模块六 立体几何与空间向量（测试）-【上好课】2025年高考数学二轮复习讲练测（新高考通用）

模块六 立体几何与空间向量 （测试） (考试时间：120分钟 试卷满分：150分) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线和平面，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，一个圆柱形容器中装有某种液体，固定容器在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点到容器底部的距离分别是10和22，则容器内液体的体积是（    ） A． B． C． D． 4．已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 5．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形．若为圆锥侧面上的动点，点平面，，则三棱锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（    ） A． B． C． D． 7．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知正方体，E，F，G分别为棱AB，，的中点，若平面EFG截该正方体的截面面积为，点P为平面EFG上动点，则使的点P轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在四棱柱中，，，为底面的中心，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（    ） A． B．平面 C．直线与平面所成的角为 D．点与平面的距离为 11．已知圆台上、下底面半径分别为1，4，半径为的球内切于圆台，则（   ） A． B．圆台侧面展开图扇环的圆心角为 C．过的截面与底面所成角为60°时，到截面距离为 D．在圆台内放一正方体，正方体可绕其中心自由转动，则该正方体棱长的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，侧棱与底面所成角为45°，则该正四棱台的体积为 . 13．如图，装有水的正方体无盖容器放在水平桌面上，此时水面为，已知．为了将容器中的水倒出，以为轴向右倾斜容器，使得水能从容器中倒出，当水刚好能从容器中倒出时，水面距离桌面的高度为 ．    14．棱长为1的正方体中，点在棱上运动，点在侧面上运动，满足平面，则线段的最小值为 .    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 如图，在棱长为2的正方体中，、分别是、的中点，是的中点. (1)判断、、、四点是否共面（结论不要求证明）； (2)证明：平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 16．（15分） 如图，四棱锥中，底面为正方形，平面平面，且，点在线段上，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 17．（15分） 如图，在平行六面体中，，且，设与的交于点. (1)证明:平面； (2)若，且，求直线与平面所成角的正弦值. 18．（17分） 在空间直角坐标系中，点分别在轴上. (1)证明：是锐角三角形； (2)已知. ①求面积的最大值； ②设二面角的大小分别为，证明：. 19．（17分） 如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面截该圆柱所得的截面为椭圆面，得到的几何体称之为“斜截圆柱”．图一与图二是完全相同的“斜截圆柱”，是底面圆的直径，，椭圆所在平面垂直于平面，且与底面所成的二面角的大小为．在图一中，是椭圆上的动点，点在底面上的投影为点．在图二中，椭圆上的点在底面上的投影分别为点，且点均在直径的同一侧． (1)当时，求的长度． (2)（i）在图二中，当时，若点，，，将半圆均分成7等份，求； （ii）证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 1 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模块六 立体几何与空间向量 （测试） (考试时间：120分钟 试卷满分：150分) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线和平面，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】若，，则或或直线和平面相交（包含），充分性不成立； 若，，则，必要性成立. 所以”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2．如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设四棱台的高度为，在图1中，中间液面四边形的边长为5，在图2中，中间液面四边形的边长为6， 则， 所以. 故选：D. 3．如图，一个圆柱形容器中装有某种液体，固定容器在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点到容器底部的距离分别是10和22，则容器内液体的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图为圆柱的截面图，过作容器壁的垂线，垂足为， 因为平行于地面，故， 椭圆长轴上的顶点，到容器底部的距离分别是10和22， 故， 在中，，即圆柱的底面半径为， 所以容器内液体的体积等于一个底面半径为，高为(22+10)的圆柱体积的一半， 即为. 