10.3 实际问题与二元一次方程组同步练习2024-2025学年人教版七年级数学下册

10.3 实际问题与二元一次方程组 一、单选题 1．我国古代数学名著《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出9元，多4元；每人出8元，少5元．问有多少人？该物品价值多少元？如果设有人，该物品值元，那么可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．“悟空顺风探妖踪，千里只用五分钟；归时五分行六百，试问风速是多少？”大致意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风，1000里只用了5分钟：回来时逆风，5分钟只走了600里，试求风的速度是每分钟多少里？（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 3．2023年10月13日，是第34个国际减灾日，主题为“共同打造有韧性的未来”，多学一分自救知识，就多一份生命保障，每个人都应增强防灾减灾意识，提高避灾自救技能，学一点科学知识，少一点生命威胁，灾难总是不期而至，及早掌握防灾知识，做到防患于未然，就多一份生命保障．为奖励消防演练活动中表现优异的同学，学校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 4．“方程”二字最早见于我国《九章算术）这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”．如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程，则表示的方程是（    ） A． B． C． D． 5．“洛书”是世界上最古老的一个三阶幻方，它有3行3列，三横行的三个数之和，三竖列的三个数之和，两对角线的三个数之和都相等，其实幻方就是把一些有规律的数填在正方形图内，使每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，如图幻方a、b的值分别是（    ） A．11，9 B．9，11 C．8，13 D．13，8 二、填空题 6．为打造三墩五里塘河河道风光带，现有一段长为180米的河道整治任务，由、两个工程小组先后接力完成，工程小组每天整治12米，工程小组每天整治8米，共用时20天，设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米，依题意可列方程组 ． 7．我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两“金”；2头牛、3只羊共12两“金”，每头牛、每只羊各多少两“金”？设1头牛x两“金”，1只羊y两“金”，则可列方程组为 ． 8．“翰墨凝书香执笔颂中华”．某校为了奖励在规范汉字书写大赛中表现突出的同学，购买了甲，乙两种奖品共100件，费用为1352元，其中，甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元．若设购买了x件甲种奖品，y件乙种奖品，根据题意可列方程组 ． 9．如图，正方形的面积是81，该正方形被分成四个相同的长为，宽为的长方形和一个面积为9的小正方形，则的值为 ． 10．幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）中，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．如图2所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，图3是另一个广义的三阶幻方，则的值为 ．    三、解答题 11．根据题意列出方程组． (1)甲、乙两人在一环形场地上从点A同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的速度的2.5倍，4min后两人首次相遇，此时乙还需要跑300m跑完第一圈．求甲、乙两人的速度及环形场地的周长． (2)将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只．则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只．则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？ 12．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形，小红看见了，说“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为2cm的小正方形！试求图2这个正方形的面积． 13．我国传统数学名著九章算术记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？ (2)某商人准备用两银子买牛和羊要求既有羊又有牛，且银两须全部用完，且羊的数量不少于牛数量的倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能． 14．某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共60万套，两种礼盒的成本和售价如下表所示． 甲 乙 成本（元/套） 20 24 售价（元/套） 25 30 (1)该工厂计划筹集资金1340万元，且全部用于生产甲、乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？ (2)经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒m万套，增加生产乙种礼盒n万套（m，n都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润恰为400万元，请问该工厂有几种生产方案？并写出所有可行的生产方案． 15．某中学为了在11月中旬举办体育文化节，学校委托后勤处张主任去购买奖品，张主任回校后向财务处的陈老师交账说：“我买了足球和篮球共20个，足球每个60元，篮球每个80元，去买之前我领了1500元，现在还余70元．”陈老师算了一下，说：“你肯定搞错了．” (1)陈老师为什么说张主任肯定搞错了？试用方程的知识给予解释． (2)张主任连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了几个（大于1小于4）单价为15元的水龙头，但是发票上的个数看不清了，请你帮他算一算，他买了几个水龙头？ 16．某服装店欲购进一批A款和B款两种新款服装，若购买2件A款衣服和3件B款衣服共需226元，购买5件A款衣服和1件B款衣服共需292元．求： (1)每件A款衣服和每件B款衣服的价格分别是多少？ (2)若该店王老板准备了4600元，探究：王老板有几种进货方案，请你一一列举出来； (3)若A款衣服每件售价80元，B款衣服每件收件60元，王老板怎样进货可以获得最大收益？ 17.某校为学生开展拓展性课程，拟在一块长比宽多6m的长方形场地内建造由两个大棚组成的植物养殖区．已知每个大棚的周长为44m，要求两个大棚之间有间隔4m的路，设计方案如图所示． (1)求每个大棚的长和宽； (2)现有两种大棚的造价方案，方案一是每平方米60元，超过优惠500元；方案二是每平方米70元，超过优惠总价的20%．试问选择哪种方案更优惠？ 18.小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．” 那么，你能回答以下问题吗？ (1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？ (2)第一次，他们拼出的两位数是多少？ 19.安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天． (1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； (2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的； (3)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，求甲工程队参加工作多少天？ 20．从王老师家到学校有一段上坡路、一段 的平路和一段下坡路， 王老师每天步行上、下班，如果上坡路的平均速度为 ，平路的平均速度为 ，下坡路的平均速度为 ，那么王老师从家到学校需 ，从学校到家需 ．求 从王老师家到学校的上坡路和下坡路的路程． 21．为了迎接湖南省第二届旅发大会，我市各景区准备新增5000个停车位，用以解决景区停车难的问题．已知新建3个地上停车位和2个地下停车位共需0.8万元；新建2个地上停车位和4个地下停车位共需1.2万元． (1)求新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？ (2)有关部门计划投资950万元用于建造这5000个停车位，请问可以建造地上停车位和地下停车位各多少个？ 答案 一、单选题 1．B 【分析】本题考查二元一次方程组解古代数学问题，读懂题意，找到等量关系列方程是解决问题的关键． 由题中设有人，物品价值元，根据每人出9元，多4元；每人出8元，少5元列方程即可得到答案． 【详解】解：设有人，该物品值元， ∵每人出9元，多4元， ∴； ∵每人出8元，少5元， ∴； ∴根据题意可列方程组 故选B． 2．B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设孙悟空的速度为里/分钟，风速为里/分钟，根据顺风5分钟走1000里及逆风5分钟走了600里，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：设孙悟空的速度为里/分钟，风速为里/分钟， 依题意，得 解得 答：风的速度为40里/分钟． 故选B． 3．A 【分析】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是设购买篮球x个，排球y个，根据“购买篮球的总钱数购买排球的总钱数”列出关于x、y的方程，由x、y均为非负整数即可得． 【详解】解：设购买篮球x个，排球y个，根据题意可得， ， 则， ∵x、y均为正整数， ∴、或、或、或、， 所以购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有种， 故选：A． 4．A 【分析】本题考查了列二元一次方程组，理解题意是解题的关键．根据横着的算筹为10，竖放的算筹为1，依次表示x，y的系数与等式后面的数字，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 故选：A． 5．D 【分析】本题是一道有关探究规律的题目，侧重考查知识点的应用能力，依题意，得,再解二元一次方程组即可． 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故选：D． 二、填空题 6． 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．根据河道总长为180米和、两个工程队共用时20天这两个等量关系列出方程，组成方程组即可求解． 【详解】解：设工程小组整治河道米，工程小组整治河道米， 依题意可得：． 