8.3实数及其简单运算培优练习 2024—2025学年人教版数学七年级下册

8.3实数及其简单运算培优练习人教版2024—2025学年春季七年级下册 一．选择题（共5小题） 1．估算的值应在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 2．下列各数：，，，0.1，，2.1010010001…（相邻两个1之间的0的个数逐次加1），3.1234567891011…（小数部分由相继的正整数组成）中，无理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（　　） A． B． C． D． 4．若整数m满足，则m的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．已知a，b均为正数，且，，则下列说法正确的是（　　） A．a＞1，b＞1 B．0＜a＜1，b＞1 C．a＞1，0＜b＜1 D．0＜a＜1，0＜b＜1 二．填空题（共5小题） 6．比较大小： （1） 　 　6；（2） 　 　3． 7．若整数m满足，则m的值是　 　． 8．已知a表示的小数部分，则a＝ 　 　． 9．若a与b互为相反数，m与n互为倒数，则的值为　 　． 10．若与的小数部分分别为a和b，则（a+3）（b﹣4）的值 　 　． 三．解答题（共5小题） 11．（1）计算：； （2）求3（x+1）2＝27中x的值． 12．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，． （1）化简M； （2）当，时，求M的值． 13．已知实数Aa，实数Bb， （1）若a＝3，且A和B互为相反数，求此时b的值； （2）若a，b，求|A+B|的值； （3）若b，且A和B互为倒数，求此时a的值． 14．定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为1.4﹣1＝0.4；的整数部分为1，小数部分为；再如，﹣3.8的整数部分为﹣4，小数部分为|﹣3.8﹣（﹣4）|＝0.2．由此得到：若，其中x是整数，且0＜y＜1，那么x＝1，． 根据以上材料，回答下列问题： （1）若，其中m是整数，且0＜n＜1，则m＝ 　 　，n＝ 　 　． （2）若，其中a是整数，且0＜b＜1，求|a+b|﹣（2b﹣1）的值． （3）若，其中p是整数，且0＜q＜1，求p﹣q的值． 15．任意实数x均能写成其整数部分[x]与小数部分{x}的和，即x＝[x]+{x}，其中[x]表示不超过x的最大整数，0≤{x}＜1．例如：，其中；又如﹣2.5＝[﹣2.5]+{﹣2.5}，其中[﹣2.5]＝﹣3，{﹣2.5}＝0.5． 回答下列问题： （1） 　 　， 　 　； （2） 　 　； （3）若[x]＝2，[y]＝4，则[x+y]所有可能的值为 　 　． 参考答案 一．选择题（共5小题） 1．估算的值应在（　　） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【分析】利用9＜11＜16得到，从而可对进行估算． 【解答】解：∵， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握该知识点是关键． 2．下列各数：，，，0.1，，2.1010010001…（相邻两个1之间的0的个数逐次加1），3.1234567891011…（小数部分由相继的正整数组成）中，无理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【解答】解：，，2.1010010001…（相邻两个1之间的0的个数逐次加1），3.1234567891011…（小数部分由相继的正整数组成）是无理数， 故选：C． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 3．实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【分析】由数轴可知，2＜a＜3，则π＞a，，再运算绝对值即可求解． 【解答】解：由数轴可知，2＜a＜3， ∴a＜π，， ∴原式＝π﹣a﹣（a）． 故选：B． 【点评】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特点是关键． 4．若整数m满足，则m的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据夹逼法估算无理数的大小即可． 【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴整数m＝6， 故选：D． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键． 5．已知a，b均为正数，且，，则下列说法正确的是（　　） A．a＞1，b＞1 B．0＜a＜1，b＞1 C．a＞1，0＜b＜1 D．0＜a＜1，0＜b＜1 【分析】由题意得a＞1，0＜b＜1，即可解决． 【解答】解：∵a，b均为正数，且，， ∴a＞1，0＜b＜1， 综上所述，只有C选项正确，符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查的是估算无理数的大小，掌握算术平方根的性质是解题关键． 二．填空题（共5小题） 6．比较大小： （1） 　＞　6；（2） 　＜　3． 【分析】（1）先估算的大小，从而判断的大小； （2）先估算的大小，然后根据不等式的性质判断的大小，从而比较的大小即可． 【解答】解：（1）∵， ∴， 故答案为：＞； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：＜． 【点评】本题主要考查了实数的大小，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小． 7．若整数m满足，则m的值是　3　． 【分析】根据夹逼法估算无理数的大小即可． 【解答】解：∵， ∴， ∵整数m满足， ∴m＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键． 8．已知a表示的小数部分，则a＝ 　　． 