7.1.1 数系的扩充和复数的概念（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

7.1.1 数系的扩充和复数的概念 人教A版2019必修第二册 第七章 复数 学习目标 1 2 3 了解引入数域扩充的必要性，感受实数系扩充到复数系的规则； 通过方程的解认识复数，了解复数的分类，培养逻辑推理的核心素养； 理解两个复数相等的含义，培养数学运算的核心素养. 新课导入 我们把一个数集连同规定的运算以及满足的运算律叫做一个数系. 问题1 回顾从自然数系逐步到实数系的扩充过程，每一次数系扩充的主要原因是什么？ 每次数的扩充都是为了解决生产生活中的问题. 追问 每次扩充分别解决了什么实际问题和数学问题？ 自然数集 整数集 有理数集 实数集 刻画相反意义的量 引入了 负数 解决测量等分问题 引入了 分数 解决度量正方体对角线等问题 引入了 无理数 计数的需要 引入了 自然数 ？ 引入 新数 随着社会发展，数系在不断扩充． 新课导入 （1）在自然数集中求方程 x+1=0 的解； （2）在整数集中求方程 2x-1=0 的解； （3）在有理数集中求方程 x2-2=0 的解. （2）在整数集中求方程2x-1=0的解； 无解 有解 无解 有解 有解 无解 （3）在有理数集中求x2-2=0方程的解；   （4）在实数集中求x2+1=0方程的解． 无解 有解 ？ （1）在自然集中求方程x+1=0的解； N Z Q R 数系的每一次扩充解决了原有数集中某种运算不能解决的问题． 问题2 借助下面的方程，你能从解方程(数学)的角度来说明数系的扩充吗？ 新知探究 问题3 我们知道，方程 x²+1=0在实数集中无解.联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗? 引入一个新数： 规定 引入新数i后，我们希望i和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律. i 是数学家欧拉最早引入的，它取自imaginary (想象的，假设的)一词的词头，i2=i·i. 新知探究 问题4 实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢? （2）把实数b与i相乘，结果记作bi ; （3）把实数a与bi相加，结果记作a+bi ; （1）把实数a与新引进的数i相加，结果记作a+i 所有实数以及i都可写成a+bi的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. 概念生成 形如a+bi (a,b∈R)的数叫做复数. i 叫做虚数单位. 全体复数所构成的集合C={a+bi |a,b∈R}叫做复数集. 复数的概念 复数的代数形式 复数通常用字母z表示，即 z=a+bi (a,b∈R) a叫做复数的实部 b叫做复数的虚部 注意：复数z的实部和虚部都是 数. 实 -3 1 复数i－2的虚部是 . 新知探究 问题5 两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？ 当两个复数都是实数时，可以比较大小， 当两个复数不全是实数时，只有相等或不相等的关系，不能比较大小. 追问 如果两个复数相等，那么它们应满足什么条件呢？ 复数相等 在复数集C={a+bi | a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di (a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi和c+di相等，当且仅当a=c，b=d. 即：a + bi = c + di ⇔ a = c且b = d. 特别地 我们判断两个复数是否相等，就要考虑它们的实部和虚部是否分别相等！ 学以致用 教材P70 说出下列复数的实部和虚部： 这些都叫复数， 有些是实数， 有些叫虚数，有些叫纯虚数 新知探究 问题6 复数z=a+bi (a,b∈R)什么时候是实数，什么时候是虚数、什么时候是纯虚数？ 当且仅当b=0时，它是实数； 当且仅当a=b=0时，它是实数0 当b≠0时，它叫做虚数(imaginary number)； 当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数 新知探究 复数集 虚数集 纯虚数集 实数集 显然，实数集R是复数集C的真子集，即R C. 复数 实数(b=0) 虚数(b≠0) 纯虚数 (a=0, b≠0) 非纯虚数 (a≠0, b≠0) 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用韦恩图表示(如右图所示). 问题7 复数集C与实数集R之间有什么关系？ 这样，复数z=a+bi (a, b∈R)可以分类如下： 学以致用 教材P70 虚数 纯虚数 实数 2. 指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数. 为什么？ 典例解析 例1 当实数m取什么值时，复数 z=m+1+(m-1)i 是下列数？ （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数. 学以致用 教材P73 习题7.1 第2题 典例解析 例2 求满足下列条件的实数x, y的值. (1) ； (2) . 解: （1）由题意得 解得 （2）由题意得 解得 或 学以致用 教材P70 3. 求满足下列条件的实数x，y的值. 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 1. 虚数单位i的引入，数系的扩充； 2. 复数有关概念： 复数的代数形式: 复数的实部、虚部 复数相等 复数的分类 主讲： 人教A版2019必修第二册 感谢聆听 $$