第22课时 与圆有关的位置关系-【中考必备】2025年教与学数学课件PPT（广东专版）

2025 教与学 中考必备 数 学 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 第一部分 知识梳理 第六章　圆 第22课时　与圆有关的位置关系 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 目 录 CONTENTS 01 课前循环练 02 课标要求 03 考点梳理 04 广东中考 05 高分击破 06 中考演练 07 命题趋势 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 课前循环练 （限时5分钟） 1. （广东真题）已知函数y=ax+b经过（1，3），（0，-2），则a-b= （ ） A. -1 B. -3 C. 3 D. 7 2. （广东真题）一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是 （ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 D D 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 3. （广东真题）已知梯形的上底边长是6 cm，它的中位线长是8 cm，则它的下底边长是 （ ） A. 8 cm B. 10 cm C. 12 cm D. 14 cm 4. （广东真题）已知直线y=kx+b，若k+b=-5，kb=6，则该直线不经过第 　 象限.  5. （广东真题）桶里原有质地均匀、形状大小完全一样的6个红球和4个白球，小红不慎遗失了其中2个红球，现在从桶里随机摸出一个球，则摸到白球的概率为  .  一　 B 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ①探索并掌握点与圆的位置关系. ②了解直线与圆的位置关系，掌握切线的概念. ③*探索并证明切线长定理：过圆外一点的两条切线长相等. ④了解三角形的内心与外心. 课标要求 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 对接教材 人教：九上第二十四章　圆 北师：九下第三章　圆　 考点梳理 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 考点复习 1.点与圆的位置关系 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则： 点在圆外⇔d　 　r；  点在圆上⇔d　 　r；  点在圆内⇔d　 　r  > = < 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 广东省对应考点例题 例1. 已知☉O的半径是4，OP=3，则点P与☉O的位置关系是 （ ） A.点P在圆内　　　 B.点P在圆上 C.点P在圆外　　　　 D.不能确定 A 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 2.直线与圆的位置关系 设☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则： 直线l和☉O相离⇔　 　；  直线l和☉O相切⇔　 　；  直线l和☉O相交⇔　 　  d>r d=r d<r 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例2. 已知☉O的半径为5，直线l上有一点P满足PO=5，则直线l与☉O的位置关系是 （ ） A.相切　　 B.相离 C.相离或相切 D.相切或相交 D 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 3.切线的概念 直线和圆有　 　的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点  例3. 下列关于圆的切线的说法正确的是 （ ） A.垂直于圆的半径的直线是圆的切线 B.与圆只有一个公共点的射线是圆的切线 C.经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线 D.如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线 唯一 D 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 4.切线的性质 圆的切线　 　于过切点的半径 例4. 如图6-22-1，直线AB与☉O相切于点A，☉O的半径为2.若∠OBA=30°，则OB的长为 （ ） A. 4 B. 4 C. 2 D. 2  图6-22-1 B 垂直 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 5.切线的判定 （1）定义判定法：和圆有　 　公共点的直线是圆的切线.  （2）数量判定法：圆心到直线的距离等于　 　的直线是圆的切线.  （3）定理判定法：过半径外端且　 　于这条半径的直线是圆的切线.  （4）切线的证明方法： ①直线和圆公共点已知时，连接半径，证半径与直线垂直； ②直线和圆公共点未知时，作垂直，证垂线段与半径相等 唯一 半径 垂直 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例5. 