故答案为：． 7． 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组．根据“5头牛、2只羊共19两“金”；2头牛、3只羊共12两“金””，可以列出相应的方程组，本题得以解决． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 8． 【分析】本题考查根据实际问题抽象出二元一次方程组．根据甲乙两种奖品共100件，可找到等量关系列出一个方程，再根据甲乙两种奖品的总价格找到一个等量关系列出一个方程，将两个方程组成一个二元一次方程组． 【详解】解：若设购买甲种奖品件，乙种奖品件， 甲．乙两种奖品共100件，所以， 因为甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，所以， 由上可得方程组：． 故答案为：． 9．6 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据正方形的面积为81，可得正方形的边长为9，即，可列出一个关于a、b的方程，解方程组即可． 【详解】解：根据正方形的面积为81，可得正方形的边长为9，即， 小正方形的面积为9，则其边长为3， ∵大正方形边长为9，小正方形边长为3， ∴根据图示和题意得：， 解得：． 故答案为：6． 10．6 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据三阶幻方的定义，利用二元一次方程解答，即可求出结论． 【详解】解：根据题意，列二元一次方程组：， 解得：， 故答案为：6． 三、解答题 11．（1）解：设乙的速度为米分，则甲的速度为米分，环形场地的周长为米，由题意，得 ； （2）解：设笼的总数为，鸡的总数为只，根据题意可得： 则． 12．解：设每个长方形的宽为，长为， 根据图形可得出方程组为： ， 解得：， 正方形的边长为：（）， 正方形的面积为：（），． 答：图2这个正方形的面积是．． 13．（1）解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子， 依题意得：， 解得：， 答：每头牛值两银子，每只羊值两银子； （2）设购买头牛，只羊， 依题意得：， 整理得：， 、均为正整数， 为的倍数， 羊的数量不少于牛数量的倍， ， 或， 商人有种购买方法： 购买头牛，只羊； 购买头牛，只羊． 14．（1）设甲种礼盒生产万套，乙种礼盒生产万套， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种礼盒生产25万套，乙种礼盒生产35万套； （2）根据题意得：， ， 又，均为正整数， 或， 或， 该工厂有2种生产方案， 方案1：生产甲种礼盒32万套，乙种礼盒40万套； 方案2：生产甲种礼盒26万套，乙种礼盒45万套． 15．（1）解：设足球买了个，篮球买了个． 依题意，得， 解得， ，均为正整数， 不符合题意，即张主任肯定搞错了． （2）解：设张主任买了个足球，个水龙头，则买的篮球的个数为个． 依题意，得， 整理，得． ，都是整数，且， 可能为2或3． 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得，不符合题意， 他买了2个水龙头． 16．（1）解：设A款衣服的单价为元，B款衣服的单价为元， 依题意，得：， 解得：． 答：A款衣服的单价为50元，B款衣服的单价为42元． （2）设A款衣服进货件，B款衣服进货件，则 ， 整理得：， ∵，为非负整数， ∴，，，，； ∴进货方案为：①A款衣服进货件，B款衣服进货件， ②A款衣服进货件，B款衣服进货件， ③A款衣服进货件，B款衣服进货件， ④A款衣服进货件，B款衣服进货件， ⑤A款衣服进货件，B款衣服进货件． （3）∵A款衣服每件利润元，B款衣服每件利润元， 设A款衣服进货件，B款衣服进货件，则利润为元， ∵， ∴利润为， 由代数式的特点可得：取最小值时，利润最大， 最大利润为：元． 17.解：（1）设每个大棚的长为am，宽为bm． 根据题意，得解得 故每个大棚的长为14m，宽为8m． （2）大棚的面积为． 方案一：（元）； 方案二：（元）． ，选择方案二更优惠． 18.（1）解：设他们取出的两个数字分别为x、y． 第一次拼成的两位数为，第二次拼成的两位数为． 根据题意得： ， 由②，得：③， 得：． 把代入①得：， ∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5． （2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5， 所以第一次他们拼成的两位数为45． 19.（1）解：设乙队单独完成此项工程需要天，甲队单独完成此项工程需要天， 依题意得，， 解得，， ∴， ∴甲、乙两队单独完成此项工程各需要40、15天； （2）解：由（1）可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为， 设还需要再合作天可完成此项工程的， 依题意得，， 解得，， ∴还要再合作6天可完成此项工程； （3）解：设甲单独工作天，甲乙合作工作天， 依题意得，， 解得，， ∵， ∴甲工程队参加工作16天． 20.解：设从王老师家到学校的上坡路的路程为，下坡路的路程为，根据题意得， 解得： 答：从王老师家到学校的上坡路的路程为，下坡路的路程为． 21.（1）解：设新建1个地上停车位需万元，新建1个地下停车位需万元，由题意得 ， 解得：， 答：新建1个地上停车位需万元，新建1个地下停车位需万元． （2）解：设建造地上停车位个，地下停车位个，由题意得 ， 解得：， 答：可以建造地上停车位个，地下停车位个． 学科网（北京）股份有限公司 $$