专练二 二次函数综合题-【中考必备】2025年教与学数学课件PPT（广东专版）

2025 教与学 中考必备 数 学 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 综合题攻略与专练 专练二　二次函数综合题 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 二次函数压轴题常考题型与方法总结 类型 常考问题设计 解题通用技法 母题 如图Z2-1，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（-1，-4），与y轴相交于点C（0，-3），与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），求抛物线的解析式. 　图Z2-1 由待定系数法将点D，C的坐标代入，求得b，c的值进而得出解析式 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 解：把D，C两点坐标代入y=x2+bx+c，得 解得 ∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3. 图Z2-1 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 以下对于上述母题设计若干常考问题，并进行分析 类型 常考问题设计 解题通用技法 二次函数与 特殊三角形 （直角三角形） （1）如图Z2-2，连接AC，CD，AD.试判断△ACD的形状，并说明理由. 　图Z2-2 先应用勾股定理或平面内两点间的距离公式，求出三角形各边的长，再根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 解：△ACD为直角三角形. 理由如下： ∵抛物线的解析式为y=x2+2x-3， 令y=0，得0=x2+2x-3. 解得x1=1，x2=-3. ∵点A在点B的左边， ∴A（-3，0），B（1，0）. ∴AC=， CD=， AD=. ∴AC2+CD2=AD2. ∴△ACD为直角三角形. 图Z2-2 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 类型 常考问题设计 解题通用技法 二次函数与 特殊三角形 （等腰三角 形与动点） （2）如图Z2-3，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCB是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由. 图Z2-3 设出动点P的坐标为（-1，t）后，分三种情况，若∠BPC为顶角，则PB=PC；若∠PBC为顶角，则BP=BC；若∠PCB为顶角，则CP=CB，分别用两点间的距离公式求出或表示各线段的长度，再根据上述等式列方程求解即可 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 解：存在点P满足要求. ∵抛物线的解析式为y=x2+2x-3， ∴它的对称轴为直线x=-=-1. 设点P的坐标为（-1，t）. ∵B（1，0），C（0，-3）， 由两点间的距离公式，得 BC=， BP=， CP=. 图Z2-3 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ①当BP=CP时，得. 解得t=-1.∴P1（-1，-1）； ②当BC=BP时，得. 解得t1=）； ③当BC=CP时，得. 解得t1=0，t2=-6.∴P4（-1，0），P5（-1，-6）. 综上所述，点P的坐标为（-1，-1）或（-1，）或（-1，0）或（-1，-6）. 图Z2-3 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 类型 常考问题设计 解题通用技法 二次函数与 角度 （3）如图Z2-4，若点P在抛物线上，且∠PCA=45°，求点P的坐标. 图Z2-4 利用直线AC的解析式与△AOC的特点，数形结合，列出有关的方程，即可求出点P的坐标 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 解：∵A（-3，0），C（0，-3）， ∴在Rt△AOC中，OA=OC=3. ∴∠OAC=45°. ∵∠OAC=∠PCA=45°，点P在抛物线上， ∴CP∥x轴. 令y=-3，得x2+2x-3=-3. 解得x1=0，x2=-2. ∴点P的坐标为（-2，-3）. 图Z2-4 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 类型 常考问题设计 解题通用技法 二次函数与 相似 　　　　　　 　　　　　　　　　　 （4）如图Z2-5，△ACD与△COB是否相似？请说明理由. 图Z2-5 用两点间的距离公式分别求出两个三角形的各边长度，再用相似的判定方法进行判定.注意相似中没有指明对应边时，要进行分类讨论 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 解：△ACD∽△COB. 理由如下： 由（1）知△ACD为直角三角形， AC=3. ∵B（1，0），C（0，-3）， ∴OB=1，OC=3. ∴. 又∵∠DCA=∠BOC=90°， ∴△ACD∽△COB. 