如图6-22-2，Rt△ABC内接于☉O，D是Rt△ABC斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于点E，过点C作∠ECP=∠AED，CP交DE的延长线于点P.求证：PC是☉O的切线. 图6-22-2 证明：如答图6-22-1，连接OC. ∵ED⊥AB，∴∠A+∠AED=90°. ∵OA=OC，∴∠A=∠ACO. 又∵∠ECP=∠AED， ∴∠ACO+∠ECP=90°，即∠OCP=90°. ∴OC⊥PC.∴PC是☉O的切线. 答图6-22-1 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 6.切线长 （1）切线长：过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长. （2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长____ 　 ，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角  相等　 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例6. 如图6-22-3，PA，PB是☉O的切线，切点分别是A，B，若∠AOB=120°，OA=1，则AP的长为  　.  图6-22-3 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 7.三角形的内心和外心 （1）三角形的内心：与三角形各边都　 　的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条　 　的交点，叫做三角形的内心.  （2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边　 　的交点，叫做三角形的外心  相切 角平分线 垂直平分线 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 例7. 如图6-22-4，在△ABC中. （1）若点I是△ABC的内心，∠A=70°，则∠BIC=　 　；  （2）若点I是△ABC的外心，∠A=66°，则∠BIC=　 　.  　图6-22-4 125° 132° 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 广东中考 （2023·广东题22，12分，圆的切线性质；等腰三角形的性质；矩形的性质；勾股定理；解直角三角形及其应用）综合探究 如图6-22-5①，在矩形ABCD中（AB>AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A'. 连接AA'交BD于点E，连接CA'. 　图6-22-5 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （1）求证：AA'⊥CA'； （1）证明：∵点A关于BD的对称点为A'， ∴AE=A'E，AA'⊥BD. ∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC. ∴OE是△ACA'的中位线. ∴OE∥A'C.∴AA'⊥CA'. 　图6-22-5 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）以点O为圆心，OE为半径作圆. ①如图6-22-5②，☉O与CD相切，求证：AA'=CA'； （2）①证明：如答图6-22-2，设CD与☉O相切于点M，连接OM. ∴OM⊥CD，OM=OE. ∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OD=OC=OB. 在Rt△AOE和Rt△DOM中， 答图6-22-2 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ∴Rt△AOE≌Rt△DOM（HL）.∴∠AOE=∠DOM. ∵OD=OC，OM⊥CD，∴∠DOM=∠COM.∴∠AOE=∠DOM=∠COM. ∵∠AOE+∠DOM+∠COM=180°，∴3∠AOE=180°.∴∠AOE=60°. ∵OE∥A'C，∴∠ACA'=∠AOE=60°. 在Rt△ACA'中，tan∠ACA'= CA'. 答图6-22-2 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ②如图6-22-5③，☉O与CA'相切，AD=1，求☉O的面积. ②解：如答图6-22-3，设CA'与☉O相切于点N，连接ON.∴ON⊥CA'，ON=OE. ∵AA'⊥CA'，AA'⊥BD，∴∠ONA'=∠A'=∠A'EO=90°. ∴四边形A'EON是矩形. 又∵ON=OE，∴四边形A'EON是正方形.∴A'E=ON=OE. 设☉O的半径为r，则A'E=OE=r.∴AE=A'E=r. 答图6-22-3 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 在Rt△AOE中，OA=r. ∴OD=OA=-1）r. 在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE2+DE2=AD2，即r2+［（. ∴☉O的面积为π r2=π. 答图6-22-3 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 高分击破 【典型考点】圆的切线判定；圆与三角函数 得分点分析 1. （2023·烟台）如图6-22-6，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，☉O经过A，D两点，交对角线AC于点F，连接OF交AD于点G，且AG=GD. 