【分析】先估算的大小，然后判断其整数部分和小数部分即可． 【解答】解：∵， ∴的整数部分是3，小数部分是， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数大小． 9．若a与b互为相反数，m与n互为倒数，则的值为　2026　． 【分析】利用相反数，倒数的定义求出a+b＝0，mn＝1的值，代入原式计算即可得到结果． 【解答】解：∵a和b互为相反数，m和n互为倒数， ∴a+b＝0，mn＝1， ∴2026． 故答案为：2026． 【点评】此题考查了相反数，倒数，代数式求值，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 10．若与的小数部分分别为a和b，则（a+3）（b﹣4）的值 　﹣13　． 【分析】先估算出的范围，再求出9和9的范围，求出a、b的值，即可求出答案． 【解答】解：∵34， ∴12＜913，﹣43， ∴a＝9123，5＜96， ∴b＝95＝4， ∴（a+3）（b﹣4）＝（3+3）×（44）＝﹣13， 故答案为：﹣13． 【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，能求出a、b的值是解此题的关键． 三．解答题（共5小题） 11．（1）计算：； （2）求3（x+1）2＝27中x的值． 【分析】（1）先根据算术平方根、立方根的定义计算，再根据有理数的加减法则计算即可； （2）根据平方根的定义解方程即可． 【解答】解：（1） ； （2）3（x+1）2＝27， （x+1）2＝9， x+1＝±3， x＝2或x＝﹣4． 【点评】本题考查了实数的运算，平方根，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 12．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，． （1）化简M； （2）当，时，求M的值． 【分析】（1）由数轴可得b＜﹣2，0＜a＜2，从而得出a+2＞0，b﹣2＜0，a﹣b＞0，再根据二次根式的性质化简即可； （2）将，代入（1）中化简的式子计算即可得解． 【解答】解：（1）由数轴可得：b＜﹣2，0＜a＜2， ∴a+2＞0，b﹣2＜0，a﹣b＞0， ∴ ＝a+2﹣[﹣（b﹣2）]+a﹣b+（﹣b） ＝a+2+b﹣2+a﹣b﹣b ＝2a﹣b； （2）当，时，原式． 【点评】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质、二次根式的混合运算，采用数形结合的思想是解此题的关键． 13．已知实数Aa，实数Bb， （1）若a＝3，且A和B互为相反数，求此时b的值； （2）若a，b，求|A+B|的值； （3）若b，且A和B互为倒数，求此时a的值． 【分析】（1）把a＝3代入Aa，并把二次根式化简，然后合并同类二次根式，求出A，最后根据A和B互为相反数，列出关于b的方程，解方程即可； （2）把a，b代入Aa，实数Bb，求出A，B，最后根据绝对值的性质进行解答即可； （3）先求出B，再根据A和B互为倒数，列出关于a的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）∵a＝3， ∴， ∵A和B互为相反数， ∴， ∴； （2）∵a，b， ∴， ∴， ∴； （3）∵b， ∴， ∵A和B互为倒数， ∴， ， ． 【点评】本题主要考查了算术平方根和实数的性质，解题关键是熟练掌握如何把二次根式化成最简二次根式． 14．定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为1.4﹣1＝0.4；的整数部分为1，小数部分为；再如，﹣3.8的整数部分为﹣4，小数部分为|﹣3.8﹣（﹣4）|＝0.2．由此得到：若，其中x是整数，且0＜y＜1，那么x＝1，． 根据以上材料，回答下列问题： （1）若，其中m是整数，且0＜n＜1，则m＝ 　2　，n＝ 　2　． （2）若，其中a是整数，且0＜b＜1，求|a+b|﹣（2b﹣1）的值． （3）若，其中p是整数，且0＜q＜1，求p﹣q的值． 【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数8的大小，确定a、b的值，再进行计算即可； （3）根据算术平方根的定义估算无理数2的大小，确定p、q的值，再代入计算即可． 【解答】解：（1）∵23，而，其中m是整数，且0＜n＜1， ∴m＝2，n2， 故答案为：2，； （2）∵即8a+b， ∵56， ∴﹣65， ∴2＜83， ∵a是整数，且0＜b＜1， ∴a＝2，b＝82＝6， ∴|a+b|﹣（2b﹣1） ＝82b+1 ＝812+21 3． （3）∵23， ∴﹣32， ∴﹣1＜20， ∵若2p+q，其中p是整数，且0＜q＜1， ∴p＝﹣1，， ∴p﹣q＝﹣1﹣34． 【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． 15．任意实数x均能写成其整数部分[x]与小数部分{x}的和，即x＝[x]+{x}，其中[x]表示不超过x的最大整数，0≤{x}＜1．例如：，其中；又如﹣2.5＝[﹣2.5]+{﹣2.5}，其中[﹣2.5]＝﹣3，{﹣2.5}＝0.5． 回答下列问题： （1） 　3　， 　　； （2） 　﹣3　； （3）若[x]＝2，[y]＝4，则[x+y]所有可能的值为 　6或7　． 【分析】（1）先估算的大小，然后根据已知条件中的新定义解答即可； （2）先估算的大小，再根据不等式的基本性质求出的大小，然后根据已知条件中的新定义解答即可； （3）根据已知条件的定义，求出x，y的取值范围，再利用不等式的性质求出x+y的范围，进行解答即可． 【解答】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为：﹣3； （3）∵[x]＝2，[y]＝4， ∴2≤x＜3，4≤y＜5， ∴6≤x+y＜8， ∴[x+y]＝6或7， 故答案为：6或7． 【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是理解已知条件中新定义的含义． 学科网（北京）股份有限公司 $$