抛物线专项提升卷（8大考点汇总与跟踪训练）-2025届高考数学一轮复习

抛物线专项提升卷（8大考点汇总与跟踪训练）-2025年高考数学一轮复习题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 8大考点汇总 考点一：抛物线点到焦点的距离以及最值 考点二：抛物线中点到定点和焦点距离的和、差最值 考点三：根据抛物线方程求焦点或准线 考点四：抛物线的焦半径公式 考点五：利用抛物线定义求动点轨迹 考点六：根据抛物线方程求参数 考点七：根据焦点或准线求抛物线方程 考点八：根据抛物线上的点求标准方程 跟踪训练 一、单选题 考点一：抛物线点到焦点的距离以及最值 1．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的任意点，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，若是等边三角形，则（    ） A．5 B．4 C．2 D．1 2．已知抛物线的焦点为为上的动点，为圆上的动点，设点到轴的距离为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知抛物线，点在抛物线上，点，若P点是抛物线上的动点，则的最小值为(    ) A．8 B． C．9 D．3 4．已知抛物线：，抛物线：，，的焦点分别为，，点为抛物线上的一个动点，直线过点，则（   ） A．直线的方程为 B． C． D．与各有一个交点的直线有三条 考点二：抛物线中点到定点和焦点距离的和、差最值 5．已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知点､分别是抛物线和圆上的动点，若抛物线的焦点为，则当取得最小值时点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线的焦点为，点，P是抛物线C上的一个动点，则的最小值为（    ） A．8 B．12 C．10 D．16 8．已知，为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 考点三：根据抛物线方程求焦点或准线 9．下列说法正确的是（    ） A．圆的半径为 B．椭圆的离心率为 C．双曲线的实轴长为2 D．抛物线的焦点坐标为 10．抛物线的焦点为F，过焦点的倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，设，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 11．已知点在抛物线上，且，其中为抛物线的焦点，则（   ） A．抛物线的准线为 B．点的坐标为 C． D．过点作轴于点，则的面积为 12．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，，为垂足.若直线的斜率，则（    ） A．准线方程为 B．焦点的坐标为 C．点的坐标为 D．的长为3 三、填空题 考点四：抛物线的焦半径公式 13．抛物线上与焦点的距离等于的点的纵坐标为 . 14．已知抛物线上一点的横坐标为3，则点到抛物线焦点的距离是 . 15．已知抛物线上有三个点，其中，若三点到焦点的距离依次构成等差数列，则 ； 16．如图，设抛物线的焦点为F，过点的直线l与抛物线交于A，B两点，与y轴的负半轴交于C点，已知与的面积比为1：3，则 . 四、解答题 考点五：利用抛物线定义求动点轨迹 17．已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线交于两点，且(为坐标原点)的面积为 32， 求的方程. 18．已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相交于两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 19．在平面直角坐标系内，满足：，，顶点始终在轴上，设为的中点，轴，记点的运动轨迹为． (1)求的方程； (2)直线与的另一交点为，求以为直径的圆被轴截得的弧所对的圆心角的最大值． 20．已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 考点六：根据抛物线方程求参数 21．已知抛物线的焦点为，点在上. (1)求焦点的坐标及的值； (2)设的准线与轴的交点为，求过三点的圆的方程. 22．已知抛物线上的点到焦点的距离为4. (1)求的值； (2)过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程. 23．已知抛物线，点到焦点的距离为，直线与抛物线交于两点，设直线斜率分别为． (1)求； (2)当直线l的斜率存在时，若，证明直线过定点，并求出满足条件的定点坐标． 24．