图6-22-6 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （1）求证：AB是☉O的切线； （1）证明：如图6-22-7，连接OA，则OA=OF. ∴∠OAF=∠OFA. ··················1分（利用等边对等角得1分） ∵AG=GD， ∴OF⊥AD，即∠AGF=90°. ·················· 2分（利用垂径定理的推论得1分） ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，∠BAE=∠DAE. ······························3分（利用菱形的性质得1分） ∴∠OAB=∠OAF+∠BAE=∠OFA+∠DAE=90°，即OA⊥AB. 又∵OA是☉O半径， ∴AB是☉O的切线. ············································· 4分（利用切线的判定得1分） 图6-22-7 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）已知☉O的半径与菱形的边长之比为5∶8，求tan∠ADB的值. （2）解：由题意，得=，AD=2AG. ∴=. ···············5分（求出OA与AG的比得1分） 设AG=4m，则OA=OF=5m. 在Rt△AGO中，OG==3m. ∴FG=OF-OG=2m. ·········· 6分（表示出AG，FG的长得1分） ∵∠AED=∠AGF=90°， ∴∠AFG=90°-∠DAE=∠ADB. ···································7分（等量代换得1分） 在Rt△AGF中，tan∠AFG===2， ············7分（利用正切的定义得1分） ∴tan∠ADB=tan∠AFG=2. ···············9分（利用三角函数的性质得1分） 图6-22-6 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 温馨提示：此类考题可能见于广东省中考数学试卷的第21题，分值一般为9分，答题时要注意书写格式，分步书写，慢做会求全对，评卷老师是分步给分的哦！ 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 【典型错例】混淆切线的证明方法 2. 如图6-22-8，△ABC内接于☉O，AB是☉O的直径，∠A=60°，点E在AB延长线上，BE=OB.过点E作ED⊥AC，交AC的延长线于点D.求证：DE是☉O的切线. 图6-22-8 证明：如答图6-22-4，过点O作OF⊥DE于点F. ∵ED⊥AC，∴∠D=90°.∵∠A=60°，∴∠E=30°. ∵OF⊥DE，∴OF=OE. ∵BE=OB，∴OB=OE. ∴OF=OB，即OF为☉O的半径. 又∵OF⊥DE，∴DE是☉O的切线. 答图6-22-4 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 错解分析 错解：如图6-22-9，设DE与☉O的公共点为F，连接OF，OC. ∵OA=OB，OB=BE，∴AB=OE. ∵∠A=60°，OA=OC， ∴△AOC是等边三角形. ∴AC=OA=OF. ∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°. ∴∠ABC=30°. ∵DE⊥AC，即∠D=90°，∴∠E=30°.∴∠E=∠ABC. ∴△OEF≌△ABC.∴∠OFE=∠ACB=90°，即OF⊥DE. ∴DE是☉O的切线. 图6-22-9 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 剖析：该解题过程的错误在于混淆了切线的证明方法，以及运用“SSA”证明三角形全等.切线的证明方法通常有两种，一是“连半径，证垂直”；二是“作垂直，证半径”.本题未说明DE与☉O有公共点，故应该用第二种证明方法. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 【生长式训练】知识生长→变式创新 3. （中考创新，原创题）在△ABC中，∠ACB=90°. 知识种子：基本概念 （1）如图6-22-10，☉O为△ABC的内切圆，三角形的三边分别与☉O切于点D，E，F.若AF=2，CE=1，BD=3，则： ①△ABC的周长为　 　；  ②☉O的面积为　 ；  　图6-22-10 12 π　 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 种子生长：切线的判定与性质 （2）如图6-22-11，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ADC的平分线DE交AC于点E.以AD上的点O为圆心，OD为半径作☉O，☉O恰好过点E. ①求证：AC是☉O的切线； 图6-22-11 ①证明：如答图6-22-5，连接OE，则OE=OD.∴∠OED=∠ODE. ∵DE平分∠ADC，∴∠CDE=∠ODE.∴∠OED=∠CDE.∴OE∥CD. ∵∠ACB=90°，∴CD⊥AC.∴OE⊥AC. 又∵OE是☉O的半径，∴AC是☉O的切线. 