故选：C 4．已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】由及A，B，C，D四点共面得：， 即，又，， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：B 5．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形．若为圆锥侧面上的动点，点平面，，则三棱锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，点在圆锥的中截面圆上，它到平面距离的最大值即为该截面圆半径， 而的面积， 所以三棱锥体积的最大值为. 故选：C 6．如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】延长交于点，连接， 则∽， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 平面平面， 所以，又四边形为平行四边形， 所以∽，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以. 故选：B 7．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】球心为正方体中心，半径， 法一：连接，相交于点，点为的中点，连接， 可得，因为平面，平面， 所以平面，在上， 则到平面的距离等于点到平面的距离，设为， ，， 由平面、得：， 则截面圆半径， 所以截面面积； 法二：以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， ，令，则， 所以， 则到平面的距离， 截面圆半径，所以截面面积. 故选：A． 8．已知正方体，E，F，G分别为棱AB，，的中点，若平面EFG截该正方体的截面面积为，点P为平面EFG上动点，则使的点P轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意截面EGF则为正六边形，如图所示， 由截面面积为及三角形面积公式可得，解得，∴正方体的棱长. 因为截面EFG，O为的中点，也是截面EFG的中心，且， ，即，解得. ∴使得的点P的轨迹是以O为圆心，半径为的圆，所以轨迹长度为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在四棱柱中，，，为底面的中心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于选项A，，正确； 对于选项B，，错误； 对于选项C，，错误； 对于选项D，易得为正三角形， 故，正确； 故选：AD． 10．如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（    ） A． B．平面 C．直线与平面所成的角为 D．点与平面的距离为 【答案】ABD 【解析】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 故， 故，所以， 故，A正确； B选项，因为，，所以四边形为平行四边形， 故， 又平面，平面，故平面，B正确； C选项，平面的一个法向量为， 又，故 设直线与平面所成的角大小为， 则， 故直线与平面所成的角不为，C错误； D选项，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，故， 故点与平面的距离为，D正确. 故选：ABD 11．已知圆台上、下底面半径分别为1，4，半径为的球内切于圆台，则（   ） A． B．圆台侧面展开图扇环的圆心角为 C．过的截面与底面所成角为60°时，到截面距离为 D．在圆台内放一正方体，正方体可绕其中心自由转动，则该正方体棱长的最大值为 【答案】ABD 【解析】对A，圆台上、下底面半径分别为1，4，， 则半径为的球内切于圆台，所以，故A正确； 对B，由A母线长为5，设圆台侧面展开图扇环的圆心角为，则根据扇形弧长，所以，故B正确； 对C，过的截面与底面所成角为60°时，圆面， 所以，到截面距离为，故C错误； 对D，由题意A，圆台中能放下的最大球的半径为，直径为， 故在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体为该球的内接正方体，棱长为，故D正确； 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，侧棱与底面所成角为45°，则该正四棱台的体积为 . 【答案】 【解析】 如图，点分别为上下底面的中心，连接， 在正四棱台中，有平面，又平面，所以平面平面， 在平面内，过点作于点，又平面平面，所以平面， 所以是在平面上的射影，所以是直线与平面所成角的平面角， 又侧棱与底面所成角为45°，所以， 因为上底面边长为，下底面边长为，所以，， 则，，所以，则四棱台的高为， 所以该正四棱台的体积为. 故答案为：. 13．如图，装有水的正方体无盖容器放在水平桌面上，此时水面为，已知．为了将容器中的水倒出，以为轴向右倾斜容器，使得水能从容器中倒出，当水刚好能从容器中倒出时，水面距离桌面的高度为 ．    【答案】 【解析】如图，平面与水面的夹角为， 则平面与水平桌面的夹角为． 由题意可得三棱柱的体积为， 所以，解得， 所以． 水面距离桌面的高度为． 故答案为：. 14．