已知抛物线与抛物线在第一象限交于点. (1)已知为抛物线的焦点，若的中点坐标为，求； (2)设为坐标原点，直线的斜率为.若斜率为的直线与抛物线和均相切，证明为定值，并求出该定值. 考点七：根据焦点或准线求抛物线方程 25．已知抛物线的准线方程为，直线交抛物线于，两点. (1)求抛物线的方程; (2)若，求的值; (3)若抛物线上存在两点，关于直线对称，求的取值范围. 26．已知直线与关于抛物线的准线对称，的焦点为. (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与交于两点，且，求直线的方程： (3)为上两点，且，求面积的最小值. 27．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点F重合，双曲线E的渐近线方程为 (1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程; (2)过右焦点F且斜率大于0的直线l与双曲线E的右支交于两点，若，求直线l的方程． 28．已知抛物线的顶点在原点，焦点为，过焦点且斜率为的直线交抛物线于两点， (1)求抛物线的标准方程； (2)若，求直线的方程； (3)过点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于四点，且分别为线段的中点，求的面积最小值. 考点八：根据抛物线上的点求标准方程 29．已知抛物线，过点的直线与交于两点，设为坐标原点，当轴时，的周长为. (1)求抛物线的焦点坐标； (2)若点为抛物线上异于原点的一动点，且直线与直线的交点恒在定直线上.证明：过点与抛物线相切的直线平行于直线. 30．已知为坐标原点，点，，是抛物线上不同的三点，其中，点在第一象限，直线与平行，直线与交于点，直线与直线交于点． (1)求抛物线的准线方程； (2)求直线的方程； (3)求的最小值． 31．已知为坐标原点，抛物线经过点，直线经过点且与抛物线相交于A，B两点. (1)证明：为定值； (2)若，求直线的方程. 32．已知抛物线W：（）经过点. (1)求抛物线W的方程； (2)经过点的直线l与抛物线W相交于M，N两点，O为坐标原点，求面积的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《抛物线专项提升卷（8大考点汇总与跟踪训练）-2025年高考数学一轮复习题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B D B A B A ABD BCD 题号 11 12 答案 AD BC 1．B 【分析】根据已知及抛物线的定义易知，由即可求. 【详解】由是等边三角形，如下图知， 则，故. 故选：B 2．B 【分析】作出图形，过点作垂直于抛物线的准线，垂足为点，利用抛物线的定义可知，分析可知，当且仅当为线段分别与圆A､抛物线的交点时，取最小值，即可得解. 【详解】根据已知得到，圆， 所以，圆A的半径为1， 抛物线的准线为，过点作，垂足为点，则， 由抛物线的定义可得， 所以， . 当且仅当为线段分别与圆A､抛物线的交点时，两个等号成立， 因此，的最小值为2. 故选：B. 3．B 【分析】把点代入抛物线中求出，再设利用两点间距离计算根据二次函数求最值即可. 【详解】因为点在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线方程为，设， 则， 所以的最小值为. 故选：B. 4．D 【分析】A选项利用抛物线和的方程求出焦点和的坐标，再利用直线的两点式方程即可求出直线的方程；设出点的坐标，再结合焦点和的坐标，写出和的表达式，从而可以判断B，C选项，再数形结合判断D选项即可. 【详解】对于A ，，，所以直线的方程为，A错误； 对于B，当在原点时，取到最小值为1，B错误； 对于C，设，所以， 当时，，此时，，C错误； 对于D，当直线与只有一个交点时， ①若与轴平行或重合时，满足与，各有一个交点，如图； ②若与相切时，与，各有一个交点的直线有两条，一条与相切，一条与轴重合，如图和， 与，各有一个交点的直线有三条，D正确. 故选：D. 5．B 【分析】由抛物线的定义可知，设于点N，，当三点共线且M在中间时，取得最小值，再结合点到直线的距离公式计算可得. 【详解】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可知. 设于点，则.当三点共线，且在中间时，取得最小值. 由抛物线，得，所以的最小值为. 故选：B. 6．A 【分析】设定点，确定定点满足恒成立，从而得到，再由在一条直线上时，取得最小即可求解； 【详解】由抛物线，可得焦点坐标为，又由圆， 可化为，可得圆心坐标为，半径． 设定点，满足成立，且， 即恒成立，其中， 代入两边平方可得：，解得， 所以定点满足恒成立，可得，如图所示， 当且仅当在一条直线上时，此时取得最小值，即． 设，满足，所以， 当且仅当时，等号成立，此时． 故选：A 7．