图Z2-5 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 类型 常考问题设计 解题通用技法 二次函数与 相似（动点、 动线） （5）如图Z2-6，若Q是线段AB上的一个动点（不与点A，B重合），QE∥AC交BC于点E，当△QCE的面积最大时，求动点Q的坐标. 图Z2-6 △QCE是三边均动的动三角形，把该三角形分割成大三角形减去小三角形的差.根据平行线的性质得出两个三角形相似，从而有面积的比等于对应边的比的平方，最后该动三角形的面积可表示为与动点Q（t，0）的坐标有关的开口向下的二次函数，根据二次函数的性质即可求解 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 解：∵QE∥AC， ∴△QEB∽△ACB.∴. ∴S△QEB=S△ACB·. 设Q（t，0），则BQ=1-t，AQ=t+3. ∵BA=OA+OB=4， 图Z2-6 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ∴S△QCE=S△ACB-S△AQC-S△QEB =S△ACB-S△AQC-S△ACB· = =-. ∵-<0， ∴当t=-1时，S△QCE取得最大值，最大值为， 此时点Q的坐标为（-1，0）.   图Z2-6 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 类型 常考问题设计 解题通用技法 二次函数与 特殊四边形 （6）如图Z2-7，若E为x轴上的一个动点，F为抛物线上的一个动点，当C，A，E，F构成平行四边形时，求点E的坐标. 图Z2-7 以其中一个已知点（如：点A）作为起点，列出所有对角线的情况（如：AC，AF，AE），分别设出两个动点（点E，点F）的坐标，运用中点坐标公式，求出每一种情况下，两条对角线的中点坐标.因为两条对角线的中点重合，所以两个中点的坐标对应相等，列出方程组，求解即可 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 解：设点E的坐标为（m，0），点F的坐标为（n，n2+2n-3）. ∵A（-3，0），C（0，-3）， ①当AC为对角线时，由中点坐标公式，得 即 解得（不合题意，舍去）. ∴点E的坐标为（-1，0）； 图Z2-7 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ②当AF为对角线时，由中点坐标公式，得 解得（不合题意，舍去）. ∴点E的坐标为（-5，0）； 图Z2-7 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ③当AE为对角线时，由中点坐标公式，得 解得 ∴点E的坐标为（2+，0）. 综上所述，点E的坐标为（-1，0）或（-5，0）或（2+，0）.   图Z2-7 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 类型 常考问题设计 解题通用技法 二次函数与 线段的和差 （最值问题） （7）如图Z2-8，试在x轴上找一点P，使PC+PD的值最小，并求出其最小值以及点P的坐标. 图Z2-8 在两定点中任选一个点（为了方便计算，常常选择轴上的点），求出该点关于题中的动点运动所经过的那条直线的对称点的坐标，再把此对称点与另一个定点相连，连线与动点所在直线的交点即为所求的点 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 解：如答图Z2-1，作点C关于x轴的对称点C'，连接C'D与x轴交于点P，点P即为所求，PC+PD的最小值为C'D的长，连接PC. ∴PC'=PC，C'（0，3）. ∴C'D=. 设直线C'D的解析式为y=kx+b. 把C'（0，3），D（-1，-4）两点坐标代入 y=kx+b，得 ∴直线C'D的解析式为y=7x+3. 答图Z2-1 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 令y=0，得7x+3=0.解得x=-. ∴P. ∴点P的坐标为. 答图Z2-1 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 类型 常考问题设计 解题通用技法 二次函数与 周长（最值 问题） 　　　　　　 　　　　　　　　　　 （8）如图Z2-9，在y轴上是否存在点P，使△PAD的周长最小？若存在，求出点P的坐标，并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由. 图Z2-9 注意到AD是定线段，其长度是个定值，因此只需求PA+PD的最小值，再加上定值AD即可 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 解：存在. 如答图Z2-2，作点A关于y轴的对称点A'，连接A'D与y轴交于点P，点P即为所求，连接AD，AC. ∴A'（3，0），AP=A'P.∵D（-1，-4）， ∴由点A'，D的坐标易求得直线A'D的解析式为y=x-3. 令x=0，得y=-3.∴P（0，-3）.  ∵A'（3，0），D（-1，-4），A（-3，0）， ∴A'D=. 答图Z2-2 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ∵AP+DP=A'P+DP， ∴AP+DP的最小值为A'D=4. ∴存在点P（0，-3），使△PAD的周长最小，最小值为AP+DP+AD=4. 