棱长为1的正方体中，点在棱上运动，点在侧面上运动，满足平面，则线段的最小值为 .    【答案】 【解析】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，设，， 所以， ， 因为平面， 所以， 故， ，故， 其中， 故， 故当时，，此时满足要求， 所以线段PQ的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 如图，在棱长为2的正方体中，、分别是、的中点，是的中点. (1)判断、、、四点是否共面（结论不要求证明）； (2)证明：平面； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 【解析】（1）、、三个不共线的点确定平面，显然平面， 所以、、、四点不共面. （3分） （2）如图，以为原点，，，分别为，，轴，建立如图空间直角坐标系， 则，，故 又平面的法向量为 所以，故. 又平面，故平面. （8分） （3）由（2）可知， 又，，故， 所以， 故异面直线与所成角的余弦值为. （13分） 16．（15分） 如图，四棱锥中，底面为正方形，平面平面，且，点在线段上，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）设，则，取中点，中点为， 则，平面平面，平面， 平面平面，所以平面， 而，所以， 则以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，（3分） 则 因,则 ， 于是，， 则， 即 平面， 所以平面；（7分） （2）, 设是平面的一个法向量， 则令，则，（9分） 设是平面的一个法向量， 则令，则，（12分） 设平面与平面的夹角为， ， 平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值为. （15分） 17．（15分） 如图，在平行六面体中，，且，设与的交于点. (1)证明:平面； (2)若，且，求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）因为底面为平行四边形，且， 所以为菱形，所以. 又，，平面，且， 所以平面. 因为平面，所以. （3分） 在和中： （）. 所以. 又为中点，所以. 又，平面，且， 所以平面. （6分） （2）由（1）可知，，，两两垂直，所以以为原点，建立如图空间直角坐标系： 因为，，， 所以，，. 所以，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，（10分） 取，得. 所以，，. 设直线与平面所成的角为， 则. （15分） 18．（17分） 在空间直角坐标系中，点分别在轴上. (1)证明：是锐角三角形； (2)已知. ①求面积的最大值； ②设二面角的大小分别为，证明：. 【解析】（1）设点， 则， 在中，由余弦定理， ， 所以A是锐角，同理B、C也是锐角，故是锐角三角形，命题得证；（4分） （2）①仍采用（1）中的设点，且不妨设，由题意，， 由（1），， 则， ， 不妨设是中最小的数，则，由基本不等式， ，（5分） 令， 则， 令， 解得或（舍去）或（舍去），（7分） 故当时，， 当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以， 所以， 故，即面积的最大值为．（9分） ②仍采用①中的设点， 先求：显然平面BCO的一个法向量， 设平面ABC的一个法向量， 又，则， 令，解得，故， ， 同理得，，（13分） 故有， 要证，即等价于证： ------①． 事实上，有， 即， 则①式得证，故， 取等当且仅当，命题得证．（17分） 19．（17分） 如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面截该圆柱所得的截面为椭圆面，得到的几何体称之为“斜截圆柱”．图一与图二是完全相同的“斜截圆柱”，是底面圆的直径，，椭圆所在平面垂直于平面，且与底面所成的二面角的大小为．在图一中，是椭圆上的动点，点在底面上的投影为点．在图二中，椭圆上的点在底面上的投影分别为点，且点均在直径的同一侧． (1)当时，求的长度． (2)（i）在图二中，当时，若点，，，将半圆均分成7等份，求； （ii）证明：． 【解析】（1）如图1，取的中点，过点作与该斜截圆柱的底面平行的平面，交于点，交的延长线于点，与交于点． 因为，，所以，． 过点作的垂线，交圆于，两点，过点作交于点，又圆面，圆面，所以． （4分） 又因为，所以平面． 因为平面，所以，所以为椭圆面与圆所在平面的夹角，即为椭圆面与底面所成的角，所以，则为等腰直角三角形，． 设，如图2，作圆所在平面的俯视图，则， 由，，得，则，得， 所以，当时，．（7分） （2）（i）当时，，则，，，则． （9分） （ii）由（1）知，即是关于的函数，即将斜截圆柱的侧面沿着展开，其椭圆面的轮廓线即为函数的图象，如图3所示． 如图4，将，，，，绘制于函数的图象上，并以，为边作矩形，则矩形的面积即为，所以即为这些矩形的面积之和． （12分） 而两个该斜截圆柱可拼成一个底面半径为1，高为4的圆柱，因此该斜截圆柱的侧面积为， 所以函数图象与坐标轴围成的图形的面积为． （15分） 又因为无论点是否均匀分布在半圆弧上，这些矩形的面积之和都小于函数图象与坐标轴围成的图形的面积，所以，得证. （17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 1 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$