B 【分析】首先求出抛物线的准线方程，过点作垂直于准线，交准线于点，根据抛物线的定义得到，从而求出的最小值. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 过点作垂直于准线，交准线于点，则， 所以，当且仅当、、三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 8．A 【分析】点在抛物线的内部，要求的最小值，利用抛物线的定义，过点直接作准线的垂线，与抛物线的交点即为所求. 【详解】由于，所以点在抛物线的内部， 设点在准线上的射影为，由抛物线的定义可知， 要求的取最小值，即求的最小值， 只有当三点共线时最小， 令，，得，所以取最小值时点的坐标为. 故选：A. 9．ABD 【分析】根据圆的方程求得半径，结合椭圆离心率公式，双曲线的实轴概念，抛物线焦点概念，逐项判定即可. 【详解】解：对于A，圆的标准方程为：，半径为，故A正确； 对于B，，，，得，故B正确； 对于C，双曲线的实轴长为4，故C错误； 对于D，由方程的，，焦点坐标为：，故D正确. 故选：ABD. 10．BCD 【分析】由题设直线AB的方程，联立抛物线方程结合韦达定理可判断A，B；再依次应用抛物线焦点弦长公式和焦半径公式计算即可判断C，D.. 【详解】对于AB，由抛物线的方程可知，，即， ， 直线AB的斜率不可能为0，设其方程为， 联立，消去x，得，， 故，故A错误，B正确； 对于C，若，则， 则，C正确； 对于D，由抛物线的定义知，， 又， ，即选项D正确. 故选:BCD 11．AD 【分析】根据抛物线的定义得，进而得到准线、焦点判断A、B；将代入抛物线判断C；求出三角形面积判断D. 【详解】根据抛物线的定义知，，则， 所以抛物线的准线为，焦点，A对，B错； 将代入抛物线，得，C错； 由轴于点，则，故，所以的面积为，D对. 故选：AD 12．BC 【分析】根据抛物线方程即可得焦点和准线方程，即可判断AB；根据题意可得直线的方程为，可求点的坐标，即可判断C；根据抛物线的定义判断D 【详解】因为抛物线方程为， 可知焦点的坐标为，准线方程为，A错误，B正确. 又因为直线的斜率为，则直线的方程为， 当时，，即， 因为为垂足，则，解得， 所以点的坐标为，C正确. 根据抛物线的定义可知，故D错误. 故选：BC. 13． 【分析】首先求出准线方程，根据焦半径公式计算可得. 【详解】抛物线的准线为，设所求点的纵坐标为， 则，解得. 故答案为： 14．4 【分析】根据给定条件，利用抛物线定义直接求得答案. 【详解】抛物线的准线为， 所以该抛物线上点到其焦点的距离为. 故答案为：4 15．2 【分析】设抛物线焦点，准线方程为，根据题意，得到，求出，代入抛物线方程，即可得出结果. 【详解】设抛物线焦点，准线方程为， 由、、到焦点的距离依次成等差数列得， 所以， 所以，即，代入得． 故答案为：2. 16． 【分析】根据面积之比求得，设出直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理求得，进而求得，再根据焦半径公式即可求得结果. 【详解】由，可得，所以①，且， 又可设直线的方程为：，与抛物线联立消去得：， 所以，②， 结合①②可得，从而. 故答案为： 17．(1) (2)或 【分析】(1) 由抛物线的定义即可求出抛物线方程； (2) 设直线的方程为，联立抛物线方程消去，然后利用韦达定理结合面积即可求解. 【详解】（1）由已知有：动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以曲线 的方程为. （2）设，显然直线的斜率不为0，可设直线， 联立， 则，， 所以， 原点到直线的距离为：， 所以，解得， 所以直线的方程为：或. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据已知得到动点到的距离等于到直线的距离，满足抛物线的定义，根据定义即可求解； （2）利用点差法求出直线的斜率即可. 【详解】（1）由题意知根据已知得到动点到的距离等于到直线的距离， 即动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹的方程为. （2）设，则 两式相减得，整理可得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即经检验满足题意. 19．(1)； (2). 【分析】（1）设点，则，根据题中条件，结合抛物线定义，即可得出点在以为焦点，直线为准线的抛物线上，从而可求出其轨迹方程； （2）设该圆心角为，考虑圆心角的一半，设圆心为，半径为，圆与轴的其中一个交点为，过作轴的垂线，垂足为，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和题中条件，表示出，进而可求出其结果. 