答图Z2-2 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 类型 常考问题设计 解题通用技法 二次函数与 面积（最值 问题） （9）如图Z2-10，P为直线AC下方的抛物线上一动点，当△APC的面积最大时，求出其最大值及点P的坐标. 图Z2-10 过点P作y轴的平行线，将△PAC分割成2个同底的三角形，则S△PAC=（y上动-y下动）·（x右定-x左定） 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 解：如答图Z2-3，过点P作PE∥y轴，交AC于点E，交x轴于点F. ∵A（-3，0），C（0，-3）， ∴易求得直线AC的解析式为y=-x-3. 设P（t，t2+2t-3），则E（t，-t-3）. ∴PE=（-t-3）-（t2+2t-3）=-t2-3t. ∴S△APC=S△APE+S△CPE =PE·OF   =PE·（AF+OF） =PE·OA 答图Z2-3 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 =（-t2-3t） =-. ∵-<0， ∴当t=- . ∴点P的坐标为.   答图Z2-3 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 类型 常考问题设计 解题通用技法 二次函数与 面积（最值 问题） （10）如图Z2-11，P为直线AC下方的抛物线上一动点，当四边形AOCP的面积最大时，求出其最大值及点P的坐标. 图Z2-11 四边形AOCP是不规则图形，通常用割补法求解，则S四边形AOCP=S△AOC+S△ACP或S四边形AOCP=S△COP+S△AOP 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 解：由题意，得S四边形AOCP=S△AOC+S△PAC. ∵OA=OC=3， ∴S△AOC=. ∴当S△PAC取得最大值时，S四边形AOCP有最大值. 由（9）知，当点P的坐标为时， S△APC的最大值为. 图Z2-11 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 类型 常考问题设计 解题通用技法 二次函数与 距离（最值 问题） （11）如图Z2-12，P为直线AC下方的抛物线上一动点，当点P到直线AC的距离最大时，求出最大距离及点P的坐标. 图Z2-12 已知AC是定线段，当△ACP的面积最大时，也就是点P到直线AC的距离最大 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 解：当△APC的面积最大时，AC边上的高最大，即点P到AC边的距离最大. 由（9）知，当点P的坐标为 时，S△APC有最大值，最大值为. 由（1）知，AC=3， ∴AC边上的高为. ∴当点P到直线AC的距离最大时，点P的坐标为. 图Z2-12 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 类型 常考问题设计 解题通用技法 二次函数与 面积 （12）如图Z2-13，在抛物线上是否存在点P，使S△PBC=2S△ACD？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 图Z2-13 过点P作y轴的平行线，将△PBC分割成2个同底的三角形，则S△PBC=（y上动-y下动）·（x右定-x左定），再代入已求的面积等式求解即可 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 解：存在.由（1）知，在Rt△ACD中， AC=3， ∴S△ACD=AC·CD=3. ∴S△PBC=2S△ACD=6. 设直线BC的解析式为y=kx+b. 把点B，C的坐标代入y=kx+b， 得 ∴直线BC的解析式y=3x-3. 图Z2-13 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 如答图Z2-4，过点P作PE∥y轴交直线BC于点E，连接PB，PC. 设P（t，t2+2t-3），则E（t，3t-3）. ∴PE=. ∴S△PBC==6. 整理，得t2-t-12=0①或t2-t+12=0②. 解方程①，得t1=-3，t2=4；方程②无解. 当t=-3时，t2+2t-3=0； 当t=4时，t2+2t-3=21. ∴当点P的坐标为（-3，0）或（4，21）时，S△PBC=2S△ACD. 答图Z2-4 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 题型一：二次函数与特殊三角形 例1.如图Z2-14，已知抛物线y=ax2+bx（a<0）与x轴的一个交点为B，顶点A在直线y=x上，O为坐标原点. （1）证明：△OAB为等边三角形； 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （1）证明：如答图Z2-5，过点A作AC⊥OB于点C. ∵点A在直线y=t）. ∴在Rt△OCA中，tan∠AOC=. ∴∠AOC=60°. 由抛物线的对称性可知OA=AB， ∴△AOB为等边三角形. 