根据题意可得：或， ∴或（舍去）； ③如果点A为点的“双倍点”，那么， ∴， ∴； ④如果点A为点的“双倍点”，那么， ∴， ∴； ⑤如果点B为点的“双倍点”，那么， ∴， ∴或（舍去）； ⑥如果点B为点的“双倍点”，那么， 根据题意可得：或， 解得：或， ∵， ∴或； 综上可得：a的值是或或或或或， 故答案为：或或或或或； （3）解：运动t秒后，点B表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为， ∵， ∴点A和点B的“双倍点”为：或， 设点A和点B的“双倍点”的位置是，的位置是， 当点D到达时，可得， 解得：； 当点C到达时，可得， 解得：； 当点D到达时，可得， 解得：； 当点C到达时，可得， 解得：； ∴t的取值范围为：或． 【经典例题十三 日历问题(一元一次方程的应用) 】 37．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）2025年1月的月历如下表，表中用阴影框住了9个数，若将阴影框上下左右移动，按照同样的方式可框住九个数，则框住的九个数的和不可能得到的数是（    ） A．88 B．97 C．133 D．205 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及规律型，设阴影框内处于左上方的数为，则框内其它数依次为，所以阴影框内九个数的和为，逐一代入求解即可判断． 【详解】解：设阴影框内处于左上方的数为，则框内其它数依次为， 所以阴影框内九个数的和为: ， 令框住的四个数的和为88，则，解得，故选项A不符合题意； 令框住的四个数的和为97，则，解得，在2下面第三行最右侧的数字，与2025年1月的月历的位置矛盾，所以框住的九个数的和不可能为97，故选项B符合题意； 令框住的四个数的和为133，则，解得，故选项C不符合题意； 令框住的四个数的和为205，则，解得．故选项D不符合题意． 故选：B． 38．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17）．照此方法，若圈出的5个数中，最大数与最小数的和为40，则这5个数中的最大数为 ． 【答案】27 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设中间这个数为，则：最小数为，最大数为，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设中间这个数为，则：最小数为，最大数为，由题意，得： ， ∴， ∴最大数为：； 故答案为：27 39．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图是2024年10月的月历，观察月历，回答问题： (1)小艳国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小艳是星期几出发的？ (2)“十型”阴影图形覆盖其中五个方格，设“十型”阴影覆盖的最小数字为x，五个数字之和为S，已知2024年是建国75周年，S的值能否等于75？若能求出x值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)四 (2)S的值能等于75，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用： （1）设小明出发的日期是，根据题意得一元一次方程，然后解方程即可； （2）根据月历的特点可得另外四个数为，，，，则解方程得到，据此可得结论． 【详解】（1）解：设小明出发的日期是，则另外两天的日期分别是，， 根据题意得：，解得：， 月日是星期四， 小明是星期四出发的； （2）解：S的值能等于75，理由如下： 假设S的值能等于75， “十型”阴影覆盖的最小数字为x， “十型”阴影覆盖的另外四个数字分别为，，，， 根据题意得：， 解得：， 月8日是星期二，在第三列，此时能形成“十型”阴影， 符合题意， 假设成立，即S的值能等于75． 【经典例题十四 古代问题(一元一次方程的应用) 】 40．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有这样一个问题．大意为：今有墙高9尺， 瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸；葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺，问经过几天两蔓相遇？（1尺寸）若设经过x 天两蔓相遇，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据两蔓相遇时，长度之和为墙高，列出方程即可． 【详解】解：设经过x 天两蔓相遇，，由题意，得：； 故选A． 41．（22-23七年级上·广西柳州·开学考试）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道数学趣题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”翻译成现代汉语就是鸡和兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，则鸡有 只，兔有 只． 