【详解】（1）由题可设点，则， 因为为直角三角形，故； 注意到点到直线的距离， 故，故点在以为焦点，直线为准线的抛物线上， 故：． （2）设所求圆心角为，则圆心角的一半， 设圆心为，半径为，圆与轴的其中一个交点为， 过作轴的垂线，垂足为，即，．    由于直线不与轴重合，故设其方程为， 由消去，得， 所以，，， 所以， 故的横坐标为， 所以， 故， 故当，即垂直于轴时，取最小值，此时取得最大值， 故以为直径的圆被轴截得的弧所对的圆心角的最大值为. 20．(1) (2) 【分析】（1）根据题意以及抛物线的定义，可得答案； （2）利用点差法，求得直线斜率，根据点斜式方程，可得答案. 【详解】（1）由题意知动点到点的距离等于到直线的距离， 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以的方程为. （2）设，，则， 两式相减得，整理可得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 21．(1)的坐标为， (2) 【分析】（1）根据焦点坐标即可求解，代入点到抛物线方程中即可求解， （2）设圆的一般式方程，代入三点坐标即可求解. 【详解】（1）由题意可得焦点的坐标为. 点在上，. 解得（舍去），. （2）由抛物线可得准线方程为，所以，.由（1）知. 设过三点的圆的方程为， 代入点得， 解得. 所以，过三点的圆的方程为（或者）. 22．(1)6 (2) 【分析】（1）根据题意列式，求出的值，即得答案. （2）由（1）可得抛物线方程，设直线方程，并联立，利用抛物线弦长公式求出参数，即得答案. 【详解】（1）由题知，，所以. 因为点到焦点的距离为4，所以4，所以，即， 所以，所以. （2）由（1）知，抛物线的方程为，其焦点坐标为. 设，，由题意知l的斜率不为 0，设直线的方程为. 由得，， 所以，所以. 因为，所以，即，解得， 所以直线的方程为，即. 23．(1) (2)证明见解析，定点坐标为. 【分析】（1）根据两点间距离公式表示出，由此可求的值； （2）通过联立直线与抛物线得到横坐标的韦达定理形式，然后化简条件等式，得到的关系式即可求解出所过定点坐标，斜率不存在时直接分析即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 解得； （2）当直线的斜率存在时，由题意可知直线的斜率不为， 设，， 联立可得， 且，即， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 代入韦达定理化简可得：， 当时，，即过定点， 当时，过定点； 综上，过定点.    【点睛】方法点睛：圆锥曲线中过定点问题的两种求解方法： （1）若设直线方程为或，则只需要将已知条件通过坐标运算转化为之间的线性关系，再用替换或用替换代入直线方程，则定点坐标可求； （2）若不假设直线的方程，则需要将直线所对应线段的两个端点的坐标表示出来，然后选择合适的直线方程形式表示出直线方程，由此确定出定点坐标. 24．(1)2 (2)证明见解析，定值为0 【分析】（1）利用中点坐标公式可直接求解； （2）先联立两抛物线方程求出点坐标，从而求出，再设出直线的方程，然后分别与抛物线和联立，从而根据直线与抛物线和均相切求出，进而得出结论. 【详解】（1）由得，设， 因为的中点坐标为，所以， 解得. （2）    联立，解得或， 所以， 所以直线的斜率. 设直线的方程为. 联立，消去得， 因为直线与抛物线相切， 所以，即， 若，则，不符合题意， 所以，即，① 联立，消去得， 因为直线与抛物线相切， 所以，即，② 由①②可得，所以， 故为定值，该定值为0. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 25．(1) (2) (3)或 【分析】（1）由准线方程求出，即可得到抛物线方程； （2）联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式得到方程，解得即可； （3）设，，当时显然不成立，当时，由得到，从而得到中点的纵坐标，即可求出中点的横坐标，即可得到，即可得到关于的方程有实根，由求出参数的取值范围. 【详解】（1）由题意，，抛物线的方程为； （2）由题意，整理得，设，， 则， ，， ，整理可得， ，解得； （3）设，， 若，则，易得此时不合题意； 若，由于，关于直线对称，故，可得， 中点的纵坐标为， 将其代入中，可得， 又，化简可得， ，且， 化简可得，要使得上述关于的方程有实根， 当时不合题意， 则，故，或， 即的取值范围为或. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 26．(1) (2) (3). 【分析】（1）由与到的距离相等求得，从而可得到答案； （2）由，根据抛物线的定义求得，设出直线方程，联立直线和抛物线方程消去，结合韦达定理求出参数即可； （3）设直线的方程为：与抛物线方程联立，由结合韦达定理求出，找到的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出求面积的最小值. 