答图Z2-5 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）若△OAB的内切圆半径为1，求此抛物线的函数表达式； （2）解：如答图Z2-6，过点A作AC⊥OB于点C，设△AOB的内心为I， ∵△OAB为等边三角形，∴点I在AC上.连接OI，则∠IOC=30°. 在Rt△IOC中，IC=1， ∴OI=2，AI=2，OC=. ∴A（，0）. 答图Z2-6 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 代入抛物线的函数表达式，得 解得 ∴抛物线的函数表达式为y=-x2+2x. 答图Z2-6 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使△POB是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. （3）解：存在.①当∠POB=90°时，点P在y轴上，不存在满足条件的点P； ②当∠OBP=90°时，点P在直线x=2，不存在满足条件的点P； ③当∠OPB=90°时，如答图Z2-7，过点P作PD⊥OB，垂足为D. ∵∠ODP=∠PDB=∠OPB=90°，∴∠POD+∠PBD=∠BPD+∠PBD=90°. ∴∠POD=∠BPD. ∴△OPD∽△PBD. 答图Z2-7 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ∴，即PD2=OD·BD. 设P（m，n）. ∵B（2-m.∴n2=m（2-m）. ∵点P在抛物线y=-x2+2x上， ∴n=-m2+2m. 联立解得n1=0（舍去），n2=1. 当n=1时，-m2+2. 综上所述，抛物线y=-x2+2，1）. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 题型二：二次函数与特殊四边形、面积 例2.如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以这两个交点和该抛物线的顶点、对称轴上一点为顶点的四边形称为这条抛物线的“抛物四边形”. 如图Z2-15①，抛物线y=ax2+bx+c（a<0）与x轴交于A，C两点，B为抛物线的顶点，点D在抛物线的对称轴上，则四边形ABCD为“抛物四边形”，已知A（-1，0），C（3，0）. （1）若图Z2-15①中的“抛物四边形”ABCD为菱形，且∠ABC=60°，则顶点B的坐标为　 ； （1，2）　 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）如图Z2-15②，若“抛物四边形”ABCD为正方形，边AB与y轴交于点E，连接CE. ①求这条抛物线的函数解析式； 解：（2）①∵AC=4，则点B的坐标为（1，2）. 设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+2. 将点A的坐标代入解析式，得0=a（-2）2+2.解得a=-. ∴抛物线的函数的解析式为y=-. 图Z2-15 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ②P为第一象限抛物线上一个动点，设△PEC的面积为S，点P的横坐标为m，求S关于m的函数关系式，并求S的最大值； 图Z2-15 ②设直线AB的函数解析式为y=kx+b. 将点A，B的坐标代入， 得 ∴直线AB的函数解析式为y=x+1.令x=0，得y=1.则点E（0，1）. 同理可得直线CE的函数解析式为y=-x+1. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 如答图Z2-8，过点P作PH∥y轴交EC于点H. 则点P. 则S=. ∵-. 答图Z2-8 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ③如图Z2-15③，连接OB，抛物线上是否存在点Q，使直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD？若存在，请直接写出点Q的横坐标：若不存在，说明理由. 图Z2-15 ③存在.点Q的横坐标为5或-. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 题型三：二次函数与相似、动点问题 例3.如图Z2-16，直线y=-x+分别交x轴，y轴于点A，B，过点A的抛物线y=-x2+bx+c与x轴的另一交点为C，与y轴交于点D（0，4），抛物线的对称轴l交AD于点E，连接OE交AB于点F. （1）求抛物线的解析式； 图Z2-16 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （1）解：∵直线y=-分别交x轴，y轴于点A，B， ∴A（4，0），B. ∵抛物线y=-x2+bx+c经过A（4，0），D（0，4）， ∴ ∴该抛物线的解析式为y=-x2+3x+4. 图Z2-16 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）求证：OE⊥AB； （2）证明：∵y=-x2+3x+4=-. 设直线AD的解析式为y=kx+a. 将A（4，0），D（0，4）代入，得 ∴直线AD的解析式为y=-x+4.∴E. 设对称轴l与x轴交于点G，如答图Z2-9. ∴G，∠EGO=90°. 答图Z2-9 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ∴tan∠OEG=. ∵OA=4，OB=. ∴tan∠OAB=tan∠OEG.∴∠OAB=∠OEG. ∵∠OEG+∠EOG=90°，∴∠OAB+∠EOG=90°.∴∠AFO=90°.∴OE⊥AB. 答图Z2-9 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （3）P为抛物线上的一动点，直线PO交AD于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由. （3）解：存在. ∵A（4，0），抛物线的对称轴为直线x=， ∴C（-1，0）.∴AC=4-（-1）=5. ∵OA=OD=4，∠AOD=90°，∴AD=. 设直线CD的解析式为y=mx+n.将C（-1，0），D（0，4）代入， 得∴直线CD的解析式为y=4x+4. 图Z2-16 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ①当△AOM∽△ACD时，∠AOM=∠ACD，如答图Z2-10. ∴OM∥CD.∴直线OM的解析式为y=4x. 联立； 答图Z2-10 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ②当△AMO∽△ACD时，如答图Z2-11. ∴. 过点M作MG⊥x轴于点G，则∠AGM=90°. ∵∠OAD=45°，∴AG=MG=AM·sin 45°=. ∴OG=OA-AG=. 设直线OM的解析式为y=m1x.将M. ∴直线OM的解析式为y=x. 答图Z2-11 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 联立. 综上所述，点P的横坐标为. 答图Z2-11 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 1. （2024·海南）如图Z2-17①，抛物线y=-x2+bx+4经过点A（-4，0），B（1，0），交y轴于点C（0，4），P是抛物线上一动点. （1）求该抛物线的函数表达式； 图Z2-17 解：（1）由题意，得y=-（x+4）（x-1）=-（x2+3x-4）=-x2-3x+4. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）当点P的坐标为（-2，6）时，求四边形AOCP的面积； （2）如答图Z2-12①，连接OP. ∴S四边形AOCP=S△AOP+S△COP=×4×2=16. 答图Z2-12 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （3）当∠PBA=45°时，求点P的坐标； （3）当∠PBA=45°时，则直线BP的表达式为y=±（x-1）. 联立上式和抛物线的表达式，得-x2-3x+4=x-1或-x+1=-x2-3x+4. 解得x=-5或-3或1（舍去）. ∴点P的坐标为（-5，-6）或（-3，4）. 图Z2-17 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （4）过点A，O，C的圆交抛物线于点E，F，如图Z2-17②.连接AE，AF，EF，判断△AEF的形状，并说明理由. （4）△AEF为等边三角形.理由如下： 如答图Z2-12②，连接AC，由于∠AOC=90°，则AC为圆的直径.连接EC，EA，则∠AEC=90°. 过点E作x轴的平行线交y轴于点N，交过点A和y轴的平行线于点M. 设点E（m，-m2-3m+4）， 则EN=-m，ME=m+4，AM=-m2-3m+4，CN=-m2-3m+4-4=-m2-3m. 答图Z2-12 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ∵∠NEC+∠AEM=90°，∠AEM+∠MAE=90°， ∴∠MAE=∠NEC. ∴tan∠MAE=tan∠NEC. ∴. 解得m=-1±（经检验该值为方程的根）. 则点E（-1-）. 则AE2=（3+）2=24，EF2=（2）2=24. ∴△AEF为等边三角形. 答图Z2-12 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 2. （2024·内蒙古）如图Z2-18，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点和点A（4，0）.经过点A的直线与该二次函数图象交于点B（1，3），与y轴交于点C. （1）求二次函数的解析式及点C的坐标； 图Z2-18 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 解：（1）∵抛二次函数经过O（0，0），A（4，0），B（1，3）， ∴将三点坐标代入解析式，得 ∴二次函数的解析式为y=-x2+4x. ∵直线经过A，B两点，设直线AB的解析式为y=kx+n. ∴将A，B两点代入，得 ∴直线AB的解析式为y=-x+4. 令x=0，则y=4.∴C（0，4）. 图Z2-18 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m. ①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值； （2）①∵点P在直线AB上方，如答图Z2-13.