答图6-22-5 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ②若CD=12，tan∠ABC=，求☉O的半径； ②解：如答图6-22-5，过点D作DF⊥AB于点F. ∵AD平分∠BAC，CD⊥AC，∴DF=CD=12. ∵tan∠ABC= =20.∴BC=CD+BD=32. 在Rt△ABC中，AC=BC·tan∠ABC=32×=24. 答图6-22-5 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 在Rt△ACD中，AD=. 设☉O的半径为r，则AO=12-r. 由①知OE∥CD，∴△AEO∽△ACD.∴ . 答图6-22-5 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 生长变式：图形变式 （3）如图6-22-12，∠BAC的平分线AO交BC于点O，以点O为圆心，OC长为半径作☉O，直线AO交☉O于点D，E. ①求证：AB是☉O的切线； 图6-22-12 ①证明：如答图6-22-6，过点O作OF⊥AB于点F. ∵∠ACB=90°，∴OC⊥AC. ∵AO平分∠BAC，∴OF=OC，即OF为☉O的半径. 又∵OF⊥AB，∴AB是☉O的切线. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ②连接CD，若tan D=，求的值； ②解：如答图6-22-6，连接CE. ∵DE是☉O的直径，∴∠DCE=90°，即∠DCE=∠ACB. ∴∠DCE-∠ECO=∠ACB-∠ECO，即∠DCO=∠ACE. ∵OD=OC，∴∠D=∠DCO.∴∠ACE=∠D. 又∵∠CAE=∠DAC，∴△ACE∽△ADC.∴. 在Rt△CDE中，tan D=. 答图6-22-6 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 种子成树：综合创新 （4）在（3）的条件下，若☉O的半径为6，求AB的长. 解：∵，∴设AE=x，AC=2x，则AD=x+12. 由（3）知△ACE∽△ADC，∴. ∴AC2=AE·AD，即（2x）2=x（x+12）. 解得x1=4，x2=0（不合题意，舍去）. ∴AE=4，AC=8. ∵∠ACB=90°，∴AC⊥OC. 图6-22-12 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 又∵OC为☉O的半径，∴AC是☉O的切线. ∵AF也是☉O的切线，∴AF=AC=8. ∵∠B=∠B，∠BFO=∠BCA=90°，∴△BFO∽△BCA. ∴ . ∴AB=AF+BF=8+. 图6-22-12 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 中考演练 （限时15分钟） 一、选择题 1. （2024·山西）如图6-22-13，已知△ABC，以AB为直径的☉O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD. 若∠AOD=80°，则∠C的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 45° D. 50° 图6-22-13 D 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 2. （2024·福建）如图6-22-14，已知点A，B在☉O上，∠AOB=72°，直线MN与☉O相切，切点为C，且C为的中点，则∠ACM等于 （ ） A. 18° B. 30° C. 36° D. 72° 图6-22-14 A 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 3. （2024·泸州）如图6-22-15，EA，ED是☉O的切线，切点为A，D，点B，C在☉O上.若∠BAE+∠BCD=236°，则∠E= （ ） A. 56° B. 60° C. 68° D. 70° 图6-22-15 C 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 4. （2023·聊城）如图6-22-16，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA. 若∠CAI=35°，则∠OBC的度数为 （ ） A. 15° B. 17.5° C. 20° D. 25° 图6-22-16 C 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 5. （2024·上海）在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，点P在△ABC内，分别以点A，B，P为圆心画圆，☉A半径为1，☉B半径为2，☉P半径为3.若☉A与☉P内切，☉P与☉B的关系是 （ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 相离 B 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 二、填空题 6. （2024·徐州）如图6-22-17，AB是☉O的直径，点C在AB的延长线上，CD与☉O相切于点D.若∠C=20°，则∠CAD=　 .  图6-22-17 35°　 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 7. （2024·包头）如图6-22-18，四边形ABCD是☉O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作☉O的切线交AB的延长线于点P，连接OA，OB. 