【详解】（1）抛物线的准线方程为， 由题意知与到的距离相等，即，解得. 故抛物线的方程为. （2）设. 因为，根据抛物线的定义得，所以. 设直线，联立， 化简得，故. 由，解得，满足. 则直线的方程为. （3）因为焦点坐标为，则直线的斜率存在. 设直线的方程为：. 由可得， 则，即. 因为，所以， 即. 将代入上式， 化简得. 所以，且， 解得或. 设到直线的距离为，则. . 所以的面积. 因为或， 所以当时，的面积最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是根据向量的数量积为零找到的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值. 27．(1)抛物线C的标准方程为，双曲线E的方程为 (2) 【分析】（1）由双曲线的渐近线方程得出a，可得双曲线E的标准方程;再得出其焦点坐标，可得p的值，进而得出抛物线C的标准方程； （2）设直线l的方程为，，，与双曲线E联立，运用弦长公式得出m的值，进而得出直线l的方程. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为，则， 双曲线E的方程为， 又因为双曲线E的右焦点坐标为， 而抛物线的焦点为， 于是，解得， 所以抛物线C的标准方程为. （2） 设直线l的方程为，，， 因为斜率大于0的直线l与C的右支交于两点， 所以，即，则， 联立， 消去x整理得， ，且，， 则， 解得，则负值舍去， 故直线l的方程为 28．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据抛物线焦点坐标写错抛物线方程即可； （2）设，则，过点作垂足为，过点作，垂足为，结合抛物线的定义求得，，进而求直线的斜率，即可得直线； （3）设,，联立抛物线并应用韦达定理，求坐标，进而求，应用三角形面积公式、基本不等式求面积最值. 【详解】（1）抛物线的顶点在原点，焦点为，所以； （2）如图，若，不妨设，则， 设抛物线的准线为，过点作垂足为，过点作，垂足为， 根据抛物线的定义知，则，故， 在中，，得， 所以，同理时， 综上，，则所求直线为. （3）根据题意，，斜率存在，且不为0， 设,， 由， ，同理得， ，， ，当且仅当时，面积取到最小值16. 29．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）取，计算可求得抛物线的焦点坐标； （2）设直线的方程为，求得点，求得直线的方程，进而求得点的坐标，设切线方程为，利用可求得，进而可得结论. 【详解】（1）当时，， 不妨取， 则，， 由的周长为得， ，解得， 故抛物线的焦点坐标为. （2）由（1）可知，抛物线， 设直线的方程为， 则直线与直线交于点， 所以的方程为， 联立，解得，则， 所以， 易知过点与抛物线相切的直线的斜率存在，设其方程为， 代入得，整理得， 则， 整理得， 则，所以， 故过点与抛物线相切的直线的斜率为，又的斜率为， 故过点与抛物线的相切的直线平行于直线. 30．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）将点坐标代入方程求出值即得. （2）根据给定条件，设直线，抛物线方程联立，利用韦达定理，结合方程组法求出点纵坐标即可. （3）利用弦长公式列式求出的函数关系，借助基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由在抛物线上，得，解得， 所以抛物线的准线方程为. （2）直线的斜率，设直线，， 由消去，得，则，， 直线方程为，直线方程为，即， 由，得点纵坐标，即点， 同理得直线方程为，直线方程为，点， 所以直线方程为.    （3）由（2）知，， 令，而，要最小，则， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 31．(1)证明见解析 (2)或. 【分析】（1）将点代入抛物线方程求，设直线的方程为，联立方程组结合根与系数关系求结论； （2）由条件可得，结合（1）解方程求，由此可得直线方程. 【详解】（1）由题意，得，即，则抛物线的方程为， 设直线的方程为：， 联立方程组得：，且， 由已知为方程的两个根， ， ， ， （2）因为， 由（1）知， ，解得， 直线的方程为或. 32．(1)； (2). 【分析】（1）将给定的点代入方程求出即可. （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，求出面积的函数关系，结合韦达定理求解. 【详解】（1）由抛物线W：过点，得，解得， 所以抛物线W的方程为. （2）显然直线不垂直于轴，设其方程为，， 由消去得，则， 则的面积， 当且仅当时取等号，所以面积的最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$