∴1<m<4. 由题知P（m，-m2+4m），D（m，-m+4）， ∴PD=-m2+4m+m-4=-m2+5m-4=-. ∵-1<0，∴当m=. 答图Z2-13 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似.若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由. ②存在. ∵∠PDB=∠ADE，∠ADE=∠ACO，∴∠BDP=∠ACO. ∵△AOC是直角三角形， ∴要使△BPD与△AOC相似，只有保证△BPD是直角三角形就可以. 图Z2-18 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （Ⅰ）当△BPD∽△AOC时，如答图Z2-14.∴∠BPD=∠AOC=90°. 此时BP∥x轴，B，P关于对称轴对称，∴P（3，3）； 答图Z2-14 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （Ⅱ）当△PBD∽△AOC时，如答图Z2-15. ∴∠PBD=∠AOC=90°. ∵OC=OA=4，∴∠BDP=∠ADE=∠OAC=45°. ∴△BDP为等腰直角三角形.∴PD=BD. 答图Z2-15 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 由①知PD=-m2+5m-4.∵B（1，3），D（m，-m+4）， ∴BD=（m-1）. ∵PD=BD，∴-m2+5m-4=2（m-1）. 解得m1=2，m2=1（舍去）.∴P（2，4）. 综上所述，存在点P使△BPD与△AOC相似，此时P的坐标为（3，3）或（2，4）. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 3. （2024·济南）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A（0，2），B（2，2），顶点为D；抛物线C2：y=x2-2mx+m2-m+2（m≠1），顶点为Q. （1）求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标； 解：（1）将点A（0，2），B（2，2）代入抛物线y=x2+bx+c， 得 ∴抛物线C1的表达式为y=x2-2x+2. ∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1，∴顶点D的坐标为（1，1）. 图Z2-19 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）如图Z2-19①，连接AD，E是抛物线C1对称轴右侧图象上一点，F是抛物线C2上一点，若四边形ADFE是面积为12的平行四边形，求m的值； （2）如答图Z2-16，连接DE，过点E作EG∥y轴，交AD延长线于点G，过点D作DH⊥EG，垂足为H，与y轴交于H'. 设点E的横坐标为t，直线AD的表达式为y=kx+b. 将A（0，2），D（1，1）代入，得 ∴直线AD的表达式为y=-x+2. 答图Z2-16 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ∴E（t，t2-2t+2），G（t，2-t）.∴EG=t2-t. ∵▱ADFE的面积为12，∴S△ADE=×12=6. ∴S△ADE=S△AGE-S△DGE=EG·H'D=6. ∵H'D=1，∴EG=12.∴t2-t=12. 解得t1=4，t2=-3（舍去）.∴E（4，10）. ∵点E先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点F，∴F（5，9）. 将F（5，9）代入y=x2-2mx+m2-m+2（m≠1）， 得m2-11m+18=0.解得m1=2，m2=9. 答图Z2-16 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （3）如图Z2-19②，连接BD，DQ，M是抛物线C1对称轴左侧图象上的动点（不与点A重合），过点M作MN∥DQ交x轴于点N，连接BN，DN，求△BDN面积的最小值. （3）如答图Z2-17，过M作MP⊥x轴，垂足为P，过点D作DK∥y轴，过点Q作QK∥x轴，与DK交于点K.设M（h，h2-2h+2），N（n，0）. ∵y=x2-2mx+m2+2-m=（x-m）2+2-m， ∴抛物线C2的顶点Q（m，2-m）.∴K（1，2-m）. ∴DK=. ∴DK=KQ，∠DQK=45°. 答图Z2-17 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ∵MN∥DQ，KQ∥NP，∴∠MNP=∠DQK=45°.∴MP=NP.∴h2-2h+2=n-h. ∴n=h2-h+2=. ∴点N横坐标最小值为n=，此时点N到直线BD距离最近，△BDN的面积最小， 最近距离即边BD上的高，高为. ∴△BDN面积的最小值为S△BDN=. 答图Z2-17 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 谢 谢 ! 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 $$