若∠AOB=140°，∠BCP=35°，则∠ADC的度数为　 　.   图6-22-18 105° 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 8. （2023·河南）如图6-22-19，PA与☉O相切于点A，PO交☉O于点B，点C在PA上，且CB=CA.若OA=5，PA=12，则CA的长为  　.  图6-22-19 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 三、解答题 9. （2024·甘孜州）如图6-22-20，AB为☉O的弦，C为的中点，过点C作CD∥AB，交OB的延长线于点D. 连接OA，OC. （1）求证：CD是☉O的切线； 图6-22-20 （1）证明：∵OC是☉O的半径，C为的中点，∴OC⊥AB. ∵CD∥AB，∴OC⊥CD. 又∵OC是☉O的半径，∴CD是☉O的切线. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）若OA=3，BD=2，求△OCD的面积. （2）解：∵OA=OC=OB=3，BD=2， ∴OD=OB+BD=3+2=5. ∵OC⊥CD，∴∠OCD=90°. ∴CD==4. ∴S△OCD=×4×3=6. 图6-22-20 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 10. （2024·通辽）如图6-22-21，在△ABC中，∠ACB=90°，O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD. （1）求证：∠ABC=2∠ACD； （1）证明：如答图6-22-7，连接OD. ∵OD=OC，∴∠ODC=∠ACD. ∴∠AOD=∠ODC+∠ACD=2∠ACD. ∵AB为☉O的切线，∴OD⊥AB. ∴∠ADO=∠ACB=90°. ∴∠A+∠AOD=∠A+∠ABC=90°. ∴∠ABC=∠AOD. ∴∠ABC=2∠ACD. 答图6-22-7 图6-22-21 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）若AC=8，BC=6，求☉O的半径. （2）解：在Rt△ACB中，AC=8，BC=6， ∴AB==10. 设☉O的半径为r，则OD=r，AO=8-r. ∵∠A=∠A，∠ADO=∠ACB，∴△AOD∽△ABC. ∴.解得r=3. ∴☉O的半径为3. 图6-22-21 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 命题趋势 （ 限时 5 分钟） （2023·广东改编，综合探究）如图6-22-22，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点O在对角线BD上（不与点B，D重合），以点O为圆心，OB为半径作☉O交BD于点E. （1）求sin∠ABD的值； 图6-22-22 解：（1）∵四边形ABCD 矩形，∴∠BAD=90°. ∵AB=6，AD=8，∴BD==10. ∴sin∠ABD=. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （2）若☉O经过点A，求☉O的面积； （2）如答图6-22-8，连接OA. ∵☉O经过点A，∴OA=OB.∴∠OAB=∠OBA. ∵∠BAD=90°，∴∠OAB+∠OAD=90°，∠OBA+∠ODA=90°. ∴∠OAD=∠ODA.∴OA=OD.∴OB=OD=BD=5. ∴☉O的面积为π·52=25π. 答图6-22-8 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 （3）连接AC，若☉O与△ACD的边所在直线相切，求OB的长. （3）①如答图6-22-9，若☉O与AD相切，设切点为F，连接OF，则OF=OB，OF⊥AD. ∵∠BAD=90°，∴AB⊥AD.∴OF∥AB.∴△FOD∽△ABD. ∴； 答图6-22-9 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ②如答图6-22-10，若☉O与CD相切，设切点为G，连接OG，则OG=OB，OG⊥CD. 同理可得OG∥BC， ∴△OGD∽△BCD. ∴ ； 答图6-22-10 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 ③如答图6-22-11，若☉O与AC相切，设切点为H，连接OH，则OH=OB，OH⊥AC. 设AC与BD交于点Q，过点B作BP⊥AC于点P，则BQ=BD=5. ∵S△ABC=. ∵OH⊥AC，BP⊥AC，∴OH∥BP.∴△OQH∽△BQP. ∴. 综上所述，OB的长为. 答图6-22-11 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 命题解读：根据最新课程标准和近三年广东中考命题动向，预测2025年广东中考命题方向可能注重考查圆与直线的位置关系，如切线的判定、切线的性质等；强调与三角形、四边形等几何图形的综合运用，可能涉及三角形的相似、三角形的全等、三角函数等知识；还可能会考查综合探究类题型，通过变换图形位置或构造特殊图形综合考查. 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 谢 谢 ! 返回目录 2025 教与学 中考必备 数学 $$