【答案】 23 12 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设鸡有只，则兔有只，根据下有九十四足，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值（即鸡的只数），再将其代入中，即可求出兔的只数． 【详解】解：设鸡有只，则兔有只， 根据题意得：， 解得：， ， 鸡有23只，兔有12只． 故答案为：23，12． 42．（24-25七年级上·北京朝阳·期末）列方程解答下面的问题． 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作之一．《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？” 译文：“今有人坐一辆车，有辆车是空的；人坐一辆车，有个人需要步行．问人与车各多少？” 【答案】共有人，辆车 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系，列出方程是解答本题的关键． 设共有人，根据车的辆数不变列出方程解答即可． 【详解】解：设共有人， 由题意，得， 解得， 所以， 答：共有人，辆车． 【经典例题十五 其他问题(一元一次方程的应用) 】 43．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）某班级劳动时，将全班同学分成小组，若每小组7人，则余下3人；若每小组8人，则有一组少4人．按下列哪个选项重新分组，能使每组人数相同？（   ） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．根据两次分组的总人数相等列出方程并求解，即得全班人数，再根据质因数分解结果，即知答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 全班同学共有（人）， ， A、B、C、D四个选项中，只有4组满足题意． 故选：B． 44．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）遵义市出租车收费方案如下表所示： 里程（千米） 2.5千米及以内 超过2.5千米但不超过5千米的部分 超过5千米的部分 收费标准（元） 7元 每0.5千米0.8元 每0.5千米1.2元 备注 注：不足0.5千米时，按0.5千米计算． 小霖从家坐出租车到遵义会议会址，行程为k千米（k为整数）共花费15.8元，则k的值为 【答案】7 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据收费方案，列出方程进行求解即可． 【详解】解：， ∴， 由题意，得：， 解得：； 故答案为：7． 45．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）过年了，武汉某两商场、为庆贺新年，全场商品按如下方式优惠： 商场 不超过元的部分 九折 超过元但不超过元的部分 八折 超过元的部分 五折 商场 全场消费每满减 （如消费就只用付，依此类推） (1)芳姐去商场置办年货，打折后需付款元，则她购买商品的原价是_____________． (2)芳姐又在商场看中了一套元的衣服，服装类商品按原价先打折，再按打折后的价格参加优惠．芳姐正准备付款，却发现该衣服打折后反而比不打折直接参加优惠贵了元，试求该衣服打了几折． (3)过了几天，芳姐和老贾先后去商场给学生购买新年礼物，已知礼物一份单价元，两人共购买了份，一共花了元，已知芳姐买的比老贾多，问两人分别买了多少份礼物？ 【答案】(1) (2)该衣服打了折或折； (3)芳姐购买了份礼物，老贾购买了份礼物 【分析】本题考查一元一次方程的应用， （1）结合题意算出当原价为元时，在商场应付费用，推出芳姐购买商品的原价大于，设她购买商品的原价为元，根据“打折后需付款元，”建立方程求解，即可解题； （2）根据题意得到直接参加优惠付款费用，设衣服打了折，分情况当打折后能优惠元，当打折后能优惠元，当打折后能优惠元，结合“该衣服打折后反而比不打折直接参加优惠贵了元，”建立方程求解并讨论，即可解题； （3）设芳姐购买礼物份，则老贾购买礼物份，分以下几种情况： 当时；当时；当时，分别求解即可； 正解理解题意，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：当原价为元时， 在商场应付费用为：（元）， ∵芳姐去商场置办年货，打折后需付款元，且， ∴她购买商品的原价大于， 设她购买商品的原价为元， 依题意，得：， 解得：， ∴她购买商品的原价是元， 故答案为：； （2）设衣服打了折， 根据题意得直接参加优惠付款费用为：， 当打折后能优惠元，则，解得：， 当打折后能优惠元，则，解得：， 当打折后能优惠元，即打折后价格不超过，所以该情形不存在； 综上所述，该衣服打了折或折； （3）设芳姐购买礼物份，则老贾购买礼物份， ∵礼物一份单价元，一共花了元，且芳姐买的比老贾多， ∴原价的总价为，芳姐原价应超过， 当时，则， ∴， 该方程无解； ∵，则： 当时，则， 解得：， ∴（份）， 此时芳姐购买了份礼物，老贾购买了份礼物； 当时，则， ， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，芳姐购买了份礼物，老贾购买了份礼物． 42 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $$